Tốc độ hội tụ và luật số lớn đối với mảng các biến ngẫn nhiên

i MỤC LỤC Mở đầu Chương Các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ 1.1 Kiến thức chuẩn bị 1.2 Các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ Chương Tốc độ hội tụ luật mạnh số lớn véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ 2.1 Tốc độ hội tụ luật mạnh số lớn 2.2 Một số ví dụ 18 Kết luận 22 Tài liệu tham khảo 23 MỞ ĐẦU Hsu Robbins [7] giới thiệu khái niệm hội tụ đầy đủ chứng minh dãy trung bình số học biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối hội tụ đầy đủ đến giá trị kỳ vọng biến ngẫu nhiên phương sai biến ngẫu nhiên hữu hạn Điều ngược lại chứng minh Erd¨os [4, 5] Kết Hsu, Robbins Erd¨os trở thành định lý sở nhận quan tâm nhiều tác giả Một kết quan trọng mở rộng định lý Hsu-Robbins-Erd¨os xuất báo tiếng Baum Katz [3] Các tác giả sử dụng phương pháp đối xứng hóa để thiết lập định lý đánh giá tốc độ hội tụ luật mạnh số lớn Các kết [3, 4, 5, 7] mở hướng nghiên cứu có tính thời liên quan đến hội tụ đầy đủ đánh giá tốc độ hội tụ luật mạnh số lớn Trong lý thuyết xác suất, tính độc lập biến ngẫu nhiên tính chất mạnh nghiên cứu rộng rãi Sau đó, nhiều kiểu phụ thuộc khác biến ngẫu nhiên xét đến Chẳng hạn như: phụ thuộc martingale, phụ thuộc Markov, m-phụ thuộc, m-phụ thuộc theo khối, phụ thuộc âm, phụ thuộc dương, liên kết âm, liên kết dương, mixing, Khái niệm biến ngẫu nhiên liên kết âm giới thiệu Alam Saxena [1] Sau đó, Joag-Dev Proschan [8] chứng minh nhiều tính chất quan trọng biến ngẫu nhiên liên kết âm nhiều phân phối quan trọng thống kê có tính chất liên kết âm Gần đây, Ko, Kim Han [9] phát triển khái niệm liên kết âm cho biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực sang trường hợp véc tơ ngẫu nhiên nhận giá trị không gian véctơ thực Rd , trường hợp véc tơ ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Hilbert thực khả ly họ thu hội tụ hầu chắn cho véctơ ngẫu nhiên liên kết âm Công cụ chìa khóa để họ nghiên cứu hội tụ hầu chắn bất đẳng thức moment véctơ ngẫu nhiên liên kết âm có kỳ vọng không Bất đẳng thức moment Ko, Kim Han [9] tiếp tục sử dụng Miao [14] chứng minh bất đẳng thức cực đại Hájek-Rényi Thanh [17] thiết lập luật mạnh số lớn Trong đề tài này, tập trung nghiên cứu tốc độ hội tụ luật mạnh số lớn véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ Chúng lớp véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ thực rộng lớp véctơ ngẫu nhiên liên kết âm giới thiệu Ko, Kim Han [9] Hơn nữa, bất đẳng thức moment [9] nâng cấp Các kết đề tài báo cáo Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ (Trường Sĩ quan Thông tin, 8/2013) viết thành báo khoa học: Nguyen Van Huan, Nguyen Van Quang and Nguyen Tran Thuan, BaumKatz type theorems for coordinatewise negatively associated random vectors in Hilbert spaces, Acta Mathematica Hungarica (accepted, February 2014) Về cấu trúc, phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, phần nội dung đề tài trình bày hai chương Chương chủ yếu dành để giới thiệu khái niệm véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ chứng minh bất đẳng thức moment véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ Các kết Chương Định nghĩa 1.2.2 Mệnh đề 1.2.6 Chương trình bày điều kiện cần đủ cho tốc độ hội tụ luật mạnh số lớn véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ Kỹ thuật sử dụng để chứng minh kết kỹ thuật chặt cụt đơn điệu Chúng đề cập số nhận xét ví dụ để làm sáng tỏ cho kết vấn đề liên quan Các kết Chương Định lý 2.1.2 Định lý 2.1.7 3 CHƯƠNG CÁC VÉCTƠ NGẪU NHIÊN LIÊN KẾT ÂM THEO TỌA ĐỘ Trong chương này, giới thiệu khái niệm véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ khái niệm tổng quát khái niệm véctơ ngẫu nhiên liên kết âm Ko, Kim Han [9] Chúng thiết lập bất đẳng thức moment véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ Kết khắc phục sai sót trước [9] Mục đầu chương dành để trình bày phần kiến thức chuẩn bị để dùng chung cho đề tài 1.1 Kiến thức chuẩn bị Trong đề tài này, R tập số thực, C số dương giá trị khác lần xuất Cho trước số thực âm α hàm f : R → R, ký hiệu f (n) = o(nα ) hiểu f (n)/nα → n → ∞ Với A tập hợp, |A| lực lượng tập hợp A H không gian Hilbert thực, khả ly với phép nhân ·, · chuẩn · Biến ngẫu nhiên hiểu phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị thực, véctơ ngẫu nhiên hiểu phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian véctơ thực Rd hay không gian Hilbert thực khả ly Với X phần tử ngẫu nhiên, kỳ vọng phương sai X ký hiệu EX VarX Ta nói X có kỳ vọng không thay cho cách viết EX = Với {ej , j 1} sở trực chuẩn H X véctơ ngẫu nhiên nhận giá trị H , X, ej ký hiệu X (j) Giả sử {Xn , n 1} véctơ ngẫu nhiên nhận giá trị H Khi đó, cấu trúc {Xn , n 1} thể dạng mảng hai chiều biến ngẫu nhiên sau: (1) (2) X1 (1) X2 X1 (2) X2 (1) Xn Xn (2) X1(d) X2(d) (d) Xn , Xn(d) biến ngẫu nhiên với n Giả sử {X, Xn , n d 1} véctơ ngẫu nhiên nhận giá trị H Ta xét bất đẳng thức kẹp sau C1 P(|X (j) | > t) n n P(|Xk(j) | > t) C2 P(|X (j) | > t) (1.1.1) k=1 Nếu tồn số dương C1 (tương ứng, C2 ) thỏa mãn vế trái (tương ứng, vế phải) (1.1.1) với j 1, n t ta nói {Xn , n 1} bị chặn yếu theo tọa độ (tương ứng, bị chặn yếu theo tọa độ ) X Ta nói {Xn , n 1} véctơ ngẫu nhiên bị chặn yếu theo tọa độ X vừa bị chặn yếu bị chặn yếu theo tọa độ X Rõ ràng, {Xn , n 1} véctơ ngẫu nhiên phân phối bị chặn yếu theo tọa độ X1 1.2 Các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ Giả sử X Y hai biến ngẫu nhiên Khi đó, giá trị E (X − EX)(Y − EY ) (nếu tồn tại) gọi hiệp phương sai X Y , ký hiệu Cov(X, Y ) Rõ ràng X , Y độc lập Cov(X, Y ) = E(XY ) − EX EY = Theo Alam Saxena [1], họ hữu hạn biến ngẫu nhiên {Yi , i n} gọi họ biến ngẫu nhiên liên kết âm với tập A, B rời tập {1, 2, , n}, với hàm f, g không giảm theo tọa độ tương ứng xác định R|A| , R|B| Cov f (Yi , i ∈ A), g(Yj , j ∈ B) với điều kiện hiệp phương sai tồn Họ vô hạn biến ngẫu nhiên gọi họ biến ngẫu nhiên liên kết âm họ hữu hạn họ liên kết âm 5 Ko, Kim Han [9] phát triển khái niệm liên kết âm cho biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực sang trường hợp véctơ ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Hilbert thực khả ly Để làm điều này, tác giả đưa khái niệm véctơ ngẫu nhiên liên kết âm nhận giá trị không gian véctơ thực Rd Họ hữu hạn véctơ ngẫu nhiên {Xi , n} nhận giá trị i Rd gọi họ véctơ ngẫu nhiên liên kết âm với tập A, B rời tập {1, 2, , n}, với hàm f, g không giảm theo tọa độ tương ứng xác định Rd|A| , Rd|B| Cov f (Yi , i ∈ A), g(Yj , j ∈ B) với điều kiện hiệp phương sai tồn Họ vô hạn véctơ ngẫu nhiên nhận giá trị không gian véctơ thực Rd gọi họ véctơ ngẫu nhiên liên kết âm họ hữu hạn họ liên kết âm Khi đó, Ko, Kim Han [9] giới thiệu khái niệm véctơ ngẫu nhiên liên kết âm nhận giá trị không gian Hilbert thực khả ly theo cách tiếp cận sau: 1.2.1 Định nghĩa [9] Họ {Xn , n 1} véctơ ngẫu nhiên nhận giá trị H gọi họ véctơ ngẫu nhiên liên kết âm (1) (2) (d) Xn , Xn , , Xn họ véctơ ngẫu nhiên liên kết âm nhận giá trị Rd với d ,n 1 Trong định nghĩa tiếp theo, giới thiệu cách định nghĩa đơn giản khái niệm véctơ ngẫu nhiên liên kết âm nhận giá trị không gian Hilbert thực khả ly Chú ý rằng, khái niệm tổng quát khái niệm véctơ ngẫu nhiên liên kết âm đề cập Định nghĩa 1.2.1 1.2.2 Định nghĩa Họ {Xn , n 1} véctơ ngẫu nhiên nhận giá trị H gọi họ véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ với j (j) {Xn , n 1, 1} họ biến ngẫu nhiên liên kết âm Hiển nhiên, véctơ ngẫu nhiên liên kết âm véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ Tuy nhiên, nói chung, điều ngược lại không Ví dụ sau cho ta thấy điều 6 2), {Yn , n = 