Biến cố ngẫu nhiên và xác suất

Chương 1BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT§1: PHÉP THỬ VÀ CÁC LOẠI BIẾN CỐ1. Phép thử và biến cố.Trong tự nhiên và xã hội, mỗi hiện tượng đều gắn liền với một nhóm các điều kiện cơ bản và các hiện tượng đó chỉ có thể xảy ra khi nhóm các điều kiện cơ bản gắn liền với nó được thực hiện. Do đó khi muốn nghiên cứu một hiện tượng ta cần thực hiện nhóm các điều kiện cơ bản ấy.Nói cách khác, mỗi hiện tượng trong tự nhiên chỉ có thể xảy ra khi một số điều kiện cơ bản liên quan đến nó được thực hiện. Việc thực hiện một số điều kiện liên quan này được gọi là phép thử. Mỗi phép thử có thể có nhiều kết quả khác nhau, các kết quả này gọi là biến cố.Ví dụ1:a) Bật công tắc đèn, bóng đèn có thể sáng hoặc không sáng. Việc bật công tắc đèn là thực hiện một phép thử, còn bóng đèn sáng hoặc không sáng là những biến cố.b) Gieo một đồng xu (thực hiện một phép thử) hai biến cố có thể xảy ra: xuất hiện mặt sấp (biến cố A) hoặc xuất hiện mặt ngửa (biến cố B).c) Bắn một viên đạn vào bia (thực hiện phép thử): viên đạn trúng đích hoặc viên đạn không trúng đích là các biến cố.d) Gieo một con xúc xắc khối lập phương (thực hiện 1 phép thử) có thể có 6 khả năng xảy ra: xuất hiện mặt 1 chấm, xuất hiện mặt 2 chấm, …, xuất hiện mặt 6 chấm. Đó là 6 biến cố.e) Đặt một cốc nước ở điều kiện nhiệt độ thường, nước đóng băng hoặc không đóng băng là các biến cố.Vậy biến cố chỉ có thể xảy ra khi phép thử được thực hiện.Phép thử ngẫu nhiên là phép thử khi thực hiện thì người ta không đoán biết trước được kết quả nào trong số các kết quả có thể có của nó sẽ xảy ra.Phép thử trong lý thuyết phải hiểu theo một nghĩa rộng, đó là những thí nghiệm, sự quan sát, sự đo lường, … thậm chí là một quá trình sản xuất ra sản phẩm cũng được coi là một phép thử.2. Phân loại biến cố: Trong thực tế biến cố được chia làm ba loại.a)Biến cố ngẫu nhiên: Là kết quả của phép thử ngẫu nhiên. Các biến cố ngẫu nhiên thường được ký hiệu bởi các chữ cái A, B, C …b)Biến cố chắc chắn: Là biến cố nhất định sẽ xảy ra khi phép thử được thực hiện. Biến cố chắc chắn ký hiệu là chữ U.c)Biến cố không thể có: Là biến cố không thể xảy ra khi phép thử được thực hiện. Biến cố không thể có được ký hiệu là chữ V.Ví dụ 2:a. Để cốc nước ở nhiệt độ bình thường ( ) (phép thử), “nước đóng băng” là biến cố không thể có.b.Gieo một xúc sắc (thực hiện phép thử) thì Có các biến cố ngẫu nhiên như sau:Xuất hiện mặt 1 chấm…Xuất hiện mặt 6 chấmU: “ xuất hiện số chấm nhỏ hơn 7” U là biến cố chắc chắnV: “ xuất hiện mặt 7 chấm”V là biến cố không thể cóTrong thực tế khi lấy ví dụ về biến cố chắc chắn và biến cố không thể có bao giờ cũng là những hiện tượng hiển nhiên hoặc vô lý trong khuôn khổ của phép thử.Tất cả các biến cố mà chúng ta gặp trong thực tế đều thuộc về một trong ba loại biến cố trên, tuy nhiên biến cố ngẫu nhiên là biến cố thường gặp hơn cả.§2: XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN VỀ XÁC SUẤTTa đã thấy việc biến cố ngẫu nhiên xảy ra hay không xảy ra trong kết quả của phép thử là điều không thể đoán trước được, tuy nhiên bằng trực quan ta có thể nhận thấy các biến cố ngẫu nhiên khác nhau có những khả năng xảy ra khác nhau. Chẳng hạn biến cố “xuất hiện mặt sấp” khi tung một đồng xu sẽ có khả năng xảy ra lớn hơn nhiều so với biến cố “xuất hiện mặt một chấm” khi tung một con xúc xắc.Khi lặp đi lặp lại nhiều lần cùng một phép thử trong những điều kiện như nhau, người ta thấy tính chất ngẫu nhiên của biến cố mất dần đi và khả năng xảy ra của biến cố sẽ được thể hiện theo những quy luật nhất định. Từ đó ta thấy có thể đo lường (định lượng) khả năng khách quan xuất hiện một biến cố nào đó.Nói cách khác, khả năng xuất hiện của các biến cố ngẫu nhiên nói chung khác nhau, để đo khả năng này, người ta phải tìm một công cụ, công cụ đó chính là xác suất.Xác suất của một biến cố là một con số đặc trưng khả năng khách quan xuất hiện biến cố đó khi thực hiện phép thử.Khả năng khách quan ở đây là do những điều kiện xảy ra của phép thử quy định chứ không tùy thuộc ý muốn chủ quan của con người. Vậy bản chất của xác suất của một biến cố là một số xác định.Để tính xác suất của một biến cố, người ta xây dựng các định nghĩa về xác suất. Có nhiều định nghĩa khác nhau về xác suất đó là: định nghĩa cổ điển, định nghĩa thống kê, định nghĩa hình học và định nghĩa theo tiên đề.1. Định nghĩa cổ điển về xác suất.a)Ví dụ 3: Thực hiện phép thử “ tung một xúc xắc đều đặn và đồng chất” ( khối lập phương đều đặn và đồng chất để đảm bảo khả năng xuất hiện các mặt là như nhau). Gọi A là biến cố “xuất hiện mặt chẵn chấm”. Ta phải xác định xác suất của biến cố A.Khi tung con xúc xắc đều đặn và đồng chất, ta thấy có thể có 6 trường hợp có thể xảy ra: xuất hiện mặt 1 chấm, xuất hiện mặt 2 chấm, v.v…, xuất hiện mặt 6 chấm.Những trường hợp này thỏa mãn 2 điều kiện:-Chúng duy nhất, tức trong kết quả của phép thử chỉ xảy ra một và chỉ một trong các trường hợp đó.-Các trường hợp đó có khả năng xảy ra như nhau.* Các trường hợp thỏa mãn hai điều kiện:-Duy nhất-Khả năng xảy ra như nhau* Được gọi là các kết cục duy nhất đồng khả năng. Trong số 6 kết cục duy nhất đồng khả năng đó ta thấy chỉ có 3 kết cục mà nếu các kết cục này xảy ra thì biến cố A sẽ xảy ra. Đó là : xuất hiện mặt 2 chấm, xuất hiện mặt 4 chấm, xuất hiện mặt 6 chấm.* Các kết cục xảy ra thì biến cố A xảy ra gọi là các kết cục thuận lợi cho biến cố.Vậy trực quan thấy khả năng xảy ra biến cố A là b)Định nghĩa 1 : Xác suất xuất hiện biến cố A trong một phép thử là tỷ số giữa số kết cục thuận lợi cho A và tổng số các kết cục duy nhất đồng khả năng có thể xảy ra khi thực hiện phép thử đó.Kí hiệu là xác suất của biến cố A Số kết cục thuật lợi cho biến cố A Số kết cục duy nhất đồng khả năng của phép thử

