BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT

Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người BÀI 1: BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Mục tiêu - Nắm vững nội dung khái niệm: phép thử, biến cố, xác suất biến cố, - Hiểu đúng, biết cách nhận biết phân biệt mối quan hệ biến cố, - Tính xác suất biến cố ngẫu nhiên nhờ sử dụng định nghĩa xác suất (định nghĩa cổ điển thống kê), định lý xác suất (định lý nhân, định lý cộng định lý xác suất hai biến cố đối lập), công thức xác suất (công thức Bernoulli, công thức xác suất đầy đủ công thức Bayes) Nội dung I PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ I.1 Phép thử Phép thử thí nghiệm, quan sát để xem xét, nghiên cứu vật, tượng Việc thực phép thử việc thực nhóm điều kiện để quan sát vật, tượng nhằm đạt mục đích Thí dụ : Gieo xúc xắc đặn, đồng chất (điều kiện bản) thực phép thử Mục đích phép thử xem xét việc xuất số chấm I.2 Biến cố Khi phép thử thực hiện, ta thu kết Mỗi kết phép thử gọi kết cục (outcome) Một kết cục xem xét phương diện có xảy hay không xảy kết phép thử gọi biến cố hay kiện (events) Một biến cố thuộc ba loại sau : Xác suất thống kê toán học – Bài Trang Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người a Biến cố chắn: biến cố định xảy thực phép thử vµ ký hiệu lµ U b Biến cố khơng thể có: biến cố định không xảy thực phép thử ký hiệu V c Biến cố ngẫu nhiên: biến cố xảy không xảy thực phép thử Biến cố ngẫu nhiên ký hiệu A, B, C A1 , A2 , An Trong thí dụ - Nếu gọi A1 kiện "được mặt chấm" A1 biến cố ngẫu nhiên - Nếu gọi U biến cố “ mặt có số chấm nhỏ ” U biến cố chắn, - Nếu gọi V biến cố “Được mặt chấm ”, V biến cố khơng thể có II XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ II.1 Bản chất xác suất biến cố Xác suất biến cố A, ký hiệu P(A), số đặc trưng khả khách quan xảy biến cố Nếu biến cố A có khả xảy lớn khả xảy biến cố B ta nói P(A) > P(B) Nếu biến cố A có khả xảy khả xảy biến cố B ta nói hai biến cố A B tương đương nhau, ký hiệu: A = B Khi ta có P(A) = P(B) II.2 Các tính chất xác suất Tính chất 1: Xác suất biến cố chắn 1, tức P(U) = Tính chất 2: Xác suất biến cố khơng thể có 0, tức P(V) = Xác suất thống kê toán học – Bài Trang Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người Tính chất 3: Xác suất biến cố ngẫu nhiên số nằm khoảng không một, tức ≤ P(A) ≤ 1, A biến cố ngẫu nhiên II.3 Nguyên lý xác suất lớn nguyên lý xác suất nhỏ Các mệnh đề đảo tính chất chưa Tuy nhiên, thực hành ta sử dụng hai nguyên lý sau: * Nguyên lý xác suất lớn: “ Nếu biến cố ngẫu nhiên có xác suất gần thực tế cho biến cố xảy phép thử” * Nguyên lý xác suất nhỏ: “ Nếu biến cố có xác suất nhỏ thực tế cho phép thử biến cố khơng xảy ra” III CÁC ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT III.1 Định nghĩa cổ điển xác suất III.1.1 Định nghĩa Xác suất xuất biến cố A phép thử tỷ số số kết cục thuận lợi cho A xảy tổng số kết cục đồng khả xảy thực phép thử Nếu ta ký hiệu : n số kết cục đồng khả phép thử m số kết cục thuận lợi cho biến cố A xảy : Thí dụ P( A)  m n Gieo đồng thời xúc xắc đặn, đồng chất Tính xác suất để : a Được tổng số chấm mặt b Được tổng số chấm mặt nhỏ c Được mặt chấm Xác suất thống kê toán học – Bài Trang Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người Giải a Gọi A biến cố : ” Được mặt có tổng số chấm “ n  36   m( A)  6  p( A)   36 b Gọi B biến cố : ” Được mặt có tổng số chấm nhỏ “ n  36   m( B)  15  p ( B)  15  36 12 c Gọi C biến cố : ” Được mặt có chấm “ n  36   m(C )  11  p(C )  11 36 Thí dụ 2: Một người gọi điện thoại cho bạn lại quên số cuối số điện thoại nhớ chúng khác Tìm xác suất để quay ngẫu nhiên lần số cần gọi Giải Gọi A biến cố “ Quay ngẫu nhiên lần số cần gọi” n  A102  10!  9.10  90 , 8! m( A)   P( A)  90 III.1.2 Ưu điểm hạn chế định nghĩa cổ điển - Không cần phải tiến hành phép thử (phép thử tiến hành cách giả định) - Cho phép ta tìm xác giá trị xác suất - Phạm vi ứng dụng bó hẹp tượng bảo đảm cho kết cục đồng khả số trường hợp đồng khả phải hữu hạn III.1.3 Một số thí dụ áp dụng định nghĩa cổ điển xác suất Thí dụ 1: Trong hộp có đựng viên bi trắng viên bi đỏ Người ta lấy ngẫu nhiên viên bi Tính xác suất để Xác suất thống kê toán học – Bài Trang Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người a Lấy bi màu đỏ b Lấy viên bi màu đỏ Giải a Gọi A biến cố “ Lấy viên bi màu đỏ”  2 m( A)  C  n  C102  p( A)  C 42  C10 15 b Gọi B biến cố “ Lấy viên bi màu đỏ”   1 m( B )  C  C C   n  C102  p ( B)  C 42  C 41C61  C102 Thí dụ 2: Một cỗ tú lơ khơ gồm 52 quân Người ta lấy ngẫu nhiên quân Tính xác suất: a Để quân át, b Để quân át, Giải a Gọi A biến cố: “ quân át”  3 m( A)  C  n  C52 b  p( A)  C 43  C52 5525 Gọi B biến cố: “ Lấy quân át” n  C52 m( B)  C 43C 48  C 42 C 48  C 41C 48  1417  p ( B)  m( B)  0,256 n III.2 Định nghĩa thống kê xác suất III.2.1 Định nghĩa tần suất biến cố Xác suất thống kê toán học – Bài Trang Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người Tần suất xuất biến cố tỷ số số phép thử biến cố xuất tổng số phép thử thực biến cố Nếu ta ký hiệu: n tổng số phép thử, k số lần xuất biến cố A, f(A) tần suất xuất biến cố A : f ( A)  k n Thí dụ : Kiểm tra ngẫu nhiên 160 sản phẩm máy tự động sản xuất người ta phát có phế phẩm Gọi A biến cố “ Xuất phế phẩm”, th× f ( A)   0,0375 160 III.2.2 Định nghĩa thống kê xác suất Xác suất xuất biến cố A mét phép thử số P không đổi tần suất xuất biến cố n phép thử hội tụ theo xác suất P số phép thử tăng lên vô hạn Hội tụ theo xác suất f n  P  P Ký hiệu: f   P Như vậy, n đủ lớn ta có P( A)  f ( A) điều