Để nghiên cứu một hay nhiều tính chất nào đấy của một tập hợp nhiều vật thể ít khi người ta có thể mang tất cả các vật thể ra để nghiên cứu vì số lượng lớn và có khi thí nghiệm làm hư hỏng vật thể. Vì vậy người ta tìm cách lấy ra một số trong tất cả các vật thể nói trên để nghiên cứu rồi từ đó kết luận về các tính chất cần thiết của tất cả các vật thể ban đầu.
mẫu thống kê ước lượng tham số 4.1 Không gian mẫu Để nghiên cứu hay nhiều tính chất tập hợp nhiều vật thể người ta mang tất vật thể để nghiên cứu số lượng lớn có thí nghiệm làm hư hỏng vật thể Vì người ta tìm cách lấy số tất vật thể nói để nghiên cứu từ kết luận tính chất cần thiết tất vật thể ban đầu Để nghiên cứu chiều dài hạt lúa thuộc giống người ta mang tất hạt lúa đo được; để biết thời gian cố thể làm việc bóng điện mang tất bóng điện sản xuất để thí nghiệm Tập hợp tất vật thể ban đầu gọi tập hợp chính, hay gọi tập hợp toàn Tập hợp vật thể lấy gọi mẫu Số phần tử mẫu gọi số lượng mẫu (còn gọi cỡ mẫu) Bằng phương pháp lấy nhiều mẫu khác có số lượng Tập hợp tất mẫu lấy không gian mẫu mẫu coi điểm không gian mẫu Người ta phân biệt hai loại mẫu mẫu có lặp mẫu không lặp xét tập hợp gồm N vật thể a1, a2, … , aN mẫu gồm n vật thể (n≤N) ký hiệu aj1, aj2, … , ajn Cách lấy mẫu thứ sau: trước tiên ta lấy hú họa (ngẫu nhiên) phần tử tập hợp gọi aj1, sau bỏ phần tử lấy trở lại tập hợp chính, lại lấy Trong thực tế có nhiều cách lấy mẫu Sau ta trình bày phương pháp lấy mẫu ngẫu nhiên đơn giản phương pháp thường dùng Giả sử tập hợp có N phần tử cần lấy mẫu với lượng n (n≤N) Người ta đánh số tất phần tử thuộc tập hợp từ đến N, đồng thời làm N thẻ đánh số từ đến N Từ N thẻ rút hú họa chiếc, ghi lấy số lấy phần tử tập hợp có số trùng với số vừa lấy làm phần tử mẫu Bỏ thẻ vừa rút trở lại tập hợp thẻ, sau rút hú họa lần thứ 2, đọc số thẻ vừa rút lấy phần tử có mang số thứ tự làm phần tử thứ mẫu Lại bỏ thẻ vào rút lần thứ Cứ làm lần thứ n phần tử mẫu, ta có mẫu có lặp Nếu thẻ rút không trở lại ta có mẫu không lặp Nếu số phần tử N tập hợp lớn dùng thẻ để lấy mẫu mà người ta thường dùng bảng số ngẫu nhiên Sau ví dụ dùng bảng số ngẫu nhiên Kadưrốp Mỗi số thuộc bảng gồm chữ số ( phần tử), số lập thành nhóm, 10 nhóm lập thành cột trang có 10 cột Như trang có 5*10*10=500 số ngẫu nhiên Bảng số gồm nhiều trang Trong số, phần tử (4 phần tử) chọn cách ngẫu nhiên số từ đến Bây giả sử tập hợp có 543 phần tử cần lấy mẫu có số lượng 12 Trước hết ta đánh số tất phần tử tập hợp từ đến 542 Sau dùng bảng số ngẫu nhiên chọn hú họa môt trang, trang lấy hú họa cột lại chọn hú họa số cột vừa chọn Ba chữ số số vừa chọn lấy làm số phần tử thứ mẫu (nếu ba chữ số lập thành số bé 542) Ta phải lấy 11 phần tử nữa, theo cách đọc số hú họa phần tử làm phần tử thứ hai aj2, lại bỏ phần tử thứ trở lại tập hợp lấy hú họa phần tử làm phần tử thứ ba aj3, tiếp tục đến phần tử thứ n ajn Như phần tử lấy nhiều lần Mẫu lấy gọi có lặp Cách lấy mẫu thứ hai sau: lấy từ tập hợp phần tử thứ không bỏ trở lại nữa, tiếp tục lấy phần tử thứ hai không bỏ trở lại, tiếp tục phần tử thứ ba v v Như phần tử chọn lần Mẫu gọi mẫu không lặp Nếu số phần tử tập hợp N mẫu có số lượng n có N n cách lấy mẫu khác trường hợp mẫu có lặp Thật phần tử mẫu có lặp chọn N cách, n phần tử có Nn cách chọn khác Tương tự ta có N(N ─ 1) (N – n+1) cách lấy mẫu trường hợp không