Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 57 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN =====***===== TÀO THỊ DUYÊN HÀM TỬ HOM VÀ DÃY KHỚP KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số HÀ NỘI, 2014 SV: Tào Thị Duyên K36B-Sư phạm Toán GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga Khóa luận tốt nghiệp LỜI CẢM ƠN Sau thời gian miệt mài nghiên cứu với giúp đỡ thầy cô giáo bạn sinh viên, khóa luận em hoàn thành Em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ thầy cô khoa toán, thầy cô tổ đại số tạo điều kiện cho em suốt thời gian em làm khóa luận Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô giáo, TS Nguyễn Thị Kiều Nga - ngƣời tận tình giúp đỡ em trình thực khóa luận Mặc dù có nhiều cố gắng song hạn chế thời gian nhƣ kiến thức, tài liệu, nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Em kính mong nhận đƣơc đóng góp ý kiến thầy cô bạn sinh viên để khóa luận em đƣợc hoàn thiện Một lần em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2014 Sinh viên Tào Thị Duyên SV: Tào Thị Duyên K36B-Sư phạm Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga LỜI CAM ĐOAN Trong trình thực khóa luận nỗ lực thân, em nhận đƣợc bảo, hƣớng dẫn tận tình cô giáo, TS Nguyễn Thị Kiều Nga Em xin cam đoan khóa luận kết nghiên cứu khoa học riêng em không trùng với kết tác giả khác Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2014 Sinh viên Tào Thị Duyên SV: Tào Thị Duyên K36B-Sư phạm Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga MỤC LỤC CHƢƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Môđun, môđun con, môđun thƣơng 1.1.1 Môđun 1.1.2 Môđun 1.1.3 Môđun thƣơng 1.2 Môđun sinh tập, môđun hữu hạn sinh 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Điều kiện tƣơng đƣơng với môđun hữu hạn sinh 10 1.3 Đồng cấu môđun 11 1.3.1 Định nghĩa 11 1.3.2 Điều kiện tƣơng đƣơng 12 1.3.3 Ví dụ đồng cấu môđun 12 1.3.4 Tính chất 12 CHƢƠNG HÀM TỬ HOM VÀ DÃY KHỚP 15 2.1 Dãy khớp 15 2.1.1 Định nghĩa dãy khớp 15 2.1.2.Dãy khớp ngắn 15 2.1.3 Tính chất dãy khớp 16 2.2 Dãy khớp chẻ 22 2.2.1 Tích trực tiếp, tổng trực tiếp, hạng tử trực tiếp môđun 22 2.2.2 Dãy khớp chẻ 23 2.3 Hàm tử Hom dãy khớp 28 2.3.1 Môđun đồng cấu 28 2.3.2 Hàm tử Hom 32 2.3.3 Mối liên hệ hàm tử Hom dãy khớp 39 2.4 Một số tập 43 2.4.1 Bài tập môđun 43 2.4.2 Bài tập dãy khớp 45 KẾT LUẬN 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO 53 SV: Tào Thị Duyên K36B-Sư phạm Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Đại số ngành chiếm vị trí quan trọng toán học Nó góp phần thúc đẩy phát triển toán học đại Với nhu cầu học hỏi sinh viên khoa toán nhiều ngƣời khác quan tâm đến toán học nói chung đại số nói riêng việc nghiên cứu môn đại số cần có hiểu biết cách sâu sắc cấu trúc đại số Các cấu trúc đại số bao gồm nhóm, vành, trƣờng, môđun,…Trong “môđun” khái niệm quan trọng đại số đại Một ứng dụng quan trọng nghiên cứu lý thuyết môđun xét dãy R - đồng cấu mà thỏa mãn tính chất ảnh đồng cấu vào trùng với hạt nhân đồng cấu ra, ta có