Sự hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên m phụ thuộc

bộ giáo dục đào tạo Tr-ờng đại học vinh ==== ==== Đào Duy Nam Sự hội tụ dÃy biến ngẫu nhiên m - phụ thuộc Luận văn thạc sĩ toán học Chuyên ngành: xác suất thống kê toán học Mà số: 60.46.15 Ng-ời h-ớng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Văn Quảng Vinh - 2009 n ệ ệ Trong L V Thành Trong – – ) 1: K bày trình ệ – ệ ệ trình bày c b ủ – 2: ủ này, ủ – mbi – , ủ ệ ủ Tơi ó ó ó TS ắ ệ Vinh, tháng 12 năm 2009 T ả C T CC (,F, P) 1.1 T 1.1.1 ó  (X) = {X-1 (B) : B B(R)} - Fi - 1≤ ≤ } ủ F n  P  Ai    P( Ai ) ,  i 1  i 1 n Ai  Fi ≤ ≤ - {Fi , i  I} ủ ủ F ó {Xi , i  I} - (Xi), i  } i, I Ai i  I}  , i I 1.1.2 .H i j i,  j , i,j  I i } 1.2 T – , – - - 1.2.1 Xi,  i  n} M  m-  {Xi,  i  k} {Xi, l  i  n} l - k >m – {Xn, n  1} {Xi,  i  k} {Xn, n  l} l - k > m {Xi,  i  } – >  m + 1, h Xi +1 - i > m j {Xn, n  1} Xi - - i > m j 1.3.1 n, n ≥ 1} > cho P( |Xn| > t) ≤ DP( |DX| > t), t ≥ 0, n ≥ 1 Xn, n ≥ 1} u ó 1.4 dãy {Xn, n ≥ 1} (,F, P) 1.4.1 { Xn , n  } >0 n ó lim P( X n  X   )  n   P Xn   X (n  ) ệ 1.4.2 {Xn , n  1} ắ n   P{ : lim X n ( )  X ( )}  n  h.c.c  X (n  ), h ệ X n  14 r lim X n  X h.c.c n  ì Ta nói dãy ≥1 n  ) n (p > 0) lim E X n  X n  p X n   X (n  ) L ệ 1.4.4 p h.c.c X ý X n   > ta có   lim P  sup X m  X     n  mn  Chứng minh ỗ > ỗ =1 …   Dn      sup X m  X      mn   mn t X m  X    ó Dn ()  (khi n  \ Dn     Dn     mn X m  X   ắ ó    lim Xn  X n  0   lim X n    X    n     0, n : X m    X     , m  n  k ; n : X m    X    1/ k , m  n  k ; n :   Dn 1/ k     Dn 1/ k  , k 1 n 1 Suy   lim X n  X   n    k 1 n 1 Dn 1/ k  Nên X n  X h.c.c    P Dn 1/ k     k 1 n 1     P  Dn 1/ k    k  1,  n 1     P  Dn 1/ k    k  1,  n 1   lim P  Dn 1/ k    k  1, n   lim P  Dn       v × Dn      n   1.5 ề ả ≥ 1} n  lim sup E X n I a  n 1 ề X n   a  ≥ 1} n ĩ Casàro  lim sup  kn  E Xj I Xj  a j 1 a  n 1 ó kn t {Xnr ≥ 1} {Xnr ≥ 1} ≥ 1} Xn ệ ĩ > ệ EXr < ∞ ni, ≤ j ≤ kn } ≥ 1} nj} - kn lim sup a  n 1 ni} ani  ĩ , ≥ 1} Nhận xét nhiên {Xn kn  a j 1 ni   E Xj I Xj  a  ẽ - , ≤ ≤ kn kn ề 1.6 {Xn , n  1} không (,F , P) S n  X  X   X n 1.6.1 Xn , n  1} S n  ES n P  n n   1.6.2 {Xn , n  1} n), (bn),  bn   cho S n  an P  bn n   1.6.3 {Xn , n  1} l S n  ES n h.c.c   n n   1.6.4 {Xn , n  1} n), (bn),  bn   cho S n  a n h c c   bn n   1.7 Martingale (Fn , n  F ó Xn , n  Ω F, P 171 - ủ - (Xn , Fn, n   martingale (i) Xn o v Fn , (ii) EXn <  , n  ≤ ,  E (Xn Fm ) = Xm h.c.c )  martingale (i) Xn  Fn ,  n  , (ii) EXn <  , n  (iii’ ,  ≤ E (Xn Fm ) ≤ Xm h.c.c  martingale (i) Xn Fn, n  , (ii) Xn <  , n  (iii’’ ,  ≤ E (Xn Fm )  Xm h.c.c  hiệu martingale (i) Xn  Fn, n  , (ii) Xn <  , n  (iii’’’ , < n , m, n  E (Xn Fm ) = h.c.c ủ martingale 1.7.2 T T T Xn , Fn, n  ) martingale, dãy (EXn) dãy Xn , Fn, n  ) martingale trên), dãy (EXn) dãy T , n , , martingale theo n  Fn, n  ) martingale  E(Xn) < , (n  ), ((Xn),Fn , n  ) 10 Ta có k k  m1    E  max |  X i |   E   max |  X i  m1  j |   1k n i 1   j 1  k  m1  n  j i 0  2 k     m  1  E  max |  X i  m1  j |  j 1   k  m1  n  j i 0  m 1  C  m 1 log R m 1  4n    j 1 0 j  m 1  n  j EX i2 m1  j n j  n, j  1,2, , m 1 ) m 1 -Menshov n  C  m 1 log (n 1)  EX i2  i 1 , ủ - ý Cho ≤ r  p  2, { kn, n  1} l d 2.1.4 kn {ain, n  1, i  1} l l m t d { | ani | r } – h t h th th a m n nlim  | a i 1 iến ng u nhiên m - phụ thu ni ngu ên dư ng, |p  i {Xn, n  1} cho {|Xn|r, n 1} u Khi kn lim E | ani ( X i  EX i ) |r  n (2.1.2) i 1 Trong trường hợp r = p = 1, i u iện m - phụ thu Trong trường hợp r = 1, p = iện m - phụ thu thể tha ôi m t 18 l hông ần thiết i u iện m - phụ thu ởi i u   > ,  M > cho Chứng minh kn a r ni i 1 E ( X i I ( X i  M ))   , n  r X n'  X n I ( X n  M ) , §Ỉt X n''  X n I ( X n  M ) , n  V n  ta có kn E |  ani ( X i  EX i ) |r i 1 kn kn  E |  ani ( X  EX ) | + E |  ani ( X i"  EX i" ) |r ' i i 1 ' i kn r i 1 r p kn  2( E |  ani ( X  EX ) | ) 2 E |  ani ( X i ''  EX i'' ) |r ' i i 1 ' i p i 1 iapunov) r p  p p  C   ani E X i'   C  i 1  kn kn  ani E X i'' r r i 1 r p  p  C M r   ani   C  ,  i 1  kn (2.1.2 * Tr V  h r = p = n  ta có kn kn i 1 i 1 kn E |  ani ( X i  EX i ) |  E |  ani ( X  EX ) | + E |  ani ( X i"  EX i" ) | ' i 19 ' i i 1 kn kn  | ani | E | X |  | ani | E | X i'' | ' i i 1 i 1 kn  2M | ani |  2 , i 1 (2.1.2) ch * thu minh =1 = n, n  1} ên m - im V n  ta có kn kn i 1 i 1 E |  ani ( X i  EX i ) |  E |  ani ( X  EX ) |  E |  ani ( X i"  EX i" ) | ' i kn ' i i 1 k  ' '    E |  ani ( X i  EX i ) |    | ani | E | X i"  EX i" |  i 1  i 1 kn kn n ' 2 i kn  (m  1) ( a E ( X  EX ) )   ani E X i'' i 1 ni ' i B kn i 1 1.2) 2  (m  1) ( ( ani ) )  2 i 1 (2.1.2) ch 2.1.5 ả Gi ≤ r < 2, {kn, n  1} l d kn   n   v gi {|Xn| r n  1} h t h  minh ngu ên dư ng với {Xn, n  1} l dãy iến ng u nhiên cho u theo ngh a Cesàro 20 Giả sử dÃy biến ngẫu nhiên {Xn , n 1}là m phụ thuộc đôi nÕu r = vµ lµ m - phơ thc nÕu 1< r < Cho ani , n  1, i  1 l th th a m n max | ani |  C  i  kn ( kn ) r , n  (2.1.3) Khi ®ã kn lim E |  ani ( X i  EX i ) |r  a i 1 (2.1.4) Chứng minh Ta có kn a Sup n 1  r i 1  C Sup n 1 kn r E Xi ni kn E X i 1 r i I X i  a  I  Xi  a (Do (2.1.3)), X , n  1  a  ó X r n r n  , n 1 ĩ Cesàro suy r ni p = Ta có ≤ r < p = Ch ≥1 ó kn a i 1 ó n ni p k p 1 r n (Do (2.1.3)),   n   suy kn lim  ani n ó C p 0 i 1 14 4) 21  ý 2.1.6 thu , i { n, n ≥ 1} l d iến ng u nhiên m - phụ  > Nếu v ng v gi p  E Xn  n p n 1  1≤ ≤ , (2.1.5)  lim