lặp Trong cách tính ta có ý đến thứ tự phần tử mẫu Nếu ta không để ý đến thứ tự phần tử mẫu (nghĩa hai mẫu coi chúng chứa phần tử nhau) số mẫu không lặp với = N(N – 1) (N – n+1) Nếu N lớn n nhỏ gần Điều chứng tỏ N lớn số lượng mẫu bé việc lấy mẫu có lặp có kết gần với việc lấy mẫu không lặp Muốn cho từ mẫu lấy suy tương đối xác tính chất tập hợp mẫu phải tiêu biểu Mẫu coi tiêu biểu người ta lấy mẫu cách ngẫu nhiên, nghĩa lấy để phần tử tập hợp rơi vào mẫu với xác suất Với định lý lý thuyết xác suất chương sau, từ tính chất vật thể mẫu ta thấy suy tính chất vật thể tập hợp chất vật thể tập hợp với độ xác cho trước Ví dụ ta đọc từ xuống đọc ngược từ lên theo cột, đọc ngang theo hàng từ trái sang phải từ phải sang trái Từ có kết cần tìm chẳng hạn số đọc 2157 trang đầu cột thứ 3, hàng từ xuống, ta bỏ chữ số chữ số đi, chẳng hạn ta bỏ số số 215 làm phần tử mẫu Ta đọc từ xuống đọc theo cột ứng với vị trị chữ số chọn, bỏ số lớn 542 đi, ta số : 250 ; 062 ; 381 ; 164 ; 084 ; 438 ; 050 ; 486 ; 501 ; 364 ; 031 Và mẫu cần thiết Nếu lấy mẫu không lặp số trùng ta giữ lại mẫu số Sau để đơn giản ta nói đến mẫu có nghĩa mẫu có lặp lấy theo phương pháp ngẫu nhiên đơn giản Nếu lấy mẫu từ tập hợp để nghiên cứu đại lượng ngẫu nhiên X kết (X1, X2, … , Xn) ta nói lấy mẫu (X1, X2, … , Xn) từ đại lượng ngẫu nhiên X 4.2 phân phối mẫu phân phối xác Giả sử mẫu (X1, X2, … , Xn) từ đại lượng ngẫu nhiên X có hàm phân phối F(x) (còn gọi phân phối xác X) Ở chưa biết F(x) nên ta vào mẫu để tìm hàm số gần với F(x) Ta lập hàm phân phối xác suất Fn(x) cách đặt : Fn(x)= (1) Trong nx số phần tử mẫu có trị số nhỏ x (Xi < x), Fn(x) gọi hàm phân phối mẫu đại lượng ngẫu nhiên X Rõ ràng sau lấy mẫu phân phối xác định hoàn toàn Theo (1), Fn(x) tần suất kiện (X< x) ứng với n phép thử độc lập Ta thấy (1) tương đương với : P(X = Xi)= (i=1, 2, , n) (2) Rõ ràng hàm phân phối mẫu hàm phân phối xác suất Từ phân phối mẫu Fn(x), theo định nghĩa ta có : Kỳ vọng mẫu X : En(X)= = = (3) Phương sai mẫu X : Dn(X) = = (4) Ở En(X) Dn(X) kỳ vọng phương sai X tính theo phân phối mẫu Fn(X), khác với E(X) D(X) tính theo F(x) Để đơn giản, sau ta dùng ký hiệu EX thay cho E(X) DX thay cho D(X) Ta tính moomen mẫu vk, moomen trung tâm mẫu sau: Và hệ số bất đối xứng, độ nhọn mẫu: Cần phân biệt hàm phân phối mẫu Fn(x) đại lượng ngẫu nhiên X, với hàm phân phối xác F(x) đại lượng ngẫu nhiên X Như ta biết Fn(x) bàng tần suất kiện ( X< x) F(x) = P (X50 người ta coi Độ xác ước lượng không chệch: Giả sử ước lượng không chệch sép ta có: Nếu chọn , theo bất đẳng thức Trê bư thì: Công thức (15) với phân phối xác suất X Nếu chuẩn vế phải (15) lớn xấp xỉ 0,997 có phân phối Trong thực tế người ta thường viết: (16) gọi công thức Ta hiểu (16) theo nội dung (15) Định nghĩa Hàm ước lượng tham số gọi ước lượng vững với số cho trước với : xác suất P tính ứng với tham số Điều kiện (17) rằng: kiện Sn Ở biến đổi n thay đổi gần có xác suất tiến tới Nói cách khác: n lớn xác suất để sai số tuyệt đối ước lượng vững không vượt gần Định lý Nếu a) hàm ước lượng cho: ước lượng không chệch (độ chệch tiến tới 0), b) ước lượng vững Ví dụ 3: Xét xem có phải ước lượng vững EXi= hay không? Trong ví dụ chứng minh ước lượng không chệch điều kiện a) định lí thỏa mãn, ta xét tiếp: Để có 18 ta ý độc lập với nên cov với i # j Rõ ràng D n điều kiện