Bài giảng xác suất thống kê biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc

Chương Biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến Khái niệm vectơ ngẫu nhiên • Một vectơ ngẫu nhiên n chiều có thứ tự (X1, X2,…,Xn) với X1, X2,…,Xn biến ngẫu nhiên • Vectơ ngẫu nhiên chiều ký hiệu (X,Y) với X biến ngẫu nhiên thứ nhất, Y biến ngẫu nhiên thứ • Vectơ ngẫu nhiên n chiều liên tục hay rời rạc tất biến ngẫu nhiên thành phần liên tục hay rời rạc Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến Biến (Vectơ) hai chiều (X,Y) • Là có thứ tự (X,Y) với X, Y biến ngẫu nhiên • Nếu X Y rời rạc ta có bnn hai chiều rời rạc • Nếu X Y liên tục ta có bnn hai chiều liên tục • Nếu biến rời rạc biến liên tục phức tạp nên ta khơng xét trường hợp • Trong phần ta xét biến hai chiều rời rạc (X,Y) Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến Hàm ppxs đồng thời • Cho biến ngẫu nhiên (X, Y) • Hàm ppxs biến hai chiều (X,Y): F(x,y) F ( x, y ) = P ( X < x , Y < y ) , Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến ∀x, y ∈ R Tính chất i) ≤ F ( x, y ) ≤ ii ) F ( x, y ) không giảm theo biến iii ) F ( −∞, y ) = F ( x, −∞ ) = F ( +∞, +∞ ) = iv) Với x1 < x2 ; y1 < y2 ta có: P ( x1 ≤ X < x2 , y1 ≤ Y < y2 ) = F ( x2 , y2 ) − F ( x2 , y1 ) − F ( x1 , y2 ) + F ( x1 , y1 ) Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến Chú ý F ( x; +∞ ) = P ( X < x, Y < +∞ ) = P ( X < x ) = FX ( x ) F ( +∞; y ) = P ( X < +∞; Y < y ) = P ( Y < y ) = FY ( y ) • Đây phân phối riêng X Y tương ứng Chúng gọi phân phối biên dun (phân phối lề) biến hai chiều (X, Y) Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến Tính độc lập biến nn • Hai biến ngẫu nhiên X Y gọi độc lập biến ngẫu nhiên nhận giá trị hay giá trị khác khơng ảnh hưởng đến phân bố xác suất biến ngẫu nhiên • Định lý: Giả sử F(x,y) hàm phân bố biến ngẫu nhiên (X,Y) Khi đó, X Y độc lập khi: F x , y = F x F y ( Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 ) X ( ) Nguyễn Văn Tiến Y ( ) Bảng ppxs (X,Y) y2 … yj … x1 p11 p12 … p1j … p1m p1● x2 p21 p22 … p2j … p2m p2● … … … … … … … … xi pi1 pi2 … pij … pim pi● … … … … … … … … xn pn1 pn2 … pnj … pnm pn● ∑ p●1 p●2 … p●j … p●n Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến ym ∑ y1 Ppxs đồng thời (X,Y) • Trong đó: i ) pij = P ( X = xi , Y = y j ) n ii ) m ∑∑ p i =1 j =1 ij =1 m n j =1 i =1 iii ) pi• = ∑ pij ; p• j = ∑ pij Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến Ppxs thành phần (phân phối lề) • Bảng phân phối xác suất X: X P x1 x2 … p1● p2● … • Bảng phân phối xác suất Y: Y P y1 y2 … p●1 p●2 … Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến xn pn● ym p● m Các tham số đặc trưng bnn • Kỳ vọng • Phương sai • Hệ số tương quan • Hiệp phương sai Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến Kỳ vọng X • Bảng phân phối xác suất X: X P x1 x2 … p1● p2● … xn pn● n E ( X ) = ∑ xi P ( X = xi ) = ∑ xi p1• = µ X i E ( X ) = ∑∑ xi pij i Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 i =1 j Nguyễn Văn Tiến Kỳ vọng Y • Bảng phân phối xác suất Y: Y P y1 y2 … p●1 p●2 … ym p● m m E ( Y ) = ∑ y j P ( Y = y j ) = ∑ y j p• j = µY j =1 j E ( Y ) = ∑∑ y j pij j Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 i Nguyễn Văn Tiến Kỳ vọng hàm theo X,Y • Cho