Cấu trúc đại số của độ đo xác suất

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯƠNG THỊ LIÊN CẤU TRÚC ĐẠI SỐ CỦA ĐỘ ĐO XÁC SUẤT LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC Mã số: 60.46.01.06 Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN THỊNH HÀ NỘI - NĂM 2014 Mục lục LỜI NÓI ĐẦU LỜI CẢM ƠN KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Đại số Bool 1.1.1 Đồng cấu 1.1.2 Tính Dedekind đầy đủ 1.1.3 Bao hình (Upper envelopes) 1.1.4 Chuỗi điều kiện đếm 1.1.5 Hàm cộng tính đại số Bool 1.1.6 Đại số thương 1.2 Độ đo đại số 1.2.1 Nguyên tắc phân loại độ đo đại số 1.2.2 Tích đơn 1.2.3 Topo độ đo đại số 1.2.4 Đồng cấu 1.2.5 Phiếm hàm cộng tính độ đo đại số 1.3 Nguyên tắc phân loại không gian độ đo 1.3.1 Địa phương hóa ngặt 1.3.2 Nguyên tử phi nguyên tử 1.4 Định lý trù mật Lebesgue 1.5 Định lý Radon-Nikodym 1.5.1 Định lý Radon-Nikodym 1.5.2 Kỳ vọng có điều kiện 1.6 Tích vơ hạn 1.7 Định lý Vitali Rr 1.8 Matingle 1.9 Không gian Riesz 1.9.1 Không gian tuyến tính phần 1.9.2 Khơng gian Riesz 1.9.3 Dải 6 10 10 11 11 12 12 13 13 13 14 14 14 15 15 16 16 16 17 17 18 18 18 19 19 1.9.4 Không gian Acsimet 1.9.5 Không gian Riesz Acsimet 1.9.6 Không gian đối ngẫu 1.10 Không gian hàm 1.10.1 Không gian L0 1.10.2 Suprema infima L0 1.10.3 Dải L0 1.11 Tiên đề chọn bổ đề Zorn 1.11.1 Tiên đề chọn 1.11.2 Bổ đề Zorn 19 20 20 21 21 21 21 22 22 22 23 23 23 27 35 35 35 37 ĐỊNH LÝ PHÉP NÂNG 3.1 Phép nâng 3.2 Mật độ 3.3 Định lý phép nâng 44 44 45 47 ĐỊNH LÝ KWAPIEN 4.1 Tốn tử tuyến tính dương từ khơng gian L0 đến không gian Acsimet 4.2 Toán tử tuyến tính dương độ đo đại số nửa hữu hạn KẾT LUẬN Tài liệu tham khảo 56 ĐỊNH LÝ MAHARAM 2.1 Sự phân loại độ đo đại số 2.1.1 Nguyên tử tương đối 2.1.2 Loại Maharam 2.1.3 Đại số Bool 2.2 Phân loại độ đo đại số địa phương 2.2.1 Định lý Maharam 2.2.2 Tế bào (The cellularity) đại sô Boolean Riesz 56 58 65 66 LỜI NÓI ĐẦU Chúng ta học tìm hiểu số cấu trúc đại số nhóm, vành, trường, Mở rộng lên chút tìm hiểu cấu trúc đại số độ đo xác suất phức tạp nhiều đại số Borel, đại số Bool, độ đo đại số, không gian Riesz, không gian Acsimet, không gian hàm Luận văn trình bày ba định lý mà tơi thấy hay lý thuyết độ đo: Định lý Maharam, định lý phép nâng, định lý Kwapien Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia làm bốn chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày kiến thức đại số Boolean, độ đo đại số Phần cuối chương giới thiệu không gian Riesz Chương 2: Định lý Maharam Phần đầu chương định nghĩa mô tả ’sự nhất’ độ đo xác suất Phần sau trình bày định lý quan trọng Maharam phân loại độ đo đại số Chương 3: Định lý phép nâng Chương trình bày phép nâng mật độ dưới, không gian địa phương hóa ngặt có mật độ Xây dựng phép nâng