Chương 1 BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT

§1: PHÉP THỬ VÀ CÁC LOẠI BIẾN CỐ

1 Phép thử và biến cố.

Trong tự nhiên và xã hội, mỗi hiện tượng đều gắn liền với một nhóm các điều kiện cơ bản và các hiện tượng đó chỉ có thể xảy ra khi nhóm các điều kiện

cơ bản gắn liền với nó được thực hiện Do đó khi muốn nghiên cứu một hiện

tượng ta cần thực hiện nhóm các điều kiện cơ bản ấy

Nói cách khác, mỗi hiện tượng trong tự nhiên chỉ có thể xảy ra khi một số điều kiện cơ bản liên quan đến nó được thực hiện Việc thực hiện một số điều

kiện liên quan này được gọi là phép thử Mỗi phép thử có thể có nhiều kết quả khác nhau, các kết quả này gọi là biến cố.

Ví dụ1:

a) Bật công tắc đèn, bóng đèn có thể sáng hoặc không sáng Việc bật công

tắc đèn là thực hiện một phép thử, còn bóng đèn sáng hoặc không sáng là những biến cố.

b) Gieo một đồng xu (thực hiện một phép thử) hai biến cố có thể xảy ra: xuất hiện mặt sấp (biến cố A) hoặc xuất hiện mặt ngửa (biến cố B)

c) Bắn một viên đạn vào bia (thực hiện phép thử): viên đạn trúng đích hoặc viên đạn không trúng đích là các biến cố

d) Gieo một con xúc xắc khối lập phương (thực hiện 1 phép thử) có thể

có 6 khả năng xảy ra: xuất hiện mặt 1 chấm, xuất hiện mặt 2 chấm, …, xuất hiện mặt 6 chấm Đó là 6 biến cố

e) Đặt một cốc nước ở điều kiện nhiệt độ thường, nước đóng băng hoặc không đóng băng là các biến cố

Vậy biến cố chỉ có thể xảy ra khi phép thử được thực hiện.

Phép thử ngẫu nhiên là phép thử khi thực hiện thì người ta không đoán

biết trước được kết quả nào trong số các kết quả có thể có của nó sẽ xảy ra

Phép thử trong lý thuyết phải hiểu theo một nghĩa rộng, đó là những thí

nghiệm, sự quan sát, sự đo lường, … thậm chí là một quá trình sản xuất ra sản phẩm cũng được coi là một phép thử

2 Phân loại biến cố: Trong thực tế biến cố được chia làm ba loại.

a) Biến cố ngẫu nhiên: Là kết quả của phép thử ngẫu nhiên Các biến cố

ngẫu nhiên thường được ký hiệu bởi các chữ cái A, B, C …

b) Biến cố chắc chắn: Là biến cố nhất định sẽ xảy ra khi phép thử được

thực hiện Biến cố chắc chắn ký hiệu là chữ U

c) Biến cố không thể có: Là biến cố không thể xảy ra khi phép thử được

thực hiện Biến cố không thể có được ký hiệu là chữ V

 U: “ xuất hiện số chấm nhỏ hơn 7” U là biến cố chắc chắn

 V: “ xuất hiện mặt 7 chấm”V là biến cố không thể có

Trong thực tế khi lấy ví dụ về biến cố chắc chắn và biến cố không thể có bao giờ cũng là những hiện tượng hiển nhiên hoặc vô lý trong khuôn khổ của phép thử

Tất cả các biến cố mà chúng ta gặp trong thực tế đều thuộc về một trong

ba loại biến cố trên, tuy nhiên biến cố ngẫu nhiên là biến cố thường gặp hơn cả

§2: XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN VỀ XÁC SUẤT

Ta đã thấy việc biến cố ngẫu nhiên xảy ra hay không xảy ra trong kết quả của phép thử là điều không thể đoán trước được, tuy nhiên bằng trực quan ta

có thể nhận thấy các biến cố ngẫu nhiên khác nhau có những khả năng xảy ra khác nhau Chẳng hạn biến cố “xuất hiện mặt sấp” khi tung một đồng xu sẽ có

khả năng xảy ra lớn hơn nhiều so với biến cố “xuất hiện mặt một chấm” khi tung một con xúc xắc

Khi lặp đi lặp lại nhiều lần cùng một phép thử trong những điều kiện như

nhau, người ta thấy tính chất ngẫu nhiên của biến cố mất dần đi và khả năng xảy ra của biến cố sẽ được thể hiện theo những quy luật nhất định Từ đó ta

thấy có thể đo lường (định lượng) khả năng khách quan xuất hiện một biến cố nào đó

Nói cách khác, khả năng xuất hiện của các biến cố ngẫu nhiên nói chung khác nhau, để đo khả năng này, người ta phải tìm một công cụ, công cụ đó chính là xác suất

Xác suất của một biến cố là một con số đặc trưng khả năng khách quan

xuất hiện biến cố đó khi thực hiện phép thử.