X,Y có phân phối biết Đặt Z=g(X,Y) biến • Ta có: E ( g ( X , Y ) ) = ∑∑ g ( xi , y j ) P ( X = xi , Y = y j ) i j E ( g ( X , Y ) ) = ∑∑ g ( xi , y j ) pij i Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 j Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Cho Z=X+Y bảng ppxs đồng thời sau: (X,Y) pij (0;0) 0,1 (0;1) (0;2) (1;0) (1;1) (1;2) 0,2 0,3 0,05 0,15 0,2 E ( Z ) = E ( X + Y ) = ( + ) 0,1 + ( + 1) 0, + ( + ) 0,3 + ( + ) 0, 05 + ( + 1) 0,15 + ( + ) 0, = 1, 75 Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến Phương sai X, Y • Được tính biến ngẫu nhiên chiều • Sử dụng bảng phân phối xác suất lề X, Y V ( X ) = E( X −E( X )) = E( X V ( X ) = E(Y − E(Y)) = E(Y Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 2 ) −( µ ) X ) −( µ ) Y 2 Hiệp phương sai (Covariance) • Hiệp phương sai hai biến ngẫu nhiên X Y, ký hiệu cov(X,Y), kỳ vọng tốn tích sai lệch bnn kỳ vọng tốn chúng cov ( X , Y ) = E ( X − µ X ) ( Y − µY ) cov ( X , Y ) = E ( XY ) − µ X µY Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến Tính chất Covariance 1) cov ( X , Y ) = cov ( Y , X ) 2) cov ( X , X ) = V ( X ) 3) cov ( X + X ', Y ) = cov ( X , Y ) + cov ( X ', Y ) 4) cov ( kX , Y ) = k cov ( X , Y ) 5) cov ( aX + c, bY + d ) = ab cov ( X , Y ) Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến Tính chất Covariance 6) Nếu X Y độc lập cov ( X , Y ) = 0, ngược lại không 7) V ( X + Y ) = V ( X ) + V ( Y ) − cov ( X , Y ) 8) V ( aX + bY ) = a 2V ( X ) + b 2V ( Y ) + 2ab cov ( X , Y ) 9) cov ( X , Y )  ≤ V ( X ) V ( Y ) Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến Hệ số tương quan • Hệ số tương quan hai biến ngẫu nhiên X, Y ký hiệu định nghĩa cơng thức: ρ X ,Y cov ( X , Y ) = σ XσY • Hệ số tương quan ký hiệu là: ρ ( X ,Y ) ; r ( X ,Y ) Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến Tính chất i ) − ≤ ρ X ,Y ≤ với X, Y ii ) Nếu X Y độc lập ρ X ,Y =  ρ X ,Y ab>0 iii ) ρ aX + c ,bY + d =  − ρ X ,Y ab0 a[...]... ) 0, 2 = 1, 75 Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến Phương sai của X, Y • Được tính như đối với biến ngẫu nhiên một chiều • Sử dụng bảng phân phối xác suất lề của X, Y V ( X ) = E( X −E( X )) = E( X 2 V ( X ) = E(Y − E(Y)) = E(Y 2 Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 2 2 ) −( µ ) X ) −( µ ) Y 2 2 Hiệp phương sai (Covariance) • Hiệp phương sai của hai biến ngẫu nhiên X và Y, ký... dụ 1 • Cho biến ngẫu nhiên (X,Y) có bảng phân phối xác suất: Y X 1 2 1 2 3 0,10 0,15 0,25 0,05 0,10 0,35 • Tìm luật ppxs của các biến X và Y • Tính F(2,3) Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến Hai bnn độc lập • Từ định nghĩa, hai biến rời rạc X và Y gọi là độc lập nếu: P ( X = xi , Y = y j ) = P ( X = xi ) P ( Y = y j ) hay pij = pi• × p• j • Dấu hiệu: • Hai hàng bất kỳ tỷ lệ • Hai cột bất... 50 80 Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 0,10 0,15 0,05 0,05 0,20 0,05 Nguyễn Văn Tiến 0 0,05 0,35 Ví dụ 4 • Nếu doanh thu quảng cáo là 700 triệu đồng thì chi phí quảng cáo trung bình là bao nhiêu? A 60,5 B 48,3333 C 51,6667 D 76,25 Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến Các tham số đặc trưng của bnn • Kỳ vọng • Phương sai • Hệ số tương quan • Hiệp phương sai Bài giảng Xác suất Thống kê 2014... hiệu: • Hai hàng