Một số vấn đề về hàm tử hom và hàm tử tenxơ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM BỘ MÔN TOÁN ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ HÀM TỬ HOM VÀ HÀM TỬ TENXƠ Chủ nhiệm đề tài: TRẦN MẠNH TUẤN Long Xuyên, 05/ 2009 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU CHƯƠNG I MÔĐUN – PHẠM TRÙ – HÀM TỬ §1 MƠĐUN §2 PHẠM TRÙ §3 HÀM TỬ CHƯƠNG II: HÀM TỬ HOM §1 ĐỊNH NGHĨA HÀM TỬ HOM §2 TÍCH TRỰC TIẾP VÀ TỔNG TRỰC TIẾP QUA HÀM TỬ HOM 11 §3 HÀM TỬ HOM VÀ TÍNH KHỚP 14 CHƯƠNG III HÀM TỬ TENXƠ §1 TÍCH TENXƠ CỦA NHỮNG MÔĐUN 21 §2 ĐỊNH NGHĨA HÀM TỬ TENXƠ 24 § TỔNG TRỰC TIẾP QUA HÀM TỬ TENXƠ 25 § HÀM TỬ TENXƠ VÀ TÍNH KHỚP 26 §5 MỘT VÀI MỐI QUAN HỆ GIỮA HÀM TỬ HOM VÀ HÀM TỬ TENXƠ 29 KẾT LUẬN 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO 37 TÓM TẮT Hàm tử Hom, hàm tử Ext, hàm tử Tenxơ, hàm tử Torxơ bốn lớp hàm tử quan trọng lý thuyết phạm trù mơđun Chúng có tính chất thú vị đơi bổ trợ cho Đề tài nghiên cứu tính chất hai số bốn lớp hàm tử cộng tính quan trọng này, hàm tử Hom, hàm tử Tenxơ xem xét mối quan hệ chúng Đề tài gồm ba chương Chương I nhắc lại số khái niệm kết sử dụng chương sau Chương II trình bày hàm tử HomR(RUS, − ) HomR( − ,RUS), xem xét tổng trực tiếp tích trực tiếp biến đổi qua hàm tử Hom, tính khớp hàm tử Hom hàm tử Hom hàm tử khớp Chương III trình bày tích tenxơ hai mơđun, hàm tử Tenxơ ( s U R ⊗ R − ) ( − ⊗S S U R ) , xem xét tổng trực tiếp biến đổi qua hàm tử Tenxơ, tính khớp hàm tử Tenxơ Cũng chương này, nghiên cứu mối quan hệ hai hàm tử Hom Tenxơ, xét xem có đẳng cấu hàm tử HomS ( − ,S U T ) ⊗T N → HomS ( − ,( S U T ⊗T N )) (− ⊗ R HomT (T U R , N )) → HomT ( HomR (−,T U R ), N ) DANH MỤC KÍ HIỆU Kí hiệu Ý nghĩa f* HomR(U,f) f * HomR(f,U) Imh Ảnh đồng cấu h Kerϕ Nhân đồng cấu ϕ MS Phạm trù S-môđun phải NS .S-môđun phải N RM R-môđun RM trái M Phạm trù R-môđun trái R(n) Tổng trực tiếp n lần vành R RUS R-trái,S-phải song môđun U ⊕ Tổng trực tiếp Π Tích trực tiếp ⊗ .Tích tenxơ 1R M Hàm tử đồng phạm trù RM MỞ ĐẦU Mục tiêu nghiên cứu Đề tài nghiên cứu hai lớp hàm tử cộng tính quan hai phạm trù mơđun, hàm tử Hom hàm tử Tenxơ, nghiên cứu mối quan hệ hàm tử Hom hàm tử Tenxơ Nội dung nghiên cứu Đề tài gồm ba chương Chương I nhắc lại số khái niệm kết sử dụng chương sau Chương II trình bày hàm tử HomR(RUS, − ) HomR( − ,RUS), xem xét tổng trực tiếp tích trực tiếp biến đổi qua hàm tử Hom, tính khớp hàm tử Hom hàm tử Hom hàm tử khớp Chương III trình bày tích tenxơ hai mơđun, hàm tử Tenxơ ( s U R ⊗ R − ) ( − ⊗S S U R ) , xem xét tổng trực tiếp biến đổi qua hàm tử Tenxơ, tính khớp hàm tử Tenxơ Cũng chương này, nghiên cứu mối quan hệ hai hàm tử Hom Tenxơ, xét xem có đẳng cấu hàm tử HomS ( − ,S U T ) ⊗T N → HomS ( − ,( S U T ⊗T N )) (− ⊗ R HomT (T U R , N )) → HomT ( HomR (−,T U R ), N ) Đối tượng phạm vi nghiên cứu Hàm tử Hom, hàm tử Ext, hàm tử Tenxơ, hàm tử Torxơ bốn lớp hàm tử quan trọng lý thuyết phạm trù mơđun Chúng có tính chất thú vị đôi bổ trợ cho Đề tài nghiên cứu tính chất hai số bốn lớp hàm tử cộng tính quan trọng này, hàm tử Hom, hàm tử Tenxơ xem xét mối quan hệ chúng Cơ sở lý luận