Khả năng khách quan ở đây là do những điều kiện xảy ra của phép thử

quy định chứ không tùy thuộc ý muốn chủ quan của con người Vậy bản chất của xác suất của một biến cố là một số xác định.

Để tính xác suất của một biến cố, người ta xây dựng các định nghĩa về xác suất Có nhiều định nghĩa khác nhau về xác suất đó là: định nghĩa cổ điển, định nghĩa thống kê, định nghĩa hình học và định nghĩa theo tiên đề

1 Định nghĩa cổ điển về xác suất.

a) Ví dụ 3: Thực hiện phép thử “ tung một xúc xắc đều đặn và đồng

chất” ( khối lập phương đều đặn và đồng chất để đảm bảo khả năng xuất hiện

cỏc mặt là như nhau) Gọi A là biến cố “xuất hiện mặt chẵn chấm” Ta phải xỏc định xỏc suất của biến cố A.

Khi tung con xỳc xắc đều đặn và đồng chất,

ta thấy cú thể cú 6 trường hợp cú thể xảy ra:

xuất hiện mặt 1 chấm, xuất hiện mặt 2 chấm,

v.v…, xuất hiện mặt 6 chấm.Những trường hợp

này thỏa món 2 điều kiện:

- Chỳng duy nhất, tức trong kết quả của phộp

- Duy nhất

- Khả năng xảy ra như nhau

* Được gọi là cỏc kết cục duy nhất đồng khả năng.

Trong số 6 kết cục duy nhất đồng khả năng

đú ta thấy chỉ cú 3 kết cục mà nếu cỏc kết cục

này xảy ra thỡ biến cố A sẽ xảy ra Đú là : xuất

hiện mặt 2 chấm, xuất hiện mặt 4 chấm, xuất

hiện mặt 6 chấm

* Cỏc kết cục xảy ra thỡ

biến cố A xảy ra gọi là cỏc kết cục thuận lợi cho biến cố.

Vậy trực quan thấy khả năng xảy ra biến cố A là 3 1

6 =3

b) Định nghĩa 1 : Xỏc suất xuất hiện biến cố A trong một phộp thử là tỷ

số giữa số kết cục thuận lợi cho A và tổng số cỏc kết cục duy nhất đồng khả năng cú thể xảy ra khi thực hiện phộp thử đú.

Kớ hiệu P A( ) là xỏc suất của biến cố A

m Số kết cục thuật lợi cho biến cố A

n Số kết cục duy nhất đồng khả năng của phộp thử

m Số kết cục thuận lợi cho A

P A

n Số kết cục duy nhất đồng khả năng

( )= =

2 Tớnh chất của xỏc suất.

Từ định nghĩa xác suất ta suy ra các tính chất sau:

a) Xác suất của biến cố ngẫu nhiên là một số dương nằm trong khoảng giữa không và một 0<P A( ) 1<

Thật vậy, vì số kết cục thuận lợi cho một biến cố ngẫu nhiên luôn luôn

P V

n

( )= =0

Chú ý:

 Vậy xác suất của một biến cố bất kỳ luôn thỏa mãn 0≤P A( ) 1≤

 Các mệnh đề đảo của tính chất b và c chưa chắc đã đúng, có nghĩa

nếu một biến cố có xác xuất bằng 1 thì chưa chắc đã là biến cố chắc chắn, và nếu một biến cố xác suất bằng 0 thì chưa chắc đã là biến cố không thể có

3 Các phương pháp tính xác suất bằng định nghĩa cổ điển.

a) Phương pháp suy luận trực tiếp: Nếu số các kết cục của phép thử là

nhỏ và việc suy đoán là khá đơn giản thì có thể sử dụng phương pháp suy luận trực tiếp

Ví dụ 4: Trong một hộp kín đựng b quả cầu có cùng kích thước và trọng lượng, trong đó có k quả cầu trắng, còn lại là cầu đen Rút ngẫu nhiên ( rút hú

họa) một quả Tìm xác suất rút được quả cầu trắng

Giải: gọi A là biến cố “ lấy được quả cầu trắng” Khi lấy ngẫu nhiên ở

hộp ra một quả cầu ta có thể lấy được bất kỳ quả nào trong số b quả cầu có trong hộp, như vậy ta có số kết cục duy nhất đồng khả năng có thể xảy ra trong phép thử là n b=

