phân bố mẫu và ước lượng tham số thống kê

PHÂN BỐ MẪU & ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ THỐNG KÊ Tham số TK tập hợp chính θ Ước lượng θˆ estimator Giá trị ước lượng estimate Tỷ số tỷ lệ p pˆ hay f pˆ hay f • Ước lượng điểm point estimate

PHÂN BỐ MẪU & ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ THỐNG KÊ

Tham số TK tập

hợp chính θ

Ước lượng θˆ

(estimator)

Giá trị ước lượng (estimate)

Tỷ số (tỷ lệ) p pˆ hay f pˆ hay f

• Ước lượng điểm (point estimate):

θ = θˆ

Ước lượng gọi là không chệch (Unbiased estimators) khi

E(θˆ) = θ Độ chệch (the bias) = E(θˆ) – θ

Tập hợp chính

Mẫu ngẫu nhiên Phương sai σ2

Trung bình µ

Tỷ lệ p

n phần tử Phương sai s2

Trung bình X

Tỷ lệ f=X/n

PHÂN PHỐI MẪU

Tập hợp chính ∼ N(µ, σ2) → X ∼ N(µ,σ2/n)

σ

1) (n

1 -n

χ

Cỡ mẫu n lớn (n > 30) → X ∼ N(µ,σ2/n)

Cỡ mẫu n lớn (n > 30) → E(f) = p

→ Var(f) = p(1-p)/n ≈ f(1-f)/n

ƯỚC LƯỢNG CÁC THAM SỐ THỐNG KÊ

• Khoảng ước lượng của µ với độ tin cậy 100(1– α)%:

Tập hợp chính có phân phối chuẩn, giả sử biết trước σ2:

x –

n

σ

Zα/2 < µ < x +

n

σ

Zα/2

Không biết σ2, cỡ mẫu n lớn → σ ≈ s:

x –

n

s

Zα/2 < µ < x +

n s

Zα/2

chính có phân phối chuẩn:

x –

n

s

tn-1,α/2 < µ < x +

n

s

tn-1,α/2

• Khoảng ước lượng của σ2 với độ tin cậy 100(1– α)%:

Giả thiết THC có phân phối chuẩn:

2 2 α 1, n

2

χ

1) (n s

−

− < σ2 < 2

2 α 1,1 n

2

χ

1) (n s

−

−

−

• Khoảng ước lượng của ptrong phân phối nhị thức với độ tin cậy 100(1– α)%:

Cỡ mẫu n lớn → chuẩn hóa:

f –

n

f) f(1

Zα/2 − < p < f +

n

f) f(1

Zα/2 −

Trong đó: Zα/2 phân phối chuẩn hóa

tν, α/2 phân phối Student, bật tự do ν 2

α/2 ν,

χ phân phối Chi-square, bật tự do ν

• Xác định kích thước lấy mẫu n đối với

khoảng tin cậy của µ:

Biết trước: Độ tin cậy (1-α)

Giả thiết THC có phân phối chuẩn

Trường hợp biết σ2 của THC:

n = α/22 2 2

ε

σ Z

Trường hợp chưa biết σ2 của THC:

n = 2n - 1, α/22 2

ε

s t

• Xác định kích thước lấy mẫu n đối với

khoảng tin cậy của p trong phân phối nhị thức:

n = α/22 2

ε

f) -f(1 Z

W = 2ε

Trọng lượng các học sinh lớp 2 có phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn = 1,2kg Chọn ngẫu nhiên 25 học sinh thì có trọng lượng trung bình là 19,8kg Tìm khoảng tin cậy 95% đối với trọng lượng trung bình của học sinh lớp 2

Giải: Từ số liệu có:

Độ tin cậy 100(1-α) = 95% => α = 0,05

Biết Sigma tập hợp chính, σ = 1,2

Trung bình mẫu x = 19,8

Cỡ mẫu n = 25

x –

n

σ

Zα/2 < µ < x +

n

σ

Zα/2

Zα/2 = Z0,05 = 1,96

Thay vào ta có 19,33 < µ < 20,27

ε =

n

σ

Zα/2 = 0,4704 là dung sai

Bề rộng khoảng là w = 2ε

• Khi w càng nhỏ thì ước lượng càng chính xác

• Với α và σ cho trước, n càng lớn thì w càng nhỏ

θˆ – ε θˆ θˆ + ε

W = 2ε

Ví dụ

Mẫu ngẫu nhiên trọng lượng (kg) của 6 học sinh lớp 2 như sau:

Tìm khoảng tin cậy 90% đối với số trung bình của tất cả học sinh lớp 2 Giả sử phân phối trọng lượng của tất cả học sinh lớp 2 là

chuẩn

Giải: Từ số liệu ta có:

Độ tin cậy 100(1-α) = 90% => α = 0,10

Không biết Sigma tập hợp chính σ

Cỡ mẫu n = 6

Phải tính toán:

Trung bình mẫu x = 19,4833

Độ lệch chuẩn mẫu s = 0,98

x –

n

s

tn-1,α/2 < µ < x +

n

s

tn-1,α/2

tn-1,α/2 = t5 , 0.05 = 2,015

Thay vào ta có 18,67 < µ < 20,29

Từ một lô thuốc, chọn ngẫu nhiên mẫu 15 viên thuốc nhức đầu cho thấy độ lệch chuẩn hàm lượng một chất xxyy trong mẫu là 0,8

Tìm khoảng tin cậy 90% của phương sai của lô thuốc Giả sử lô thuốc tuân theo phân phối chuẩn

Giải:

n = 15

s2 = 0,82 = 0,64

100(1-α) = 90% => α = 0,10

2 2 α 1, n

2

χ

1) (n s

−

− < σ2 < 2

2 α 1,1 n

2

χ

1) (n s

−

−

−

χ2

n-1,α/2 = χ2

14, 0.05 = 23,68

Thay vào ta có 0,378 < σ2 < 1,364

Ví dụ

Một công ty nhận lô hàng gồm vài ngàn sản phẩm Người giám định lấy ngẫu nhiên 81 sản phẩm và thấy có 8 sản phẩm không đạt yêu cầu Tìm khoảng ước lượng của tỷ lệ sản phẩm không đạt trong toàn

bộ lô hàng với độ tin cậy 90%

Giải:

n = 81

f = 8/81 = 0,099 (tỷ lệ của mẫu)

100(1-α) = 90% => α = 0,1

Vì cỡ mẫu lớn n = 81 nên ta dùng phân phối chuẩn để ước lượng

f –

n

f) f(1

Zα/2 − < p < f +

n

f) f(1

Zα/2 −

Zα/2 = Z0.05 = 1,645

0,099 - 1,645*0,033 < p < 0,099 + 1,645*0,033

0,045 < p < 0,153 Nghĩa là tỷ lệ phế phẩm của toàn lô hàng trong khoảng 4,5%

đến 15,3% Kết luận này có độ tin cậy 90%