từ mật độ Phần cuối chương mô tả khơng gian địa phương hóa ngặt đầy đủ có phép nâng Chương 4: Định lý Kwapien Chương trình bày số vấn đề tương đối liên quan tới tốn tử tuyến tính dương từ khơng gian L0 đến khơng gian Riesz Ascimet Sau chuyển sang phân tích quan trọng Kwapien tốn tuyến tính dương từ khơng gian L0 đến khơng gian L0 độ đo đại số nửa hữu hạn LỜI CẢM ƠN Bản luận văn hoàn thành hướng dẫn nghiêm khắc tận tình bảo TS Nguyễn Thịnh Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc tơi suốt q trình làm luận văn Tơi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy Qua đây, tơi xin gửi tới thầy Khoa Tốn- Cơ- Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy cô tham gia giảng dạy khóa cao học 2011- 2013, lời cảm ơn sâu sắc công lao dạy dỗ suốt q trình giáo dục đào tạo nhà trường Tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè tất người quan tâm, tạo điều kiện, động viên cổ vũ tơi để tơi hồn thành nhiệm vụ Hà Nội, Tháng năm 2014 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Để tìm hiểu phần luận văn: Định lý Maharam, định lý phép nâng định lý Kwapien, cần lượng kiến thức trình bày Chương khơng sâu nghiên cứu chi tiết mà cung cấp kiến thức để chuẩn bị cho chương sau nên phần kiến thức trình bày có lẽ rời rạc 1.1 Đại số Bool Định nghĩa 1.1.1 +) Vành Bool vành (A, +, ) a2 = a, ∀a ∈ A +) Đại số Bool vành Bool A với đồng nhân = 1A Trong trường hợp ta chấp nhận = Bổ đề 1.1.2 Cho A vành Bool, I ideal A a ∈ A\I có đồng cấu vành φ : A → Z2 cho φa = φd = 0, ∀d ∈ I 1.1.1 Đồng cấu +) Đại số con: Cho A đại số Bool Đại số A có nghĩa vành A có chứa đồng nhân = 1A Mệnh đề 1.1.3 Ideal đại số Bool Nếu A đại số Bool, tập I ⊆ A ideal A ∈ I, a ∪ b ∈ I, ∀a, b ∈ I a ∈ I với b ∈ I, a ⊆ b +) Đồng cấu Bool: Đồng cấu Bool có nghĩa hàm π : A → B đồng cấu vành π (1A ) = 1B Mệnh đề 1.1.4 Cho A, B, E đại số Bool a) Nếu π : A → B đồng cấu Bool π (A) đại số B b) Nếu π : A → B θ : B → E đồng cấu Bool θπ : A → E đồng cấu Bool c) Nếu π : A → B đồng cấu Bool song ánh π −1 : B → A đồng cấu Bool Mệnh đề 1.1.5 Cho A, B đại số Bool hàm π : A → B Khi ta có điều sau tương đương: i π đồng cấu Bool ii π (a ∩ b) = πa ∩ πb π (1A \a) = 1B \πa, ∀a, b ∈ A iii π (a ∪ b) = πa ∪ πb π (1A \a) = 1B \πa, ∀a, b ∈ A iv π (a ∪ b) = πa ∪ πb πa ∩ πb = 0B , a, b ∈ A, a ∩ b = 0A , π (1A ) = 1B Bổ đề 1.1.6 Cho A đại số Bool A0 đại số A Cho c phần tử A A1 = {(a ∩ c) ∪ (b\c) : a, b ∈ A0 } đại số A Khi A1 gọi đại số A sinh A0 ∪ {c} Bổ đề 1.1.7 Cho A, B đại số Bool A0 đại số A π : A0 → B đồng cấu Bool c ∈ A Nếu v ∈ B cho πa ⊆ v ⊆ πb, a, b ∈ A0 a ⊆ c ⊆ b có đồng cấu Bool π1 từ A1 A sinh A0 ∪ {c} cho π1 thác triển π π1 c = v Chúng ta có số khái niệm quan trọng Định nghĩa 1.1.8 : Cho P tập riêng phần C tập P