Bài giảng xác suất thống kê quy luật phân phối xác suất thường gặp

Chương Qui luật phân phối xác suất thường gặp Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến Bài toán Xét tập hợp có N phần tử N −M Tính chất A M Lấy ngẫu nhiên n phần tử X: số phần tử có t/c A n phần tử lấy Qui luật ppxs X? Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến Bài toán • Ta có: X={0,1,2,…,k} k M n−k N −M n N C C P( X = k ) = C • • Bnn X gọi có phân phối Siêu bội X~H(N, M, n) Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến Phân phối Siêu bội Kí hiệu: X~H(N,M,n) Định nghĩa: Bnn X gọi phân phối theo qui luật siêu bội nếu: • • X={0,1,2,3…n} Với xác suất tương ứng là: k M n−k N −M n N C C P( X = k ) = C Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Trong cửa hàng bán 100 bóng đèn có bóng hỏng Một người mua ngẫu nhiên bóng Gọi X số bóng hỏng người mua phải a) b) X pp theo qui luật gì? Viết biểu thức? Lập bảng phân phối xác suất X? Tính kì vọng, phương sai bnn X? Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Có 100 bóng đèn Tính chất 95 Lấy ngẫu nhiên bóng A: hỏng X : H ( 100, 5, 3) X: số bóng hỏng k 5− k 95 C C P( X = k ) = C100 Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến Phân phối siêu bội Bảng ppxs: X P 0,856 0,138 0,006 0,000 E ( X ) ≈ 0,15 V ( X ) ≈ 0,1395 Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến Các tham số Cho bnn X~H(N,M,n) ta có: N −n Var ( X ) = npq N −1 E ( X ) = np; Trong đó: Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 M p= ; N Nguyễn Văn Tiến q = 1− p Tính lại kết Ví dụ Kỳ vọng: Phương sai: E ( X ) = np = = 0,15 100 N −n V ( X ) = npq N −1 95 97 1843 V ( X ) = = ≈ 0,13962121 100 100 99 13200 Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Một hộp có 20 sản phẩm có phế phẩm Lấy ngẫu nhiên sp từ hộp Gọi X số phế phẩm sp a) b) c) Lập bảng phân phối xác suất X Tính E(X), Var(X)? Tìm Mod(X), Med(X)? Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 10 Tính chất Cho X1, X2 hai bnn độc lập Giả sử: Khi đó: X : B ( n1 , p ) ; X : B ( n2 , p ) Hệ quả: Tổng n biến ngẫu nhiên độc lập, có pp A(p) bnn có pp B(n,p) X + X : B ( n1 + n2 , p ) n X i : A ( p ) ⇒ Z = ∑ X i : B ( n, p ) i =1 Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 25 Ví dụ • Một cửa hàng ngày nhận bán 10 loại nhật báo khác Xác suất bán hết báo ngày loại 0,8 Vậy năm với khoảng 300 ngày bán hàng có khoảng ngày bán không hết báo? Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 26 Cách học pp xác suất • • • • • Nhớ tên phân phối Công thức (cách) tính xác suất Các tham số đặc trưng Bài toán dẫn đến phân phối (thường gặp siêu bội Bernoulli) Với bnn rời rạc nhớ thêm miền giá trị Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 27 Phân phối Poisson P(λ) Kí hiệu: X~ P(λ) Định nghĩa: bnn X gọi phân phối theo qui luật Poisson P(λ) • • X={0,1,2,3…} Với xác suất tương ứng là: −λ e λ P( X = k ) = k! Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến k 28 Các tham số tính chất • Cho X~ P(λ) Ta có: i) E ( X ) = λ ii ) VarX = λ iii ) λ − ≤ ModX ≤ λ • X1, X2 hai bnn độc lập X1~ P(λ1); X2~ P(λ2) Ta có: Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 X + X : P ( λ1 + λ2 ) Nguyễn Văn Tiến 29 Bài toán dẫn đến phân phối Poisson Gọi X số lần xuất biến cố A khoảng thời gian (t1;t2) thỏa điều kiện sau: a) Số lần xuất biến cố A khoảng thời gian (t1;t2) không ảnh hưởng đến xác suất xuất A khoảng thời gian b) Số lần xuất biến cố A khoảng thời gian tỉ lệ thuận với độ dài khoảng Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 30 Bài toán dẫn đến phân phối Poisson Gọi c: cường