Chương 1 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất potx

Chương 1Biến cố ngẫu nhiên và xác suất Bài 1... Dãy thử Bernoulli: kiểm tra khả năng bị tainạn của một khách hàng; số lần thử n = 400.

Chương 1

Biến cố ngẫu nhiên và xác suất

Bài 1 Phép thử: 12 hành khách lên 3 toa Sô TH

thuận lợi cho C: 3 · 1 · 310 P (C) = 3 · 1 · 310

312 = 1

3Chú ý: Trong Mathematica, để tính Ck

n, dùng lệnhBinomial[n, k]

Bài 2 Phép thử: lấy 5 bi Số TH có thể: C5

a) A = {2 người xác định ngồi cạnh nhau}

Số TH thuận lợi cho A: n · 2 · (n − 2)! P (A) =

n · 2 · (n − 2)!

2

n − 1b) TH bàn dài Xét 2 TH:

*TH1: người thứ 1 ngồi đầu bàn Số TH: 2 · 1 ·

Ω = {(x, y) ∈ R2 : x, y ≥ 0, x + y ≤ l}

Gọi A = {(x, y) ∈ R2 : x, y, l − x − y lập thành tamgiác} Ta có

x < y + l − x − y; y < x + l − x − y; l − x − y < x + yhay

2

l

l2

C4 28

=79

585 = 0, 135Bài 10 áp dụng 2 kết quả:

* A, B độc lập ⇔ P (AB) = P (A) P (B)

* P (A) = 1 − P A
Bài 11 Ai = {máy i hỏng}, i = 1, 2, 3 P (A1) =

P (H1) = 4

9, P (H2) =

59

P (A) = P (H1) P (A|H1) + P (H2) P (A|H2) = 4

9·15

56+

5

9 · 27 = 5

18 = 0, 2778Bài 13 * A1 = {bi 1 và 2: Đ}, A2 = {bi 1 và 2: T},

5/11 =

7

15 =

0, 4667Bài 14 a) * H1 = {hộp I sang hộp II: 2Đ}

H2 = {hộp I sang hộp II: 1Đ, 1T}

H3 = {hộp I sang hộp II: 2T}

P (H1) = C

2 6

C2 10

3, P (H2) = 6 · 4

C2 10

15,

* A = {2 bi lấy ở hộp II cùng màu}

P (A|H1) = C

2

9 + C2 3

C2 12

C2 12

= 3166

P (A) = P (H1) P (A|H1) + P (H2) P (A|H2) +

P (H3) P (A|H3) = 1

3 · 1322 + 8

15 · 1733 + 2

15 · 3166 =529

33 =

136

495 = 0, 2747

Bài 15 * H1 = {sp thuộc nm I}, H2 = {sp thuộc

nm II}, H3 = {sp thuộc nm III}

Bài 16 A4 = {máy bay có 4 động cơ bay được} =

{≥ 2 động cơ không hỏng} = {≤ 2 động cơ hỏng}

* Trong các gia đình 2 con: B = {sinh có trai, cógái}, C = {sinh con 1 bề}

2 thì P (B) = 3

4, P (C) =

1

4 nên khẳngđịnh không còn đúng

a) A = {k thỏ nâu vào k lồng màu nâu, n − k thỏtrắng vào n − k lồng trắng}

Số TH thuận lợi cho A: k! (n − k)!

P (A) = k! (n − k)!

