Bài giảng xác suất thống kê luật số lớn

Chương LUẬT SỐ LỚN Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến Hội tụ theo xác suất • Dãy biến ngẫu nhiên X1, X2,…,Xn gọi hội tụ theo xác suất bnn X nếu: lim P ( X n − X > ε ) = 0, ∀ε > n →∞ • Ký hiệu: X n  →X P n →∞ Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến Hội tụ theo phân phối • • Dãy biến ngẫu nhiên X1, X2,…,Xn gọi hội tụ theo phân phối bnn X nếu: lim P ( X n < x ) = P ( X < x ) , ∀x Ký hiệu:n →∞ lim FX n ( x ) = FX ( x ) , ∀x n →∞ X n  →X F n →∞ Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến Ý nghĩa • • • Hội tụ theo xác suất: n đủ lớn ta xem Xn không khác biệt so với X Hội tụ theo phân phối: Hội tụ P kéo theo hội tụ F Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến Bất đẳng thức Chebyshev • Cho X biến ngẫu nhiên không âm, có kỳ vọng hữu hạn Khi với a>0 ta có: E( X ) P( X > a) ≤ a Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến Bất đẳng thức Chebyshev • Cho X biến ngẫu nhiên có kỳ vọng phương sai hữu hạn Khi đó: V(X) P X − E( X ) ≥ ε ≤ ε ( ) V(X) P X − E ( X ) < ε ≥ 1− ε ( Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 ) Nguyễn Văn Tiến Luật số lớn Chebyshev • Cho X1, X2,…,Xn biến ngẫu nhiên độc lập, có kỳ vọng hữu hạn phương sai bị chặn số C thì: n 1 n  lim P  ∑ X i − ∑ E ( X i ) < ε ÷ = n →∞ n i =1  n i =1  ∀ε > Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến Hệ • Cho X1, X2,…,Xn biến ngẫu nhiên độc lập, có kỳ vọng µ phương sai bị chặn số C thì: X + X + + X n P  →µ n →∞ n Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến Hệ • Cho X1, X2,…,Xn biến ngẫu nhiên độc lập, có phân phối xác suất Giả sử kỳ vọng µ phương sai σ2 thì: X + X + + X n P  →µ n →∞ n Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến Ý nghĩa • Trung bình bnn độc lập hội tụ theo xác suất trung bình kỳ vọng tương ứng chúng • Như biến ngẫu nhiên có độc lập nhận giá trị khác nhiều so với kỳ vọng chúng trung bình số lớn bnn độc lập lại nhận giá trị gần với trung bình kỳ vọng chúng với xác suất lớn Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 10 Đồ thị hàm mật độ t(2); t(6) t(20) Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 30 So sánh với N(0,1) Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 31 Đồ thị hàm mật độ t(5) t(20) Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 32 Tính chất Neáu T ~ t ( n ) thì: a ) E ( T ) = ( n > 1) ; n b) V ( T ) = ( n > 2) n−2 F c) T  → N ( 0,1) n →∞ Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 33 Dò bảng xác suất Khi BP • • Ký hiệu: χα ( n ) Là giá trị cho: P ( Z > χα ( n ) ) = α , vôùi Z ~ χ ( n) α χα ( n ) Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến  Đưa dạng  Lấy giao hàng cột tương ứng  Hàng: bậc tự n  Cột: xác suất bên phải 34 Dò bảng xác suất Student • • Ký hiệu: tα ( n ) Là giá trị cho: P ( Z > tα ( n ) ) = α , vôùi Z ~ t ( n ) α tα ( n ) Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 35 Ví dụ • Cho • Tìm xác suất sau: Z: χ ( 20 ) a) P ( Z > a ) = 0,95 b) P ( Z < 8,2604 ) = ? c) P ( 10,8508 < X < 31, 4104 ) = ? Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 36 Ví dụ • Cho • Tìm xác suất sau: Z : T ( 15 ) a) P ( Z > a ) = 0,025 b) P ( Z < 2,4899 ) = ? c) P ( 2,0343 < X < 2,9467 ) = ? d) P ( Z > b ) = 0,975 Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 37 Ví dụ • Cho • Tìm xác suất sau: Z : T ( 40 ) a) P ( Z > 2,7045 ) = ? b) P ( 1,7232 < X < 2, 2990 ) = ? d) P ( Z > b ) = 0,025 Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 38 Phân phối Fisher - Snedecor • • • Ta định nghĩa thông qua phân phối Khi bình phương Xét hai biến ngẫu nhiên độc lập Đặt: X ~χ ( n) ; Y~χ ( m) X / n mX F= = Y / m nY Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 39 Phân phối Fisher - Snedecor • Khi ta nói F có phân phối Fisher – Snedecor với (n,m) bậc tự n+m n  n    −1÷ Γ ÷ n  ÷ 2  x     f ( x) = ,x >  ÷ n+ m n mm n  Γ  ÷Γ  ÷  1 + x ÷ 2    m  Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 40 Đồ thị hàm mật độ • Gần giống với đồ thị phân phối Khi bình phương Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 41 Đồ thị hàm mật độ Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 42 Đồ thị hàm mật độ F ( n, m )  → N ( 1,0 ) F m→∞ n→∞ Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 43 Tính chất • Cho X~F(n,m) thì: m E( X ) = , ( m > 2) m−2 2m ( n + m − ) V( X) = , ( m > 4) n ( m − 2) ( m − 4) F ( n, m )  → N ( 1,0 ) F m→∞ n→∞ Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 44 [...]