Bài tập lý thuyết mẫu và ước lượng tham số

Bài I. LÝ THUYẾT MẪU  Ghi chú: những bài tập có ký hiệu T trên đầu là bài tập làm thêm, không bắt buộc.  1. Số liệu về chiều cao của các sinh viên nữ (Đơn vị: inch) trong một lớp học như  sau:    62  64  66  67  65  68  61  65  67  65  64  63  67  68  64  66  68  69  65  67  62  66  68  67  66  65  69  65  70  65  67  68  65  63  64  67  67  a Tính chiều cao trung bình và độ lệch tiêu chuẩn.  b Vẽ biểu đồ Stem & Leaf  cho số liệu chiều cao. Từ đồ thị, hãy nêu các đặc  điểm của số liệu.  c Trung vị của chiều cao sinh viên lớp này là bao nhiêu?  2. Cũng trong lớp học này, đo chiều cao của các nam sinh viên    69   67  69  70  65  68  69  70  71  69  66  67  69  75  68  67  68  69  70  71   72  68  69  69  70  71  68  72  69  69  68  69  73  70  73  68  69   71 67   68  65  68  68  69  70  74  71  69  70  69  a Vẽ biểu đồ Stem & Leaf về chiều cao của các nam sinh viên trên đồ thị đã  vẽ  của  nữ  sinh  viên  để  so  sánh.  (HD:  phần  của  2  đồ  thi  sử  dụng  chung,  phần lá về chiều cao của nữ sinh vẽ bên phải, phần lá của đồ thi của nam  sinh vẽ bên trái)  b Từ đồ thị, hãy nêu các nhận xét về số liệu chiều cao nam sinh và nữ sinh  mà anh (chị)  thấy được.  3. Với số liệu chiều cao nữ sinh viên trong bài 1), hãy vẽ biểu đồ tổ chức tần số  (histogram); tương tự vẽ đồ thi histogram cho chiều cao nam sinh viên trong bài  2).  4. Cho bộ dữ liệu sau:  4.2, 4.7, 4.7, 5.0, 3.8, 3.6, 3.0, 5.1, 3.1, 3.8,   4.8, 4.0, 5.2, 4.3, 2.8, 2.0, 2.8, 3.3, 4.8, 5.0  a Tính trung bình mẫu, phương sai mẫu và độ lệch tiêu chuẩn.  b Vẽ đồ thị boxplot.    5. Cho bộ dữ liệu sau:    43   47   51   48   52   50   46   49    45   52   46   51   44   49   46   51    49   45   44   50   48   50   49   50  a Tính trung bình mẫu, phương sai mẫu và độ lệch tiêu chuẩn.  b Vẽ đồ thị boxplot, từ đồ thị hãy nêu các nhận xét về dữ liệu.    n 6T. Xét biểu thức  y = ∑ ( xi − a ) , với a nào thì y đạt giá trị nhỏ nhất?  i =1  7T. Xét  y = a + bx , i = 1, …, n, và a,b là các hằng số khác 0. Hãy tìm mối liên hệ  i i giữa  x  và  y , sx và sy.    8T. Giả sử ta có mẫu cỡ n gồm các giá trị quan trắc:   x1, x2 ,…, xn  và đã tính được  trung bình mẫu  xn  và phương sai mẫu  sn2   Quan trắc thêm giá trị thứ (n+1) là  xn +1 , gọi  xn +1  và  sn2+1  lần lượt là trung bình mẫu và phương sai mẫu ứng với mẫu có  (n+1) quan trắc.  a Tính  xn +1  theo  xn  và  xn +1   n ( xn +1 − xn ) = ( n − 1) s +   n +1 2 n +1 b Chứng tỏ rằng:  ns n   Bài II. ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ THỐNG KÊ  Ghi chú: những bài tập có ký hiệu T trên đầu là bài tập làm thêm, không bắt buộc.    1T. Giả sử có mẫu ngẫu nhiên cỡ 2n được chọn từ tổng thể có đặc tính X,  EX = μ   và  VarX = σ  Đặt    X1 = 2n ∑ Xi 2n i =1 vaø X = n ∑ Xi   n i =1 là hai ước lượng cho kỳ vọng  μ , hỏi ước lượng nào tốt hơn, tại sao?    2T. Xét biến ngẫu nhiên  X ~ N ( μ , σ ) , chứng tỏ rằng  a S = n X i − X )  là một ước lược chệch cho phương sai  σ   ( ∑ n i =1 b Tìm độ chệch của ước lượng. Độ chệc của ước lượng sẽ như thế nào nếu  tăng cỡ mẫu?    3T.  