1, 2, , d} 1.2.3 Ví dụ Giả sử d số nguyên dương (d biến ngẫu nhiên không biến ngẫu nhiên liên kết âm Ta xét họ Xn = (Xn(1) , Xn(2) , , Xn(d) ), n = 1, 2, , d véctơ ngẫu nhiên nhận giá trị Rd sau: Với n = 1, 2, , d, Xn(n) = Yn với j = 1, 2, , d, (j) {Xn , n = 1, 2, , d} biến ngẫu nhiên độc lập Khi {Xn , n = 1, 2, , d} véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ, nhiên {Xn , n = 1, 2, , d} không véctơ ngẫu nhiên liên kết âm Ko, Kim Han [9] thu hội tụ hầu chắn cho véctơ ngẫu nhiên liên kết âm Công cụ chìa khóa để chứng minh kết bất đẳng thức moment cung cấp mệnh đề sau 1.2.4 Mệnh đề [9] Giả sử {Xn , n 1} véctơ ngẫu nhiên liên kết âm, có kỳ vọng không, nhận giá trị H E Xn k E max k n < ∞, n Khi ta có n E Xi , n Xi i=1 (1.2.1) i=1 Nhớ Bổ đề 1.2.4 cần nâng cấp Sự hạn chế bổ đề ví dụ sau 1.2.5 Ví dụ Giả sử {X, Xn , n 1} biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối, có kỳ vọng không moment cấp hai hữu hạn Khi k E max k 2 Xi = E max{|X1 |, |X1 + X2 |} i=1 |X1 | + |X1 + X2 | + |X1 | − |X1 + X2 | =E 1 = EX12 + EX22 + E|X22 + 2X1 X2 | 2 1 EX12 + EX22 + |EX22 + 2E(X1 X2 )| 2 2 = EX1 + EX2 Do đó, ta xét X biến ngẫu nhiên đối xứng, nhận giá tập {−1; 1} E|X22 + 2X1 X2 | = |EX22 + 2E(X1 X2 )| Vì (1.2.1) sai 7 Mệnh đề sau tổng quát nâng cấp Mệnh đề 1.2.4 Kết chứng minh Shao [16] trường hợp biến ngẫu nhiên liên kết âm nhận giá trị thực 1.2.6 Mệnh đề Giả sử {Xn , n 1} véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ, có kỳ vọng không, nhận giá trị H E Xn < ∞, n Khi ta có k E n k n E Xi , n Xi max i=1 i=1 Chứng minh Theo Bổ đề Matula [13], k E Xi max k n ∞ =E k max k n i=1 Xi , ej j=1 i=1 ∞ k max E k n j=1 Xi , ej i=1 ∞ = k E max max k n j=1 ∞ k E j=1 ∞ (j) Xi max k n (j) Xi i=1 k ; i=1 k n ∞ + (j) − Xi max k n i=1 k E j=1 (j) − Xi max i=1 n E Xi(j) 2 j=1 i=1 n E Xi =2 i=1 Do đó, mệnh đề chứng minh 1.2.7 Nhận xét Từ Mệnh đề 1.2.6 lược đồ chứng minh Định lý 3.4 Ko, Kim Han [9], điều thú vị dễ nhận thấy kết [9] (cũng Miao [14, Định lý 3.2 Định lý 3.3], Thanh [17, Định lý 2.2 Định lý 3.1]) không cho lớp véctơ ngẫu nhiên liên kết âm mà cho lớp rộng - lớp véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ 8 CHƯƠNG TỐC ĐỘ HỘI TỤ TRONG LUẬT MẠNH SỐ LỚN ĐỐI VỚI CÁC VÉCTƠ NGẪU NHIÊN LIÊN KẾT ÂM THEO TỌA ĐỘ Trong chương này, nghiên cứu điều kiện cần đủ cho tốc độ hội tụ luật mạnh số lớn véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ Kỹ thuật sử dụng để chứng minh kết kỹ thuật chặt cụt đơn điệu Chúng đề cập số nhận xét ví dụ để làm sáng tỏ cho kết vấn đề liên quan 2.1 Tốc độ hội tụ luật mạnh số lớn Hsu Robbins [7] giới thiệu khái niệm hội tụ đầy đủ chứng minh dãy trung bình số học biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối hội tụ đầy đủ đến giá trị kỳ vọng biến ngẫu nhiên phương sai biến ngẫu nhiên hữu hạn Điều ngược lại chứng minh Erd¨os [4, 5] Kết Hsu, Robbins Erd¨os trở thành định lý sở lý thuyết xác suất với tên gọi định lý Hsu-Robbins-Erd¨ os Một kết quan trọng mở rộng định lý Hsu-Robbins-Erd¨os xuất báo tiếng Baum Katz [3] Các tác giả sử dụng phương pháp đối xứng hóa để thu định lý đánh giá tốc độ hội tụ luật mạnh số lớn sau: 2.1.1 Định lý [3] Giả sử r, α hai số thực (r > 1; α > 1/2; αr > 1), {Xn , n 1} biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối có kỳ vọng không Khi ba phát biểu sau tương đương: (a) E|X1 |r < ∞ 9 ∞ (b) n n αr−2 n=1 ∞ k=1 αr−2 (c) Xk > εnα < ∞ với ε > P n n=1 P sup α k nk k Xl > ε < ∞ với ε > l=1 Định lý 2.1.1 nghiên cứu cho nhiều lớp biến ngẫu nhiên phụ thuộc khác Đối với trường hợp biến ngẫu nhiên liên kết âm, số kết quan trọng thuộc Shao [16], Kuczmaszewska [10], Baek, Choi Niu [2], Kuczmaszewska Lagodowski [11], với số tác giả khác Dựa vào công cụ chìa khóa bất đẳng thức moment đề cập Mệnh đề 1.2.6, định lý sau đây, thiết lập tốc độ hội tụ luật