dãy khớp Qua trình học tập nghiên cứu, em thấy dãy khớp có ứng dụng rộng rãi Trong đại số, dãy khớp tính chất đƣợc sử dụng nhiều nghiên cứu tích Tenxơ, hàm tử Hom,…Trong Tôpô đại số, giải tích hàm nghiên cứu dãy khớp tôpô, dãy khớp ngắn ánh xạ tuyến tính không gian nhƣ không gian Frechet,…Ngoài ra, dãy khớp có ứng dụng nhiều ngành khác Vì em chọn đề tài “Hàm tử Hom dãy khớp” để thực khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Bƣớc đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học đồng thời muốn sâu, tìm tòi, nghiên cứu dãy khớp, hàm tử Hom dãy khớp Nhiệm vụ nghiên cứu Sử dụng kiến thức môđun dãy khớp để nghiên cứu hàm tử Hom dãy khớp Phƣơng pháp ngiên cứu SV: Tào Thị Duyên K36B-Sư phạm Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga Nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp đánh giá Cấu trúc khóa luận Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo,nội dung khóa luận đƣợc chia làm hai chƣơng: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Nội dung chủ yếu chƣơng trang bị kiến thức môđun Chương 2: Hàm tử Hom dãy khớp Ở chƣơng đƣa số định lý, hệ có tính chất quan trọng, số nhận xét khái quát dãy khớp, dãy khớp ngắn, dãy khớp chẻ ra, hàm tử Hom, hàm tử Hom dãy khớp số tập ứng dụng SV: Tào Thị Duyên K36B-Sư phạm Toán GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga Khóa luận tốt nghiệp CHƢƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Môđun, môđun con, môđun thƣơng 1.1.1 Môđun 1.1.1.1 Định nghĩa Cho R vành giao hoán có đơn vị M nhóm cộng Abel M gọi môđun trái R hay R - môđun trái tồn ánh xạ ( gọi tích vô hƣớng R) f :RM M , x x thỏa mãn điều kiện sau: x x x x y x y x x 1.x x Với , R x, y M Tƣơng tự, môđun phải R hay R - môđun phải nhóm Abel cộng với ánh xạ f :M R M x, x thỏa mãn điều kiện sau: x x x x y x y x x x.1 x Với , R x, y M SV: Tào Thị Duyên K36B-Sư phạm Toán GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga Khóa luận tốt nghiệp Nhận xét: Nếu R vành giao hoán khái niệm R - môđun trái trùng với khái niệm R - môđun phải Sau ta xét R - môđun trái gọi chúng R - môđun 1.1.1.2 Tính chất Cho M R - môđun, với , R , x, y M ta có: a) 0R.x 0; a.0M 0M b) a.( x) (a).x ax c) a b x ax bx d) a( x y) ax ay 1.1.1.3 Ví dụ môđun Ví dụ Mỗi không gian vectơ trƣờng K môđun K ngƣợc lại Nhận xét: Khái niệm môđun khái niệm tổng quát không gian vectơ Ví dụ Mỗi nhóm Abel cộng M - môđun Thật vậy, x M , n Ta đặt x x x n0 n nx 0 n0 ( x) ( x) n n Do nx M Do ánh xạ M M (n, x) nx xác định thỏa mãn điều kiện môđun SV: Tào Thị Duyên K36B-Sư phạm Toán GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga Khóa luận tốt nghiệp Nhận xét: Ví dụ chứng tỏ lý thuyết môđun bao gồm lý thuyết nhóm Abel Ví dụ Giả sử X vành với đơn vị R vành giao hoán X chứa Khi đó, với R x X R X X ( , x) x xác định, thỏa mãn điều kiện môđun Do đó, vành giao hoán có đơn vị môđun Nhận xét: Lý thuyết môđun bao gồm lý thuyết vành Ví dụ Cho R vành giao hoán có đơn vị, R x vành đa thức ẩn x Với phép cộng hai đa thức thông thƣờng phép