1

Ck n

b) Ai = {con thỏ thứ i vào đúng lồng}, i =

1, , n

A = {≥ 1 con vào đúng lồng} = A1+A2+ .+An

(xem vd3 tr18)đáp án: P (A) = 1 − 1

2!+

13! − + (−1)

= 48

299 = 0, 1605Bài 21 a) * H1 = {sp thuộc px 1}, H2 = {sp thuộc

P (C) − P (AB) − P (AC) − P (BC) + P (ABC) =

P (A)+P (B)+P (C)−P (A) P (B)−P (A) P (C)−

P (B) P (C)+P (A) P (B) P (C) = 0, 4+0, 5+0, 6−

0, 4 · 0, 4 − 0, 4 · 0, 6 − 0, 5 · 0, 6 + 0, 4 · 0, 5 · 0, 6 = 0, 88Chú ý Có thể dùng CT P (A + B + C) = 1 −

* A = {xe lấy được hoạt động tốt}

Bài 27 Phép thử: lấy 1 điểm trong hình tròn (O),

n = 5 lần thử, A = {điểm nằm trong ∆ABC}

p = P (A) = S∆ABC

S(O)

=

3 √ 3R 2

4

πR2 = 3

√34π = 0, 4134

* B = {≥ 1 điểm nằm trong ∆ABC} = {A xảy

m + k ∀i

pi−1(1 − p)Vậy P (X = i) = pi−1(1 − p) , i = 1, 2,

5

C5 13

2801287

5601287

3501287

561287Bài 5 a) Ai = {bộ phận thứ i hỏng}, i = 1, 2, 3ImX = {0, 1, 2, 3}

6

Bài 7 a) NX: F (x) liên tục tại ∀x 6= a, −a

* ĐK liên tục tại a: lim



= Fa2



= 13c) f (x) =

Z ∞

−∞

p (x) dx = 1 ⇒ 2c = 1 ⇒ c = 1

2b) Dãy thử Bernoulli: quan sát giá trị của X; sốlần thử n = 5

2√2

Số lần X ∈ h0,π

4

i

có khả năng nhất = số lần Axảy ra với khả năng cao nhất = k0

2− 8

4 = 0, 467401; σ (X) =

0, 683667Bài 9 X = chiều cao của 1 người; X ∼ N (160, 36)

Dãy thử Bernoulli: đo chiều cao của từng người;

738

157Cần tính EX = 9

√3

Cần tính EX = np = 4, 96196Bài 13 a)

Z ∞

−∞

f (x) dx = 1 ⇒ ae4√π = 1 ⇒ a =1

e4√

π = 0, 0103335b) EX = 2, DX = 1

2 (tương tự bài 7)c) P (1 < X < 3, 5) =

Z 3,5

1

f (x) dx = 0, 904403Bài 14 X = khối lượng tấm bê tông; X ∼

N (a, σ2) , a = 75 kg, σ = 2 kgDãy thử Bernoulli: kiểm tra khối lượng các tấm;

Ai = {viên thứ i trúng}; P (Ai) = 0, 6{X = 4} = A1A2 ⇒ P (X = 4) = P (A1A2) =

P (A1) P (A2) = 0, 6 · 0, 6 = 0, 36

X = số bi đen lấy ra; ImX = {0, 1, 2}

2

3

4.Tương tự DY = (4 − 1)2

34

X, Y độc lập ⇒ D (X + Y ) = DX + DY = 3

σ (X + Y ) =pD (X + Y ) =

√62Bài 20 Dãy thử Bernoulli: kiểm tra khả năng bị tainạn của một khách hàng; số lần thử n = 400

Vậy Y ∼ Ppλ ⇒ trung bình có EY = pλ ngườimua sp

Bài 26 f (x) = 1

σ√2πe

σ√2πe

−(3

√ y−a )

3py3 2 =1

3σ√2πpy3 2e−(3

√ y−a )

2σ2

P (X = 4|Y = 2) = P (X = 4, Y = 2)P (Y = 2) = 0, 05

0, 3 =1

16

16d) Im (X + Y ) = {2, 3, 4, 5, 6, 7}

P (X + Y = 2) = P (X = 1, Y = 1) = 0, 1{X + Y = 3} = {X = 1, Y = 2} + {X =

2, Y = 1} ⇒ P (X + Y = 3) = P (X = 1, Y = 2) +

P (X = 2, Y = 1) = 0, 1 + 0, 15 = 0, 25Tương tự P (X + Y = 4) = 0, 05 + 0, 1 + 0, 06 =