mạnh số lớn véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ 2.1.2 Định lý Giả sử r, α hai số thực (1 r < 2; αr > 1), {Xn , n 1} véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ, có kỳ vọng không, nhận giá trị H bị chặn yếu theo tọa độ véctơ ngẫu nhiên X Nếu ∞ E|X (j) |r < ∞ (2.1.1) j=1 ∞ k αr−2 n P n=1 Xl > εnα < ∞ với ε > max k n (2.1.2) l=1 Để chứng minh Định lý 2.1.2, ta cần bổ đề Chú ý rằng, việc chứng minh bổ đề đơn giản trường hợp H hữu hạn chiều 2.1.3 Bổ đề Giả sử p, r, α số thực dương (r < p; αr > 1), X véctơ ngẫu nhiên nhận giá trị H thỏa mãn điều kiện (2.1.1) Khi ∞ ∞ nα(r−p)−1 E (X (j) )p I(|X (j) | j=1 n=1 nα ) < ∞ 10 Chứng minh (Bổ đề 2.1.3) Ta có ∞ ∞ nα(r−p)−1 E (X (j) )p I(|X (j) | nα ) nα(r−p)−1 E (X (j) )p I(|X (j) | 1) j=1 n=1 ∞ ∞ = j=1 n=1 ∞ ∞ nα(r−p)−1 E (X (j) )p I(1 < |X (j) | + nα ) j=1 n=1 = I1 + I2 Từ điều kiện (2.1.1) kéo theo ∞ ∞ nα(r−p)−1 < ∞ (j) r E|X | I1 n=1 j=1 Tiếp theo ta I2 < ∞ Thật vậy, ∞ ∞ nα α(r−p)−1 I2 = p xp−1 P |X (j) | I(1 < |X (j) | n j=1 n=1 ∞ ∞ n p α(r−p)−1 xp−1 P |X (j) | > dx j=1 n=1 ∞ ∞ nα n +p nα ) > x dx α(r−p)−1 xp−1 P |X (j) | > x dx j=1 n=1 ∞ ∞ (j) r ∞ E|X | n α(r−p)−1 n α(r−p)−1 P |X (j) | > k α k pα−1 n +C n=1 j=1 ∞ j=1 n=1 k=1 ∞ =C +C I3 (j), j=1 ∞ ∞ P |X (j) | > k α k pα−1 I3 (j) = k=1 ∞ n=k ∞ (j) α P |X | > k k C nα(r−p)−1 k k=1 C = α(p − r) pα−1 xα(p−r)+1 ∞ k αr−1 P |X (j) | > k α k=1 dx 11 ∞ ∞ k =C P nα < |X (j) | αr−1 n=k k=1 ∞ nαr P nαr < |X (j) |r C (n + 1)α (n + 1)αr n=1 C E|X (j) |r Vì số C số hạng sau phụ thuộc vào p, r α nên I2 < ∞ Chứng minh (Định lý 2.1.2) Với n, k, j (j) (j) (j) Ynk = Xk I(|Xk | 1, đặt (j) (j) nα ) + nα I(Xk > nα ) − nα I(Xk < −nα ); ∞ (j) Ynk ej Ynk = j=1 Khi đó, với ε > 0, ∞ k n αr−2 P n=1 ∞ = n αr−2 P n=1 ∞ Xl > εnα max k n l=1 k ∞ (j) Xl ej > εnα max k n l=1 j=1 (j) nαr−2 P max max |Xk | > nα k n j n=1 ∞ + k n αr−2 n=1 ∞ P ∞ (j) Ynl ej > εnα max k n l=1 j=1 n P(|Xk(j) | > nα ) nαr−2 n=1 ∞ j=1 k=1 ∞ k + n αr−2 ∞ ∞ P n=1 Ynl > εnα max k n l=1 nαr−1 P(|X (j) | > nα ) C (sử dụng (1.1.1)) j=1 n=1 ∞ + k n αr−2 n=1 ∞ + n n=1 αr−2 P (Ynl − EYnl ) > εnα /2 max k n l=1 P α max n k n = J1 + J2 + J3 k EYnl > ε/2 l=1 12 Bằng lập luận đưa phần cuối chứng minh Bổ đề 2.1.3, ta J1 < ∞ (j) ,k Dễ thấy {Ynk {Ynk , k 1} biến ngẫu nhiên liên kết âm với j 1, 1} véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ Từ bất đẳng thức Markov Mệnh đề 1.2.6 ta có ∞ J2 k α(r−2)−2 C n n=1 ∞ k n n=1 ∞ E Ynk − EYnk k=1 n nα(r−2)−2 C l=1 n nα(r−2)−2 C (Ynl − EYnl ) max E n=1 ∞ ∞ =C E Ynk k=1 n n (j) E(Ynk ) α(r−2)−2 j=1 n=1 k=1 (j) (j) (j) (j) Nhớ E(Ynk ) = n2α P(|Xk | > nα ) + E (Xk )2 I(|Xk | nα ) Theo Bổ đề 2.1 Gut [6], ∞ ∞ n n (j) E(Ynk ) α(r−2)−2 n=1 nαr−1 P(|X (j) | > nα ) C n=1 ∞ k=1 nα(r−2)−1 E (X (j) )2 I(|X (j) | +C nα ) n=1 ∞ nαr−1 P(|X (j) | > nα ) +C n=1 Vì số không phụ thuộc vào j nên Bồ đề 2.1.3 đảm bảo J2 < ∞ Để chứng minh J3 < ∞, ta cần J4 = o(1), J4 = α max n k n Nhận xét EXl(j) = với l J4 max nα k n ∞ k EYnl(j) j=1 l=1 k EYnl l=1 j Khi theo (2.1.1), 13 max nα k n max nα k n ∞ k (j) (j) Xl I(|Xl | E j=1 l=1 ∞ k α n ) C j=1 (j) j=1 k=1 n P |X (j) | > nα j=1 l=1 ∞ n P |X (j) | > n1/r j=1 j=1 ∞ C n nα P |Xk | > nα E Xl(j) I(|Xl(j) | > nα ) + C E |X (j) |I(|X (j) | > nα ) + C nαr−1 ∞ ∞ ∞ nα−1 + α n ∞ E |X (j) |r I(|X (j) | > n1/r ) = o(1) E|X (j) |r + C j=1 j=1 Vì J3 < ∞ Định lý chứng minh 2.1.4 Nhận xét Từ (2.1.2) Bồ đề Lai [12] ta có ∞ αr−2 n n=1 P sup α k nk k Xl > ε < ∞ với ε > l=1 Khi đó, theo bổ đề Kronecker, P sup α k nk k Xl > ε = o n1−αr với ε > l=1 Vì vậy, kết luận (2.1.2) Định lý 2.1.2 đánh giá tốc độ hội tụ luật mạnh số lớn 2.1.5 Nhận xét Định lý 2.1.2 điều kiện {Xn , n 1} bị chặn yếu theo tọa độ X thay điều kiện yếu sau n n ∞ ∞ P(|Xk(j) | k=1 j=1 > t) P(|X (j) | > t), C n 1, t j=1 Phần chứng minh Nhận xét 2.1.5 tương