phương pháp nghiên cứu Trên sở lý thuyết vành, môđun phạm trù, xây dựng hàm tử HomR(RUS, − ), HomR( − ,RUS), hàm tử Tenxơ ( S U R ⊗ R − ) , ( − ⊗S S U R ) phạm trù mơđun, tổng hợp tính chất chúng, phân tích xem hàm tử có tính chất ta xét chúng phạm trù đầy phạm trù môđun phạm trù môđun xạ ảnh, môđun sinh, môđun nội xạ, môđun đối sinh, mơđun dẹt CHƯƠNG I MƠĐUN – PHẠM TRÙ – HÀM TỬ §1 MƠĐUN 1.1 Định nghĩa Cho M nhóm aben Kí hiệu End l(M) (End r(M)) vành tự đồng cấu M với phép cộng phép cộng đồng cấu nhóm phép nhân phép hợp thành đồng cấu nhóm định nghĩa (f.g)(a) = f(g(a)) ((a)(f.g)=((a)f)g)) 1.2.Định nghĩa Cho R vành (trong đề tài vành nói đến hiểu vành có đơn vị khác khơng nói thêm) Khi cặp (M, λ ) R-mơđun trái M nhóm aben λ : R → End l(M) đồng cấu vành Nghĩa là: Với a ∈ R tồn đồng cấu nhóm λ (a): M → M cho: i) λ (a)(x + y) = λ (a)(x) + λ (a)(y) ii) λ (a + b)(x) = λ (a)(x) + λ (b)(x) iii) λ (ab)(x) = λ (a)( λ (b)(x)) iv) λ (1)(x) = x ∀a,b ∈ R; ∀x, y ∈ M Chúng ta viết ax thay cho λ (a)(x) xem λ phép nhân vô hướng R x M → M cho (a,x) a ax thỏa mãn: i) a(x + y) = ax + ay ii) (a + b)x = ax + bx iii) (ab)x = a(bx) iv) 1x = x ∀a,b ∈ R; ∀x, y ∈ M Khi ta nói RM R-môđun trái Tương tự ta định nghĩa NS S-mơđun phải N nhóm aben có phép nhân vơ hướng N x S → N cho (x,a) a xa thỏa mãn: i) (x + y)a = xa + ya ii) x(a + b) = xa + xb iii) x(ab) = (xa)b iv) x1 = x ∀a,b ∈ S; ∀x, y ∈ N RUS song môđun R-trái, S-phải RU R-môđun trái US S-môđun phải 1.3 Định nghĩa Môđun RP gọi xạ ảnh với đồng cấu f: RP → RN toàn cấu g: RM → RN tồn đồng cấu h: RP → RM cho g.h = f, nghĩa biểu đồ sau giao hoán P h M f N g 1.4 Mệnh đề Môđun RP môđun hữu hạn sinh xạ ảnh tồn môđun cho P ⊕ P’ ≅ R(n) RP’ n ∈ 1.5 Định nghĩa Môđun RG gọi môđun sinh với mơđun RM ta có M= ∑ Im h = Im(G,M), H = HomR(G,M) h∈H 1.6 Mệnh đề Môđun RG môđun sinh tồn R-đẳng cấu G(n) ≅ R ⊕ R’ n ∈ R’ R-môđun 1.7 Định nghĩa Môđun RE gọi nội xạ với đồng cấu f: RK → RE đơn cấu g: RK → RM tồn đồng cấu h: RM → RE cho h.g = f, nghĩa biểu đồ sau giao hoán E h f K g M 1.8 Định nghĩa Môđun RC gọi mơđun đối sinh với mơđun RM ta có Ker(M,C) = I Kerϕ = 0, J = HomR(M,C) ϕ∈J Một số định nghĩa kết vành, môđun con, môđun thương, đồng cấu môđun, dãy khớp xem kiến thức sở, tơi khơng trình bày đề tài, bạn đọc tham khảo nhiều tài liệu mơđun §2 PHẠM TRÙ 2.1 Định nghĩa Ta nói cho phạm trù C cho: (I) Một tập hợp khơng rỗng, kí hiệu 0b(C), mà phần tử gọi vật phạm trù C (II) Với cặp vật ( A, B ) C, tập hợp rỗng, kí hiệu HomC ( A, B ) , mà phần tử gọi đồng cấu từ A đến B; A gọi nguồn f B gọi đích f (III) Với ba vật ( A, B, C ) C, ánh xạ: HomC ( B, C ) × HomC ( A, B ) → HomC ( A, C ) ( g , f ) a go f gọi tích (hay hợp thành) đồng cấu Các điều cho phải thoả mãn điều kiện sau: (i) Đối với cặp vật khác ( A, B ) ≠ ( C , D ) thì: HomC ( A, B ) I HomC ( C , D ) = ∅ (ii) Luật kết hợp: γ ( βα ) = ( γβ ) α với α ∈ Homc ( A, B ) , β ∈ HomC ( B, C ) , γ ∈ HomC ( C , D ) (iii) Với vật A phạm trù C tồn phần tử HomC ( A, A ) gọi đồng cấu đồng kí hiệu Id A cho α = α Id Bα với α ∈ HomC ( A, B ) Ta kí hiệu đơn giản Hom ( A, B ) thay cho