... n    ÷ 2 Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 28 Quan hệ với Chuẩn và Khi BP • Cho X, Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập X ~ N ( 0,1) ; Y ~ χ • 2 ( n) Khi đó: X X n T= = ~ t ( n) Y Y n Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 29 Đồ thị hàm mật độ t(2); t(6) và t(20) Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 30 So sánh với N(0,1) Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn... thị: Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 20 Đồ thị hàm mật độ n=4 n=5 Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 21 Đồ thị hàm mật độ Khi BP • Đồ thị hàm mật độ khi n=10 và n=20 Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 22 Đồ thị hàm mật độ • Khi n=30, vẽ trên đoạn từ 7 đến 53 (trong khoảng 3 độ lệch chuẩn) E ( X ) = n = 30 V ( X ) = 2n = 60 ⇒ σ ≈ 7, 74 Bài giảng Xác suất Thống. .. mật độ t(5) và t(20) Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 32 Tính chất Nếu T ~ t ( n ) thì: a ) E ( T ) = 0 ( n > 1) ; n b) V ( T ) = ( n > 2) n−2 F c) T  → N ( 0,1) n →∞ Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 33 Dò bảng xác suất Khi BP • • Ký hiệu: χα ( n ) Là giá trị sao cho: P ( Z > χα ( n ) ) = α , với Z ~ χ 2 ( n) α χα ( n ) Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến... Nguyễn Văn Tiến 2 15 Ví dụ 2 • Điều trị cho 500 người Tìm xác suất sao cho độ lệch giữa tần suất khỏi và xác suất khỏi khơng vượt q 0,05 Biết xác suất khỏi khi điều trị là 0,85 Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 16 BỔ SUNG CHƯƠNG 3 • • • Phân phối Khi bình phương Phân phối Student Phân phối Fisher - Snedecor Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 17 Hàm Gamma +∞ Với α >0, đặt Γ...  Hàng: bậc tự do n  Cột: xác suất bên phải 34 Dò bảng xác suất Student • • Ký hiệu: tα ( n ) Là giá trị sao cho: P ( Z > tα ( n ) ) = α , với Z ~ t ( n ) α tα ( n ) Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 35 Ví dụ • Cho • Tìm các xác suất sau: Z: χ 2 ( 20 ) a) P ( Z > a ) = 0,95 b) P ( Z < 8,2604 ) = ? c) P ( 10,8508 < X < 31, 4104 ) = ? Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 36... phân phối xác suất với kỳ vọng µ và phương sai là σ2 thì: n Sn = ∑X i =1 i − nµ σ n lim P ( S n < x ) = n →∞ Bài giảng Xác suất Thống kê 2014  → N ( 0,1) F n →∞ x ∫ ϕ ( t ) dt = 0,5 + φ ( x ) −∞ Nguyễn Văn Tiến 14 Ví dụ 1 • Đo chiều cao của 125 thanh niên Tìm xác suất sao cho độ lệch giữa chiều cao trung bình và chiều cao lý thuyết khơng vượt q 2cm biết V(X)=(4,7cm) Bài giảng Xác suất Thống kê 2014.. .Luật số lớn Bernoulli • • Gọi fn là tần suất xuất hiện bc A trong n phép thử độc lập Tần suất fn hội tụ theo xác suất về xác suất p của biến cố A lim P ( f n − p < ε ) = 1, ∀ε > 0 n →∞ Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 11 Chứng minh • • Xét dãy các bnn như sau: 1 Xk =  0 , nếu A xảy ra lần... 2 + + X n k P = = f n  →p n →∞ n n Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 12 Định lý Giới hạn trung tâm (CLT) • Cho X1, X2,…,Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập, có cùng phân phối xác suất với kỳ vọng µ và phương sai là σ2 thì: hay n X = ∑ X i  → N ( nµ , nσ F n →∞ i =1 2 ) → N ( nµ , nσ ( X 1 + X 2 + + X n )  F n →∞ Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 2 ) 13 Định lý... Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 23 2 Tính chất X~χ (n) ( n2 ) và độc lập thì: 2 X1 + X 2 ~ χ ( n1 + n2 ) a ) Nếu X 1 ~ χ 2 ( n1 ) ; X2 ~ χ 2 X −n F b) Nếu X ~ χ ( n ) thì  → N ( 0,1) n →∞ 2n 2 Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 24 Quan hệ với pp N(0,1) • • Cho n biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối N(0,1) Khi đó: X i ~ N ( 0,1) n ∑X i =1 Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn... X i ~ N ( µ ,σ 2 ) Khi đó: 2  Xi − µ  2 ∑  ÷ ~ χ ( n) σ  i =1  n Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 26 Quan hệ với pp N(0,1) • Cho n biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối chuẩn X i ~ N ( µ ,σ • 2 ) 1 X = ( X 1 + X 2 + + X n ) n Khi đó: 2  Xi − X  2  ÷ ~ χ ( n − 1) ∑ σ  i =1  n Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 27 Phân phối Student t(n) • • Kí hiệu: X ~ t(n) ... chúng với xác suất lớn Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 10 Luật số lớn Bernoulli • • Gọi fn tần suất xuất bc A n phép thử độc lập Tần suất fn hội tụ theo xác suất xác suất p biến... Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 29 Đồ thị hàm mật độ t(2); t(6) t(20) Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 30 So sánh với N(0,1) Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn... V(X)=(4,7cm) Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 15 Ví dụ • Điều trị cho 500 người Tìm xác suất cho độ lệch tần suất khỏi xác suất khỏi khơng vượt q 0,05 Biết xác suất khỏi điều trị 0,85 Bài