tự Định lý 2.1.2 với số thay đổi nhỏ nên không đề cập 2.1.6 Nhận xét Trong trường hợp < r < 1, kết luận Định lý 2.1.2 mà không cần đến giả thiết véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ kỳ vọng không 14 Chứng minh Từ lập luận đề cập phần đầu chứng minh Định lý 2.1.2, nhận xét rõ ràng ta ∞ k αr−2 n Ynl > εnα < ∞ với ε > max P k n n=1 (2.1.3) l=1 Thật vậy, ∞ k αr−2 n k n n=1 ∞ n=1 ∞ ∞ E Ynk k=1 n n C k=1 n P(|Xk(j) | > nα ) nαr−2 =C j=1 n=1 ∞ ∞ k=1 n n +C j=1 n=1 ∞ E |Xk(j) |I(|Xk(j) | nα ) nα(r−1)−1 E |X (j) |I(|X (j) | nα ) α(r−1)−2 k=1 ∞ C +C +C (j) | E|Ynk α(r−1)−2 j=1 n=1 ∞ ∞ ∞ l=1 n nα(r−1)−2 C Ynl > εnα max P j=1 n=1 ∞ αr−1 n P(|X (j) | > nα ) < ∞ (từ Bổ đề 2.1.3) j=1 n=1 Vì (2.1.3) Dưới giả thiết Định lý 2.1.2, (2.1.1) kéo theo (2.1.2) Một câu hỏi tự nhiên đặt điều ngược lại có không Câu trả lời trường hợp không (xem Ví dụ 2.2.1 mục tiếp theo) Vậy điều kiện đảm bảo cho (2.1.1) đúng? Định lý sau giải vấn đề 2.1.7 Định lý Giả sử r, α hai số thực dương thỏa mãn αr 1, {Xn , n 1} véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ, có kỳ vọng không, nhận giá trị H bị chặn yếu theo tọa độ véctơ ngẫu nhiên X với ∞ E |X (j) |r I(|X (j) | j=1 1) < ∞ (2.1.4) 15 Nếu ∞ ∞ k n αr−2 (j) k n j=1 n=1 > εnα < ∞ với ε > Xl max P (2.1.5) l=1 (2.1.1) Chứng minh Vì (2.1.4) nên ∞ ∞ ∞ (j) r (j) r (j) E |X | I(|X | E|X | = j=1 j=1 j=1 E |X (j) |r I(|X (j) | > 1) 1) + ∞ ∞ (k + 1)αr P k α < |X (j) | C+ (k + 1)α j=1 k=1 ∞ ∞ k nαr−1 P k α < |X (j) | C +C j=1 k=1 ∞ ∞ (k + 1)α n=1 nαr−1 P |X (j) | > nα =C +C j=1 n=1 Do đó, ta cần chứng minh ∞ ∞ nαr−1 P |X (j) | > nα < ∞ (2.1.6) j=1 n=1 Trước hết, ta tồn số nguyên dương n0 để ∞ ∞ (j) α P |X | > n n P max |Xk(j) | > nα C j=1 với n > n0 k n j=1 (2.1.7) Từ (1.1.1) ta có n C1 n P |X (j) P |Xk(j) | > nα α |>n k=1 n = P |Xk(j) | > nα ; max l=k;1 l n |Xl | P |Xk(j) | > nα ; max |Xl | > nα k=1 n + k=1 l=k;1 l n P max |Xk(j) | > nα + K1 k n (j) nα (j) (2.1.8) 16 Và từ (1.1.1), n K1 (j) (j) I(|Xk | > nα ) I( max |Xl | > nα ) E l n k=1 n (j) (j) (j) I(|Xk | > nα ) − P(|Xk | > nα ) I max |Xl | > nα ) =E l n k=1 n P(|Xk(j) | > nα ) I max |Xl(j) | > nα +E l n k=1 (j) K2 + C2 n P(|X (j) | > nα ) P max |Xl | > nα (2.1.9) l n (j) (j) 1, {I(Xk > nα ), k Nhớ với n, j 1} {I(Xk < −nα ), k 1} biến ngẫu nhiên liên kết âm Khi K2 đánh sau: n (j) P max |Xl(j) | > nα I(|Xk | > nα ) Var K2 l n k=1 n n (j) I(Xk 2Var > nα ) (j) I(Xk < −nα ) + 2Var k=1 P max |Xl(j) | > nα l n k=1 n n Var (j) I(Xk > nα ) k=1 Var I(Xk(j) < −nα ) + k=1 P max |Xl(j) | > nα l n n P(|Xk(j) | > nα ) P max |Xl(j) | > nα l n k=1 a n P(|Xk(j) | > nα ) + k=1 a P max |Xl(j) | > nα l n 2C2 n a P(|X (j) | > nα ) + P max |Xl(j) | > nα , a l n (2.1.10) a > 4C2 /C1 Kết hợp (2.1.8)-(2.1.10), ta thu C1 − 2C2 n P(|X (j) | > nα ) a 1+ a P max |Xk(j) | > nα k n (j) + C2 n P(|X (j) | > nα ) P max |Xl | > nα l n (2.1.11) Mặt khác, (2.1.5) kéo theo ∞ ∞ nαr−2 P j=1 n=1 (j) max |Xk | > εnα < ∞ với ε > k n (2.1.12) 17 Vậy nên ∞ ∞ n(αr−1) n=1 (j) max n |Xk | > ε 2nα P k j=1 ∞ 2n+1 −1 ∞ C (j) max n |Xk | > ε 2nα P k j=1 n=1 ∞ ∞ n+1 m=2n −1 (j) max |Xk | > (ε/2α )mα mαr−2 P C j=1 n=1 m=2n ∞ ∞ αr−2 C mαr−2 n j=1 n=1 P k m (j) max |Xk | > (ε/2α )nα < ∞ k n Điều đảm bảo ∞ P max |Xk(j) | > nα = o(1), k n j=1 nên tồn số nguyên dương n0 cho ∞ a P max |Xl(j) | > nα l n j=1 với n > n0 Do đó, (2.1.11) kéo theo C1 − 4C2 n P(|X (j) | > nα ) a 1+ a P max |Xk(j) | > nα k n với n > n0 Vì a > 4C2 /C1 n0 không phụ thuộc vào j nên (2.1.7) Khi (2.1.7) (2.1.12) kéo theo ∞ ∞ nαr−1 P |X (j) | > nα j=1 n=1 ∞ n0 = ∞ n αr−1 ∞ nαr−1 P |X (j) | > nα + j=1 n=n0 +1 n P |Xk(j) | > nα nαr−2 C α P |X | > n j=1 n=1 ∞ n0 j=1 n=1 ∞ ∞ k=1 (j) nαr−2 P max |Xk | > nα +C C (j) j=1 n=n0 +1 ∞ ∞ αr−2 n j=1 n=1 k n P max |Xk(j) | > nα < ∞, k n 18 nghĩa (2.1.6) Liên quan đến Định lý 2.1.7, ta