a C có hướng lên (upwards-directed) với p, p ∈ C có q ∈ C cho p ≤ q p ≤ q Tức tập không rỗng hữu hạn C có cận C Tương tự, C có hướng xuống (downwards-directed) p, p ∈ C có q ∈ C cho p ≤ q q ≤ p Tức tập không rỗng hữu hạn C có cận C b C đóng có thứ tự sup A ∈ C với A tập khơng rỗng có hướng lên C cho supA định nghĩa P inf A ∈ C với A tập khơng rỗng có hướng xuống C cho infA xác định P c C dãy đóng có thứ tự supn∈N pn ∈ C với (pn )n∈N dãy không giảm C cho supn∈N pn xác định P, infn∈N pn ∈ C với (pn )n∈N dãy không tăng C cho infn∈N pn xác định P d Bảo toàn thứ tự: Cho P Q tập riêng phần φ : P → Q hàm bảo toàn thứ tự φ (p) ≤ φ (q) Q với p ≤ q P e Ta nói φ liên tục có thứ tự i φ (sup A) = sup φ (p) với A tập khơng rỗng có hướng lên P p∈A supA xác định P ii φ (inf A) = inf φ (p) với A tập khơng rỗng có hướng xuống P p∈A infA xác định P f φ dãy liên tục có thứ tự σ liên tục có thứ tự nếu: i φ (p) = sup φ (pn ) với (pn )n∈N dãy không giảm P p = supn∈N pn P n∈N ii φ (p) = inf φ (pn ) với (pn )n∈N dãy không tăng P p=infn∈N pn P n∈N g Tập D ⊆ A với A đại số Bool trù mật có thứ tự ∀a ∈ A, a = có d = 0, d ∈ D cho d ⊆ a h Tập Cofinal i C cofinal với P p ∈ P có q ∈ C cho p ≤ q ii Cofinality P (ký hiệu cf(P)) lực lượng nhỏ tập cofinal P Mệnh đề 1.1.9 Cho A đại số Bool a Nếu e ∈ A A ⊆ A tập không rỗng cho supA xác định A sup {e ∩ a : a ∈ A} xác định e ∩ sup A b Nếu e ∈ A A ⊆ A tập không rỗng cho infA xác định A inf {e ∪ a : a ∈ A} xác định e ∩ infA c Giả sử A, B ∈ A tập không rỗng supA, supB xác định A sup {a ∩ b : a ∈ A, b ∈ B} xác định sup A ∩ sup B d Giả sử A, B ∈ A tập không rỗng infA, infB xác định A inf {a ∪ b : a ∈ A, b ∈ B} xác định infA ∪ infB Bổ đề 1.1.10 Nếu A đại số Bool D ⊆ A trù mật có thứ tự với a ∈ A có tập rời C ⊆ D cho sup C = a Nói riêng: a = sup {d : d ∈ D, d ⊆ a} có phân hoạch đơn vị C ⊆ D 1.1.2 Tính Dedekind đầy đủ Định nghĩa 1.1.11 : Cho P tập riêng phần a P Dedekind đầy đủ tính đầy đủ có thứ tự đầy đủ cách có điều kiện tập khơng rỗng P có cận có cận nhỏ Cho (X, , µ) khơng gian xác suất (A, µ) độ đo đại số a) Tập K = # (A) đánh số A (aξ )ξ A độ đo đại số a) Nếu θ : A → mật độ bất kỳ, có phép nâng θ : A → cho θa ⊇ θa, ∀a ∈ A b) Nếu φ : → mật độ dưới, có phép nâng φ : → cho φE ⊇ φE, ∀E ∈ Chứng minh Với x ∈ θ1 , tập Ix = {a : a ∈ A, x ∈ θ (1\a)} với Ix ideal A Thật Chúng ta có ∈ Ix x ∈ θ1 Nếu b ⊆ a ∈ Ix b ∈ Ix x ∈ θ (1\a) ⊆ θ (1\b) Nếu a, b ∈ Ix a ∪ b ∈ Ix x ∈ θ (1\a) ∩ θ (1\b) = θ (1\ (a ∪ b)) ∈ / Ix x ∈ / ∅ = θ0 Với x ∈ X\θ1 , tập Ix = {0} ideal A A = {0} Từ bổ đề 1.1.2 có đồng cấu Bool tồn ánh πx : A → {0, 1} cho πx d = 0, ∀d ∈ Ix Định nghĩa θ : A → ρX θa = {x : x ∈ X, πx (a) = 1} , ∀a ∈ A Dễ dàng kiểm tra πx đồng cấu Bool tồn ánh nên θ đồng cấu Bool toàn ánh