HomC ( A, B ) A ∈ C thay cho A ∈ Ob (C) 2.2 Ví dụ 1) Phạm trù tập hợp Sets Phạm trù lấy tập hợp làm vật lấy ánh xạ làm đồng cấu Tích đồng cấu xác định phép hợp thành ánh xạ 2) Phạm trù nhóm Gr Phạm trù có tập hợp vật tất nhóm cịn đồng cấu đồng cấu nhóm Tích hai đồng cấu phép hợp thành đồng cấu nhóm 3) Phạm trù nhóm aben Ab Tập hợp vật phạm trù Ab tất nhóm aben, cịn đồng cấu hai vật đồng cấu nhóm Phạm trù R-môđun trái RM (S-môđun phải MS) Tập hợp vật phạm trù RM (MS) tất R-mơđun trái (S-mơđun phải) Tích đồng cấu xác định phép hợp thành R-đồng cấu (S-đồng cấu) 2.3 Định nghĩa Giả sử C phạm trù, A, B hai vật C α : A → B đồng cấu C (i) α gọi đơn cấu α giản ước bên trái, nghĩa từ αγ = αγ ′ kéo theo γ = γ ′ (ii) α gọi toàn cấu α giản ước bên phải, nghĩa từ βα = β ′α kéo theo β = β ′ (iii) α gọi đẳng cấu có đồng cấu α ∈ Hom ( B, A ) cho αα = Id A , αα = Id B Hai vật A, B gọi đẳng cấu có đẳng cấu α : A → B 2.4 Định nghĩa Một phạm trù D phạm trù C điều kiện sau thoả mãn: (i) Ob(D) ⊂ Ob(C) (ii) HomD ( A, B ) ⊂ HomC ( A, B ) , (iii) Hợp thành đồng cấu D hợp thành C đồng cấu đồng D đồng cấu đồng C Phạm trù D phạm trù C gọi phạm trù đầy nếu: HomD ( A, B ) = HomC ( A, B ) với cặp vật A,B D 2.5 Ví dụ Phạm trù Ab nhóm aben phạm trù đầy phạm trù Gr nhóm 2.6 Định nghĩa Tích hai phạm trù C D phạm trù, ký hiệu C x D, xác định công thức sau: Ob(C x D) = Ob(C) x Ob(D) Hom ( ( A, B ) , ( X , Y ) ) = Hom ( A, X ) × Hom ( B, Y ) ( f ′, g ′) o ( f , g ) = ( f ′ o f , g ′ o g ) §3 HÀM TỬ 3.1 Định nghĩa Giả sử C D hai phạm trù Một hàm tử hiệp biến F : C → D hàm cho ứng với vật X ∈ C vật FX ∈ D với đồng cấu α C đồng cấu F (α ) D thoả mãn điều kiện sau : (i) Nếu α : X → Y F (α ) : FX → FY (ii) F ( Id X ) = Id FX (iii) F (α o β ) = F (α ) o F ( β ) α o β xác định Nếu F thỏa mãn điều kiện: ( i′) : Nếu α : X → Y F ( a ) : FY → FX ( ii′ ) F ( Id X ) = Id FX ( iii′) F (α o β ) = F ( β ) o F (α ) F gọi hàm tử phản biến 3.2 Định nghĩa Giả sử C D hai phạm trù F : C → D hàm tử hiệp biến (phản biến) f, g đồng cấu C F gọi hàm tử cộng tính F(f + g) = F(f) + F(g) 3.3 Định nghĩa Giả sử F G hai hàm tử hiệp biến từ phạm trù C vào phạm trù D Ta nói cho phép biến đổi tự nhiên f từ F đến G (ký hiệu f: F → G ) vật A ∈ C cho đồng cấu f ( A ) : FA → GA cho biểu đồ sau giao hoán: FA f ( A) ⎯⎯⎯ → GA (*) F(u) FB G(u) f (B) ⎯⎯⎯ → GB với u: A → B Nếu F G hàm tử phản biến định nghĩa phép biến đổi tự nhiên, biểu đồ (*) thay biểu đồ giao hoán sau: mơđun trái R N có R-đẳng cấu μ : R ⊗ R N → N thỏa mãn μ (r ⊗ y ) = ry , μ −1 ( y ) = ⊗ y 1.7 Định nghĩa Cho M , M ′ hai R -môđun phải N , N ′ hai R -môđun trái Giả sử f : M → M ′ g : N → N ′ hai R -đồng cấu Xác định ánh xạ ( f , g )( x, y ) = f ( x) ⊗ g ( y ) ánh xạ song tuyến tính Do có Z -đồng cấu ký hiệu f ⊗ g : M ⊗R N → M ′ ⊗R N ′ xác định x ⊗ y → f ( x) ⊗ g ( y ) làm cho biểu đồ sau giao hốn: M ×N τ ( f , g) M ⊗ R N ⎯⎯ ⎯→ M ′ ⊗ R N ′ f ⊗g Ánh xạ f ⊗ g xác định gọi tích tenxơ hai đồng cấu 1.8 Mệnh đề Cho môđun M R , M R′ , R N , R N ′ Với f1 , f , f ∈ Hom R ( M , M ′) g1 , g , g ∈ Hom R ( N , N ′) , ta có (i) ( f1 + f ) ⊗ g = ( f ⊗ g ) + ( f ⊗ g ) , (ii) f ⊗ ( g1 + g ) = ( f ⊗ g ) + ( f ⊗ g ) , (ii) f ⊗ = ⊗ g = , (iv) Id M ⊗ Id N = Id M ⊗R N 1.9 Mệnh đề Cho R-đồng cấu f : M → M ′, f ′ : M ′ → M ′′, g : N → N ′ g ′ : N ′ → N ′′ Khi ( f ′ ⊗ g ′)( f ⊗ g ) = ( f f′ ) ⊗ ( g ′g ) 23 §2 ĐỊNH NGHĨA HÀM TỬ TENXƠ 2.1 Mệnh đề Cho R S vành, U = SUR song mơđun Khi ta có: (S U ⊗R −) : RM → SM (i) M a U ⊗R M f a Id U ⊗ f (− ⊗S U R ) : MS → MR (ii) N a N ⊗S U R g a g ⊗ Id U hàm tử cộng tính hiệp biến Những hàm tử gọi chung hàm tử Tenxơ Chứng minh (i) Giả sử RM R-mơđun RM Khi U ⊗R M S-môđun trái với phép nhân vô hướng xác định bởi: s(u i ⊗ mi ) = (su i ) ⊗ mi ∀s ∈ S; ∀u i ∈ U; ∀mi ∈ M + Giả sử f: RM → RN R-đồng cấu RM Khi (S U ⊗ R f ) : U ⊗ R M → U ⊗ R N S-đồng cấu SM Thật ∀m ∈ M; ∀s ∈ S; u ∈ U ta có (U ⊗ f )(su ⊗ m) = (Id U ⊗ f )(su ⊗ m) = su ⊗ f (m) = s(u ⊗ f (m)) = s((U ⊗ f )(u ⊗ m)) + Dễ thấy U ⊗R I d M = Id U ⊗R M + Với f: RM → RM’ g: RM’ → RM’’ ta có (U ⊗ g)(U ⊗ f ) = (Id U ⊗ g)(Id U ⊗ f ) = (Id U ⊗ gf ) = (U ⊗ gf ) + Với f: RM → RN g: RM → RN ta có (U ⊗ g) + (U ⊗ f ) = (Id U ⊗ g) + (Id U ⊗ f ) Vậy (S U ⊗R −) hàm tử cộng tính hiệp biến (ii) Tương tự ta chứng minh (− ⊗S U R ) hàm tử cộng tính hiệp biến 24 2.2 Mệnh đề Cho R vành Khi tồn đẳng cấu tự nhiên μ : ( R R ⊗R , − ) → RM xác định μ M ( r ⊗ m ) = rm μ M−1( m ) = ⊗ m Chứng minh Do Mệnh đề III.1.6 ta có μM đẳng cấu với R-môđun trái M Giả sử m ∈ M, r ∈ R f: M → M’ ta có: μ M 'o (R ⊗R f )(r ⊗ m) = μ M 'o (R ⊗R f (m)) = rf (m) = f (rm) = f oμ M (r ⊗ m) Suy μ M 'o (R ⊗R f ) = f oμ M Vậy μ : ( R R ⊗R , −) → M đẳng cấu tự nhiên R §3 TỔNG TRỰC TIẾP QUA HÀM TỬ TENXƠ 3.1 Mệnh đề Những hàm tử Tenxơ bảo toàn tổng trực tiếp mơđun Nghĩa ( M R , (iα ) α∈A ) tổng trực tiếp ( M α ) α∈A ( R N , ( j β ) β ∈B ) tổng trực tiếp ( N β ) β ∈B ( M ⊗ R N , (iα ⊗ j β ) (α , β )∈A× B ) tổng trực tiếp ( M α ⊗ R N β ) (α , β )∈A×B Chứng minh Giả sử (pα )α∈A (qβ )β∈B R-đồng cấu cho j q iα pα β β M α ⎯⎯ → M ⎯⎯ → M α Nβ ⎯⎯ → N ⎯⎯ → Nβ thỏa mãn p α i α ' = δαα ' Id Mα ;q β jβ ' = δββ ' Id Nβ ∑ i p α (m) = m; ∑ B jβ q β (n) = n A α với m ∈ M n ∈ N Khi i ⊗j p ⊗q α β α β M α ⊗R Nβ ⎯⎯⎯ → M ⊗R N ⎯⎯⎯ → M α ⊗R Nβ thỏa mãn (p α ⊗ q β )(i α ⊗ jβ ) = δ( α ,α ')(β,β ') Id Mα ⊗R Nβ (pα ⊗ qβ )(m ⊗ n) = với hầu hết (α, β) ∈ AxB trừ số hữu hạn ∑ AxB (i α ⊗ jβ )(p α ⊗ q β )(m ⊗ n) = m ⊗ n Vậy (M ⊗R N, (i α ⊗ jβ )( α ,β )∈A×B ) tổng trực tiếp ( M α ⊗R Nβ )( α ,β )∈A×B 25 3.2 Hệ Cho (U α )α∈A họ R-trái, S-phải song mơđun Khi (i) (− ⊗R (⊕ A U α )) ≅ ⊕ A (− ⊗R U α ) (ii) ((⊕ A U α ) ⊗S −) ≅ ⊕ A (U α ⊗S −) §4 HÀM TỬ TENXƠ VÀ TÍNH KHỚP 4.1 Mệnh đề Cho hai môđun S U R SN, f : R M ′ → R M R-đồng cấu có hai -đẳng cấu Φ Φ ′ làm cho biểu đồ giao hoán sau: HomR ( f , HomS (U , N )) HomR ( M , HomS (U , N )) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → HomR ( M ′, HomS (U , N )) Φ′ Φ HomS ((U ⊗R f ),N) → HomS ((U ⊗R M′), N) HomS ((U ⊗R M), N) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Chứng minh Giả sử γ ∈ Hom R (M, HomS (U, N)) ta kiểm tra tương ứng (u, m) a γ (m)(u) ánh xạ song tuyến tính Khi có S-đồng cấu Φ ( γ ) : S U ⊗R M → N u ⊗ m a γ (m)(u) Ta