bất kỳ tỷ lệ • Hai cột bất kỳ tỷ lệ Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ 2 • Phân phối xác suất đồng thời của biến ngẫu nhiên (X,Y) cho bởi bảng sau: Y X 6 7 8 1 2 3 0,10 0,05 0,10 0,05 0,15 0,20 0,15 0,10 0,10 • Tính P(X=6) và P(X ≥ 7, Y ≥2) • Lập bảng ppxs thành phần và tính E(X), E(Y) Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến Ppxs có điều kiện • Từ cơng thức... pim ) pi• • Kỳ vọng của Y với điều kiện X=xi Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ 3 • Phân phối xác suất đồng thời của biến ngẫu nhiên (X,Y) cho bởi bảng sau: Y X 6 7 8 1 2 3 0,10 0,05 0,10 0,05 0,15 0,20 0,15 0,10 0,10 • Lập bảng ppxs của X với đk Y=2 Tính E(X|Y=2)? • Lập bảng ppxs của Y với đk X=8 Tính E(Y|X=8)? Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ 4 • Chi phí quảng... của X • Bảng phân phối xác suất của X: X P x1 x2 … p1● p2● … xn pn● n E ( X ) = ∑ xi P ( X = xi ) = ∑ xi p1• = µ X i E ( X ) = ∑∑ xi pij i Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 i =1 j Nguyễn Văn Tiến Kỳ vọng của Y • Bảng phân phối xác suất của Y: Y P y1 y2 … p●1 p●2 … ym p● m m E ( Y ) = ∑ y j P ( Y = y j ) = ∑ y j p• j = µY j =1 j E ( Y ) = ∑∑ y j pij j Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 i Nguyễn Văn Tiến... ( Y ) + 2ab cov ( X , Y ) 9) cov ( X , Y )  ≤ V ( X ) V ( Y ) 2 Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến Hệ số tương quan • Hệ số tương quan của hai biến ngẫu nhiên X, Y ký hiệu và định nghĩa bởi cơng thức: ρ X ,Y cov ( X , Y ) = σ XσY • Hệ số tương quan còn ký hiệu là: ρ ( X ,Y ) ; r ( X ,Y ) Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến Tính chất i ) − 1 ≤ ρ X ,Y ≤ 1 với mọi X, Y ii... y ∈ { y1 , y2 , , ym } Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến Hàm hồi qui của Y đối với X • Kỳ vọng có điều kiện: E ( Y X = x) là một hàm theo x, được gọi là hàm hồi quy của Y đối với X Đồ thị hàm số gọi là đường hồi quy Chú ý: Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 x ∈ { x1 , x2 , , xn } Nguyễn Văn Tiến Trắc nghiệm chương 4,5 • Tính các kỳ vọng biên, phương sai biên, xác suất có điều kiện, hệ số... ) = Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 P ( X = xi , Y = y j P( Y = yj ) P ( X = xi , Y = y j P ( X = xi ) Nguyễn Văn Tiến )= )= pij p• j pij pi• , , i = 1, n j = 1, m Bảng ppxs điều kiện 1 • PPXS của X với điều kiện Y=yj X ( P X = xi Y = y j ( E X Y = yj ) ) x1 x2 p1 j p2 j p• j p• j pnj p• j 1 = x1 p1 j + x2 p2 j + + xn pnj ) ( p• j • Kỳ vọng của X với điều kiện Y=yj Bài giảng Xác suất Thống kê 2014... ≠ 0 ) khi và chỉ khi: ρ X ,Y Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 1 = −1 nếu a>0 nếu a ... nhiên thứ • Vectơ ngẫu nhiên n chiều liên tục hay rời rạc tất biến ngẫu nhiên thành phần liên tục hay rời rạc Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến Biến (Vectơ) hai chiều (X,Y) • Là... vectơ ngẫu nhiên • Một vectơ ngẫu nhiên n chiều có thứ tự (X1, X2,…,Xn) với X1, X2,…,Xn biến ngẫu nhiên • Vectơ ngẫu nhiên chiều ký hiệu (X,Y) với X biến ngẫu nhiên thứ nhất, Y biến ngẫu nhiên. .. hợp • Trong phần ta xét biến hai chiều rời rạc (X,Y) Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến Hàm ppxs đồng thời • Cho biến ngẫu nhiên (X, Y) • Hàm ppxs biến hai chiều (X,Y): F(x,y) F (