nhân đa thức với vô hƣớng xác định f ( x) ao a1x a n x n af ( x) aa0 aa1x aa n x n Với a R Khi R x R - môđun Ví dụ 5: Cho R vành có đợn vị Kí hiệu: Rn a1, a 2, , a n R , n N Trên R n xác định hai phép toán cộng nhân vô hƣớng nhƣ sau: a1, a2, , an b1, b2, , bn a1 b1, , a n bn a a1, a 2, , a n aa1, aa 2, , aa n SV: Tào Thị Duyên K36B-Sư phạm Toán GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga Khóa luận tốt nghiệp với a R; a1, , a n , b1, , bn Rn Khi đó, R n nhóm cộng Abel thỏa mãn điều kiện R - môđun Vì R n R - môđun 1.1.2 Môđun 1.1.2.1 Định nghĩa Cho M R - môđun, N M , N gọi môđun M N R - môđun với hai phép toán cảm sinh 1.1.2.2 Điều kiện tƣơng đƣơng Cho M R - môđun, N , N M Khi mệnh đề sau tƣơng đƣơng: i) N R - môđun M ii) Với R , x, y N x y N , x N iii) Với , R , x, y N x y N 1.1.2.3 Ví dụ môđun Ví dụ Cho M R - môđun M có môđun M môđun {0} Ví dụ Nếu M nhóm Abel cộng, xem nhƣ - môđun môđun nhóm nhóm cộng Abel M Ví dụ Cho R vành giao hoán có đơn vị idean R môđun R 1.1.2.4 Tính chất Giao họ môđun M môđun M Nhận xét: - Hợp họ môđun M nói chung không môđun M SV: Tào Thị Duyên K36B-Sư phạm Toán GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga Khóa luận tốt nghiệp Do đó, Hom( f f 2, g ) Hom( f 1, g ) Hom( f 2, g ) iii) iv) Hiển nhiên 2.3.3 Mối liên hệ hàm tử Hom dãy khớp Định lý Với đồng cấu f : A A g : B B môđun R, hạt nhân đồng cấu h Hom( f , g ) : Hom( A, B) Hom( A ', B ') môđun K Hom( A, B) xác định K Hom( A, B) [Im(f)] Ker( g ) Chứng minh Giả sử K tùy ý cho trƣớc Gọi x phần tử A Ta có f ( x) Im f , K (f(x)) Kerg g ( ( f ( x)) Suy h( )( x) g f ( x) g ( ( f ( x)) , hay h( ) Do K Kerh Đảo lại, giả sử Kerh tùy ý cho trƣớc Khi đó, g f h( ) Theo tính chất đồng cấu môđun ta có Im( f ) Kerg Suy Im( f ) Im f (Im f ) Kerg K (2) Do Kerh K Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh Hệ Nếu f : A A toàn cấu, g : B B đơn cấu môđun R thì: h Hom( f , g ) : Hom( A, B) Hom( A ', B ') đơn cấu Định lý f g Nếu M môđun tùy ý R A B C 0 (*) dãy khớp môđun R dãy: SV: Tào Thị Duyên 39 K36B-Sư phạm Toán GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga Khóa luận tốt nghiệp * * g f Hom(C, M ) Hom( B, M ) Hom( A, M )(**) với f * Hom( f , i) g * Hom( g , i) i : M M tự đồng cấu đồng môđun M khớp Chứng minh Vì g toàn cấu, i đơn cấu nên theo hệ ta có * g Hom( g , i) đơn cấu Vì g đơn cấu nên Kerg {0} Lại có Im (0) {0} , ta có Im Kerg (1) Ta chứng minh Im g Kerf Vì (*) dãy khớp nên ta có Im f Kerg Im f Kerg Theo tính chất đồng cấu môđun ta có gf Ta có Hom( gf , i) Hom(0, i) f g Hom( gf , ii) Hom( gf , i) * * Theo tính chất đồng cấu môđun ta có Im( g *) Ker ( f *) (2) Đảo lại, gọi Hom (B ,M ) phần tử tùy ý Ker ( f *) Đặt K Im f Kerg Vì f * Hom( f , i) nên theo định lý ta có ( K ) (Imf ) Keri ( Keri i tự đồng cấu đồng nên i đẳng cấu, i đơn cấu), ( K ) Vì : B M cảm ứng đồng cấu : Q M môđun thƣơng Q B K Vì g toàn cấu với K hạt nhân g nên g cảm ứng đẳng cấu h : Q C Gọi p : B Q phép chiếu tự nhiên Nhƣ ta đƣợc biểu đồ: C g h p B Q M SV: Tào Thị Duyên 