Cho ∀a ∈ A, x ∈ X x ∈ θa ⇒ 1\a ∈ Ix ⇒ πx (1\a) = ⇒ πx a = ⇒ x ∈ θa Như vậy: θa ⊇ θa, ∀a ∈ A Từ bổ đề 3.3.4 ta có θ phép nâng b) Áp dụng câu a) cho định nghĩa θ θ (E • ) = φE, ∀E ∈ 54 φ công thức φ (E) = θE • , ∀E Chúng ta có định lý quan trọng chương Định lí 3.3.6 Định lý phép nâng Mọi không gian độ đo địa phương hóa ngặt đầy đủ độ đo khác có phép nâng Chứng minh Từ định lý 3.3.3 có mật độ từ mệnh đề 3.3.5 có phép nâng 55 Chương ĐỊNH LÝ KWAPIEN Trong đời sống hàng ngày toán học, ln tìm cách để chuyển vấn đề phức tạp thành vấn đề đơn giản, dễ hiểu dễ vận dụng Định lý Kwapien vậy, chuyển mối quan hệ tốn tử tuyến tính dương khơng gian L0 theo cách nhìn nhận đơn giản 4.1 Tốn tử tuyến tính dương từ khơng gian L0 đến khơng gian Riesz Acsimet Định lí 4.1.1 Cho A đại số Bool Dedekind δ -đầy đủ W không gian Riesz Arcsimet Nếu T : L0 (A) → W tốn tử tuyến tính dương T dãy liên tục có thứ tự Chứng minh: a) Bước 1: Quan sát (un )n∈N dãy không tăng L0 = L0 (A) với inf=0 ε > {n (un − εu0 ) : n ∈ N} bị chặn L0 Thật Với k ∈ N, tập ak = sup [[n (un − εu0 ) > k]] n∈N Tập a = infk∈N ak Nếu giả sử a = Vì un ≤ u0 , nên n (un − εu0 ) ≤ nu0 , ∀n Và a ⊆ a0 ⊆ [[u0 > 0]] = [[εu0 > 0]] = sup [[εu0 − un > 0]] n∈N Khi đó, có m ∈ N cho a = a ∩ [[εu0 − um > 0]] = với n ≥ m , với k ∈ N 56 a ∩ [[n (un − εu0 ) > k]] ⊆ [[εu0 − um > 0]] ∩ [[um − εu0 > 0]] = Nhưng a ⊆ sup [[n (un − εu0 ) > k]] = [[v > k]] n∈N Với v = sup n (un − εu0 ) điều có nghĩa inf [[v > k]] ⊇ a = k∈N n∈N Vô lý Suy a=0 {n (un − εu0 ) : n ∈ N} bị chặn b) Giả sử (un )n∈N không tăng L0 với inf = w ∈ W bị chặn {T un : n ∈ N}, ε > theo a Tập {n (un − εu0 ) : n ∈ N} bị chặn L0 Vì T dương nên w ≤ Tun = T (un − εu0 ) + T (εu0 ) ≤ T v n + T (εu0 ) = n1 T v + εT u0 , với n ≥ Vì w Acsimet nên w ≤ εT u0 Nhưng điều với ε > 0, ω ≤ w bất kỳ, inf T un = Dãy (un )n∈N nên T dãy liên tục có thứ tự n∈N Mệnh đề 4.1.2 Cho A đại số Bool Dedekind δ đầy đủ,phi nguyên tử L0 (A)x = {0} Chứng minh Có thể giả sử h : L0 (A) → R phiếm hàm tuyến tính dương liên tục có thứ tự khác có u > L0 cho h(v) > , < v < u (bổ đề 1.10.3) Vì A phi nguyên tử, có (an )n∈N dãy rời cho an ⊆ [[n > 0]] n, un = χan > um ∧ un = Nếu m = n v = sup n(h (un ))−1 un xác định L0 (bổ n∈N đề 1.10.4) Và h (v) ≥ n, ∀n Vô lý Định lí 4.1.3 Cho A đại số Bool Dedekind đầy đủ, W không gian Riesz Acsimet, T : L0 (A) → W đồng cấu Riesz liên tục có thứ tự V = T (L0 (A)) khơng gian Riesz đóng có thứ tự W Chứng minh Hạt nhân U T dải L0 = L0 (A) Và phép chiếu dải L0 Dedekind đầy đủ Từ U + U ⊥ = L0 ,T [U ] + T U ⊥ = V , ta có T U ⊥ = V, U ∩ U ⊥ = {0} T đẳng cấu U ⊥ V Giả sử A ⊆ V có hướng lên có cận nhỏ 57 Với w ∈ W B = u : u ∈ U ⊥ , T u ∈ B có hướng lên T [B] = A Khi đó, tập B bị chặn L0 Thật Nếu B không bị