Uoc luong tham so thong ke

Công nhân gọi là thu nhập cao nêu lương từ 2 triệu đồng trở lên. a.[r]

Ước lượng điểm

 Bài toán ước lượng điểm: Cho biến ngẫu nhiên X

có hàm mật độ xác suất f(x,);  tham số chưa

biết hàm mật độ, ta cần tìm  Xét mẫu ngẫu

nhiên cỡ n: (X1, X2, , Xn) lấy từ X Một thống

kê gọi ước lượng điểm 

Bài tốn tìm gọi toán ước lượng điểm Và giá trị ước lượng điểm cụ thể cho 

 

ˆ , ,

n

h X X

 

ˆ  ˆ

Ước lượng điểm

 Ví dụ:

- Xét X biến ngẫu nhiên có pp chuẩn X ~ N(, 2) - Thì hai tham số cần tìm - Hai ước lượng cho  2 là:

 2  

2 , ,        1

ˆ n i

i X X n      2 1

ˆ n ( i )

Ước lượng tham số Khoảng tin cậy (KTC)

 Giả sử  tham số chưa biết biến ngẫu nhiên

X Dựa vào mẫu (X1, X2, ., Xn) cần tìm hai đại

lượng 1(X1, , Xn) 2(X1, , Xn) cho

 Với  đủ lớn cho trước, thường =95% 99%

Xác suất  gọi Độ tin cậy (ĐTC) ước lượng Khoảng [1, 2] gọi khoảng tin cậy ước lượng

 

Ước lượng tham số Khoảng tin cậy (KTC)

 Ý nghĩa (*):

Có 100% số lần lấy cỡ mẫu n  [1, 2].

Khoảng tin cậy cho kỳ vọng

 Trường hợp biết trước phương sai

Xét biến ngẫu nhiên X ~ N(, 2) Với  cho trước,

cần tìm KTC cho kỳ vọng  với ĐTC  Lấy mẫu (X1,

X2, , Xn).

Đặt

Khi Z ~ N(0,1)

 X  n

Z 

Khoảng tin cậy cho kỳ vọng

TH biết trước phương sai

 Khoảng tin cậy cho  với ĐTC  có dạng

 Với phân vị mức (1+)/2 Z  Tìm : tra bảng chuẩn

1

2

X z X z

n n

 

 



     

1

z 

1

Khoảng tin cậy cho kỳ vọng

TH biết trước phương sai

 Sai số (Độ xác):

 Khoảng tin cậy:

1

z

n 





 ò

,

X  X 

 

Khoảng tin cậy cho kỳ vọng

 Trường hợp phương sai – n < 30 Xét biến ngẫu nhiên X ~ N(, 2) , khơng biết,

cần tìm KTC cho kỳ vọng  với ĐTC  Lấy mẫu (X1, X2, , Xn), cỡ mẫu n<30.

Đặt

 T: phân phối Student với (n-1) bậc tự

 

ˆ T

S

X   n

Khoảng tin cậy cho kỳ vọng

TH phương sai – n < 30

 Khoảng tin cậy cho  với ĐTC  có dạng

 Với phân vị mức (1+)/2 T  Tìm : tra bảng Student

1

1

2

ˆ ˆ

n S n S

t t

n n

X     X  

1

n

t  

1

2

n

Khoảng tin cậy cho kỳ vọng

TH phương sai – n < 30

 Sai số (Độ xác):

 Khoảng tin cậy:

1

1 ˆ

n S

t

n

 



 ò

,

X  X 

 

Khoảng tin cậy cho kỳ vọng

 Trường hợp phương sai – n > 30 Khi n > 30  không biết, khoảng tin cậy tương tự trường hợp n < 30 thay đổi T Z

 Khoảng tin cậy có dạng

 

ˆ

Z

S

X   n 

1

2

ˆ ˆ

S S

X

n

z z

n X

  

    

Khoảng tin cậy cho kỳ vọng

 Ví dụ

Biết lương tháng công nhân nhà máy bnn X ~ N((, 2) Khảo sát 16 công nhân

a Biết =0,63, lập KTC 96% cho 

b  không biết, lập KTC 99% cho  Để có sai số  0,08 triệu đồng cỡ mẫu ta chọn bé

Khoảng tin cậy cho tỷ lệ

 Xét biến ngẫu nhiên X ~ B(n,p), p chưa biết Cần

tìm KTC cho p với ĐTC 

 Lấy mẫu (X1, X2, , Xn).  Đặt

 Z có phân phối chuẩn hóa, Z ~ N(0,1)

ˆ )

( p Z

p p

q

n

Khoảng tin cậy cho tỷ lệ

 Khoảng tin cậy cho tỷ lệ p với ĐTC  có dạng:

 Với

 : phân vị mức (1+)/2 Z  Sai số:

1

2

ˆ(1 ˆ) ˆ(1 ˆ)

ˆ p p ˆ p p

p z p p z

n n

 

 

 

   

ˆ , ˆ ˆ

p X q p n

  

1

z 

1

ˆ(1 ˆ)

Khoảng tin cậy cho tỷ lệ

 Ví dụ Biết lương tháng công nhân nhà

máy bnn X ~ N((, 2) Khảo sát 16 công nhân

Công nhân gọi thu nhập cao nêu lương từ triệu đồng trở lên

a Lập KTC 95% cho tỷ lệ CN có thu nhập cao

b Để có sai số 0,04 ĐTC 95% cỡ mẫu cần lấy