40 K36B-Sư phạm Toán GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga Khóa luận tốt nghiệp hai tam giác giao hoán Vì h đẳng cấu nên ta định nghĩa đồng cấu h1 :C M Khi Hom(C, M ) g *( ) g h1 g p Do Im (g *) Ker ( f *) Im( g *) (3) Từ (1), (2), (3) ta có (**) dãy khớp Định lý f g Nếu M môđun tùy ý R A B C dãy khớp môđun R dãy * * f g Hom( M , A) Hom( M , B) Hom( M , C ) với f * Hom( j, f ), g * Hom(i, g ) i : M M R - tự đồng cấu, khớp Chứng minh Vì i toàn cấu, f đơn cấu Theo hệ ta có * f Hom(i, f ) đơn cấu Ta có Kerf {0} , Im (0) {0} , Im Kerf (1) Vì gf nên từ định nghĩa ta có Hom(i, gf ) Do đó, * * g f Hom(ii, gf ) Hom(i, gf ) theo tính chất đồng cấu môđun ta có Im ( f *) Ker ( g *) (2) Bây thiết lập bao hàm thức Ker ( g *) Im ( f *) Gọi phần tử tùy ý Hom(M , B) tùy ý Kerg Vì * g Hom(i, g ) nên theo định lý suy SV: Tào Thị Duyên 41 K36B-Sư phạm Toán (**) GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga Khóa luận tốt nghiệp (M ) (Im i) Kerg Im f Vì f đơn cấu nên tồn đẳng cấu j : Im f A cho f j : Im f B R - đồng cấu Định nghĩa đồng cấu : M A cách lấy ( x) j[ ( x)] với x M Khi phần tử Hom(M , A) [ f ( )]( x) f [ j ( ( x))] ( x) * Suy f * ( ) Do Im f * , suy Ker g * Im f * (do phần tử tùy ý Ker g * ) (3) Từ (1), (2) (3) suy Ker g * Im f * suy dãy (**) khớp Định lý Nếu dãy sau đồng cấu môđun R f g A B C (1) dãy khớp ngắn chẻ dãy: * * g f Hom(C, M ) Hom( B, M ) Hom( A, M ) 0 (***) f * Hom( f , i), g * Hom( g , i) với i : M M R - tự đồng cấu chẻ Chứng minh Vì (1) dãy khớp ngắn chẻ suy đồng cấu f có nghịch đảo trái, tức tồn đồng cấu h : B A R - đồng cấu cho j hf tự đồng cấu đồng môđun A Ta có g toàn cấu, i đơn cấu, theo hệ g Hom( g , i) đơn cấu.Vì SV: Tào Thị Duyên 42 K36B-Sư phạm Toán GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga Khóa luận tốt nghiệp Hom( f , i) Hom(h, i) Hom(hf , ii) Hom( j, i) tự đồng cấu đồng Hom( A, M ) suy f * Hom( f , i) toàn cấu Do dãy (***) dãy khớp ngắn chẻ theo hệ 4(phần 2.2.2.4) 2.4 Một số tập 2.4.1 Bài tập môđun Bài Nếu M có hai môđun {0} M M gọi R - môđun đơn Giả sử f : M N đồng cấu môđun đơn M môđun N Chứng minh Im f môđun đơn N f đơn ánh trƣờng hợp Im f Giải Ta có Im f môđun N ( tính chất đồng cấu môđun) Gọi A môđun Im f f 1 ( A) môđun M Do M môđun đơn nên f 1 ( A) {0} f 1 ( A) {0} 1 f ( A ) M f (M ) A Xét trƣờng hợp f 1 ( A) {0} Ta có f 1 ( A) x M f ( x) A {0} Mà f (0) nên A {0} Thật vậy, giả sử A tức tồn y A, y cho y f ( x), x A, x x y f (0) (mâu thuẫn) Do y f ( x) nên x f 1 ( A) tức f 1 ( A) {0} (mâu thuẫn) Suy A {0}hoặc A Im f Vậy Im f môđun đơn N SV: Tào Thị Duyên 43 K36B-Sư phạm Toán GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga Khóa luận tốt nghiệp Giả sử Im f Ta có Kerf x M f ( x) 0 f 1 ({0}) môđun M Suy Kerf Kerf M Nếu Kerf M f Im f =0 (mâu thuẫn) Vậy Kerf hay f đơn cấu Bài Cho M R - môđun, N môđun M, M N N R - môđun hữu hạn sinh Chứng minh M R - môđun hữu hạn sinh Giải Do N hữu hạn sinh nên tồn x1 , x2 , xn N thỏa mãn Ni Rxi , i 1,2, , n N N1 Nn Do M N R - môđun hữu hạn