tính khả dụng kết vai trò hai điều kiện (2.1.4), (2.1.5) (xem chi tiết ba ví dụ 2.2.2-2.2.4 mục tiếp theo) Nhớ r điều kiện (2.1.1) mạnh điều kiện E X r < ∞ (2.1.13) Tuy nhiên, trường hợp đặc biệt H hữu hạn chiều (2.1.1) (2.1.13) tương đương Hơn nữa, ta có hệ sau 2.1.8 Hệ Giả sử r, α hai số thực dương (1 gian Hilbert thực hữu hạn chiều, {Xn , n r < 2; αr > 1), H không 1} véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ, có kỳ vọng không, nhận giá trị H bị chặn yếu theo tọa độ véctơ ngẫu nhiên X Khi (2.1.1), (2.1.2), (2.1.5), (2.1.13) tương đương Chứng minh Vì H hữu hạn chiều nên (2.1.4) Hơn nữa, (2.1.1) (2.1.2) tương đương với (2.1.13) (2.1.5) Phần chứng minh lại hệ suy từ định lý 2.1.2 2.1.7 2.2 Một số ví dụ Trong mục này, trình bày bốn ví dụ để làm sáng tỏ cho Định lý 2.1.2 Định lý 2.1.7 Ví dụ rằng, giả thiết Định lý 2.1.2, điều kiện (2.1.1) suy từ kết luận (2.1.2) 2.2.1 Ví dụ Ta xét không gian gồm dãy số thực bình phương khả tổng x = {xk , k x = 1} với chuẩn ∞ 1/2 k=1 xk Giả sử {Xn , n véctơ ngẫu nhiên độc lập, phân phối nhận giá trị P X1(j) = ±j −1/r = 1/2 với j không gian dạng p với r < p gian dạng p) Vì 2 1} thỏa mãn không gian dạng nên (xem chi tiết Pisier [15] không 19 Khi đó, với ε > 0, ∞ k n αr−2 Xl > εnα max P k n n=1 ∞ l=1 k α(r−p)−2 C n E n=1 ∞ nα(r−p)−1 E X1 =C p C Xl max k n ∞ p n n=1 l=1 ∞ p p/2 nα(r−p)−1 E n=1 E Xk k=1 ∞ =C n=1 n α(r−p)−2 j=1 < ∞, j 2/r nghĩa (2.1.2) Tuy nhiên, (2.1.1) sai ∞ ∞ E|X1(j) |r = ∞ j = j=1 j=1 Ba ví dụ minh họa cho Định lý 2.1.7 Dễ thấy (2.1.4) không thỏa mãn kết luận (2.1.1) sai Tuy nhiên, (2.1.4) không điều kiện tầm thường Ví dụ sau rằng, Định lý 2.1.7, bỏ điều kiện (2.1.4) chí thay điều kiện yếu E |X (j) |r I(|X (j) | 1) = o(1) j → ∞ 2.2.2 Ví dụ Giả sử p, r hai số thực dương (r < p {Xn , n 2; p 1) Ta xét dãy 1} Ví dụ 2.2.1 Khi đó, với ε > 0, ∞ ∞ k n αr−2 j=1 n=1 ∞ P (j) max l=1 ∞ k α(r−p)−2 C n j=1 n=1 ∞ ∞ E l=1 E|Xk(j) |p (vì R không gian dạng p) k=1 ∞ α(r−p)−1 n j=1 n=1 p Xl n j=1 n=1 ∞ ∞ =C (j) max k n nα(r−p)−2 C > εnα Xl k n E|X1(j) |p =C ∞ n α(r−p)−1 n=1 j=1 j p/r < ∞, (2.1.5) Ta dễ dàng E |X (j) |r I(|X (j) | Tuy nhiên kết luận (2.1.1) không đảm bảo 1) = o(1) 20 Ví dụ minh họa cho vai trò điều kiện (2.1.5) Chúng kết luận Định lý 2.1.7 sai điều kiện (2.1.5) không thỏa mãn 2.2.3 Ví dụ Giả sử r > 2, {Yn , n 1} biến ngẫu nhiên đối xứng, độc lập, phân phối thỏa mãn E|Y1 |r/2 = ∞, |Yn | < ∞ với n n Với 1, đặt ∞ (j) Xn r/2 = Yn I(j − |Yn | < j), j (j) Xn e j , 1; Xn = j=1 {ej , j (j) {Xn , n 1} sở trực chuẩn Khi đó, với j 1, 1} biến ngẫu nhiên đối xứng, độc lập phân phối Hơn nữa, ∞ ∞ (j) Xn = Yn2 j=1 nên {Xn , n (j) < ∞, EXn = E X n ej = 0, n j=1 1} véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ, có kỳ vọng không, nhận giá trị bị chặn yếu X1 Nhận thấy ∞ E |X1(j) |r I(|X1(j) | (1) (1) 1) (2) (2) 1) < ∞, 1) = E |X1 |r I(|X1 | j=1 + E |X1 |r I(|X1 | (2.1.4) thỏa mãn Với α = 2/r ε = 1, ta chuỗi (2.1.5) phân kỳ Thật vậy, ∞ ∞ k αr−2 n P j=1 n=1 ∞ ∞ (j) max k n Xl l=1 ∞ P (j) |X1 | 2/r >n j=1 n=1 ∞ ∞ > εnα ∞ P |X1(j) |r/2 > n = n=1 j=1 P j−1 n=1 j=n+2 E|Y1 |r/2 − = ∞ |Y1 |r/2 < j 21 Vì vậy, (2.1.4) không kéo theo (2.1.5) Hơn nữa, trường hợp ∞ ∞ E|X1(j) |r (j) |X1 |r = E|Y1 |r = ∞, =E j=1 j=1 nghĩa (2.1.1) sai Ví dụ cuối trường hợp mà hai điều kiện (2.1.4) (2.1.5) thỏa mãn Vì vậy, Định lý 2.1.7 đảm bảo kết luận (2.1.1) 2.2.4 Ví dụ Giả sử < s < r < 2, {Xn , n phân phối, nhận giá trị j 1} véctơ ngẫu nhiên độc lập, thỏa mãn P X1(j) = ±j −1/s = 1/2 với Bằng lập luận tương tự Ví dụ 2.2.2, ta hai điều kiện (2.1.4) (2.1.5) thỏa mãn 22 KẾT LUẬN Đề tài tập trung nghiên cứu tốc độ hội tụ luật mạnh số lớn véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ Đề tài thu kết sau đây: - Giới thiệu khái niệm véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ khái niệm