có nghĩa là: lim P f  P     n III.2.3 Ưu điểm hạn chế định nghĩa thống kê xác suất - Áp dụng rộng rãi cho tượng, khơng địi hỏi điều kiện áp dụng định nghĩa xác suất cổ điển - Phải tiến hành nhiều phép thử Xác suất thống kê toán học – Bài Trang Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người - Xác suất tính sau phép thử thực cho giá trị gần xác suất Mức độ xác phụ thuộc vào n IV CÁC ĐỊNH LÝ XÁC SUẤT IV.1 Định lý nhân xác suất IV.1.1 Biến cố tích Định nghĩa 1: Biến cố A gọi tích biến cố B C , A xảy biến cố B C (đồng thời) xảy ký hiệu là: A = B.C Thí dụ: Có hộp đựng sản phẩm, hộp đựng số phẩm số phế phẩm Lấy ngẫu nhiên từ hộp sản phẩm” Gọi A biến cố " Có sản phẩm lấy phẩm" B biến cố ” Lấy phẩm hộp 1” C biến cố ” Lấy phẩm hộp 2”  A  B.C Định nghĩa 2: Biến cố A gọi tích n biến cố A1, A2, , An A xảy n biến cố nói (đồng thời) xảy ký hiệu: n A   Ai i 1 IV.1.2 Định nghĩa xác suất có điều kiện Xác suất biến cố A tính với điều kiện biến cố B xảy gọi xác suất có điều kiện A ký hiệu P(A/B) Định nghĩa: P(A/B) = P( AB ) P( B) Tương tự, xác suất biến cố B tính với điều kiện biến cố A xảy gọi xác suất có điều kiện B ký hiệu P(B/A) Xác suất thống kê toán học – Bài Trang Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người Thí dụ: Trong bình đựng cầu trắng cầu đen Lấy ngẫu nhiên Tìm xác suất để lần thứ lấy cầu trắng biết lần thứ lấy cầu trắng Giải Gọi A biến cố: “Lần lấy cầu trắng”  P( A)  Gọi (B/A) biến cố: “Lần lấy cầu trắng với điều kiện lần lấy cầu  P( B / A)  trắng” IV.1.3 Tính độc lập biến cố Định nghĩa 1: Hai biến cố A B gọi độc lập với P(A/B) = P(A) P(B/A) = P(B) Thí dụ: Trong bình có cầu trắng cầu đen Lấy ngẫu nhiên cầu Gọi A biến cố: “ Lấy cầu trắng”  P( A)  Ta bỏ cầu trở lại bình lại lấy cầu Gọi B biến cố : ”Lần thứ lấy cầu trắng”  P( B)   B độc lập với A Định nghĩa 2: Hai biến cố A B gọi phụ thuộc việc xảy hay không xảy biến cố làm thay đổi xác suất xuất biến cố ngược lại Xác suất thống kê toán học – Bài Trang Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người Định nghĩa 3: Các biến cố A1, A2, , An gọi độc lập đôi cặp biến cố n biến cố độc lập với Thí dụ: Tung đồng xu lần   Gọi Ai biến cố :” Được mặt sấp lần tung thứ i”, i  1,3 Ta thấy cặp biến cố độc lập với  A1, A2, A3 độc lập đôi Định nghĩa 4: Các biến cố A1, A2, , An gọi độc lập toàn phần với biến cố độc lập với mäi tổ hợp biến cố lại Nghĩa biến cố A1, A2, A3 độc lập tồn phần với thì: A1 độc lập với A2 , A1 độc lập với A2, A3 A2 độc lập với A3 , A2 độc lập với A1, A3 A3 độc lập với A1 , A3 độc lập với A1, A2 Chú ý: Nếu biến cố độc lập đôi chưa thể suy chúng độc lập tồn phần chúng độc lập tồn phần độc lập đôi IV.1.4 Định lý nhân xác suất với biến cố độc lập Xác suất tích biến cố độc lập tích xác suất thành phần Nghĩa là: P( A, B)  P( A).P( B) Hệ 1: Nếu A B độc lập, P(B) > P(A) > thì: P( A)  P( A.B) P( A.B) ; P( B)  P( B) P( A) Hệ 2: Xác suất tích n biến cố độc lập tồn phần tích xác suất thành phần Nghĩa là: n  n  P  Ai    P Ai   i 1  i 1 Xác suất thống kê toán học – Bài Trang Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người IV.1.5 Định lý nhân xác suất với biến cố P( A.B)  P( A).P( B / A)  P( B).P( A / B) Thí dụ: Trong hịm đựng phẩm phế phẩm Lấy ngẫu nhiên sản phẩm theo cách khơng hồn lại Tìm xác suất để sản phẩm lấy phẩm Giải Gọi A biến cố: “Cả sản phẩm lấy phẩm ” A1 biến cố: “Lần thứ lấy phẩm ” A2 biến cố: “Lần thứ hai lấy phẩm ” A  A1 A2 Khi đó: P( A)  P( A1 A2 ) lấy không hồn lại nên A1 A2 khơng độc lập (phụ thuộc ) Theo định lý: P( A)  P( A1 ).P( A2 / A1 ) P( A)  7  10 15 Hệ : Xác suất tích n biến cố tích xác suất n biến cố đó, xác suất biến cố tiếp sau tính với điều kiện tất biến cố trước xảy P( A1 A2 An )  P( A1 ).P( A2 / A1 ).P( A3 / A1 A2 ) P( An / A1 A2 An1 ) IV.2 Định lý cộng xác suất IV.2.1 Biến cố tổng Định nghĩa 1: Biến cố A gọi tổng biến cố B C, A xảy có biến cố xảy ký hiệu là: A=B+C Xác suất thống kê toán học – Bài Trang 10 Trung tâm Đào tạo E-Learning Thí dụ: Cơ hội học tập cho người Gieo xúc xắc đặn, đồng chất Gọi B biến cố “ Được mặt chấm” C biến cố ” Được mặt chấm” A biến cố ” Được chấm” A = B + C Định nghĩa 2: Biến cố A ®ược gọi tổng cđa n biến cố A1, A2, , An A xảy có n biến cố xảy ký hiệu: n A   Ai i 1 Thí dụ: Gieo xúc xắc đặn đồng chất  Gọi Ai biến cố ” Được mặt i chấm”, i  1,6  A biến cố ” Được mặt có số chấm ≤ 6”  A   Ai i 1 IV.2.2 Tính xung khắc biến cố Định nghĩa 3: Hai biến cố A B gọi xung khắc với chúng đồng thời xảy phép thử Thí dụ: Trong bình có đựng loại cầu: xanh, đỏ, trắng Một người lấy ngẫu nhiên Gọi A biến cố ”Lấy cầu xanh” B biến cố “Lấy cầu đỏ”  A B lµ hai biÕn cè xung khắc Định nghĩa 4: Hai biến cố A B xảy phép thử gọi khơng xung khắc Thí dụ: Hai người bắn vào bia Xác suất thống kê toán học – Bài Trang 11 Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người Gọi A biến cố ”Người thứ bắn trúng” B biến cố ”Người thứ hai bắn trúng”  A B biến cố khơng xung khắc Định nghĩa 5: Một nhóm n biến cố: A1, A2, , An gọi xung khắc đôi, biến cố nhóm xung khắc với IV.2.3 Định lý cộng xác suất Định lý 1: Xác suất tổng hai biến cố xung khắc tổng xác xuất biến cố đó, tức A B xung khắc thì: P( A  B)  P( A)  P( B) Thí dụ: Trong hịm 10 chi tiết, có chi tiết hỏng Tìm xác suất để lấy ngẫu nhiên chi tiết cịn khơng q chi tiết hỏng Giải Gọi A biến cố: ” Trong chi tiết lấy cã không chi tiết hỏng” A0 biến cố: “ Trong chi tiết lấy khơng có chi tiết hỏng” A1 biến cố: “ Trong chi tiết lấy có chi tiết hỏng” A  A0  A1  P( A)  P( A0  A1 ) Vì A0 A1 xung khắc với nên : P( A)  P( A0 )  P( A1 ) Theo định