ngẫu nhiên
2.4.1 Bổ đề Fatou
Cho mảng biến ngẫu nhiên {Xmn;m > 1, n > 1} xác định trên không gian xác suất (Ω,F,P) và biến ngẫu nhiên Y.
a) Nếu Xmn > Y với mọi(m, n) và EY > −∞, thì
ElimXmn 6 limEXmn.
b) Nếu Xmn 6 Y với mọi (m, n) và EY < ∞, thì limEXmn 6 ElimXmn.
c) Nếu |Xmn| 6 Y với mọi(m, n) và EY < ∞, thì
ElimXmn 6 limEXmn 6 limEXmn 6 ElimXmn,
ở đây limXmn = lim n→∞ inf k∨l>nXkl . limXmn = lim n→∞ sup k∨l>n Xkl.
Chứng minh. a) Đặt Yn = infk∨l>nXkl. Vì Xmn > Y với mọi (m,n) suy ra infk∨l>nXkl > Y.
Suy ra, Yn > Y với mọi n. Do đó, −Yn 6 −Y với mọi n.
Suy ra, Yn− = max(0;−Yn) 6 max(0;−Y) =Y−. Do đó, EYn− 6 EY− < ∞, (vì EY > −∞ ).
Lại do Yn = infk∨l>nXkl, nên Yn 6 Xkl với ∀k ∨l > n. Suy ra EYn 6 EXkl với ∀k∨l > n.
Do đó, EYn 6 infk∨l>nEXkl với mọi n.
Suy ra, limn→∞EYn 6 limn→∞infk∨l>nEXkl. Do đó ta có ElimXmn = E lim n→∞Yn = lim n→∞EYn 6 lim n→∞ inf k∨l>nEXkl = limEXmn. b) Đặt Zn = supk∨l>nXkl. Vì Xmn 6 Y với mọi (m,n) suy ra Xkl 6 Y với mọik ∨l >n, suy ra supk∨l>nXkl 6Y.
Suy ra, Zn 6 Y với mọi n.
Do đó, EZn 6 EY < ∞với mọi n.
Lại do Zn = supk∨l>nXkl, nên Zn > Xkl với ∀k∨l > n. Suy ra EZn > EXkl với ∀k∨l > n.
Do đóEZn > supk∨l>nEXkl với mọi n.
Suy ra limn→∞EZn >limn→∞supk∨l>nEXkl. Do đó ta có ElimXmn = E lim n→∞ sup k∨l>n Xkl = E lim n→∞Zn = lim n→∞EZn > lim n→∞ sup k∨l>nEXkl = limEXmn.
c) Vì|Xmn| 6Y với mọi(m, n), nên ta có Xmn 6 Y với mọi (m, n). Do đó theo b),
limEXmn 6 ElimXmn.
Mặt khác, do |Xmn| 6 Y với mọi (m, n), nên Xmn >−Y với mọi (m, n). Đặt Z = −Y. Vì EY < ∞ nên EZ = E(−Y) > −∞.
Tức là ta có Xmn > Z với mọi (m, n) và EZ > −∞. Do đó theo a) ta có
ElimXmn 6 limEXmn.
Mặt khác dễ dàng thấy được limEXmn 6limEXmn. Thật vậy, vì limXmn = lim n inf k∨l>nXkl limXmn = lim n sup k∨l>n Xkl. Do sup k∨l>nEXkl > inf k∨l>nEXkl, nên limEXmn 6 limEXmn.
Bây giờ chúng ta sẽ sử dụng bổ đề Fatou để chứng minh định lý Lebesgue về hội tụ bị chặn. Trước khi nghiên cứu định lý Lebesgue về hội tụ bị chặn ta cần bổ đề sau
2.4.2 Bổ đề
Cho mảng biến ngẫu nhiên {Xmn;m > 1, n > 1} xác định trên không gian xác suất (Ω,F,P), thoả mãn
a) |Xmn| 6 Y với mọi m, n ∈ N. b) Xmn → X khi m∨n → ∞. Lúc đó |X| 6 Y.
Chứng minh. Vì Xmn → X khi m ∨n → ∞, nên với mọi ε > 0 đều tồn tại n∈ N sao cho với mọi m, n ∈ N: m∨n > n0 thì |Xmn −X| 6ε. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Suy ra
Xmn−ε 6X 6 Xmn+ε (2.15) với mọim, n ∈ N :m ∨n> n0.
N: m∨n > n0. Do đó ta có
−Y 6 Xmn 6 Y (2.16)
với mọim, n ∈ N :m ∨n> n0.
Từ (2.15) và (2.16) ta suy ra −Y −ε6 X 6 Y +ε. Do đó, |X| 6 Y +ε.
Vì ta chọnε > 0bé tuỳ ý nên cho ε → 0ta được |X| 6 Y. 2.4.3 Định lý Lebesgue về hội tụ bị chặn
Cho mảng biến ngẫu nhiên {Xmn;m > 1, n > 1} xác định trên không gian xác suất (Ω,F,P) và biến ngẫu nhiên Y sao cho: |Xmn| 6 Y với mọi (m, n) và EY < ∞.
Khi đó, nếu Xmn →X khim ∨n→ ∞, thì a) X khả tích.
b) E|Xmn −X| → 0 khi m∨n → ∞.
Chứng minh. VìXmn →X khim∨n → ∞mà |Xmn| 6 Y nên từ Bổ đề 2.4.2 suy ra |X| 6 Y, do đó, −Y 6X 6 Y.
VìX 6Y, nên X+ 6Y+, suy ra
EX+ 6EY+ < ∞ (2.17)
Do X > −Y, nên −X 6 Y, suy ra X− 6Y ( do Y >|Xmn| > 0), suy ra
EX− 6EY < ∞ (2.18)
Từ (2.17) và (2.18) suy ra cả EX− và EX+ đều hữu hạn. Do đó X khả tích. Đặt Zmn = |Xmn −X|. Lúc đó ta có
Vậy
0 6Zmn 62Y.
Mặt khác vì Xmn →X khi m∨n→ ∞ nên Xmn−X →0 khi m∨n→ ∞. Do đóZmn →0 khi m∨n → ∞. Suy ra limZmn = limZmn = 0.
áp dụng bổ đề Fatou cho mảng biến ngẫu nhiên {Zmn;m > 1, n > 1} ta có
0 = ElimZmn 6 limEZmn 6 limEZmn 6 ElimZmn = 0. Suy ra limEZmn = limEZmn = 0. Sử dụng Định lý 4.3.1 ta có lim m∨n→∞EZmn = 0. Tức là lim m∨n→∞E|Xmn −X| = 0 khim∨n → ∞.
kết luận Luận văn đã thu được các kết quả chính sau:
1) Trình bày có hệ thống một số kiến thức về lý thuyết xác suất cần cho hướng nghiên cứu của luận văn.
2) Trình bày sự hội tụ của mảng và chuỗi các số.
3) Trình bày và chứng minh Bổ đề Borel- Cantelli đối với mảng các biến cố. 4) Trình bày các dạng hội tụ của mảng các biến cố và mối quan hệ giữa các dạng hội tụ đó.
5) Trình bày các tính chất của giới hạn của mảng các biến ngẫu nhiên. Hướng phát triển của Luận văn
Các vấn đề đặt ra trong luận văn có thể được xét cho mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên các không gian trừu tượng như không gian Banach, không gian metric...