chứng minh ánh xạ Φ : γ a Φ ( γ ) đẳng cấu hai nhóm aben với ánh xạ ngược Φ −1 (δ)(m) : u a δ(u ⊗ m) Thật vậy, với γ ∈ Hom R (M, HomS (U, N)), m ∈ M, u ∈ U ta có [(Φ −1Φ )( γ )(m)](u) = Φ ( γ )(u ⊗ m) = [γ (m)](u) ⇔ (Φ −1Φ )( γ ) = γ Suy Φ −1Φ = Id HomR (M,HomS (U,N)) Với δ ∈ HomS (U ⊗R M, N)), u ⊗ m ∈ U ⊗R M ta có [(ΦΦ −1 )(δ)](u ⊗ m) = [Φ (Φ −1 (δ))](u ⊗ m) = (Φ −1 (δ))(m)(u) = δ(u ⊗ m) ⇔ (ΦΦ −1 )(δ) = δ Suy ΦΦ −1 = Id HomS ((U ⊗M),N) Định nghĩa tương tự cho Φ ′ ∀γ ∈ Hom R (M, HomS (U, N)), ∀u ∈ U, ∀m ' ∈ M ' Ta có 26 Φ′(Hom R (f , HomS (U, N))( γ ))(u ⊗ m′) = Φ′( γf )(u ⊗ m′) = γ (f (m′))(u) = Φ ( γ )(u ⊗ f (m′)) = Φ ( γ ) o (U ⊗R f )(u ⊗ m′) = HomS ((U ⊗R f ), N)(Φ ( γ )(u ⊗ m′) ta có biểu đồ giao hốn HomR (f ,HomS (U,N)) Hom R (M, HomS (U, N)) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → Hom R (M′, HomS (U, N)) Φ′ Φ HomS ((U ⊗R f ),N) → HomS ((U ⊗R M′), N) HomS ((U ⊗R M), N) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Quy ước: Nếu C môđun đối sinh nội xạ phạm trù ZM nhóm aben (−)∗ = Hom Z (−, C) 4.2 Mệnh đề Cho f : M ′ → M g : M → M ′′ hai R-đồng cấu RM U mơđun phải R- U ⊗R f U ⊗R g →U ⊗R M ⎯⎯⎯ →U ⊗R M ′′ U ⊗R M ′ ⎯⎯⎯ khớp ∗ ∗ HomR ( g ,U ) HomR ( f ,U ) HomR ( M ′′, U ∗ ) ⎯⎯⎯⎯⎯ → HomR ( M ,U ∗ ) ⎯⎯⎯⎯⎯ → HomR ( M ′,U ∗ ) khớp Chứng minh Theo Mệnh đề III.4.1 có biểu đồ giao hốn sau (i) ∗ ∗ Hom R (g,U ) Hom R (f ,U ) Hom R (M '', U* ) ⎯⎯⎯⎯⎯ → Hom R (M, U* ) ⎯⎯⎯⎯⎯ → Hom R (M ', U* ) Φ ′′ (U ⊗R M '')* (ii) Φ′ Φ (U ⊗R g)* ⎯⎯⎯⎯ → (U ⊗R M)* (U ⊗R f )* ⎯⎯⎯⎯ → (U ⊗R M ')* Ở Φ ′′, Φ , Φ ′ đẳng cấu, từ suy dịng (i) khớp dòng (ii) khớp Nhưng C đối sinh nội xạ ZM nên theo Mệnh đề II.3.6 Mệnh đề II.3.8 dịng (ii) khớp U ⊗R f U ⊗R g U ⊗R M ' ⎯⎯⎯ → U ⊗R M ⎯⎯⎯ → U ⊗R M '' khớp 4.3 Mệnh đề Hàm tử tenxơ khớp phải Nghĩa f g 0⎯ ⎯→ M ′ ⎯ ⎯→ M⎯ ⎯→ M ′′ ⎯ ⎯→ dãy khớp RM, với song môđun S U R dãy U ⊗R f U ⊗R g U ⊗R M ' ⎯⎯⎯ → U ⊗R M ⎯⎯⎯ → U ⊗R M '' ⎯⎯ →0 27 khớp SM Chứng minh f g Theo giả thiết ta có dãy ⎯⎯ → M ' ⎯⎯ → M ⎯⎯ → M '' ⎯⎯ → khớp RM nên theo Mệnh đề II.3.1 ta có dãy khớp sau ∗ ∗ Hom R (g,U ) Hom R (f ,U ) ⎯⎯ → Hom R (M '', U* ) ⎯⎯⎯⎯⎯ → Hom R (M, U* ) ⎯⎯⎯⎯⎯ → Hom R (M ', U* ) Do ta có dãy khớp U ⊗R f U ⊗R g U ⊗R M ' ⎯⎯⎯ → U ⊗R M ⎯⎯⎯ → U ⊗R M '' ⎯⎯ →0 4.4 Định nghĩa Một môđun U R gọi R-môđun phải dẹt hàm tử (U ⊗R − ) khớp Nghĩa với dãy khớp R-môđun trái f g 0⎯ ⎯→ M ′ ⎯ ⎯→ M⎯ ⎯→ M ′′ ⎯ ⎯→ dãy sau khớp ⊗R f ⊗R g 0⎯ ⎯→(U ⊗ R M ′) ⎯U⎯ ⎯→(U ⊗ R M ) ⎯U⎯ ⎯→(U ⊗ R M ′′) ⎯ ⎯→ 4.5 Mệnh đề U R dẹt U ∗ nội xạ Chứng minh f U dẹt với đơn cấu ⎯⎯ → K ⎯⎯ → M dãy U ⊗R f ⎯⎯ → U ⊗R K ⎯⎯⎯ → U ⊗R M khớp tương đương với dãy ∗ Hom R (f ,U ) Hom R (M, U∗ ) ⎯⎯⎯⎯⎯ → Hom R (K, U∗ ) ⎯⎯ →0 khớp hay Hom R (f , U∗ ) toàn cấu Vậy với đồng cấu γ ∈ Hom R (K, U∗ ) tồn γ ∈ Hom R (M, U∗ ) để Hom R (f , U ∗ )( γ ) = γ ⇔ γf = γ hay U ∗ nội xạ 4.6 Mệnh đề Cho (U α )α∈A tập có số R-mơđun phải Thì ⊕ U α dẹt α∈ A U α dẹt Chứng minh Do Hệ II.2.2 ta có (⊕ U α )∗ ≅ Π (U α )∗ A A Do Mệnh đề III.4.5 ⊕ U α dẹt ⇔ (⊕ U α )∗ nội xạ ⇔ Π (U α )∗ nội xạ α∈A A A ∗ ⇔ ( U α ) , ∀α nội xạ ⇔ U α , ∀α dẹt 28 4.7 Mệnh đề Mọi môđun xạ ảnh môđun dẹt Chứng minh Do môđun xạ ảnh đẳng cấu với hạng trực tiếp môđun tự do, cần chứng minh môđun RR dẹt Mặt khác f : M ′ → M đơn cấu RM, Mệnh đề III.2.2 có hai đẳng cấu μ′ μ để biểu đồ sau giao hoán ⎯⎯ → M′ f ⎯⎯⎯ ⎯ → μ′ M μ R ⊗R M′ ⎯⎯⎯ → R ⊗R M R ⊗R f Suy R ⊗ R f đơn cấu hay RR dẹt 4.8 Hệ Nếu PR mơđun xạ ảnh hàm tử ( PR ⊗R − ) hàm tử khớp §5 MỘT VÀI MỐI QUAN HỆ GIỮA HÀM TỬ HOM VÀ HÀM TỬ TENXƠ 5.1 Mệnh đề Cho θ: RUS → RVS đồng cấu song mơđun Khi đó: (i) η: HomR(RVS, –) → HomR (RUS,–), (ηM = HomR(θ,M)) (ii) ν: HomR(–,RUS) → HomR(–,RVS), (νM = HomR(M,θ)) (iii) φ: (–⊗RUS) → (–⊗RVS), (φM = M⊗Rθ) phép biến đổi tự nhiên, θ đẳng cấu chúng đẳng cấu tự nhiên Chứng minh (i) Giả sử f: RM → RM’ đồng cấu, xét biểu đồ HomR(U,M) HomR(U,f) ηM HomR(V,M) HomR(U,M’) ηM’ HomR(V,f) HomR(V,M’) 29 Giả sử γ ∈ HomR(U,M) ta có: HomR(V,f).ηM(γ) = HomR(V,f).HomR(θ,M)(γ) =f.γ.θ ηM’.HomR(U,f).(γ) = HomR(θ,M’).HomR(U,f)(γ) = HomR(θ,M’)(f.γ) = f.γ.θ Suy biểu đồ giao hoán hay η phép biến đổi tự nhiên Giả sử θ đẳng cấu tồn θ−1 : V → U cho θ θ−1 = IdV θ−1 θ = IdU Xét HomR( θ−1 ,M): HomR(U,M) → HomR(V,M), α a θ−1 α Dễ thấy HomR(θ,M).HomR( θ−1 ,M) = HomR( θ−1 θ,M) = HomR(IdU,M) = IdHom(U,M) HomR( θ−1 ,M).HomR(θ,M) = HomR(θ θ−1 ,M) = HomR(IdV,M) = IdHom(V,M) Suy νM đẳng cấu với RM Vậy η đẳng cấu tự nhiên (ii) Giả sử f: RM → RM’ đồng cấu, xét biểu đồ HomR(M’,U) HomR(f,U) νM’ HomR(M’,V) HomR(M,U) νM HomR(f,V) HomR(M,V) Giả sử γ ∈ HomR(M’,U) ta có: νM.HomR(f,U)(γ) = HomR(M,θ).( γ.f) = θ.γ.f HomR(f,V) νM’(γ) = HomR(f,V).HomR(M’,θ)(γ) = HomR(f,V)( θ.γ) = θ.γ.f Suy biểu đồ giao hoán hay ν phép biến đổi tự nhiên Giả sử θ đẳng cấu tồn θ−1 : V → U cho θ θ−1 = IdV θ−1 θ = IdU Xét HomR(M, θ−1 ): HomR(M,V) → HomR(M,U), α a α θ−1 Dễ thấy HomR(M,θ).HomR(M, θ−1 ) = HomR(M, θ θ−1 ) = HomR(M,IdV) = IdHom(M,V) HomR(M, θ−1 ).HomR(M,θ) = HomR(M, θ−1 θ) = HomR(M,IdU) = IdHom((M,U) Suy νM đẳng cấu với RM Vậy ν đẳng cấu tự nhiên iii) Giả sử f: RM → RM’ đồng cấu, xét biểu đồ f⊗RU (M⊗RUS) (M’⊗RUS) φM (M⊗RVS) φM’ f⊗RV (M’⊗RVS) 30 Giả sử m ⊗ u ∈ M ⊗R U ta có: (f ⊗ Id V ).φM (m ⊗ u) = (f ⊗ Id U )(m ⊗ θ(u)) = f (m) ⊗ θ(u) φM ' (f ⊗ Id U )(m ⊗ u) = φM ' (f (m) ⊗ u) = f (m) ⊗ θ(u) Suy biểu đồ giao hoán hay φ phép biến đổi tự nhiên Giả sử θ đẳng cấu tồn θ−1 : V → U cho θ θ−1 = IdV θ−1 θ = IdU Xét Id M ⊗ θ−1 : M ⊗R V → M ⊗R U, m ⊗ v a m ⊗ θ−1 (v) Dễ thấy (Id M ⊗ θ−1 ).(Id M ⊗ θ) = Id M ⊗ Id U = Id M ⊗R U (Id M ⊗ θ).(Id M ⊗ θ−1 ) = Id M ⊗ Id V = Id M ⊗R V Suy φM đẳng cấu với RM Vậy φ đẳng cấu tự nhiên 5.2 Mệnh đề Với ba môđun ( R M , SWR , S N ) ta có đẳng cấu Φ = Φ MWN : HomR ( M ,HomS (W ,N )) → HomS ((W ⊗ R M ),N ) xác định Φ ( γ )( w ⊗ m ) = [γ ( m )]( w ) Ngoài φ đẳng cấu tự nhiên theo biến M, N W Chứng minh Theo Mệnh đề III.4.1 có đẳng cấu Φ = Φ MWN : Hom R (M, HomS (W, N)) → HomS ((W ⊗ R M), N) xác định [Φ(γ)] (w ⊗ m) = [ γ(m)] (w) Nếu cố định W N theo Mệnh đề III.4.1 Φ đẳng cấu tự nhiên theo biến M Nghĩa Hom R (−, HomS (W, N)) ≅ HomS ((W ⊗R −), N) Cố định M W Giả sử g : S N → S N′ S-đồng cấu, xét biểu đồ sau Hom R (M,HomS (W,g)) Hom R (M, HomS (W, N)) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → Hom R (M, HomS (W, N′)) Φ MWN HomS ((W ⊗R M), N) Φ MWN′ HomS ((W ⊗R M,g) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → HomS (W ⊗R M, N′) 31 ∀γ ∈ Hom R (M, HomS (W, N), ∀m ∈ M, w ∈ W Ta có [Φ MWN ' (Hom R (M, HomS (W, g))( γ ))](w ⊗ m) = [Φ MWN ' (HomS (W, g)( γ )](w ⊗ m) = [HomS (W, g) γ (m)](w) = [gγ (m)](w)=[HomS ((W ⊗ M), g)][γ (m)](w) = [HomS ((W ⊗ M), g)Φ MWN (γ )](w ⊗ m) biểu đồ giao hoán Vậy Φ đẳng cấu tự nhiên theo biến N Nghĩa Hom R (M, HomS (W, −)) ≅ HomS ((W ⊗R M), −) Cố định M N Giả sử h : SWR → SWR′ song đồng cấu, xét biểu đồ sau Hom R (M,HomS (h,N)) Hom R (M, HomS (W′, N)) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → Hom R (M, HomS (W, N)) Φ MW′′N Φ MWN HomS ((W′ ⊗R M), N) HomS ((h ⊗R M),N) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → HomS ((W ⊗R M), N) ∀γ ∈ Hom R (M, HomS (W ', N), ∀m ∈ M, w ∈ W Ta có [Φ MWN (Hom R (M, HomS (h, N))( γ ))](w ⊗ m) = [Φ MWN (HomS (h, N)( γ )](w ⊗ m) = [HomS (n, N) γ (m)](w) = [γ (m)h](w) = [γ(m)][h(w)]=Φ MW ' N (γ )(h(w) ⊗ m) = [HomS ((h ⊗ M), N)][γ (m)](w) = [HomS ((h ⊗ M), N)Φ MWN (γ )](w ⊗ m) biểu đồ giao hốn Vậy Φ đẳng cấu tự nhiên theo biến W Nghĩa Hom R (M, HomS ( −, N)) ≅ HomS (( − ⊗R M), N) 5.3 Mệnh đề Với ba môđun ( R M , N S , R U S ) ta có đẳng cấu η : Hom R (M, Hom S (N, U)) → HomS (N, Hom R (M, U)) xác định [η( γ )] (n) : m a [ γ (m)] (n) Ngoài η đẳng cấu tự nhiên theo biến M , N U Chứng minh ∀γ1 , γ ∈ Hom R (M, HomS (N, U)), ∀a, b ∈ , ∀n ∈ N, m ∈ M Ta có η(aγ1 + bγ )(n)(m) = [(aγ1 + bγ )(m)](n) = [aγ1 (m) + bγ (m)](n) = a[γ1 (m)](n) + b[γ (m)](n) = aη( γ1 )(n)(m) + bη( γ )(n)(m) 32 Vậy η đồng cấu Chứng minh tương tự Mệnh đề III.4.1 ta có η−1 : HomS (N, Hom R (M, U)) → Hom R (M, HomS (N, U)) xác định ⎡⎣ η−1 (α) ⎤⎦ (m) : n a [ α(n) ] (m) nghịch đảo η η đẳng cấu Tương tự Mệnh đề III.5.3 ta kiểm tra tính tự nhiên η 5.4 Mệnh đề Với ba môđun ( M R , R WS , S N ) ta có đẳng cấu ν : M ⊗ R (W ⊗S N) → (M ⊗R W) ⊗S N xác định m ⊗ R (w ⊗S n) a (m ⊗ R w) ⊗S n , Ngoài ν đẳng cấu tự nhiên theo biến M, W N Chứng minh Với m ∈ M ánh xạ βm : W × N → (M ⊗ R W) ⊗S N xác định βm (w, n) = (m ⊗R w) ⊗S n ánh xạ song tuyến tính Khi với m ∈ M tồn đồng cấu ν m : W ⊗ R N → (M ⊗ R W) ⊗S N thỏa mãn ν m (∑ w i ⊗S n i ) = ∑ ((m ⊗R w i ) ⊗S n i ) i i Xét ánh xạ γ : M × (W ⊗S N) → (M ⊗ R W) ⊗S N xác định γ (m, ∑ w i ⊗S n i ) = ν m (∑ w i ⊗S n i ) i i ánh xạ song tuyến tính Do tồn đồng cấu ν : M ⊗ R (W ⊗S N) → (M ⊗R W) ⊗S N thỏa mãn ν(m ⊗R (w ⊗S n)) = ν m (w ⊗S n) = (m ⊗R w) ⊗S n Một cách tương tự ta xác định đồng cấu 33 μ MWN = μ : (M ⊗ R W) ⊗S N → M ⊗ R (W ⊗S N) thỏa mãn μ((m ⊗R w) ⊗S n) = m ⊗R (w ⊗S n) Ta kiểm tra μ ν hai nghịch đảo nhau, suy ν đẳng cấu Giả sử f : M R → M′R ta có biểu đồ giao hốn sau (f ⊗ W ) ⊗ N (M ⊗ R W) ⊗S N ⎯⎯⎯⎯ →(M′ ⊗ R W) ⊗S N μ MWN μ M′WN f ⊗( W ⊗ N ) M ⊗ R (W ⊗S N) ⎯⎯⎯⎯ → M′ ⊗ R (W ⊗S N ) Suy μ đẳng cấu tự nhiên theo biến M Tương tự ta kiểm tra tính tự nhiên μ hai biến cịn lại 5.5 Mệnh đề Cho mơđun SP, SUT TN Khi đó, có đồng cấu ρ : HomS ( P,U ) ⊗T N → HomS ( P,(U ⊗T N )) xác định ρ ( γ ⊗T n ) : p a γ ( p ) ⊗T n Ngoài ρ phép biến đổi tự nhiên theo