Biết  X   và  s12   là  trung  bình  mẫu  và  phương  sai  mẫu  lấy  từ  tổng  thể  có  kỳ  vọng là  μ1  và phương sai  σ 12  và  X  và  s22  là trung bình mẫu và phương sai mẫu  lấy từ tổng thể thứ hai độc lập có kỳ vọng là  μ2  và phương sai  σ 22  Cỡ mẫu lấy từ  hai tổng thể lần lượt là  n1  và  n2   a Chỉ ra rằng  X ‐ X  là một ước lượng không chệch cho  μ1 ‐ μ2   b Giả sử phương sai hai tổng thể bằng nhau  σ 12 = σ 22 = σ  Chỉ ra rằng  S= (n1 − 1) S12 + (n2 − 1) S22   n1 + n2 − c là một ước lượng không chệch cho  σ     4. Xét một tổng thể có phân phối chuẩn với phương sai  σ  đã biết, hỏi.  a Độ tin cậy của khoảng tin cậy  x − 2.14σ / n ≤ μ ≤ x + 2.14σ / n  là bao nhiêu?  b Độ tin cậy của khoảng tin cậy  x − 2.49σ / n ≤ μ ≤ x + 2.49σ / n  là bao nhiêu?  c Độ tin cậy của khoảng tin cậy  x − 1.85σ / n ≤ μ ≤ x + 1.85σ / n  là bao nhiêu?    5. n = 100 mẫu nước được lấy từ các hồ nước và đo hàm lượng canxi (mg/l). Một  khoảng tin cậy 95% cho hàm lượng canxi trung bình là  0.49 ≤ μ ≤ 0.82   a Khoảng tin cậy 99% được tính từ mẫu này sẽ dài hơn hay ngắn hơn KTC  95%?  b Xét  phát  biểu  sau:  có  95%  khả  năng  giá  trị  μ   từ  0.49  đến  0.82.  Phát  biểu  này đúng không? Giải thích.  c Xét  phát  biểu  sau:  Nếu  một  mẫu  ngẫu  nhiên  cỡ  n  =  100  mẫu  nước  được  chọn và đã tính KTC 95% cho  μ , và quá trình lấy mẫu này lặp lại 1000 lần,  thì 950 KTC sẽ chưa giá trị thực của  μ ? Phát biểu này đúng không? Giải  thích.    6. Đường kính của một ống piston trong động cơ xe máy có phân phối chuẩn với  độ lệch chuẩn  σ = 0.001  mm. Một mẫu ngẫu nhiên gồm 15 ống piston có đường  kính trung bình  x = 74.036  mm.  a Lập KTC 95% cho đường kính trung bình của piston.  b Lập KTC 99% cho đường kính trung bình của piston.    7T. Khoảng [L, U] gọi là Khoảng tin cậy với độ tin cây 100 γ % cho tham số  θ  nếu  P [ L ≤ θ ≤ U ] = γ  Khoảng  ( −∞,U )  và  ( L, +∞ )  lần lượt gọi là Khoảng tin cậy bên trái  và bên phải cho  θ   Xét biến ngẫu nhiên  X ~ N ( μ , σ ) , lấy mẫu n phần tử có trung  bình mẫu là  X  và phương sai đã biết  σ   a. Xây dựng KTC bên trái và bên phải cho kỳ vọng  μ   b. Gọi Y là số phần tử loại A có trong mẫu  ( X ,…, X n ) ,  hãy tìm KTC bên trái và  bên phải cho tỷ lệ p (tỷ lệ phần tử loại A trong tổng thể).    8. Gọi X là sản lượng lúa tính bằng tạ/ha. Giả sử X có phân phối chuẩn. Lấy mẫu  trên 10 thửa ruộng cho kết quả: 51, 48, 56, 57, 44, 52, 50, 60, 46, 47 .  Hãy tìm khoảng tin cậy 99% cho sản lượng lúa trung bình.  9.  Quan sát trọng lượng X (kg) của 1 nhóm thanh niên ta có bảng số liệu sau:  Trọng lượng  Số người  42,5 – 47,5  47,5 – 52,5  52,5 – 57,5  57,5 – 62,5  62,5 – 67,5  8  14  28  18  12  a Tính các tham số mẫu.  b Tìm KTC cho trọng lượng trung bình với độ tin cậy 95%.  