b) định lý thỏa mãn, ước lượng vững Định nghĩa 4: Nếu ước lượng không chệch không lớn phương sai hàm ước lượng không chệch khác, gọi ước lượng không chệch có phương sai bé , hay gọi ước lượng chệch hiệu Ta biết không chệch nên gần lớn; độ phân tán giá trị quanh trị số (vì ) bé xác suất để lấy giá trị Một vấn đề đặt có hàm ước lượng không chệch có phương sai hay không? Trả lời vấn đề có định lý sau: Định lý 2: Cho mẫu lấy từ đại lượng ngẫu nhiên X có mật độ f() thỏa mãn số điều kiện định ( thường thỏa mãn thực tế) hàm ước lượng không chệch thì: (19) gọi bất đẳng thức thông tin, hay gọi bất đẳng thức CrameRao Công thức (19) khẳng định không tồn hàm ước lượng có sai số không cho biết cận phương sai là: Ví dụ 4: Xét xem có phải ước lượng hiệu EX= trường hợp X có phân hối chuẩn N() hay không? Biết Tóm tắt kết Vậy Ta biết , nghĩa biểu thức vế phải (19), ước lượng hiệu Ở coi tần suất đại lượng ngẫu nhiên với đại lượng ngẫu nhiên độc lập: nhận giá trị với xác suất p giá trị với xác suất (1 – p), tính dẫn đến kết Ví dụ 5: Trong xí nghiệp để tính số đơn vị nguyên liệu cần thiết để sản xuất thành phẩm người ta lấy mẫu với số lượng 20 số liệu: 3,0; 3,8; 3,1; 3,2; 3,5; 3,2; 3,5; 3,6; 3,3; 3,8; 3,5; 3,2; 4,0; 3,6; 3,4; 3,5; 4,3; 3,5;3,0; 4,0 Hỏi số lượng đơn vị nguyên liệu cần thiết cho thành phẩm bao nhiêu? Gọi X đại lượng ngẫu nhiên số lượng đơn vị nguyên liệu cần thiết để sản xuất thành phẩm, cần ước lượng EX= Căn theo mẫu , lấy làm ước lượng cho 0,889 (ở ) ta có : với xác suất Ví dụ 6: Trong số dân thành phố Vác sa va chọn hú họa 900 người, sau hỏi người xem hè vừa qua nghỉ đâu biết có 200 người nghỉ miền núi Vậy kết luận tỷ số người Vác sa va nghỉ hè miền núi nói chung? Ở cần ước lượng xác suất p kiện (người Vác sa va nghỉ hè miền núi) Ta dùng tần suất làm ước lượng cho xác suất Lập tần suất nói có 22,2% dân số Vác sa va nghỉ hè miền núi nói chung, nhiên ta cần biết sai số trung bình Biết p nên phải thay ta có tỷ số cần tìm là: , từ [...]... gọi là ước lượng điểm của Cần chú ý rằng chỉ phụ thuộc mà không phụ thuộc Ví dụ: Giả sử EX = , DX= và mẫu là thì có thể coi là một ước lượng của và là ước lượng của Trong bài toán mở đầu ta đã lấy làm hàm ước lượng của Bài toán tìm hàm ước lượng nói trên được gọi là bài toán ước lượng tham số, đó là một trong các bài toán cơ bản của thống kê toán học Ứng với một tham số có vô số hàm ước lượng khác... trị thực của tham số rất khó khăn nên người ta chỉ ước lượng căn cứ theo kết quả của mẫu Muốn vậy người ta lấy mẫu và lập một đại lượng thống kê để dùng thay cho Định nghĩa 1 Đại lượng thống kê được chọn để dùng thay cho được gọi là hàm ước lượng của (hay còn gọi là ước lượng của ) Là đại lượng ngẫu nhiên vì nó là đại lượng thống kê Với mỗi giá trị cụ thể của mẫu thì là một điểm trên trục số thực, điểm... được gọi là ước lượng vững nếu với bất kỳ số cho trước và với bất kỳ : ở đây xác suất P được tính ứng với tham số Điều kiện (17) chỉ ra rằng: sự kiện Sn trên đó khi Ở đây biến đổi khi n thay đổi khá gần có xác suất tiến tới 1 Nói cách khác: khi n khá lớn thì xác suất để sai số tuyệt đối của ước lượng vững không vượt quá gần bằng 1 Định lý 1 Nếu a) là hàm ước lượng của sao cho: là ước lượng không chệch... Xi độc lập nên có thể coi ( ) là mẫu lấy từ đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn N và