sinh nên tồn xn1 , , xm M Rxn1 Rxm ( xi xi N , xi M ) để M N Với a M a M Do tồn rn1 , , rm R cho: N N a rn1 xn1 rm xm rn1 xn1 rm xm Suy a (rn1 xn1 rm xm ) N Do tồn b N , b r1 x1 r n xn để a (rn1 xn1 rm xm ) r1 x1 r n xn Suy a (rn1 xn1 rm xm ) r1 x1 r n xn a Rx1 Rxm Đặt Ni Rxi , i n 1, m ta có m m i 1 i 1 a N1 N m Ni M Ni m Hiển nhiên N i 1 i M m Do M N i hay M R - môđun hữu hạn sinh i 1 Bài SV: Tào Thị Duyên 44 K36B-Sư phạm Toán GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga Khóa luận tốt nghiệp Cho dãy khớp ngắn A B C A, C môđun hữu hạn sinh Chứng minh B môđun hữu hạn sinh Giải f g A B C (1) Vì dãy cho dãy khớp ngắn nên flà đơn cấu, g toàn cấu, Im f Kerg Do g toàn cấu nên B Kerg C Vì Chữu hạn sinh suy B Kerg Im f nên B Im f Kerg C hữu hạn sinh Vì hữu hạn sinh Vì f đơn cấu nên cảm sinh đẳng cấu từ Im f vào A, Im f hữu hạn sinh (do A hữu hạn sinh) Giả sử x1 Im f , , xn Im f tập sinh B Im f y1 , y2 , , ym tập sinh Im f Với x B , n ta có: x Im f ri xi Im f (do ri R ) i 1 n n n Suy x ri xi Im f hay x ri xi s j y j (do ri R) Suy i 1 i 1 j 1 n n x ri xi s j y j i 1 j 1 (*) Đẳng thức (*) chứng tỏ tập x1 , x2 , , xn , y1 , y2 , , ym tập sinh B Vậy B hữu hạn sinh 2.4.2 Bài tập dãy khớp Bài Cho biểu đồ R - đồng cấu sau: A g f B C h k D SV: Tào Thị Duyên 45 K36B-Sư phạm Toán GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga Khóa luận tốt nghiệp dòng dãy khớp hf = Chứng minh tồn đồng cấu k : C D cho kg h Giải Vì dòng dãy khớp nên g toàn cấu, tức với c C , tồn phần tử b B cho g (b) c Xác định quy tắc k : C D nhƣ sau: c C, b B cho g (b) c Đặt k (c) h(b) Ta chứng minh k ánh xạ Thật vậy, c C, k (c) h(b) D , suy k xác định khắp nơi (1) Với c1, c2 C mà c1 c2 , có c1, c2 C , suy tồn b1 , b2 B cho g (b1 ) c1 ; g (b2 ) c2 Ta có c1 c2 , suy g (b1 ) g (b2 ) hay g (b1 b2 ) Do b1 b2 Kerg Im f Suy tồn phần tử a A để b1 b2 f (a) Mà hf , điều tƣơng đƣơng với (hf )(a) hay h( f (a)) h(b1 b2 ) h(b1 ) h(b2 ) h(b1) h(b2 ) Do k (c1 ) k (c2 ) , nhƣ k đơn trị (2) Từ (1) (2) suy k ánh xạ Ta chứng minh k đồng cấu Với c1, c2 C , , R Ta chứng minh k ( c1 c 2) k (c1) k (c 2) Thật vậy, c1, c2 C , g toàn cấu nên tồn b1 , b2 B để g (b1 ) c1, g (b2 ) c2 , suy k (c1 ) h(b1 ); k (c2 ) h(b2 ) Dog đồng cấu nên g ( b1 b2 ) g (b1 ) g (b2 ) c1 c2 Suy k ( c1 c2 ) h(b1 b2 ) h(b1 ) h(b2 ) k (c1 ) k (c2 ) hay k ( c1 c2 ) k (c1 ) k (c2 ) Do đók đồng cấu SV: Tào Thị Duyên 46 K36B-Sư phạm Toán GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga Khóa luận tốt nghiệp Ta chứng minh kg h Ta có kg h có tập xác định B tập giá trị D b B ta có (kg )(b) k ( g (b)) k (c) h(b) kg h Chứng minh k Giả sử tồn đồng cấu k : C D R - đồng cấu thỏa mãn k 'g h Ta có k k tập xác định C tập giá trị D c C ,b B thỏa mãn g (b) c k (c) k '( g (b)) (k 'g )(b) h(b) k (c) Suy k k ' ' Bài 2: Cho biểu đồ R - đồng cấu sau: A f g B C h k D dòng dãy khớp gh Chứng minh tồn R đồng cấu k : D A cho fk h Giải Vì dòng dãy khớp nên f đơn ánh, xét quy tắc k : D A xác định nhƣ sau: d D h(d ) B ( gh)(d ) gh(d ) h(d ) Kerg =Im