E   max  n k n n  p  X   i   i 1  k (2.1.6) Chứng minh j  k   k maxk  X i , j  i 1 k 1 Ta có  E k 1   C p k  pk k 1 2k 1 E X i 1 p i 11   C k 1 C   pk  EX l 1 i  2l 1   2   pk i  2l 1  2  E X l 1  pl l 1   i 1 p  ( Do  p 2l 1 E Xi i p  pl k l i i2 EX  C    pi i l 1 i  2l 1 C E Xi 2l 1 p i 2l 1 l 1 k  l C 2l 1 k = O( 2 pl )) p p  ( Do 2.1.5), (Do 2.1.5) ó E  kp  (k  ) 22 (2.1.7) k1 ≥1 k-1 max n k  n 17 i 1 i  2  k p  p p   E  k  18 thu toán t 2.1.3 ta thu (2.1.8) 6) ng t nh ch  minh lý 2.1.8 s d B k qu sau ý 2.1.7 thu X j  E   max  X i  n j  n i 1  ó B j ≤ < 2k, ta có ôi m t, i { n , n  1} l d iến ng u nhiên m - phụ  > Nếu v ng v gi  EX n2 log n   ,  2 n2 n k  Xi  max  k n i  lim E  n  n       0     - ý 2.2.1 i  r  p  2, {kn , n  1} l d dư ng, {ani , n  1, i  1} l n  1} l d - h t h kn th tho m n lim n  iến ng u nhiên m - phụ thu u{Tn , n  1} l d a  p ni i 1  ngu ên i { n ,    r cho X n , n  ani r iến ng u nhiên nhận giá trị ngu ên dư ng tho m n lim P (Tn > kn) = hi n 23 kn a  X i 1 ni i P  EX i   0 n   Trong trường hợp r = p = 1, i u iện m - phụ thu (2.2.1) l hông ần thiết  > ,  M > cho Chứng minh kn a i 1 ni r   E Xi I ( Xi  M )   , r r n  X n'  X n I  X n  M  , X n''  X n I  X n  M   > 0,  > 0, n  ta có  Tn  P  |  ani  X i  E X i  |     i 1  k    P  max |  ani  X i  E X i  |     1 k Tn i 1  k    P  max |  ani  X i  E X i  |   , Tn  kn   P Tn  kn   1 k Tn i 1  k    P  max |  ani  X i  E X i  |     P Tn  kn   1 k  kn i 1  k    P  max |  ani  X i'  E X i'  |   2  1 k  kn i 1 k    P  max |  ani  X i''  E X i''  |    P Tn  kn  2  1 k  kn i 1 24  2p p k   E  max |  ani  X i'  E X i'  |   1 k  kn i 1  p r k    r E  max |  ani  X i''  E X i''  |   P Tn  kn    1 k  kn i 1  2r  C  p kn | a i 1 ni | E| X  E X |  p ' i ' p i C  r kn | a i 1 ni |r E | X i''  E X i'' |r + P (Tn > kn) B   C  p kn | a i 1 CMp  p ni 11 | E| X |  p ' p i kn | a i 1 ni |p  C r C  r kn | a i 1 ni |r E | X i'' |r  P Tn  kn    P Tn  kn  ,  Tr h r = p = V >0, >0, n  ta có  Tn  P  |  ani  X i  E X i  |     i 1   Tn   P  |  ani  X i  E X i  |   , Tn  kn   P Tn  kn   i 1   kn   P  |  ani  X i  E X i  |     P Tn  kn   i 1   kn   P   | ani  X i'  E X i'  |   2  i 1 25  kn   P   | ani  X i''  E X i''  |    P Tn  kn  2  i 1   E    ' ' | a X  E X |     ni i i i 1    E    '' '' | a X  E X |  ni  i i    P Tn  kn  i 1  2    kn k kn | a |E | X |  ' i ni i 1 kn 4M | a  ni i 1 |   kn | a ni i 1 | E | X i'' | + P (Tn > kn)   P Tn  kn  ,  (  r < , {kn , n  1} l d ả i {ani , n  1, i  1} l th max ani  C 1 i  kn i { n ngu ên với  tho m n  kn  r , n 1 (2.2.2) , n  1} dãy biến ng u nhiên m - phụ thu {Xnr , n  1} h t h n u theo ngh a cesàro, {Tn , n  1} l d cho iến ng u P Tn  kn   hi nhiên nhận giá trị ngu ên dư ng tho m n lim n  Tn a  X i 1 ni i P  EX i   Chứng minh Ta có 26 n   (2.2.3) kn a Sup n 1 i 1 X , n  1  a  - X r n r n r E Xi kn  C Sup n 1 kn ó  r ni E X i 1 r i I X  a i  I  Xi  a (Do (2.2.2)),  , n 1 ĩ Cesàro suy r ni p = Ta có ≤ r < p = Ch ≥1 ó kn a ni i 1 ó p C k (Do (2.2.2)), p 1 r n kn   n   suy kn lim  ani n p 0 i 1 ó  2.3) h - c - m thu , ý i { X n , n  1} l d iến ng u nhiên m - phụ v ng v  > Nếu  E | X n |p   np n1 1 p  2, 27 (2.3.1) n n   n  X lim i 1  h.c.c i (2.3.2) Chứng minh j  k   k maxk  X i , j  i 1 k 1 Ta có  E k 1  p k  C k 1  pk 2k 1 E X i 1 p i 11   C C k 1 2 pk   EX l 1 i  2l 1 i   2  E X  pk i  2l 1 2l 1  2  pl l 1  ( Do  k l 2 pk  2l 1 i  2l 1   i 1 E Xi = O( EX  C    pi i l 1 i  2l 1 C p 2l 1 l 1 k  l C 2l 1 k E Xi i p 2 pl p i p )) p p  Do  2.3.1  ,  ó k  h.c.c (k  ) ≥1 (2.3.3) k-1 ≥1 n n X i 1 i ≤ <  2  k 28 k , ta có (2.3.4) 33 34 B B  13 { X n , n  1} ý >0 ỳ  E | X n |2 log n   ,  2 n n 1 lim  n  n n X j 1 j  h.c.c 29 - T ả tài ợ nghiên c m - ph thu Thi thu l s h im s h l m - ph thu s h t theo xác su theo kh lu củ dãy bi ãy bi i m K qu lý 2.1.4, Hệ qu cho dãy bi im nhiên m - ph ng nhiên m - ph thu lý 2.3.1 lý 2.3.2 ng nhiên m - ph thu theo kh k qu m - ph thu , m - ph thu ng ề k qu m - ph thu Nghiên c nhiên m - ph lý 2.1.1 Hệ qu 2.1.2 rể M r qu ng lý 2.1.7 l nhiên m - ph thu s k qu sau i m Các k thu K qu Thi m ng t theo trung bình củ dãy bi lý 2.1.6, Thi t củ dãy bi thu m - ph thu 2.1.5, Ậ cho dãy d - ch s bi i m t 30 ng nhiờn Tài liệu tham khảo [1] Xác su t nâng cao, NXB h Qu gia Hà N , 2008 iáo trình xá [2] u t B Q [3] - ũ ệ Y Lý thu ết xá u t B 2000 [4] Nguyen Van Quang and Le Van Thanh (2006), MarcinkiewiczZygmund law of large numbers for blockwise adapted sequences Bull Korean Math Soc 43, no 1, 213 - 223 [5] Le Van Thanh (2006), Mean convergence theorems and weak laws of large numbers for double arrays of random variables J Appl Math Stochas Anal (2006), Article ID 49561, - 15 [6] Le Van Thanh (2006), On the Brunk-Chung strong law of large num bers for sequences of blockwise m-dependent random variables ESAIM Probability and Statistics, 10, 258 - 268 31 C C Trang C T CC 11 – – - 13 ệ 14 ệ ủ 15 ệ 16 ệ 1.7 Martingale 18 10 C T m- T C C C C 14 ủ - ủ ắ T ắ ên m - ủ 14 22 - 26 Ậ 29 Tµi liƯu tham kh¶o 30 32 ... l nhiên m - ph thu s k qu sau i m Các k thu K qu Thi m ng t theo trung bình củ dãy bi lý 2.1.6, Thi t củ dãy bi thu m - ph thu 2.1.5, Ậ cho dãy d - ch s bi i m t 30 ng nhiên Tµi liƯu tham kh¶o... gi {|Xn| r n  1} h t h  minh ngu ên dư ng với {Xn, n  1} l dãy iến ng u nhiên cho u theo ngh a Cesro 20 Giả sử dÃy biến ngẫu nhiên {Xn , n 1}là m phụ thuộc đôi r = m - phô thuéc nÕu 1< r