nghĩa cổ điển xác suất : P( A)  C86 C 21C85     15 15 C10 C10 Định lý Xác suất tổng biến cố không xung khắc tổng xác suất biến cố trừ xác suất tích biến cố P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A.B) Xác suất thống kê toán học – Bài Trang 12 Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người IV.2.4 Các hệ quả: Hệ 1: Xác suất tổng n biến cố xung khắc đôi tổng xác suất biến cố đó, nghĩa là:  n  n P  Ai    P Ai   i 1  i 1 Hệ 2: Xác suất tổng n biến cố không xung khắc xác định công thức:  n  n P  Ai    P( Ai )   P( Ai A j )   P( Ai A j Ak )   (1) n 1 P( A1 A2 An ) i j i j k  i 1  i 1 IV.3 Xác suất nhóm đầy đủ biến cố Định nghĩa 1: Các biến cố A1, A2, , An gọi nhóm đầy đủ biến cố chúng xung khắc đôi tổng chúng biến cố chắn Thí dụ: Gieo xúc xắc đặn, đồng chất  Gọi Ai biến cố ” Được mặt i chấm” , i  1,6  biến cố : A1, A2, , A6 nhóm đầy đủ biến cố Định lý 1: Nếu biến cố A1, A2, , An tạo nên nhóm đầy đủ biến cố tổng xác suất chúng 1, nghĩa là: n  P A   i 1 i Định nghĩa 2: Hai biến cố A A gọi đối lập với chúng thỏa mãn điều kiện sau: Xung khắc với nhau: A A = V Tổng chúng biến cố chắn: A+ A = U Thí dụ : Bắn phát đạn vào bia Gọi A biến cố ” Bắn trúng bia” Xác suất thống kê toán học – Bài Trang 13 Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người B biến cố ” Bắn trượt bia”  A & B biến cố đối lập Định lý 2: Nếu biến cố A A đối lập với tổng xác xuất chúng 1, nghĩa : P( A)  P( A)  Định lý 3: Xác suất tổng n biến cố không xung khắc độc lập tồn phần với trừ tích xác suất biến cố đối lập với biến cố đó, nghĩa là: n  n  P  Ai     P( Ai ) i 1  i 1  Thí dụ : Bốn máy bay ném bom vào mục tiêu Mỗi máy bay ném bom, xác suất ném trúng mục tiêu máy bay tương ứng là: 0,6; 0,7; 0,8 0,9 Việc máy bay ném trúng mục tiêu hồn tồn độc lập Tìm xác suất để mục tiêu bị trúng bom Giải Gọi A biến cố: “ Mục tiêu bị trúng bom ”  Ai biến cố: “Máy bay thứ i ném trúng mục tiêu”, i  1,4   A  A1  A2  A3  A4 P( A)  P( A1  A2  A3  A4 ) Vì Ai biến cố khơng xung khắc, độc lập tồn nên: P( A)    P( Ai ) i 1   P( A)   P( A1 ).P( A2 ) P( A3 ).P( A4 ) P( A)   0,4.0,3.0,2.0,1  0,9976 Thí dụ 2: Trong hịm đựng 10 sản phẩm, có phẩm phế phẩm Lấy ngẫu nhiên sản phẩm Tính xác suất để có phẩm Xác suất thống kê toán học – Bài Trang 14 Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người Giải Gọi A biến cố : “ Trong sản phẩm lấy có phẩm” A biến cố : “ Trong sản phẩm lấy khơng có phẩm (cả sản phẩm phế phẩm )” P( A)   P( A)    P( A)   C 43 C103 4!.3!.7! 29  1  3!.1!.10! 