f Suy tồn phần tử a A để f (a) h(d ) Đặt k (d ) a Ta chứng minh k ánh xạ d D, a A : f (a) h(d ) k (d ) a A k xác định khắp nơi d1 , d2 D mà d1 d Do d1 D a1 A : h(d1 ) f (a1 ) k (d1 ) a1 Tƣơng tự, d2 D a2 A : f (a2 ) h(d2 ) k (d ) a2 Ta có: f (a1 ) f (a2 ) h(d1 ) h(d2 ) h(d1 d2 ) h(0) SV: Tào Thị Duyên 47 K36B-Sư phạm Toán (1) GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga Khóa luận tốt nghiệp f (a1 ) f (a2 ) a1 a2 (vì f đơn ánh) suy k (d1 ) k (d2 ) k đơn trị Từ (1) (2) suy k ánh xạ Ta chứng minh k đồng cấu d1 , d2 D, a1 , a2 A cho f (a1 ) h(d1 ), f (a2 ) h(d2 ) , k (d1 ) a1 , k (d2 ) a2 Do f đồng cấu nên với , R, a1 , a2 A ta có: f ( a1 a2 ) f (a1 ) f (a2 ) h(d1 ) h(d2 ) h d1 d2 (vì h đồng cấu) k d1 d2 a1 a2 k (d1 ) k (d2 ) suy k R - đồng cấu Ta chứng minh fk h Ta có fk h có tập xác định D tập giá trị B d D : ( fk )(d ) f [k (d )] f (a) h(d ) fk h Ta chứng minh k R - đồng cấu Giả sử k : D A cho fk h Khi d D ta có: fk ' (d ) fk (d ) h(d ) f [k ' (d )] f [k (d )] k ' (d ) k (d ) (dof đơn cấu) suy k k Bài 3: Xét hình vuông giao hoán sau R - đồng cấu củaR - môđun: h X Y X’ SV: Tào Thị Duyên h’ 48 Y’ K36B-Sư phạm Toán (2) GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga Khóa luận tốt nghiệp Chứng minh: [Kerh] Kerh [Im h] Im h Giải x Kerh h( x) ta có [h( x)] (do R - đồng cấu) ( h)( x) (h )( x) (hình vuông giao hoán) h[ ( x)]=0 (x) Kerh Do x tùy ý thuộc Kerh nên [Kerh] Kerh Với y Im h x X : h( x) y Ta có [h( x)] ( y) (do R - đồng cấu) Điều tƣơng đƣơng với ( h)( x) ( y) (h )( x) ( y) (hình vuông giao hoán) hay h[ ( x)] ( y) Do x X nên ( x) X từ ( y) Im h Vì y tùy ý thuộc Imh nên [Im h] Im h Từ ta thấy xác định đồng cấu: : Kerh Kerh x ( x) ( x) : Im h Im h y ( y ) ( y ) : X Kerh X Kerh x Kerh ( x Kerh) ( x Kerh) ( x) ( Kerh) : Y Im h Y Im h y Im h ( y Im h) ( y Im h) ( y) (Im h) Bài 4: SV: Tào Thị Duyên 49 K36B-Sư phạm Toán GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga Khóa luận tốt nghiệp Xét biểu đồ f g B C ’ ’ ’ ’ f g ’ 1’ ’ ’ ’ ’ B’ C’ A’ ’ ’ g’ f’ ’ - môđun, dãy ’ khớp, hình R - đồng cấu R ’ ’ vuông giao hoán ’ ’ Với x Ker , chứng minh’ tồn phần tử’ b B a A với A g (b) x f (a) (b) Thử lại phần tử h(x) Coker xác định a không phụ thuộc vào lựa chọn b a tƣơng ứng x h( x) xác định đồng cấu h : Ker Co ker R - môđun Chứng minh g h f Ker Ker Ker Co ker Co ker Co ker khớp * * Giải Với x Ker x C , g toàn ánh nên b B : g (b) x Do , f , g , R - đồng cấu nên tồn f1 : B A g1 : C B R - đồng cấu để f f1 g1 g Vì b B nên a A : f1 (b) a Xét f (a) f [f1 (b)] ( f f1 )(b) ( g1 g )(b) (b) Vậy f (a) (b) h : Ker Co ker x Ker h( x) Co ker A Im h( x) a Im với a A Với x Ker a1 A để g (b1 ) x f (a1 ) (b1 ) Ta có SV: Tào Thị Duyên 50 K36B-Sư phạm Toán GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga Khóa luận tốt nghiệp a a1 Im nên h( x) a Im a1 Im h : Ker Co ker x h( x ) R - đồng cấu Thật vậy, x Ker h( x) Co ker , x, y Ker ( x) 0, ( y) nên ( x y) x y Ker a A, b A : h( x) a Im , h( y) b Im h( x y) a b Im h( x) h( y) Tƣơng tự h( x) h( x), R, x