c Những thanh niên có trọng lượng từ 55 kg trở lên gọi là nhóm có sức khỏa  loại A, hãy tìm KTC cho tỷ lệ thanh niên có sức khỏe loại A với ĐTC 98%.  10. Độ chịu nén của các hợp kim được kiểm tra bởi 1 kỹ sư, anh ta chọn 12 mẫu  để kiểm tra và thu được kết quả sau  2216    2225    2318    2237    2301    2255    2249    2281    2275    2204  2263  2295  a Có  thể  kết  luận  rằng  độ  chịu  nén  của  các  hợp  kim  tuân  theo  phân  phối  chuẩn hay không? Hãy sử dụng 1 loại đồ thị để kiểm tra phân phối của dữ  liệu.  b Lập khoảng tin cậy 95% cho độ chịu nén trung bình của một mẫu hợp kim.  c Lập khoảng tin cậy 95% bên phải cho độ chịu nén trung bình của một mẫu  hợp kim.    11.  Một  nhà  máy  sản  xuất  những  thanh  trục  sử  dụng  trong  động  cơ  xe  máy.  Chọn ngẫu nhiên 15 thanh trục và đo đường kính (Đv: mm) được kết quả sau:  8.24   8.25   8.20   8.23   8.24  8.21   8.26   8.26   8.20   8.25  8.23   8.23   8.19   8.28   8.24  a Hãy kiểm tra giả thiết về phân phối chuẩn cho đường kính thanh trục.  b Lập KTC 95% cho đường kính trung bình của 1 thanh trục.    12.  Theo  dõi  1000  bệnh  nhân  ung  thư  phổi  thấy  có  823  bệnh  nhận  chết  trong  vòng 10 năm.   a Lập KTC 95% cho tỷ lệ bệnh nhân chết vì ung thư phổi.  b Nếu  muốn  sai  số  bé  hơn  0.03  thì  phải  theo  dõi  tối  thiểu  bao  nhiêu  bệnh  nhân trong 10 năm?    13. Chọn ngẫu nhiên 50 nón bảo hiểm từ những người đi xe máy và kiểm tra độ  chịu lực của nón. Sau khi kiểm tra tháy có 18 nón bị hỏng khi tác động lực.  a Lập KTC 95% cho tỷ lệ nón bảo hiểm bị hỏng.  b Sử dụng giá trị ước lượng cho tỷ lệ nón bảo hiểm bị hỏng của mẫu 50 nón  bảo hiểm đã được chọn. Hỏi cần phải kiểm tra ít nhất bao nhiêu nón để sai  số ước lượng của KTC 95% bé hơn 0.02.  14. Một khảo sát trên các hộ gia đình ở một TP cho thấy rằng mỗi gia đình có ít  nhất  2  ti vi.  Hỏi  cần  khảo  sát  bao  nhiêu  gia đình  để  KTC  99%  có  sai  số  bé  hơn  0.017?  15. Tại một vùng rừng nguyên sinh, người ta theo dõi 1 loài chim bằng cách đeo  vòng cho chúng. Tiến hành đeo vòng cho 1000 con. Sau một thời gian, bắt lại 200  con thì thấy 40 con có đeo vòng. Hãy ước lượng số chim trong vùng rừng đó với  độ tin cậy 99%.  16. Kiểm tra 100 sản phẩm trong lô hàng thấy có 20 phế phẩm.  a. Hãy tìm KTC  95% cho tỉ lệ phế phẩm.  b. Nếu độ chính xác là 0,04 thì độ tin cậy của ước lượng là bao nhiêu.  c. Nếu muốn có độ tin cậy 99% và độ chính xác 0,04 thì phải kiểm tra bao nhiêu  sản phẩm.    17.  Một  khách  hàng  nhận  được  lô  hàng  từ  nhà  máy  sản  xuất  bút  bi  rẻ  tiền.  Để  ước lượng tỷ lệ bút bi bị hỏng, khách hàng lấy ngẫu nhiên 300 bút để kiểm tra và  thấy có 30 bút hỏng.   a.  Tìm KTC 99% cho tỷ lệ bút hỏng.  b. Tìm KTC 95% phía bên phải cho tỷ lệ bút hỏng. Lô hàng sẽ bị từ chối nếu có  trên 5% số bút hỏng. Dựa vào mẫu điều tra và KTC 95% bên phải chủ hàng có  thể từ chối lô hàng đó không. Số bút bi bị hỏng tối đa là bao nhiêu để chấp nhận  lô hàng.