chặn {u+ : u ∈ B} khơng bị chặn nghĩa có u0 >0 L0 cho nu0 = sup nu0 ∧ u+ , ∀n ∈ N (bổ đề1.10.4) u∈B ⊥ Từ B ⊆ U , u0 ∈ U ⊥ T u0 > T đồng cấu Riesz liên tục có thứ tự nên nT u0 = sup T (nu0 ∧ u+ ) = sup nT u0 ∧ v + ≤ ω + , ∀n ∈ N u∈B v∈A Điều không Suy B bị chặn L0 Tập = sup B T = sup A = ω, ω ∈ V ,A tùy ý Suy V đóng có thứ tự Hệ 4.1.4 Cho W không gian Riesz Acsimet V khơng gian Riesz trù mật có thứ tự đẳng cấu L0 (A), cho W đại số Bool Dedekind đầy đủ W=V 4.2 Tốn tử tuyến tính dương độ đo đại số nửa hữu hạn Bây ta đến kết sâu sắc phần liên quan đến toán tử tuyến tính dương từ L0 (A) → L0 (B), B độ đo đại số Trước tiên ta tiếp cận qua vài bổ đề quan trọng Sau ta có định nghĩa hữu ích Định nghĩa 4.2.1 Cho A, B đại số Bool Ta nói hàm φ : A → B δ đồng cấu φ (a ∪ a ) = φ (a) ∪ φ (a ) , ∀a, a ∈ A inf φ (an ) = n∈N Với (an )n∈N dãy không tăng A với inf = Bổ đề 4.2.2 Cho A, B đại số Boolean φ : A → B δ đồng cấu a) φ (0) = 0, φ (a) ⊆ φ (a ) , a ⊆ a φ (a) \φ (a ) ⊆ φ (a\a ) , ∀a, a ∈ A 58 b)Nếu µ, ν độ đo cho (A, µ) , (B, ν) độ đo đại số hồn tồn hữu hạn ∀ε > 0, có δ > cho νφ(a) ≤ ε, µ(a) ≤ δ Chứng minh a) ∀an = 0, theo định nghĩa infφ (0) = ⇒ φ(0) = 0, hai đẳng thức hệ trực tiếp đẳng thức trước b) Đối chiếu mệnh đề 1.5.2, giả sử ngược lại Khi đó, với n ∈ N có an ∈ A cho µan ≤ 2−n , νφ(an ) ≥ ε Tập cn = supi≥n , ∀n (cn )n∈N dãy khơng tăng có inf = (từ µcn ≤ 2−n+1 , ∀n) νφ(cn ) ≥ ε, ∀n Như vậy, inf φcn = n∈N Bổ đề 4.2.3 Cho (A, µ) , (B, ν) độ đo đại số hữu hạn hoàn toàn φ : A → B δ đồng cấu Thì ∀b0 ∈ B, b0 = có b ⊆ b0 , b = m ∈ N cho b ∩ inf φ (aj ) = j≤m với a0 , a1 , ., am ∈ A rời Chứng minh Giả sử A phi nguyên tử µ1 = Tập ε = 15 νb0 cho m ≥ cho νφ (a) ≤ ε, µa ≤ m Chúng ta cần biết: 1− m m ≤ (vì m ≥ : ln m − ln(m − 1) ≥ Đặt C = m ⇔ m ln(1 − ) m ≤ (−1) ≤ (− ln 2)) inf φ (aj ) : a0 , a1 , , am ∈ Arời j≤m Giả sử b0 ⊆ sup C Thì có c0 , c1 , , ck ∈ C cho ν b0 ∩ sup ci ≥ 4ε i≤k Mỗi i ≤ k chọn dãy rời ai0 , , aim ∈ A cho ci = inf φ (aij ) j≤m Cho D nguyên tử đại số hữu hạn A sinh {aij : i ≤ k, j ≤ m} D phân hoạch đơn vị hữu hạn A, aij phần tử rời D Tập p = # (D) d ∈ D lấy cực đại tập rời Ed ⊆ e : e ⊆ d, µe = µ (d\ sup Ed ) < pm Tập d∗ = sup( d∈D Ed ) pm = sup (d\ sup Ed ) d∈D µd∗ bội 1/pm nhỏ 1/m Cho E* độ đo tập phần tử rời 1± d∗ lấy E = E ∗ ∪ Ed , E phân hoạch đơn vị A d∈D Ta có µe = , ∀e pm ∈ E aij \d∗ hợp nối phần tử chứa E 59 ∀i ≤ k, j ≤ m ∀K ∈ K, K = {K : K ⊆ E, # (K) = p} , M = # (K) = µ (sup K) = , νφ (sup K) m (mp)! p!