P (Y = 2) = 0, 3 · 0, 25 = 0, 075

P (X = 1, Y = 2) 6= P (X = 1) · P (Y = 2) ⇒

X, Y không độc lậpBài 2

xy

5b)

3 = 1 ⇒ A = 3

104 = 0, 0288462b) Tương tự 5c): f1(x) =

O

u

z − u

xz

O

x = z1

P (X = 0, Y = 1) = 0, 05 + 0, 2 = 0, 25Tương tự P (X + Y = 2) = 0, 05 + 0, 1 +

96 = 0, 0104167b) P (1 < X < 2, 1 < Y < 2) =

128 = 0, 0234375c) f1(x) =

dx

Z ∞ 1 2

f (x, y) dy = 1

4

8, EX = EY = 5

8cov (X, Y ) = E (XY ) − EX · EY = −641

8

58

Z = X + Y ⇒ ImZ = {1, 2, 3}

{Z = 1} = {X + Y = 1} = {X = 0, Y =1} ⇒ P (Z = 1) = P (X = 0, Y = 1) = P (X = 0) ·

P (Y = 1) = 3

7 · 38 = 9

56{Z = 2} = {X + Y = 2} = {X = 0, Y = 2} +{X = 1, Y = 1} ⇒ P (Z = 2) = P (X = 0, Y = 2)+

2056Bài 24 a) (X, Y ) = tọa độ điểm được lấy ⇒ (X, Y )

có phân bố đều trong hình tròn (O, R)

các tích phân 2 lớp trong bài có thể tính dễ dàng bằng

phép đổi biến x = r cos ϕ, y = r sin ϕ



= 1 − 0, 784978 = 0, 215022Bài 26 X = khối lượng 1 người; X ∼ N (58, 52)

X1, , X9 là khối lượng 9 người; (X1, , X9 độclập, cùng phân bố với X)

U (0, 1) và độc lập

Z = min{X, Y }{Z < z} = {X < z} + {Y < z}

A = {X < 1

2}, p = P (A) = P



X < 12



=

Z 1 2

A = {máy hỏng}, p = P (A) = 0, 05a) B = {6 máy hỏng} = {A xảy ra 6 lần}

P (B) = C6

np6(1 − p)n−6 = 0, 0825042b) Y = số máy hỏng = {số lần A xảy ra}

18

1,55 1,65 1,75 1,85b) x = 1, 71; s2 = 0, 0049; s = 0, 07; s02 =

0, 005069; s0 = 0, 071197

20

s0

= 2, 915476, t0 = tn−11−γ = t8

0,03= 2, 633814KTC: (2, 440393; 7, 559607)

tqs < −t0 ⇒ bác bỏ H: định mức thời gian chạy

là 17 giờ là nhiều quáBài 4 X = lượng điện sử dụng; X ∼ N (a, σ2);

n = 30a) ƯLKC của EX: x = 169, 3333ƯLKC của DX: s0 2

tqs = x − a0

s0

√n

tqs < t0 ⇒ lượng điện sử dụng chưa vượt quá 167



s0 = 0, 042566; t0 = tn−11−γ = t30

0,01= 2, 749996KTC: (2, 32817; 2, 370217)



t0 = tn−11−γ = t10

0,04= 2, 359315KTC: (3, 64432; 4, 35568)

Bài 9 Phép thử: kiểm tra 1 s/v (năm nay); p =

x = 49, 27 ⇒ zqs = −36, 5

Φ (z0) = 1 − α = 0, 95 ⇒ z0 = 1, 644854

zqs< −z0 ⇒ bác bỏ H: ý kiến của khách hàng là

có cơ sởBài 11 H : EX = EY, K : EX > EY, α = 0, 08

x = 22, 11176; y = 21, 93846

= 0, 373936Tương tự p30 = P (14 ≤ X < 16) = 0, 365513