Một số tính chất cơ bản của mảng các biến ngẫu nhiên

[...].. .ngẫu nhiên đơn giản Trong trường hợp đặc biệt, khi X là biến ngẫu nhiên F- đo được, thì X được gọi một cách đơn giản là biến ngẫu nhiên Hiển nhiên, biến ngẫu nhiên thấy rằng nếu X là biến ngẫu nhiên thì họ (X) = lập thành một bởi G - đo được là biến ngẫu nhiên Mặt khác, dễ 1 - đại số con của - đại số F , - đại số này gọi là - đại số sinh X Đó là - đại số bé nhất mà X nhiên (B) : B... 1.2.7 Tính độc lập của các lớp và các biến ngẫu nhiên Định nghĩa Giả sử (Ci F) biến cố (, F, P) là không gian xác suất Họ các lớp biến cố (Ci )iI được gọi là độc lập (độc lập đôi một) nếu với mọi (Ai )iI họ các độc lập (độc lập đôi một) Họ các biến ngẫu nhiên họ Ai Ci , -đại số ((Xi ))iI (Xi )iI được gọi là độc lập (độc lập đôi một) nếu độc lập (độc lập đôi một) Tính chất 1 Họ con bất kì của họ các. .. Họ con bất kì của họ các lớp (các biến ngẫu nhiên) độc lập là độc lập 2 Họ các lớp con của một họ độc lập cũng là họ độc lập 3 Họ các lớp (các biến ngẫu nhiên) là họ độc lập khi và chỉ khi mọi họ con hữu hạn của nó độc lập 4 Giả sử (Xi )iI là họ các biến ngẫu nhiên độc lập, đo được Khi đó họ fi (Xi ) iI fi : R R(i I) là hàm độc lập 5 Giả sử (Xi )iI là họ các biến ngẫu nhiên độc lập, I1 Khi đó (Xi... dãy con 1) sao cho (Xnk ; k 1) 1) hội tụ h.c.c hội tụ theo trung bình cấp p (p 1) cơ bản theo trung bình cấp p Do đó Lp (p gian Banach 17 1) khi và chỉ 1) là không Chương 2 Một số tính chất cơ bản của mảng các biến ngẫu nhiên 2.1 Sự hội tụ của mảng các số 2.1.1 Định nghĩa Ta nói mảng số thực {xmn , m 1, n 1} hội tụ tới số thực x khi mn nếu với > 0, tồn tại n0 N sao cho với mọi m, n N mà m n n0... Borel-Cantelli ) Nếu {Amn ; m 1, n 1} là mảng các biến cố độc lập thì P(lim sup Amn ) chỉ có thể nhận một trong hai giá trị là 0 hoặc 1, tuỳ theo chuỗi m=1 n=1 P(Amn ) hội tụ hay phân kỳ 2.3 Sự hội tụ của mảng các biến ngẫu nhiên 2.3.1 Định nghĩa a) Mảng các biến ngẫu nhiên gian xác suất khi {Xmn ; m 1, n 1} xác định trên không (, F, P) được gọi là hội tụ hầu chắc chắn đến biến ngẫu nhiên X m n nếu tồn tại... tụ hầu chắc chắn nếu mảng m=1 1, n 1} hội tụ hầu chắc chắn đến một biến ngẫu nhiên nào đó khi m n 2.3.2 Định nghĩa a )Mảng các biến ngẫu nhiên gian xác suất khi {Xmn ; m 1, n 1} xác định trên không được gọi là hội tụ theo xác suất tới biến ngẫu nhiên X (, F, P) m n nếu với mọi > 0 ta có P(|Xmn X| > ) 0 khi m n Lúc đó ta ký hiệu P Xmn X khi m n b )Mảng các biến ngẫu nhiên gian xác suất... ngẫu nhiên Khi đó hàm tập PX : B(R) R B PX (B) = P(X 1 (B)) được gọi là phân phối xác suất của X Tính chất 1 PX 2 Nếu là độ đo xác suất trên Q B(R) là độ đo xác suất trên một biến ngẫu nhiên X B(R) thì Q là phân phối xác suất của nào đó Chú ý Tương ứng giữa biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất của chúng không phải là tương ứng 1-1 Những biến ngẫu nhiên có cùng phân phối xác suất được gọi là những biến. .. hàm lồi, X và (X) là các biến ngẫu nhiên khả tích Khi đó (EX) E(X) (1.7) 6 Bất đẳng thức Liapunov Đối với biến ngẫu nhiên X Lt X Nhận xét Ta nói Rõ ràng, X X và Y bất kỳ và X t s (1.8) là hai biến ngẫu nhiên tương đương nếu X=Y h.c.c p chỉ phụ thuộc vào lớp tương đương Do đó, nếu đồng nhất các biến ngẫu nhiên tương đương trong Lp , p Lp , p 0 < s < t, ta có 1, thì từ các tính chất trên suy ra rằng... và (Xi )iI2 - đại số bé nhất chứa tương ứng là các 6 Dãy các biến ngẫu nhiên (Xk , 1 7 Nếu X k (Xn , n n) và (Xk , k Y và iI1 (Xi ) và iI2 (Xi )) 1) độc lập khi và chỉ khi, với mọi n 1, n + 1) độc lập là hai biến ngẫu nhiên độc lập thì E(XY ) = EXEY X1 , X2 , , Xn Tổng quát Nếu là các biến ngẫu nhiên độc lập thì E(X1 X2 Xn ) = EX1 EX2 EXn 8 Nếu X và Y là các biến ngẫu nhiên độc lập thì Tổng... biến ngẫu nhiên độc lập và Xn C c Xn C 1.3.3 Dãy cơ bản Định nghĩa Ta nói dãy biến ngẫu nhiên Hầu chắc chắn (h.c.c) nếu (Xn , n 1) là dãy cơ bản P( lim |Xm Xn | = 0) = 1 m,n 16 thì Theo xác suất nếu Theo trung bình cấp lim P(|Xm Xn | > ) = 0 với mọi > 0 m,n p > 0 nếu lim E|Xm Xn |p = 0 m,n Tính chất Định lý 1 Dãy (Xn , n 1) (Xn , n 1) là cơ bản h.c.c khi và chỉ khi một trong hai điều cơ