tổng quát khái niệm véctơ ngẫu nhiên liên kết âm Ko, Kim Han [9]; - Thiết lập bất đẳng thức moment véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ, kết nâng cấp kết trước [9]; - Cung cấp điều kiện cần đủ cho tốc độ hội tụ luật mạnh số lớn véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ; - Cung cấp sáu ví dụ để làm sáng tỏ cho kết vấn đề liên quan 23 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] K Alam and K M L Saxena, Positive dependence in multivariate distributions, Comm Statist A-Theory Methods, 10 (1981), 1183–1196 [2] J I Baek, I B Choi and S L Niu, On the complete convergence of weighted sums for arrays of negatively associated variables, J Korean Statist Soc., 37 (2008), 73–80 [3] L E Baum and M Katz, Convergence rates in the law of large numbers, Trans Amer Math Soc., 120 (1965), 108–123 [4] P Erd¨os, On a theorem of Hsu and Robbins, Ann Math Statistics, 20 (1949), 286–291 [5] P Erd¨os, Remark on my paper “On a theorem of Hsu and Robbins”, Ann Math Statistics, 21 (1950), 138 [6] A Gut, Complete convergence for arrays, Period Math Hungar., 25 (1992), 51–75 [7] P L Hsu and H Robbins, Complete convergence and the law of large numbers, Proc Nat Acad Sci U S A., 33 (1947), 25–31 [8] K Joag-Dev and F Proschan, Negative association of random variables, with applications, Ann Statist., 11 (1983), 286–295 [9] M H Ko, T S Kim and K H Han, A note on the almost sure convergence for dependent random variables in a Hilbert space, J Theoret Probab., 22 (2009), 506–513 24 [10] A Kuczmaszewska, On complete convergence in Marcinkiewicz-Zygmund type SLLN for negatively associated random variables, Acta Math Hungar., 128 (2010), 116–130 [11] A Kuczmaszewska and Z A Lagodowski, Convergence rates in the SLLN for some classes of dependent random fields, J Math Anal Appl., 380 (2011), 571–584 [12] T L Lai, Convergence rates and r-quick versions of the strong law for stationary mixing sequences, Ann Probability, (1977), 693–706 [13] P Matula, A note on the almost sure convergence of sums of negatively dependent random variables, Statist Probab Lett., 15 (1992), 209–213 [14] Y Miao, Hájek-Rényi inequality for dependent random variables in Hilbert space and applications, Rev Un Mat Argentina, 53 (2012), 101–112 [15] G Pisier, Probabilistic methods in the geometry of Banach spaces Probability and analysis, Lecture Notes in Math 1206, Springer (Berlin, 1986) [16] Q M Shao, A comparison theorem on moment inequalities between negatively associated and independent random variables, J Theoret Probab., 13 (2000), 343–356 [17] L V Thanh, On the almost sure convergence for dependent random vectors in Hilbert spaces, Acta Math Hungar., 139 (2013), 276–285 [...]... cứu về tốc độ hội tụ trong luật mạnh số lớn đối với các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ Đề tài đã thu được các kết quả sau đây: - Giới thiệu khái niệm các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ và chỉ ra rằng khái niệm này tổng quát hơn khái niệm véctơ ngẫu nhiên liên kết âm của Ko, Kim và Han [9]; - Thiết lập bất đẳng thức moment đối với các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ, kết... các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ, kết quả này nâng cấp một kết quả trước đó trong [9]; - Cung cấp điều kiện cần và đủ cho tốc độ hội tụ trong luật mạnh số lớn đối với các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ; - Cung cấp sáu ví dụ để làm sáng tỏ hơn cho các kết quả và những vấn đề liên quan 23 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] K Alam and K M L Saxena, Positive dependence in multivariate distributions,... 