biến P, U N Hơn nữa, SP môđun xạ ảnh hữu hạn sinh, ρ đẳng cấu Chứng minh Trước hết ta kiểm tra η -đồng cấu phép biến đổi tự nhiên ba biến Mặt khác với S U T T N theo Mệnh đề II.1.2 ta có dãy đẳng cấu HomS (S, U) ⊗T N ≅ U ⊗T N ≅ HomS (S, (U ⊗T N)) xác định γ ⊗T n a γ (1) ⊗T n a η( γ (1) ⊗T n ) Do ρ : HomS (S, U) ⊗T N → HomS (S, (U ⊗T N)) hợp thành đẳng cấu nên đẳng cấu Do Mệnh đề I.1.4 Mệnh đề I.3.8 suy ρ : HomS (P, U) ⊗T N → HomS (P, (U ⊗T N)) đẳng cấu với môđun xạ ảnh hữu hạn sinh S P 34 5.6 Mệnh đề Cho môđun PR , T U R T N có đồng cấu ν : P ⊗ R HomT (U , N ) → HomT ( HomR ( P,U ), N ) xác định ν(p ⊗R γ ) : δ a γ (δ(p)) Ngoài ν phép biến đổi tự nhiên theo biến P,U N Nếu PR xạ ảnh hữu hạn sinh, ν đẳng cấu Chứng minh Trước hết ta kiểm tra ν -đồng cấu phép biến đổi tự nhiên theo biến Mặt khác với T U R T N theo Mệnh đề II.1.2 Mệnh đề III.2.2 ta có dãy đẳng cấu R ⊗R Hom T (U, N) ≅ Hom T (U, N) ≅ Hom T (Hom R (R, U), N) Do ν : R ⊗R HomT (U, N) → Hom T (Hom R (R, U), N) hợp thành đẳng cấu nên đẳng cấu Do Mệnh đề I.1.4 Mệnh đề I.3.8 suy ra: ν : P ⊗R Hom T (U, N) → Hom T (Hom R (P, U), N) đẳng cấu với môđun xạ ảnh hữu hạn sinh PR 35 KẾT LUẬN Đề tài hệ thống lại tính chất quan trọng hàm tử Hom HomR(U, − ) hàm tử cộng tính hiệp biến bảo tồn tích trực tiếp tiếp HomR( − ,U) hàm tử cộng tính phản biến biến tổng trực tiếp thành tích trực Cả hai hàm tử HomR(U, − ) HomR( − ,U) hàm tử khớp trái khớp chẻ Hàm tử HomR(U, − ) khớp U môđun xạ ảnh Hàm tử HomR( − ,U) khớp U môđun nội xạ Cả hai hàm tử (U ⊗ R − ) ( − ⊗ S U ) hàm tử cộng tính hiệp biến, hàm tử khớp phải bảo tồn tổng trực tiếp (U ⊗ R − )là hàm tử khớp U ∗ = HomZ (U ,C ) nội xạ (với C nội xạ đối sinh) Nếu P mơđun xạ ảnh hàm tử ( P ⊗R − ) hàm tử khớp Nghiên cứu mối quan hệ hai hàm tử Hom Tenxơ ta thu đẳng cấu quan trọng Mệnh đề III 5.1; 5.2; 5.3;5.4; 5.5 5.6 Mệnh đề III 5.5 5.6 khẳng định HomS ( P,U ) ⊗T N ≅ HomS ( P,(U ⊗T N )) P ⊗ R HomT (U , N ) → HomT ( HomR ( P, U ), N ) đẳng cấu P xạ ảnh 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO Eisenbud, D 1985 Commutative Algebra New york Springer – Verlag Faith, C 1981 Algebra I: Rings – Modulles and Categories Berlin Heidelburn Springer – Verlag Lang, S.1970 Algebra Philippines Addision – Wesley Maclane, S 1995 Homology Berlin Heidelburn Springer – Verlag Ngô Thúc Lanh 1985 Đại số (giáo trình sau đại học) Hà Nội NXBGD Nguyễn Tiến Quang – Nguyễn Duy Thuận 2001 Cơ sở lý thuyết môđun vành Hà Nội NXBGD Stenstrom, B 1975 Rings of Quotients Berlin Heidelburn Springer – Verlag 37 ... 26 §5 MỘT VÀI MỐI QUAN HỆ GIỮA HÀM TỬ HOM VÀ HÀM TỬ TENXƠ 29 KẾT LUẬN 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO 37 TÓM TẮT Hàm tử Hom, hàm tử Ext, hàm tử Tenxơ, hàm tử Torxơ... §3 HÀM TỬ HOM VÀ TÍNH KHỚP 14 CHƯƠNG III HÀM TỬ TENXƠ §1 TÍCH TENXƠ CỦA NHỮNG MƠĐUN 21 §2 ĐỊNH NGHĨA HÀM TỬ TENXƠ 24 § TỔNG TRỰC TIẾP QUA HÀM TỬ TENXƠ 25 § HÀM TỬ TENXƠ VÀ... hàm tử Hom hàm tử Hom hàm tử khớp Chương III trình bày tích tenxơ hai mơđun, hàm tử Tenxơ ( s U R ⊗ R − ) ( − ⊗S S U R ) , xem xét tổng trực tiếp biến đổi qua hàm tử Tenxơ, tính khớp hàm tử Tenxơ