Biến cố A sẽ xảy ra khi ta lấy được một trong số k quả cầu trắng, như

vậy số kết cục thuận lợi cho biến cố A là m k= Theo định nghĩa cổ điển về xác suất ta có: m k

sau:

 Sơ đồ dạng bảng

Ví dụ 7: Tung hai xúc xắc cùng một lúc, tính xác suất để được tổng số

chấm không quá 7

Giải: Để mô tả số các kết cục đồng khả năng và số các kết cục thuận lợi

cho biến cố ta kẻ bảng sau

A : Tổng số chấm thu được không quá 7

Vậy số kết cục thuận lợi cho biến cố A là m =21

Ví dụ 6: Một gia đình có 3 con, biết mỗi lần chỉ sinh một con, và khả

năng sinh gái hoặc trai là như nhau Tính xác suất để gia đình đó có đúng hai con gái

Giải: để mô tả không gian mẫu, và tìm số các kết cục đồng khả năng ,

chúng ta vẽ sơ đồ hình cây như sau:

dễ thấy n=8, m=3 p=3/8Vậy xác suất để gia đình đó có đúng 2 con giái là 3/8

 Sơ đồ dạng tập hợp

Ví dụ 8: Trong 1 lớp có 50 học sinh Trong đó: 20 người chơi môn bóng

đá;15 người chơi môn bóng chuyền; 10 người chơi môn bóng rổ; 8 người chơi môn bóng đá và bóng chuyền; 5 người chơi môn bóng đá và bóng rổ; 3 người chơi môn bóng chuyền và bóng rổ; 1 người chơi cả ba môn bóng đá, bóng chuyền và bóng rổ,

Chọn ngẫu nhiên một học sinh Tìm xác suất để học sinh đó chơi ít nhất một môn bóng

Giải: Gọi A : “Chọn ngẫu nhiên một học sinh, được học sinh chơi ít nhất

c Phương pháp dùng các công thức của đại số tổ hợp.

Khi số kết cục của phép thử là rất lớn mà khổng thể suy đoán trực tiếp được thì có thể dùng các công thức của giải tích tổ hợp, chủ yếu là các công thức chỉnh hợp, chỉnh hợp lặp, hoán vị và tổ hợp để tìm số các kết cục duy nhất đồng khả năng và số các kết cục thuận lợi cho biến cố

Ví dụ 9: Một người khi gọi điện thoại quên mất hai số cuối của số điện

thoại và chỉ nhớ được rằng chúng khác nhau Tìm xác suất để quay ngẫu nhiên một lần được đúng số cần gọi

Giải: Gọi A : “ gọi một lần được đúng số cần gọi”

Số kết cục duy nhất đồng khả năng n : là số cách để lập nên một cặp 2 số khác nhau từ 10 số tự nhiên đầu tiên, chính là số các chỉnh hợp chập hai từ 10 phần tử n A2

10 10.9 90

= = = Số kết cục thuân lợi cho A xảy ra chỉ có 1,Vậy

theo định nghĩa cổ điển về xác suất có P A( ) 1

90

=

Ví dụ 10: Một lớp học có 50 học sinh, trong đó 30 nam Chọn ngẫu nhiên

7 học sinh, tính xác suất để được đúng 4 nam và 3 nữ

Giải: Số kết cục duy nhất đồng khả năng n =C57

Số kết cục thuận lợi cho biến cố m=C C430 320

Vậy

4 3

30 20 7 50

m p

C

4 Ưu điểm và hạn chế của định nghĩa cổ điển về xác suất.

a) Ưu điểm: Để tìm xác suất của biến cố ta không cần phải tiến hành

phép thử ( phép thử chỉ tiến hành giả định) Và nếu thỏa mãn đầy đủ yêu cầu của định nghĩa thì cho phép cho chúng ta tìm được một cách chính xác giá trị của xác suất

b) Hạn chế của định nghĩa cổ điển về xác suất:

 Định nghĩa cổ điển đòi hỏi số kết cục duy nhất đồng khả năng có thể xảy ra trong phép thử phải là hữu hạn (trong thực tế có nhiều phép thử mà số kết cục có thể là vô hạn)

 Hạn chế lớn nhất của định nghĩa này là đòi hỏi các kết cục tính đồng khả năng, mà trong thực tế nhiều khi không thể biểu diễn kết quả của phép thử dưới dạng tập hợp các kết cục duy nhất và đồng khả năng

§3: ĐỊNH NGHĨA THỐNG KÊ VỀ XÁC SUẤT

1 Định nghĩa 2 Tần suất xuất hiện biến cố A trong n phép thử là tỷ số giữa số phép thử trong đó biến cố A xuất hiện và tổng số phép thử được thực hiện

Vậy giả sử một loại phép thử được thực hiện n lần, trong đó biến cố A

được xuất hiện k lần, khi đó tần suất xuất hiện biến cố A trong n phép thử là

Người ta nhận thấy nếu tiến hành các phép thử trong những điều kiện như

nhau và số phép thử lớn thì tần suất thể hiện tính ổn định khá rõ ràng Khi số phép thử khá lớn thì tần suất dao động rất ít xung quanh một giá trị nào đó.

Ví dụ 11: Để nghiên cứu khả năng xuất hiện mặt sấp khi tung một đồng

xu, người ta tiến hành tung một đồng xu nhiều lần và thu được kết quả sauNgười làm thí

2048601912012

0,50690,50160,5005Qua ví dụ ta thấy khi số phép thử tăng lên thì tần suất xuất hiện mặt sấp

sẽ dao động ngày càng ít hơn xung quanh giá trị không đổi là 0,5 Điều đó cho phép người ta nghĩ tới việc khi số phép thử tăng lên vô hạn, tần suất sẽ hội tụ về giá trị 0,5

2 Định nghĩa 3 (định nghĩa thống kê về xác suất) : Khi số phép thử tăng lên

vô hạn, thì tần suất xuất hiện biến cố A sẽ dao động quanh một trị số nào đó Trị số này được gọi là xác suất xuất hiện của biến cố A

Xác suất xuất hiện của biến cố A ( theo định nghĩa thống kê) cũng có các

tính chất 0≤P A( ) 1≤ , P U( ) 1= , P V( ) 0=

3 Ưu điểm và hạn chế của định nghĩa thống kê về xác suất.

Định nghĩa thống kê về xác suất có ưu điểm lớn là không đòi hỏi điều kiện đồng khả năng như định nghĩa cổ điển, do vậy đáp ứng được nhiều bài toán do thực tế đặt ra như tìm quy luật của thời tiết, tai nạn giao thông, kiểm tra chất lượng sản phẩm v v…

Định nghĩa thống kê về xác suất có tính miêu tả tồn tại hơn là tính kiến thiết ( thiết lập công thức), ta chỉ có “phán đoán” được xác suất sau khi tiến hành một số khá lớn phép thử với tần suất ổn định

Trong bài toán thực tế ta thường gặp các biến cố có xác suất rất nhỏ, tức

gần bằng 0, thậm chí có biến cố có xác suất bằng 0 (theo quan điểm định nghĩa thống kê về xác suất) Khi đó liệu có thể coi các biến cố có xác suất rất nhỏ sẽ không xảy ra khi thực hiện một phép thử? Dễ nhận thấy là không thể kết luận như vậy, vì những biến cố có xác suất bằng 0 vẫn chưa chắc đã là biến cố không thể có, tức là vẫn có thể xảy ra

Tuy nhiên qua nhiều lần quan sát, người ta thấy rằng các biến cố có xác suất nhỏ gần như sẽ không xảy ra khi tiến hành một phép thử Trên cơ sở đó người ta đưa ra nguyên lý sau:

Nguyên lý thực tế không thể có của biến cố có xác suất nhỏ: Nếu một

biến cố có xác suất rất nhỏ thì thực tế có thể cho rằng trong một phép thử biến

cố đó sẽ không xảy ra.