30 30 V CÁC CƠNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT V.1 Công thức xác suất đầy đủ Giả sử biến cố A xảy với biến cố H1, H2, , Hn ; nhóm H1, H2, , Hn nhóm đầy đủ biến cố Lúc xác suất biến cố A tính cơng thức sau: n P( A)   PH i P A / H i  i 1 Chứng minh Vì biến cố H1, H2, , Hn tạo nên nhóm đầy đủ biến cố nên: A  AH  AH   AH n Vì biến cố H1, H2, , Hn xung khắc đôi nên AH1, AH2, , AHn xung khắc đơi, theo định lý nhân xác suất ta có: P( A)  PH1 P A / H1    PH n P A / H n  n  P( A)   PH i P A / H i  i 1 Xác suất thống kê toán học – Bài Trang 15 Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người Thí dụ : Có hộp đựng sản phẩm Hộp thứ có 10 sản phẩm, có phẩm Hộp thứ có 20 sản phẩm, có 18 phẩm Lấy ngẫu nhiên sản phẩm từ hộp bỏ vào hộp Tìm xác suất để lấy ngẫu nhiên sản phẩm từ hộp phẩm Giải Gọi A biến cố :” Lấy phẩm hộp 2” Biến cố A xảy đồng thời với biến cố sau tạo nên nhóm đầy đủ biến cố : H1 biến cố :” Sản phẩm bỏ từ hộp sang hộp phẩm “ H2 biến cố :” Sản phẩm bỏ từ hộp sang hộp phế phẩm “  A  AH  AH Theo công thức tính xác suất đầy đủ : P( A)  PH1 P A / H1   PH P A / H  P H   10 P A / H   19 21 P H   10 P A / H   18 21  P( A)  19 18   0,9 10 21 10 21 V.2 Công thức bayess Giả sử A biến cố xảy đồng thời với n biến cố : H1, H2, , Hn tạo nên nhóm đẩy đủ biến cố Giả định A xảy ra, ta tính xác suất thuộc phần biến cố H i Khi đó: P( H i / A)  P( H i ) P( A / H i ) n  P( H ) P( A / H ) i 1 Xác suất thống kê toán học – Bài i i  1, n i Trang 16 Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người * Các biến cố H1, H2, , Hn gọi giá thiết Các xác suất P(H1), P(H2), , P(Hn) xác định trước phép thử tiến hành, thường gọi xác suất thí nghiệm * Các xác suất P(H1/A), P(H2/A), , P(Hn/A) xác định sau phép thử tiến hành biến cố A xảy ra, gọi xác suất hậu nghiệm * Công thức Bayes cho phép đánh giá lại xác suất xảy giả thiết sau biết kết phép thử biến cố A xảy Thí dụ: Dây chuyền lắp ráp nhận chi tiết máy sản xuất Trung bình máy thứ cung cấp 60% chi tiết, máy thứ cung cấp 40% chi tiết Khoảng 90% chi tiết máy thứ sản xuất đạt tiêu chuẩn; 85% chi tiết máy hai sản xuất đạt tiêu chuẩn Lấy ngẫu nhiên từ dây chuyền sản phẩm, thấy đạt tiêu chuẩn Tính xác suất để sản phẩm máy thứ sản xuất Giải Gọi A biến cố : ” Chi tiết lấy đạt tiêu chuẩn” Biến cố A xảy đồng thời với biến cố sau tạo nên nhóm đầy đủ biến cố : H1 biến cố : ” Chi tiết máy sản xuất “ H2 biến cố : ” Chi tiết máy sản xuất “ Như : Xác suất đề chi tiết máy sản xuất : P( H / A)  P( H ) P( A / H ) P( H ) P( A / H )  P( H ) P( A / H ) Ta có : P( H1 )  0,6 P( A / H1 )  0,9 P( H )  0,4 P( A / H1 )  0,85 Xác suất thống kê toán học – Bài Trang 17 Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người Vậy : P( H / A)  0,6.0,9  0,614 0,6.0,9  0,4.0,85 V.3 Công thức bernoulli V.3.1 Lược đồ Bernoulli Một lược đồ Bernoulli với tham số n p lược đồ thoả mãn giả thiết sau : Dãy n phép thử độc lập ( nghĩa kết phép thử không ảnh hưởng đến kết phép thử ) thực hiện, Trong phép thử xét kết cục: biến cố A xuất biến