(mp−p)! ≤ ε χφ (sup K) , v ≤ εM Chúng ta có tập v = K∈K Mặt khác: ν b0 ∩ sup ci ≥ 4ε, νφ (d∗ ) ≤ ε νb1 ≥ 3ε với b1 = b0 ∩ sup ci \φ (d∗ ) i≤k Tương tự: i≤k v ≤ 13 M νb1 b2 = b1 ∩ v < 12 M = Vì b2 ⊂ b1 , có i ≤ k cho b2 ∩ ci = b2 ∩ ci ⊆ ci \φ (d∗ ) = inf φ (aij ) \φ (d∗ ) ⊆ inf φ (aij \d∗ ) j≤m j≤m ∗ Nhưng ∀aij \d hợp nối phần tử chứa E b2 ∩ ci ⊆ infφ (aij \d∗ ) ⊆ infφ (sup {e : e ∈ E, e ⊆ aij }) = inf sup {φ (e) : e ∈ E, e ⊆ aij } = sup {infφ (ej ) : e0 , e1 , , em ∈ E, ej ⊆ aij , ∀j} Có e0 , e1 , , em ∈ E cho ej ⊆ aij j b3 = b2 ∩ inf φ (ej ) = Vì ai0 , , aim j≤m rời nhau, e0 , , em khác Đặt J = {e0 , , em } Thì K ∈ K K ∩ J = ∅ , b3 ⊆ φ (sup K) Vậy tính độ lớn K1 = {K : K ∈ K, K ∩ J = ∅} Điều M− (mp−m−1)! p!(mp−p−m−1)! =M 1− Nhưng nghĩa b3 ⊆ v ≥ 12 M (mp−p)(mp−p−1) (mp−p−m) mp(mp−1) (mp−m) ≥M 1− mp−p mp m+1 ≥ 21 M b3 ⊆ v < 12 M Suy mâu thuẫn Vậy b0 ⊂ sup C lấy b = b0 \ sup C b)Bây chứng minh cho trường hợp tổng quát Cho A tập nguyên tử A d = sup A Ad phi ngun tử, có b1 ⊆ b0 , b1 = 0, n ∈ N cho b1 ∩ inf φ (aj ) = 0, a0 , , an ∈ Ad rời j≤n Thật Nếu µd > từ a) áp dụng cho φ [Ad ] (µd)−1 µ\Ad Nếu µd = chọn b1 = b0 , n = Cho δ > cho νφ (a) < νb1 , µa ≤ δ Cho A1 ⊆ A tập hữu hạn cho µ (sup A1 ) ≥ µ (sup A) − δ tập r = # (A) , 60 d∗ = sup (A\A1 ) µd∗ ≤ δ, b = b1 \φ (d∗ ) = Với m=n+r Nếu a0 , , am rời có nhiều r thành phần supA1 Chúng ta giả sử a0 , , an rời trường hợp aj \d∗ ⊆ d j ≤ m, (b ∩ φ (d∗ ) = 0) Nhưng trường hợp này: b ∩ inf φ (aj ) ⊆ b ∩ inf φ (aj ) = b ∩ inf φ (aj ∩ d) = j≤m j≤n j≤n Chọn n b1 Như trường hợp tổng qt tìm b m thích hợp Bổ đề 4.2.4 Cho (A, µ) , (B, ν) độ đo đại số hữu hạn hoàn toàn φ : A → B δ đồng cấu ∀b0 ∈ B, b0 = ,có b ⊆ b0 , b = phân hoạch đơn vị hữu hạn C ⊆ A cho a → b ∩ φ (a ∩ c) đồng cấu vành ∀c ∈ C Chứng minh Từ bổ đề 4.2.3 tìm m,b1 cho = b1 ⊆ b0 b1 ∩ inf φ (aj ) = với a0 , ., am ∈ j≤m A rời Nếu m = b1 ∩ φ (1) = Như vậy, cần lấy b = b1 , c = {1} Mặt khác, m cực tiểu nên có c1 , , cm ∈ A rời cho b = b1 ∩ inf φ (cj ) = Tập 1≤j≤m c0 = sup1 cj với C = {c0 , , cm } C phân hoạch đơn vị A 1≤j≤m Tập πj (a) = b ∩ φ (a ∩ cj ) a ∈ A, j ≤ m ln có: πj (a ∪ a ) = πj (a) ∪ πj (a ) , ∀a, a ∈ A Vì φ đồng cấu con, ta thấy ∀πj đồng cấu vành Chúng ta cần kiểm tra: πj (a ∩ a ) = 0, a ∩ a = Trong trường hợp j=0, có π0 (a) = 0, ∀a b ∩ φ (c0 ) = b1 ∩ inf φ (cj ) = 0≤j≤m Chọn b1 m Khi ≤ j ≤ m a ∩ a = πj (a) ∩ πj (a ) = b1 ∩ inf 1≤i≤m,i=j φ (cj ) ∩ φ (a) ∩ φ (a ) = (Vì a, a , c1 , , cj−1 , cj+1 , , cm rời nhau) Như có cặp b,c thích hợp Ta có định lý quan trọng Kwapien Định lí 4.2.5 Cho A đại số Boolean Dedekind δ đầy đủ (B, ν) độ đo đại số nửa hữu hạn Cho T : L0 (A) → L0 (B) tốn tử tuyến tính dương 61 Thì tìm B (Ab )b∈B cho B phân hoạch đơn vị B, Ab phân hoạch đơn vị hữu hạn A u → T (u × χa) × χb đồng cấu Riesz với b ∈ B, a ∈ Ab Chứng minh a) Viết B* cho tập phần tử tiềm (potential members) B, tức có b ∈ B cho có phân hoạch đơn vị hữu hạn A ⊆ A cho Tab đồng cấu Riesz ∀a ∈ A : Tab (u) = T (u × χa) × χb Nếu ta thấy B* đóng có thứ tự B, điều đủ để đáp ứng, sau phân hoạch đơn vị B ⊆ B ∗ b) Cho b0 phần tử khác B Ta tìm phần tử khác B* chứa b0 Tuy nhiên, có b1 ⊂ b0 , b1 = với νb1 < ∞ Cho γ > cho b2 = b1 ∩ [[T (χ1) ≤ γ]] khác Định nghĩa µ : A → [0, ∞) cho µa = T (χa) với a ∈ A Thì µ cộng tính đếm (vì b2 χ, T, cộng tính dãy liên tục có thứ tự (do định lý 4.1.1)) Tập N = {a : µa = 0} N δ ideal A (E, µ) độ đo đại số hữu hạn hoàn toàn với E = A/N v àa = àa, a A (mệnh đề 1.2.3) c) Chúng ta có hàm φ : E → Bb2 (ideal chính) xác định bởi: φa• = b2 ∩ [[T (χa) > 0]] , ∀a ∈ A Thật Nếu a1 , a2 ∈ A cho a•1 = a•2 E, có nghĩa a1 , a2 ∈ N : [[T (χa1 ) > 0]] = [[T χ (a1 [[T (χa2 ) > 0]] ⊆ [[|T (χa1 ) − T (χa2 )| > 0]] ⊆ [[T (|χa1 − χa2 |) > 0]] a2 ) > 0]] Là rời b2 (Vì T χ (a1 a2 ) = 0) b2 Tương tự: b2 ∩ [[T (χa1 ) > 0]] = b2 ∩ [[T (χa2 ) > 0]] Và lấy φ (a•1 ) = φ (a•2 ) d) Bây chứng minh φ δ -đồng cấu Thật i) Với a1 , a2 ∈ A bất kỳ, có [[T χ (a1 ∪ a2 ) > 0]] = [[T χ (a1 ) > 0]] ∪ [[T χ (a2 ) > 0]] (vì T (χa1 ) ∨ T (χa2 ) ≤ T χ (a1 ∪ a2 ) ≤ T (χa1 ) + T (χa2 )) 62 Như vậy: φ (c1 ∪ c2 ) = φ (c1 ) ∪ φ (c2 ) , ∀c1 , c2 ∈ E ii) Nếu (cn )n∈N dãy không tăng E với inf = 0, chọn an ∈ A cho a•n = cn , ∀n ∼ ∼ Tập a n = inf \inf , ∀n a•n = cn i≤n i∈N ∼ T χa Như φ (cn ) = Trong ∼ an > , ∀n ∼ n∈N dãy không tăng inf an = n∈N Giả sử b = inf φ (cn ) = n∈N Tập ε = νb ∼ ν b2 ∩ T χan >0 Mỗi n, lấy αn > cho ν b2 ∩ T ≥ 2ε , ∀n ∈ N ∼ χ an > αn ∼ ≥ ε u = sup nα−1 χan xác n∈N định L0 (A) (vì sup ∼ nα−1 χan > k n∈N ∼ ⊆ am k ≥ max iαi−1 inf sup Nhưng ν (b2 ∩ [[T u > n]]) ≥ ν b2 ∩ T i≤m ∼ χan k∈N n∈N > αn ∼ nαn−1 χan > k = ) ≥ ε, ∀n inf [[T u > n]] = n∈N Vô lý Như vậy, inf φ (cn ) = với (cn )n∈N tùy ý φ δ-đồng cấu n∈N e) Từ bổ đề 4.2.4, có b ∈ Bb2 , b = 0, c ∈ E phân hoạch đơn vị hữu hạn cho d → b ∩ φ (d ∩ c) đồng cấu vành ∀C ⊆ E có phân hoạch đơn vị A ⊆ A có độ lớn C cho C = {a• : a ∈ A} Thật Cần chứng minh Tab đồng cấu Riesz với ∀a ∈ A Thật Ta có Tab tốn tử tuyến tính dương Nếu u1 , u2 ∈ L0 (A) u1 ∧ u2 = Tập ei = [[ui > 0]] i, e1 ∩ e2 = Để ý ui = sup ui ∧ nχei n∈N Có [[Tab ui > 0]] = sup [[Tab (ui ∧ nχei ) > 0]] = b ∩ [[Tχ (ei ∩ a) > 0]] , ∀i n∈N Nhưng [[Tab u1 > 0]] ∩ [[Tab u2 > 0]] ⊆ b ∩ [[Tχ (e1 ∩ a) > 0]] ∩ [[Tχ (e2 ∩ a) > 0]] = b ∩ φ (e•1 ∩ a• ) ∩ φ (e•2 ∩ a• ) = Vì a• ∈ C, d → φ (d ∩ a• ) đồng cấu vành mà e•1 ∩ e•2 = Tab u1 ∧ Tab u2 = u1 ,u2 Tab đồng cấu vành 63 f, Như vậy: b ∈ B ∗ , b0 tùy ý nên B* trù mật có thứ tự Ta có hệ trực tiếp định lý Hệ 4.2.6 Cho A đại số Bool Dedekind δ đầy đủ U không gian Riesz Dedekind đầy đủ cho U × phân tách điểm U Nếu T : L0 (A) → U tốn tử tuyến tính dương,khi có dãy (Tn )n∈N đồng cấu Riesz từ L0 (A) → U cho T = n Nghĩa T u = sup n∈N ∞ Tn n=0 Ti u với ∀u ≥ L0 (A) Chứng minh Từ định lý 1.10.6, U nhúng