Ker g h f Ker Ker Ker Co ker Co ker Co ker * * Ker Ker khớp Do f đơn cấu nên Ker Co ker Co ker khớp Do g toàn cấu nên Co ker Ta chứng minh Imh Kerf * +) Imh Kerf * Thật vậy, y Im h y a Im suy x Ker : h( x) y b B, a A : g (b) x f (a) (b) Ta có f *[a Im ] f (a) Im (b) Im Im ( (b) Im ) Vậy a Im Kerf * hay y Kerf * +) Kerf * Im h a Im Kerf * f *[a Im ] f (a) Im Im nên f (a) Im Do b B : f (a) (b) Vậy a A, b B Đặt g(b) = x x Ker h( x) a Im nên a Im Im h Chứng minh tƣơng tự ta có Im g * Kerh Vậy dãy cho khớp SV: Tào Thị Duyên 51 K36B-Sư phạm Toán GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga Khóa luận tốt nghiệp KẾT LUẬN Sử dụng kiến thức lý thuyết môđun, khóa luận nghiên cứu đề tài “Hàm tử Hom dãy khớp” Do hạn chế mặt thời gian nhƣ lực thân nên khóa luận đề cập đến khái niệm số tính chất dãy khớp, dãy khớp chẻ đƣa mối liên hệ hàm tử Hom dãy khớp Với thời gian chuẩn bị chƣa nhiều bƣớc đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đƣợc đóng góp ý kiến thầy giáo, cô giáo nhƣ bạn để khóa luận đƣợc hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn TS Nguyễn Thị Kiều Nga tận tình bảo tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành khóa luận! Em xin chân thành cảm ơn! SV: Tào Thị Duyên 52 K36B-Sư phạm Toán GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga Khóa luận tốt nghiệp TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Tự Cƣờng (2003),Giáo trình đại số đại, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [2] Bùi Huy Hiền (1997), Bài tập đại số đại cương, NXB Giáo Dục [3] Nguyễn Hữu Việt Hƣng (1998),Đại số đại cương,NXB Giáo Dục [4] Ngô Thúc Lanh (1988), Đại số số học (tập 4), NXB Giáo Dục [5] Sze – Tsen Hu, Nhập môn đại số đồng điều SV: Tào Thị Duyên 53 K36B-Sư phạm Toán [...]... tầm thƣờng nếu và chỉ nếu Im f Kerg SV: Tào Thị Duyên 14 K36B-Sư phạm Toán GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga Khóa luận tốt nghiệp CHƢƠNG 2 HÀM TỬ HOM VÀ DÃY KHỚP 2.1 Dãy khớp 2.1.1 Định nghĩa dãy khớp Dãy các môđun và các R - đồng cấu fn f n1 M n M n2 () M n1 đƣợc gọi là dãy khớp nếu Im f n Ker f n1 ,với mọi n 2.1.2 .Dãy khớp ngắn 2.1.2.1 Định nghĩa f g Một dãy khớp bất kì dạng... Y Z 0 đƣợc gọi là một dãy khớp ngắn 2.1.2.2 Điều kiện tƣơng đƣơng của dãy khớp ngắn f g h Dãy khớp với 5 môđun 0 X Y Z 0 (*) là dãy khớp ngắn khi và chỉ khi f là đơn cấu, g là toàn cấu, Im f Kerg Chứng minh Vì (*) là dãy khớp nên ta có Im Kerf ;Im f Kerg;Im g Kerh Im {0} Kerf {0} Lại có suy ra f là đơn cấu và g là toàn cấu Kerh Z Im g ... luận tốt nghiệp f g h Xét dãy khớp ngắn 0 A B C 0 (1) Ta sẽ chứng minh (1) chẻ ra tại A và C nếu và chỉ nếu nó chẻ ra tại môđun B Chứng minh Ta có, Im (0) 0 là R - môđun con của A và A 0 A Im A Do đó dãy khớp chẻ ra tại A Ta có Kerh Im g C mà C C 0 C Kerh 0 Im g 0 Do đó dãy khớp chẻ ra tại C Vậy dãy khớp trên chẻ ra nếu và chỉ nếu nó chẻ ra tại... tầm thƣờng khi và chỉ khi Kerg B Vì (*) là dãy khớp nên ta có Im f Kerg Do đó a b b c) g là đồng cấu tầm thƣờng khi và chỉ khi Im g 0 Ta có h