độ xuất A Khi đó: X~P(λ) với λ=c(t2-t1)>0 Chú ý: khoảng thời gian thay khoảng khác như: khoảng cách, diện tích, thể tích… Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 31 Một số ví dụ • • • • • • Số lượng xe ngang qua điểm đường khoảng thời gian cho trước Số lần gõ bị sai đánh máy trang giấy Số lần truy cập vào máy chủ web phút Số lần động vật bị chết xe cộ cán phải đơn vị độ dài đường Số lượng thông đơn vị diện tích rừng hỗn hợp Số điện thoại trạm điện thoại phút Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 32 Một số ví dụ • Số lượng người lính bị chết ngựa đá năm trông đội kị binh Phổ Ví dụ tiếng sách Ladislaus Josephovich Bortkiewicz (1868–1931) • • • • Phân phối tế bào cảm quang võng mạc mắt Số lượng bóng đèn bị cháy khoảng thời gian xác định Số lượng virut lây nhiễm lên tế bào cấu trúc tế bào Số lượng phát minh nhà sáng chế suốt đời họ Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 33 Ví dụ Trong nhà máy dệt, biết số ống sợi bị đứt có phân phối Poisson với trung bình Tính xác suất có a Đúng ống sợi bị đứt ( biến cố A) b Có ống sợi bị đứt.( bc B) Giải: Gọi X số ống sợi bị đứt Ta có: X~P(4) 43 −4 P ( A ) = P ( X = 3) = e 3! 40 −4 P ( B ) = P ( X ≥ 1) = − P ( X = ) = − e = − e −4 0! Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 34 Ví dụ Trung bình ngày (24h) có 12 tàu vào cảng Chọn ngẫu nhiên ngày Tính xác suất để có tàu vào cảng Giải: Gọi X số tàu vào cảng Ta có: X~P(0,5) Xác suất để có tàu vào cảng là: P ( X = 1) Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 0, ) ( = Nguyễn Văn Tiến 1! e −0 ,5 = e 35 Ví dụ Gọi Y số có tàu vào cảng   Y ~ B  3; ÷  e Ta có: Vậy xác suất để có tàu vào cảng là:   P ( Y = 2) = C  ÷ 2 e Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến   1 − ÷ ≈ 0,1922  e 36 Ví dụ Một trạm điện thoại trung bình nhận 300 gọi Tính xác suất: a) Trạm nhận gọi vòng phút b) Trạm nhận gọi vòng phút c) Để phút liên tiếp, phút trạm nhận nhiều gọi Giải: a) Gọi X số gọi nhận phút Ta có: Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 X~P(5) Nguyễn Văn Tiến 37 Ví dụ Xác suất có gọi phút 52 −5 P ( X = ) = e ≈ 0, 0842 2! b) Gọi Y số gọi trạm nhận phút Ta có: Y~P(25) Xác suất có gọi phút c)Sinh viên tự giải Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 253 −25 P ( Y = 3) = e 3! Nguyễn Văn Tiến 38 Xấp xỉ xác suất n[...]... ModX ≤ ( n + 1) p Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 14 Ví dụ 1 Một máy sản xuất lần lượt từng sản phẩm với xác suất 1 phế phẩm là 1% a) Cho máy sản xuất ra 10 sản phẩm, tính xác suất có 2 phế phẩm? b) Máy phải sản xuất ra bao nhiêu sản phẩm để xác suất có ít nhất một phế phẩm nhỏ hơn 7%? Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 15 Ví dụ 1 a • • • • Tính xác suất … trong 10 sản... bán 10 loại nhật báo khác nhau Xác suất bán hết báo trong ngày của mỗi loại là 0,8 Vậy nếu trong một năm với khoảng 300 ngày bán hàng thì có khoảng bao nhiêu ngày bán khơng hết báo? Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 26 Cách học pp xác suất • • • • • Nhớ tên phân phối Cơng thức (cách) tính xác suất Các tham số đặc trưng Bài tốn dẫn đến phân phối đó (thường gặp nhất là siêu bội và Bernoulli)... (thường gặp nhất là siêu bội và Bernoulli) Với bnn rời rạc nhớ thêm miền giá trị Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 27 Phân phối Poisson P(λ) Kí hiệu: X~ P(λ) Định nghĩa: bnn X gọi là phân phối theo qui luật Poisson P(λ) nếu • • X={0,1,2,3…} Với xác suất tương ứng là: −λ e λ P( X = k ) = k! Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến k 28 Các tham số và tính chất • Cho X~ P(λ) Ta có: i)... lập nhau Xác suất thu được mỗi lần là 0,4 Tìm xác suất: a) b) c) d) Nguồn thu nhận được đúng 2 lần Nguồn thu nhận được thơng tin đó Tìm giá trị chắc chắn nhất của số lần thành cơng Nếu muốn xác suất thu được tin ≥0,9 thì phải phát đi bao nhiêu lần Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 23 Tính chất Cho X~B(n,p) Nếu n=1 thì ta ghi X~A(p) X có phân phối Khơng_một X Thường gặp trong biến phân loại.P... trong mọi phép thử của dãy là hằng số P ( A) = p Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 12 Phân phối Nhị thức Đặt X là số lần bc A xuất hiện trong dãy n phép thử Bernoulli Khi đó: X~B(n,p) với: n: số phép thử trong dãy p: xác suất để biến cố A xuất hiện Y: số lần A khơng xuất hiện trong n phép thử Ppxs của Y? p = P ( A) Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 13 Tham số đặc trưng •... − e = 1 − e −4 0! Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 34 Ví dụ 2 Trung bình một ngày (24h) có 12 chiếc tàu vào cảng Chọn ngẫu nhiên 3 giờ trong một ngày Tính xác suất để 2 trong 3 giờ ấy có đúng một tàu vào cảng Giải: Gọi X là số tàu vào cảng trong một giờ Ta có: X~P(0,5) Xác suất để trong 1 giờ bất kì có đúng một tàu vào cảng là: P ( X = 1) Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 0, 5 ) ( =... một khoảng thời gian bất kì tỉ lệ thuận với độ dài của khoảng đó Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 30 Bài tốn dẫn đến phân phối Poisson Gọi c: cường độ xuất hiện A Khi đó: X~P(λ) với λ=c(t2-t1)>0 Chú ý: khoảng thời gian có thể được thay thế bởi khoảng khác như: khoảng cách, diện tích, thể tích… Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 31 Một số ví dụ • • • • • • Số lượng xe hơi.. .Phân phối Nhị thức (Bernoulli) Kí hiệu: X~B(n,p) Định nghĩa: bnn X gọi là phân phối theo qui luật Bernoulli nếu • • X={0,1,2,3…n} Với xác suất tương ứng là: P( X = k) = C p q k n Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến k n −k 11 Dãy phép thử Bernoulli Là dãy n phép thử thỏa 3 điều kiện: – Các phép thử trong dãy độc lập nhau – Mỗi phép thử chỉ xét 2 biến cố: A và khơng A – Xác suất của... phế phẩm =t/c A Số lần A x/h: 2 Các phép thử có độc lập? Kết quả có ảnh hưởng lẫn nhau? Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 16 Ví dụ 1 Gọi X là số phế phẩm trong 10 sản phẩm sản xuất ra Xác suất sản xuất ra một phế phẩm: P ( A ) = 0, 01 Vậy X~B(10;0,01) P ( X = 2) = C 2 10 Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 ( 0, 01) ( 0, 99 ) Nguyễn Văn Tiến 2 8 = 0, 0042 17 Ví dụ 1b Cần tìm số sản phẩmtìm... 0,1 f ( x) =  Tính xác suất để trong 3 phép thử độc lập có đúng 2 lần bnn X nhận giá trị trong 0 ; x ∉ 0,1 khoảng (0,25;0,5) Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 20 Ví dụ 2 • • • • • Tính xác suất trong 3 phép thử độc lập  q trình gồm 3 phép thử độc lập Tính chất A: X thuộc (0,25;0,5) Số lần xuất hiện A: 2 Liệu xác suất A có giống nhau trong cả 3 phép thử??? Ta thường dùng pp Bernoilli ... báo? Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 26 Cách học pp xác suất • • • • • Nhớ tên phân phối Cơng thức (cách) tính xác suất Các tham số đặc trưng Bài tốn dẫn đến phân phối (thường gặp. .. = k ) = C100 Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến Phân phối siêu bội Bảng ppxs: X P 0,856 0,138 0,006 0,000 E ( X ) ≈ 0,15 V ( X ) ≈ 0,1395 Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn... Med(X)? Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 10 Phân phối Nhị thức (Bernoulli) Kí hiệu: X~B(n,p) Định nghĩa: bnn X gọi phân phối theo qui luật Bernoulli • • X={0,1,2,3…n} Với xác suất