Việc quy định một mức xác suất được coi là rất nhỏ gọi là mức ý nghĩa sẽ

tùy thuộc vào từng bài toán cụ thể Chẳng hạn nếu xác suất để máy bay không

an toàn khi bay là 0,01 thì xác suất này chưa có thể coi là nhỏ, và không thể đi máy bay đó Còn nếu xác suất của một máy sản xuất giày sản xuất ra phế phẩm là 0,01 thì trong thực tế có thể coi là máy đó sản xuất tốt

Hoàn toàn tương tự

Nguyên lý thực tế chắc chắn xảy ra của các biến cố có xác suất lớn:

Nếu biến cố ngẫu nhiên có xác suất gần bằng 1 thì thực tế có thể cho rằng biến

Ở trên chúng ta đã có các phương pháp tính trực tiếp xác suất của các biến cố bằng định nghĩa cổ điển và định nghĩa thống kê về xác suất Song việc

áp dụng các định nghĩa này không phải lúc nào cũng tiện lợi và có thể dùng được

Vì vậy người ta tính xác suất của các biến cố dựa vào xác suất đã biết của các biến cố khác có liên quan tới nó và nhờ áp dụng các định lý cơ bản của lý thuyết xác suất, do đó chúng ta cần biết về mối quan hệ giữa các biến cố

1 Định nghĩa 1 Biến cố C được gọi là tổng của hai biến cố A và B, kí

hiệu C=A+B, nếu C sẽ xảy ra khi có ít nhất một trong hai biến cố ấy xảy ra.

Ví dụ 12: Hai người cùng bắn vào một bia, gọi

A là biến cố “ Người thứ nhất bắn trúng bia”

B là biến cố “ Người thứ hai bắn trúng bia”

C là biến cố “ Bia trúng đạn”

Rõ ràng biến cố C sẽ xảy ra khi có ít nhất một trong hai biến cố

A hoặc B xảy ra Vậy C=A+B

2 Định nghĩa 2 Biến cố A được gọi là tổng của n biến cố A A1, , ,2 A , n

kí hiệu

1

n i i

=

=∑ , nếu A sẽ xảy ra khi có ít nhất một trong n biến cố ấy xảy ra.

3 Định nghĩa 3 Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nhau nếu

chúng không thể đồng thời xảy ra trong một phép thử.

Ví dụ 13: Hai người cùng bắn vào một bia, gọi

A là biến cố “ Người thứ nhất bắn trúng bia”

B là biến cố “ Người thứ hai bắn trúng bia”

A,B là hai biến cố không xung khắc

Ví dụ 14: Một người bắn một viên đạn vào bia, gọi

A là biến cố “Bia trúng đạn”

B là biến cố “Bia không trúng đạn ”

 A,B là hai biến cố xung khắc

4 Định nghĩa 4 Nhóm biến cố A A1, , ,2 A được gọi là xung khắc từng n đôi nếu bất kì hai biến cố nào trong nhóm này cũng xung khắc với nhau

5 Định nghĩa 5 Các biến cố A A1, , ,2 A được gọi là nhóm biến cố đầy n

đủ nếu trong kết quả của phép thử sẽ xảy ra một và chỉ một trong các biến cố đó

Ví dụ 15: Khi tung một con xúc sắc, gọi A với i i= ÷1 6là xuất hiện mặt i

 Khi nhóm biến cố đầy đủ chỉ có hai biến cố, thì chúng đối lập

 Hai biến cố đối lập thì xung khắc, nhưng ngược lại chưa chắc đúng

7 Định nghĩa 7 Biến cố C được gọi là tích của hai biến cố A, B nếu C

sẽ xảy ra khi và chỉ khi cả hai biến cố A và B cùng xảy ra, kí hiệu C=A.B.

Ví dụ 17: Một máy có hai bộ phận, biết rằng máy chỉ hoạt động khi cả hai

bộ phận hoạt động tốt,

A “bộ phận thứ nhất hoạt động tốt”

B “bộ phận thứ hai hoạt động tốt”

C “máy hoạt động tốt”  rõ ràng C=A.B

8 Định nghĩa 8 Biến cố A được gọi là tích của n biến cố A A1, , ,2 A n nếu A chỉ xảy ra khi và chỉ khi cả n biến cố trên cùng đồng thời xảy ra, kí hiệu