là đơn cấu khi và chỉ khi Kerh 0 Vì (*) là dãy khớp nên ta có Im g Kerh Do đó b c Hệ quả 1 f g h k Trong một dãy khớp tùy ý A B C D E những đồng cấu của các R - môđun, C = 0 nếu và chỉ nếu f là một toàn cấu và k là một đơn... quả 4 f g A B C 0 những đồng Với mọi dãy khớp ngắn 0 cấu của những môđun trên R, ba phát biểu sau là tƣơng đƣơng i) Dãy khớp ngắn đó chẻ ra ii) Đồng cấu f có một nghịch đảo trái iii) Đồng cấu g có một nghịch đảo phải SV: Tào Thị Duyên 27 K36B-Sư phạm Toán GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga Khóa luận tốt nghiệp 2.3 Hàm tử Hom và dãy khớp 2.3.1 Môđun các đồng cấu Giả sử M, N là R - môđun... Cho M và N là những R - môđun Xét dãy các R - môđun: i p 0 M M N N 0 Trong đó i:M M N m (m,0) và p:M N N (m, n) n i là đơn cấu, p là toàn cấu Ta có Im i m,0 m M M Kerp m, n p(m, n) n 0 m,0 m M Imi = Kerp Suy ra (1) là dãy khớp ngắn Lại có M N Im i N Suy ra dãy khớp (1) chẻ ra tại M N 2.2.2.3 Định lý f g Nếu một dãy khớp. .. có g và h là những đồng cấu tầm thƣờng Do đó theo tính chất 1 thì f là một toàn cấu và k là một đơn cấu ) Vì f là một toàn cấu, k là một đơn cấu nên theo tính chất 1 ta có g và h là những đồng cấu tầm thƣờng nên Im g 0 , Kerh C Vì dãy là khớp nên ta có Im g Kerh C 0 Hệ quả 2 Nếu dãy 0 C 0 những môđun trên R là khớp thì ta có C 0 Chứng minh Giả sử dãy 0 C 0 (1) là khớp. .. 0, j 1, n i 1 i j Đặc biệt M N P M N P, N P 0 2.2.2 Dãy khớp chẻ ra 2.2.2.1 Định nghĩa f g Ta nói rằng một dãy khớp X Y Z là chẻ ra tại môđun Y nếu và chỉ nếu môđun con A Im f Kerg của môđun Y là một hạng tử trực tiếp của Y Tức tồn tại B Y sao cho Y Im f B Kerg B A B Nếu dãy khớp chẻ ra tại mỗi môđun không nằm ở hai đầu của nó thì ta nói rằng... hai dòng là khớp và hai hình vuông là giao hoán thì hai phát biểu sau là đúng: a) Nếu và là những đơn cấu thì là đơn cấu b) Nếu và là những toàn cấu thì là toàn cấu Do đó đồng cấu là một đẳng cấu nếu và là đẳng cấu SV: Tào Thị Duyên 21 K36B-Sư phạm Toán GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga Khóa luận tốt nghiệp 2.2 Dãy khớp chẻ ra 2.2.1 Tích trực tiếp, tổng trực tiếp, hạng tử trực tiếp... Kerh (1) Mặt khác, Im f Y và Kerh Y , suy ra SV: Tào Thị Duyên 26 K36B-Sư phạm Toán GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga Khóa luận tốt nghiệp Im f Kerh Y (2) Từ (1) và (2) suy ra Y Im f Kerh (**) Từ (*) và (**) suy ra Y Im f Kerh tức dãy khớp chẻ ra tại Y Theo định lý trên Y Im f Kerh mà f là đơn cấu nên X Im f Do đó Y X Im g Hệ quả 3 f g Một dãy khớp tùy ý X Y Z ... môđun Chương 2: Hàm tử Hom dãy khớp Ở chƣơng đƣa số định lý, hệ có tính chất quan trọng, số nhận xét khái quát dãy khớp, dãy khớp ngắn, dãy khớp chẻ ra, hàm tử Hom, hàm tử Hom dãy khớp số tập ứng... CHƢƠNG HÀM TỬ HOM VÀ DÃY KHỚP 2.1 Dãy khớp 2.1.1 Định nghĩa dãy khớp Dãy môđun R - đồng cấu fn f n1 M n M n2 () M n1 đƣợc gọi dãy khớp Im f n Ker f n1 ,với n 2.1.2 .Dãy khớp. .. 12 CHƢƠNG HÀM TỬ HOM VÀ DÃY KHỚP 15 2.1 Dãy khớp 15 2.1.1 Định nghĩa dãy khớp 15 2.1.2 .Dãy khớp ngắn 15 2.1.3 Tính chất dãy khớp