ta cần tìm hàm ước lượng của căn cứ vào Bài toán tìm hàm ước lượng của tham số, một cách tổng quát thường được đặt ra như sau: Cho X là đại lượng ngẫu nhiên có luật phân phối P , dạng của P đã biết (do áp dụng lý thuyết chung, do giả thiết hoặc một lý do nào đấy) song chưa biết và cần tìm , thwucj ra người ta... chọn theo các tiêu chuẩn nào và thế nào là ước lượng tốt nhất? Từ đó có các định nghĩa sau: Định nghĩa 2 Hàm ước lượng Với bất kỳ của được gọi là ước lượng không chệch nếu: (Trong công thức (1) kỳ vọng của được tính theo phân phối xác suất của ứng với giá trị của tham số là Đối với các công thức tính kỳ vọng về sau ta cũng hiểu với nội dung như vậy) Nếu coi là sai số của ước lượng thì điều kiện (10)... ước lượng thì điều kiện (10) chứng tỏ rằng kỳ vọng của sai số bằng không Nói một cách khác không có sai lầm hệ thống lệch về một phía Ví dụ 1: Kỳ vọng mẫu là ước lượng không chệch của EX= Thực vậy, vì: Ví dụ 2: Giả sử DX= và , sẽ chứng minh là ước lượng chệch của : Vậy là ước lượng chệch của Từ kết quả trên có thể suy ra ngay được rằng: Là ước lượng không chệch của Thực ra tiến tới 1 rất nhanh khi...Định lý 5 Nếu X và Y độc lập và đều có phân phối chuẩn với cùng phương sai (DX=DY) thì có phân phối F với ( n1 – 1) và (n2- 2) bậc tự do 4.4 Phân phối tiệm cận chuẩn của đại lượng thống kê Theo các định lý giới hạn, khi số lượng của mẫu n tăng lên vô cùng thì có thể chứng minh được nhiều đại lượng thống kê có phân phối xác suất tiến tới phân phối chuẩn, các phân... của ước lượng không chệch: Giả sử là ước lượng không chệch của và sép ta có: Nếu chọn , thì theo bất đẳng thức Trê bư thì: Công thức (15) đúng với bất kỳ phân phối xác suất của X Nếu chuẩn thì vế phải của (15) sẽ lớn hơn và xấp xỉ 0,997 có phân phối Trong thực tế người ta thường viết: (16) được gọi là công thức 3 Ta hiểu (16) theo nội dung của (15) Định nghĩa 3 Hàm ước lượng của tham số được gọi là ước. .. b) thì là ước lượng vững của Ví dụ 3: Xét xem có phải ước lượng vững của EXi= hay không? Trong ví dụ 1 đã chứng minh là ước lượng không chệch cả vậy điều kiện a) của định lí 1 đã được thỏa mãn, ta xét tiếp: Để có 18 ta chú ý rằng vì các độc lập với nhau nên cov với i # j Rõ ràng là D khi n và điều kiện b) của định lý 1 cũng được thỏa mãn, vậy là ước lượng vững của Định nghĩa 4: Nếu là ước lượng không... Ví dụ 5: Trong một xí nghiệp để tính số đơn vị nguyên liệu cần thiết để sản xuất ra một thành phẩm người ta lấy mẫu với số lượng 20 và được các số liệu: 3,0; 3,8; 3,1; 3,2; 3,5; 3,2; 3,5; 3,6; 3,3; 3,8; 3,5; 3,2; 4,0; 3,6; 3,4; 3,5; 4,3; 3,5;3,0; 4,0 Hỏi số lượng đơn vị nguyên liệu cần thiết cho mỗi thành phẩm là bao nhiêu? Gọi X là đại lượng ngẫu nhiên chỉ số lượng đơn vị nguyên liệu cần thiết để ... DX= mẫu coi ước lượng ước lượng Trong toán mở đầu ta lấy làm hàm ước lượng Bài toán tìm hàm ước lượng nói gọi toán ước lượng tham số, toán thống kê toán học Ứng với tham số có vô số hàm ước lượng. .. thực tham số khó khăn nên người ta ước lượng theo kết mẫu Muốn người ta lấy mẫu lập đại lượng thống kê để dùng thay cho Định nghĩa Đại lượng thống kê chọn để dùng thay cho gọi hàm ước lượng. .. suất để sai số tuyệt đối ước lượng vững không vượt gần Định lý Nếu a) hàm ước lượng cho: ước lượng không chệch (độ chệch tiến tới 0), b) ước lượng vững Ví dụ 3: Xét xem có phải ước lượng vững