cố A xuất hiện, P( A)  p P( A)   p V.3.2 Công thức Bernoulli Xác suất để n phép thử độc lập biến cố A xuất x lần kí hiệu Pn (x) xác định công thức : Pn ( x)  Cnx P x (1  P) n x Thí dụ:  với x  0, n  Một thiết bị gồm bóng đèn hoạt động độc lập với Xác suất để ca làm việc bóng bị hỏng 0,1 Tìm xác suất để ca có bóng bị hỏng Giải * Nếu coi việc hoạt động bóng đèn phép thử, ta có n = phép thử * Trong phép thử xảy trường hợp: Xác suất thống kê toán học – Bài Trang 18 Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người bóng hỏng ( biến cố A xuất ) bóng khơng hỏng (biến cố A xuất ) * Nếu A xuất  P( A)  0,1 Nếu A xuất  P( A)   P( A)  0,9 Như toán thoả mãn lược đồ Bernoulli nên : Xác suất để bóng đèn hoạt động có bóng hỏng : P5 (2)  C52 (0,1) (0,9)  0,0729 TĨM LƯỢC Việc thực nhóm điều kiện G tượng gọi thực phép thử tượng Kết cần xét thực phép thử gọi biến cố (hay kiện) Một biến cố thuộc vào ba loại sau: biến cố chắn (ký hiệu U), biến cố khơng thể có (ký hiệu V), biến cố ngẫu nhiên (ký hiệu A, B, C,…) Mỗi biến cố có khả xảy khách quan không giống Khả biểu thị số gọi xác suất biến cố Xác suất biến cố A ký hiệu P(A) Xác suất biến cố có tính chất sau ≤ P(A) ≤ 1, P(U) = 1, P(V) = Để tính xác suất biến cố áp dụng định nghĩa theo quan điểm cổ điển theo quan điểm thống kê Để tính xác suất biến cố phức tạp, trường hợp có thể, nên tìm cách phân tích thành tổng, tích biến cố thành phần thông qua biến cố đối lập mà xác suất chúng tìm dễ dàng Việc tính xác suất biến cố trường hợp thực dựa vào định lý xác suất hệ chúng - định lý cộng, định lý nhân xác suất, xác suất hai biến cố đối lập công thức xác suất tồn phần, cơng thức xác suất giả thiết (công thức Bayes), công thức Bernoulli Xác suất thống kê toán học – Bài Trang 19 Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người Chúc Anh/ Chị học tập tốt! TÀI LIỆU THAM KHẢO TỐNG ĐÌNH QUỲ: Giáo trình xác suất thống kê.NXB Giáo dục, 1999 NGUYỄN CAO VĂN, TRẦN THÁI NINH: Giáo trình Lý thuyết Xác suất Thống kê tốn, Nhà xuất Giáo dục Hà Nội 2002 NGUYỄN THẾ HỆ: Lý thuyết xác suất thống kê toán, Viện Đại Học Mở Hà Nội 2011 NGUYỄN VĂN HỘ: Xác suất thống kê toán , Viện Đại Học Mở Hà Nội, 2001 Xác suất thống kê toán học – Bài Trang 20 ... / H  P H   10 P A / H   19 21 P H   10 P A / H   18 21  P( A)  19 18   0,9 10 21 10 21 V.2 Công thức bayess Giả sử A biến cố xảy đồng thời với n biến cố : H1, H2, , Hn tạo... màu đỏ”  2 m( A)  C  n  C102  p( A)  C 42  C10 15 b Gọi B biến cố “ Lấy viên bi màu đỏ”   1? ?? m( B )  C  C C   n  C102  p ( B)  C 42  C 41C 61  C102 Thí dụ 2: Một cỗ tú lơ khơ...  P( Ai A j )   P( Ai A j Ak )   (? ?1) n ? ?1 P( A1 A2 An ) i j i j k  i ? ?1  i ? ?1 IV.3 Xác suất nhóm đầy đủ biến cố Định nghĩa 1: Các biến cố A1, A2, , An gọi nhóm đầy đủ biến cố chúng