vào không gian Riesz trù mật có thứ tự L0 (B) độ đo đại số (B, ν), mà U Dedekind đầy đủ nên U tập cố thể L0 (B) Lưu ý T toán tử từ L0 (A) đến L0 (B), lấy B, (Ab )b∈B định lý 4.2.5 Chú ý L0 (B) xác định với b∈B L (Bb ) Với b ∈ B cho fb : Ab → N đơn ánh Nếu b ∈ B n ∈ fb [Ab ], tập Tnb (u) = χb × T (u × χa) Thì Tnb : L0 (A) → L0 (Bb ) đồng cấu Riesz Vì Ab phân hoach hữu hạn nên ∞ Tnb u = χb × T u, ∀u ∈ L0 (A) n=0 Điều có nghĩa có tập Tn u = Tnb u Tn : L0 (A) → ∞ Và T = b∈B b∈B ánh xạ L0 (Bb ) ∼ = L0 (B) đồng cấu Riesz với n Tn n=0 Tất nhiên, Tn toán tử từ L0 (A) đến U |Tn u| ≤ T |u| ∈ U, ∀u ∈ L0 (A) 64 KẾT LUẬN Trong luận văn trình bày ba định lý quan trọng: Định lý Maharam, đinh lý phép nâng định lý Kwapien Luận văn nêu tính chất kiến thức có liên quan đến ba định lý Mặc dù thân cố gắng hạn chế thời gian, trình độ kinh nghiệm khoa học nên luận văn nhiều thiếu sót Cũng khn khổ luận văn mà nhiều vấn đề sâu, ứng dụng ba định lý hạn chế Tơi hy vọng với đóng góp ý kiến quý báu quý thầy cô giáo bạn đọc, luận văn hoàn thiện phát triển 65 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên (2009) Lý thuyết xác suất, NXB Giáo Dục [2] Nguyễn Duy Tiến, Nguyễn Viết Phú ,Cơ sở lý thuyết xác suất, NXB Đại học trung học chuyên nghiệp Hà Nội [3] Bellow A and Kolzow D (1975) Measure theory oberwolfach [4] Bourbaki N (1968) General topology, Hermann Addison-wesley [5] Burke M.R Liftings for Lebesgue measure, in Judah [6] Burke M.R (1995) Consistent liftings Prirately, Circulated [7] Chacon R.V and Krenge U (1964) Linear modulus of a linear operator, Proc.Amer.Math.Soc [8] Fremlin D.H (1974) Topological Riesz space and measure theory ,Cambridge U P [9] Fremlin D.H (1974) A charaterization of L-space, Indag Math [10] Fremlin D.H (2000), Measure theory, volume 1: The Irreducible Minimum, in Monk [11] Fremlin D.H (2001), Measure theory, volume 2: Broad Foundations, in Monk [12] Fremlin D.H (2002), Measure theory, volume 3: Measure Algebras, in Monk [13] Machera N.D and Strauss W (1996) On products of almost strong liftings, J.Australian Math Soc [14] Roberts J.W Maharam’s problem, in kranz and Labuda 66 ... Chúng ta học tìm hiểu số cấu trúc đại số nhóm, vành, trường, Mở rộng lên chút tìm hiểu cấu trúc đại số độ đo xác suất phức tạp nhiều đại số Borel, đại số Bool, độ đo đại số, không gian Riesz,... đẳng cấu với họ tích độ đo đại số họ tích độ đo đại số đẳng cấu với độ đo thường Để có định lý Maharam tìm hiểu bổ đề quan trọng phân loại độ đo đại số địa phương 2.1 2.1.1 Sự phân loại độ đo đại. .. Nếu (A, µ) độ đo đại số địa phương B đại số đóng A a ∈ A đại số E A sinh B ∪ {a} đóng 1.2.4 Đồng cấu Định nghĩa 1.2.8 Cho (A, µ) (B, ν) độ đo đại số Đồng cấu Bool π : A → B bảo toàn độ đo ν (πa)