2.1.4 Nhận xét Từ (2.1.2) và Bồ đề 4 của Lai [12] ta có ∞ αr−2 n n=1 1 P sup α k nk k Xl > ε < ∞ với mọi ε > 0 l=1 Khi đó, theo bổ đề Kronecker, 1 P sup α k nk k Xl > ε = o n1−αr với mọi ε > 0 l=1 Vì vậy, kết luận (2.1.2) trong Định lý 2.1.2 đánh giá về tốc độ hội tụ trong luật mạnh số lớn 2.1.5 Nhận xét Định lý 2.1.2 vẫn đúng nếu điều kiện {Xn , n 1} bị chặn trên yếu theo tọa độ bởi X được thay thế bằng... = j=1 trong đó {ej , j (j) {Xn , n 1} là một cơ sở trực chuẩn của 2 Khi đó, với mỗi j 1, 1} là các biến ngẫu nhiên đối xứng, độc lập và cùng phân phối Hơn nữa, vì ∞ ∞ (j) 2 Xn = Yn2 j=1 nên {Xn , n (j) < ∞, EXn = E X n ej = 0, n 1 j=1 1} là các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ, có kỳ vọng không, nhận giá trị trong 2 và bị chặn yếu bởi X1 Nhận thấy ∞ E |X1(j) |r I(|X1(j) | (1) (1) 1) (2) (2)... đối với Định lý 2.1.2 với một số thay đổi nhỏ nên sẽ không được đề cập 2.1.6 Nhận xét Trong trường hợp 0 < r < 1, kết luận của Định lý 2.1.2 vẫn đúng mà không cần đến giả thiết các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ và kỳ vọng không 14 Chứng minh Từ những lập luận được đề cập ở phần đầu trong chứng minh của Định lý 2.1.2, nhận xét trên là rõ ràng nếu ta chỉ ra được ∞ k αr−2 n Ynl > εnα < ∞ với. .. < ∞ (2.1.13) Tuy nhiên, trong trường hợp đặc biệt khi H hữu hạn chiều thì (2.1.1) và (2.1.13) tương đương Hơn nữa, ta có hệ quả sau đây 2.1.8 Hệ quả Giả sử r, α là hai số thực dương (1 gian Hilbert thực hữu hạn chiều, {Xn , n r < 2; αr > 1), H là không 1} là các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ, có kỳ vọng không, nhận giá trị trong H và bị chặn yếu theo tọa độ bởi véctơ ngẫu nhiên X Khi đó... xét không gian 2 gồm các dãy số thực bình phương khả tổng x = {xk , k 2 là x = 1} với chuẩn trong ∞ 2 1/2 k=1 xk Giả sử {Xn , n là véctơ ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối và nhận giá trị trong P X1(j) = ±j −1/r = 1/2 với mọi j là không gian dạng p với mọi r < p gian dạng p) 1 Vì 2 2 1} thỏa mãn là không gian dạng 2 nên nó cũng 2 (xem chi tiết trong Pisier [15] về không 19 Khi đó, với mọi ε > 0, ∞ k... minh Vì H hữu hạn chiều nên (2.1.4) đúng Hơn nữa, (2.1.1) và (2.1.2) lần lượt tương đương với (2.1.13) và (2.1.5) Phần chứng minh còn lại của hệ quả được suy ra từ các định lý 2.1.2 và 2.1.7 2.2 Một số ví dụ Trong mục này, chúng tôi trình bày bốn ví dụ để làm sáng tỏ hơn cho Định lý 2.1.2 và Định lý 2.1.7 Ví dụ đầu tiên sẽ chỉ ra rằng, dưới các giả thiết của Định lý 2.1.2, điều kiện (2.1.1) không thể... mà cả hai điều kiện (2.1.4) và (2.1.5) đều được thỏa mãn Vì vậy, Định lý 2.1.7 đảm bảo rằng kết luận (2.1.1) đúng 2.2.4 Ví dụ Giả sử 0 < s < r < 2, {Xn , n cùng phân phối, nhận giá trị trong j 2 1} là các véctơ ngẫu nhiên độc lập, thỏa mãn P X1(j) = ±j −1/s = 1/2 với mọi 1 Bằng những lập luận tương tự như đối với Ví dụ 2.2.2, ta có thể chỉ ra được rằng hai điều kiện (2.1.4) và (2.1.5) được thỏa mãn 22... 12 Bằng những lập luận đưa ra ở phần cuối trong chứng minh Bổ đề 2.1.3, ta chỉ ra được J1 < ∞ (j) ,k Dễ thấy rằng {Ynk do đó {Ynk , k 1} là các biến ngẫu nhiên liên kết âm với mọi j 1, 1} là các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ Từ bất đẳng thức Markov và Mệnh đề 1.2.6 ta có ∞ J2 k α(r−2)−2 C n n=1 ∞ 1 k n n=1 ∞ E Ynk − EYnk 2 k=1 n nα(r−2)−2 C l=1 n nα(r−2)−2 C 2 (Ynl − EYnl ) max E n=1 ∞ ∞ ... 2.1 Tốc độ hội tụ luật mạnh số lớn Hsu Robbins [7] giới thiệu khái niệm hội tụ đầy đủ chứng minh dãy trung bình số học biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối hội tụ đầy đủ đến giá trị kỳ vọng biến. .. véctơ ngẫu nhiên liên kết âm mà cho lớp rộng - lớp véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ 8 CHƯƠNG TỐC ĐỘ HỘI TỤ TRONG LUẬT MẠNH SỐ LỚN ĐỐI VỚI CÁC VÉCTƠ NGẪU NHIÊN LIÊN KẾT ÂM THEO TỌA ĐỘ Trong... đầy đủ đánh giá tốc độ hội tụ luật mạnh số lớn Trong lý thuyết xác suất, tính độc lập biến ngẫu nhiên tính chất mạnh nghiên cứu rộng rãi Sau đó, nhiều kiểu phụ thuộc khác biến ngẫu nhiên xét đến