Ước lượng tham số thống kê bản đầy đủ

ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ THỐNG KÊ Ướcc lượ Ướ ượng ng điểểm  Xét tổng thể có dấu hiệu X cần khảo sát  Biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ f(x) phụ thuộc vào tham số  chưa biết  Vấn đề: cần tìm tham số   (X1,X2, …, Xn) mẫu ngẫu nhiên chọn từ tổng thể  Thống kê   h(X1 , X , , X n ) gọi ước lượng   Với mẫu thực nghiệm (x1,x2, …, xn) ta có ước lượng cụ thể : *=h(x1,x2,…,xn) Ướcc lượ Ướ ượng ng điểểm  Ví dụ Xét bnn X ~ N(, 2) Cần ước lượng tham số  2 Thống kê trung bình mẫu phương sai mẫu: n X  X i n i 1 n S2  ( X  X )  i n  i 1 Xvà S ước lượng cho  2 Ướcc lượ Ướ lượng ng điể điểm - CÁC TIÊU CHUẨN  ƯỚC LƯỢNG - Các tiêu chuẩn ước lượng: không chệch, hiệu quả, bền vững Ước lượng  gọi ước lượng không chệch cho tham số  E( )   E( )   gọi độ chệch ước lượng X , S2 ước lượng không chệch cho kỳ vọng  phương sai 2 Ướcc lượ Ướ lượng ng điể điểm - CÁC TIÊU CHUẨN ƯỚC LƯỢNG Xét  ,  , ,  k , ước lượng không chệch tham số , ước lượng  *   ,  , gọi ước lượng hiệu Var ( * )  Var ( i ),  i Phân phối Phân phối Ví dụ   Cho mẫu ngẫu nhiên (X1,X2, …, Xn) biết Xi ~ N(, 2) a) CMR: thống kê sau: X1  X   Xi X1  X   X n Z1  X1; Z  X ; Zi  ; Zn  i n ước lượng không chệch   b) Trong ước lượng ước lượng tốt Ví dụ  Cho mẫu ngẫu nhiên (X1,X2, …, Xn) lấy từ tổng thể có kì vọng  phương sai 2 Xét thống kê: Z1  X1  X   nX n n  n  1 X1  X   X n ; Z2  X  n a) CMR: thống kê ước lượng không chệch  b) Trong hai ước lượng ước lượng tốt Ướcc lượ Ướ lượng ng điể điểm - CÁC TIÊU CHUẨN ƯỚC LƯỢNG Ước lượng   h  X , X ,, X n  gọi ước lượng vững tham số  lim P   X , X , , X n       1,   n    X , s2 ước lượng vững cho kỳ vọng  phương sai 2 Ước lượng khoảng  Giả sử tổng thể có tham số  chưa biết Dựa vào mẫu ngẫu nhiên ta tìm khoảng (1; 2) cho: P(1 <  30 thì:  p 1  p   F ~ N  p,  n   Khoảng tin cậy tỉ lệ Ta thấy: F  p n  Z ~ N (0,1) p 1  p  Khoảng tin cậy hẹp Z cho ta khoảng tin cậy hẹp p Do tính đối xứng nên với độ tin cậy (1- ) cho trước khoảng ước lượng hẹp Z khoảng đối xứng qua Khoảng ước lượng Z là:     t ; t cho P Z  t  1 1   1      2    Khi đó:    F  p n  t P  t1  Z  t1      P  t1  1  p 1  p   2   Ta xét bất đẳng thức sau: t1  F  p n  t  1 p 1  p     1    2 2          nF  p     t1    n   t1   p   2nF   t1   p  np    p 1  p            Khoảng tin cậy tỉ lệ Giải bất đẳng thức ta khoảng ước lượng cho tỉ lệ  Tuy nhiên để đơn giản, thực hành ta làm sau:    p 1  p   F (1  F ) Xấp xỉ: Ta có bất đẳng thức:  F  p n t1  F (1  F )  t1  F  t1 2 F (1  F )  p  F  t1 n Vậy khoảng ước lượng p là:   F  t1  F (1  F ) ; F  t1 n F (1  F )   n  F (1  F ) n Ví dụ:  Ví dụ Một nghiên cứu thực nhằm ước lượng thị phần sản phẩm bánh kẹo nội địa mặt hàng bánh kẹo Kết điều tra mẫu ngẫu nhiên 100 khách hàng thấy có 34 người dùng sản phẩm bánh kẹo nội địa Như với độ tin cậy 95% tỉ lệ khách hàng sử dụng bánh kẹo nội địa, p, ước lượng là: f t  1 f 1  f  n  p  f t 1 f 1  f   n Ví dụ:  Trong đó: f  0,34, t1  t0,475  1,96, n  100  30  Từ ta có khoảng ước lượng p là: 0, 2472  p  0, 4328  Điều có nghĩa với độ tin cậy 95%, thị phần bánh kẹo nội địa ước lượng từ 24,72% đến 43,28% Phân phối phương sai mẫu   Ta giả sử: cỡ mẫu n>30 tổng thể có phân phối chuẩn Khi biết trung bình tổng thể *2 n nS  Xi        n       i 1   Chưa biết trung bình tổng thể n  Xi  X  n 1 2 S       n 1    i 1  28 Khoảng tin cậy cho phương sai: Trường hợp 1: biết trung bình tổng thể  Ta thấy:  nS *2 Z     n  Do pp Khi bình phương không đối xứng nên ta chọn khoảng tin cậy cho Z sau:  Chọn khoảng (a;b) cho:  n      b    1  P  Z  b    P  Z  b          n   a   P  Z  a  P  Z  a        2 Khoảng tin cậy cho phương sai:  Khoảng tin cậy Z là:  n n     ; 1   2   Ta có bất đẳng thức: *2 *2 *2 nS nS nS  n    n   n    n 1     2 1  2 Từ ta tìm khoảng tin cậy σ2 sau:   *2 *2  nS nS   n ; n     1  2  Khoảng tin cậy cho phương sai: Trường hợp 2: chưa biết trung bình tổng thể µ  Ta thấy:  n  1 S  Z 2    n  1 Do pp Khi bình phương không đối xứng nên ta chọn khoảng tin cậy cho Z sau:  Chọn khoảng (a;b) cho:  n 1      b    1  P  Z  b    P  Z  b          n 1   a   P  Z  a  P  Z  a        2 Khoảng tin cậy cho phương sai:  Khoảng tin cậy Z là:  n1 n1     ; 1   2   Ta có bất đẳng thức:  n1   n  S   2   n1  1 n  S    n1 1 2  2 n  S    n1 Từ ta tìm khoảng tin cậy σ2 sau:   2 n  S n  S          n 1  1  ;  n1    Ví dụ  Ví dụ Một nhà sản xuất quan tâm đến biến thiên tỉ lệ tạp chất loại hương liệu cung cấp Chọn ngẫu nhiên 15 mẫu hương liệu thấy độ lệch chuẩn hiệu chỉnh tỉ lệ tạp chất 2,36% Như vậy, khoảng tin cậy 95% phương sai tỉ lệ tạp chất hương liệu là:  n  1 S  n1 1 2 n  S   2   n1  Với n  15, s   2,36   5,5696,    0,95 14 14  0,975  26,1189,  0,025  5, 6287  Ta có: 2,9852    13,85  Do đó, khoảng tin cậy 95% độ lệch chuẩn tỉ lệ tạp chất là: 1,7277    3,7215