Hệ sinh của một số cấu trúc đại số

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN - TRẦN THỊ HỒNG DUYÊN HỆ SINH CỦA MỘT SỐ CẤU TRÚC ĐẠI SỐ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngành: ĐHSP Toán Giảng viên hướng dẫn: TS Nguyễn Tiến Mạnh Phú Thọ, 2019 Phú Thọ, 2019 LỜI CẢM ƠN Đề tài “ Hệ sinh số cấu trúc đại số” nội dung chọn để nghiên cứu khóa luận tốt nghiệp sau bốn năm theo học chƣơng trình đại học ngành sƣ phạm Tốn trƣờng đại học Hùng Vƣơng Để hồn thành q trình nghiên cứu hồn thiện khóa luận này, lời xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến thầy Ts Nguyễn Tiến Mạnh Thầy trực tiếp bảo khơng tiếc thời gian q báu hƣớng dẫn tơi suốt q trình nghiên cứu để tơi hồn thiện khóa luận Ngồi ra, tơi xin chân thành cảm ơn thầy cô khoa Khoa học Tự nhiên đóng góp ý kiến quý báu cho khóa luận Tơi xin cảm ơn ban lãnh đạo nhà trƣờng, lãnh đạo khoa Khoa học Tự nhiên tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành tốt khóa luận Mặc dù cố gắng nỗ lực nhƣng khóa luận khơng thể tránh khỏi thiếu sót Vì tơi mong nhận đƣợc ý kiến đóng góp, phê bình q thầy bạn để khóa luận đƣợc hồn thiện Trân trọng cảm ơn! Việt Trì, ngày tháng 05 năm 2019 Sinh viên thực Trần Thị Hồng Duyên MỤC LỤC PHẦN I: MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài khóa luận Mục tiêu khóa luận Nhiệm vụ nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn Bố cục khóa luận PHẦN II: NỘI DUNG CHƢƠNG 1: HỆ SINH CỦA KHÔNG GIAN VECTƠ 1.1 Hệ sinh không gian vectơ 1.2 Không gian hữu hạn sinh 11 1.3 Không gian vectơ chiều vô hạn 13 1.4 Không gian thƣơng 13 1.5 Bài tập 15 TIỂU KẾT CHƢƠNG 27 CHƢƠNG II: HỆ SINH CỦA NHÓM 28 2.1 Hệ sinh nhóm 28 2.2 Nhóm hữu hạn sinh, nhóm xyclic 28 2.3 Bài tập 36 TIỂU KẾT CHƢƠNG 47 CHƢƠNG III: HỆ SINH CỦA IĐÊAN 48 3.1 Hệ sinh iđêan 48 3.2 Iđêan hữu hạn sinh 51 3.3 Bài tập 56 TIỂU KẾT CHƢƠNG 62 PHẦN III: KẾT LUẬN 63 TÀI LIỆU THAM KHẢO 64 PHẦN I: MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài khóa luận Cấu trúc đại số mơn học quan trọng sinh viên khoa Tốn Nó giúp hiểu biết lí thuyết tổng quát phép toán, biết đƣợc rằng: Số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỷ với phép tốn mơ hình cấu trúc đại số tổng qt Ở chƣơng trình phổ thơng, học sinh đƣợc tiếp cận với cấu trúc đại số thông qua tập số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỷ, số thực, số phức với phép toán Ở trƣờng Cao đẳng, Đại học sinh viên ngành toán đƣợc hiểu rõ cấu trúc đại số thơng qua: Tập hợp quan hệ, nửa nhóm nhóm, vành trƣờng, vành đa thức “Đại số đại cƣơng” tác giả Hồng Xn Sính Cuốn sách đƣợc làm tài liệu sinh viên ngành Toán trƣờng Đại học Hùng Vƣơng số trƣờng Đại học Sƣ phạm khác Ngồi cịn nhiều sách khác viết vấn đề nhƣ: “Cấu trúc đại số” tác giả Đậu Thế Cấp; “Đại số số học” giáo sƣ Ngô Thúc Lanh, Khi nhắc đến cấu trúc đại số không nhắc đến hệ sinh cấu trúc đại số đó, hệ sinh ln xuất cấu trúc Hệ sinh cho phép xác định đối tƣợng khác cấu trúc xét, sở để xây dựng cấu trúc, sở để xây dựng đồng cấu hai cấu trúc đại số Ngồi việc giải tốn liên quan đến đối tƣợng thuộc nhóm cấu trúc đại số thƣờng liên quan đến việc lựa chọn hệ sinh nhƣ: Để nghiên cứu tâm đối xứng trục đối xứng đồ thị hàm đa thức dùng hệ sinh sở tƣơng ứng với khai triển Taylor, để nghiên cứu đa thức số học cần hệ sinh đa thức số học liên quan đến số tổ hợp, nghiên cứu đa thức đối xứng cần hệ sinh đa thức đối xứng bản, Nhằm mục đích hiểu rõ ý nghĩa khoa học vai trò hệ sinh đồng thời để tăng cƣờng khả vận dụng linh hoạt hệ sinh nghiên cứu cấu trúc đại số nên em chọn đề tài: “Hệ sinh số cấu trúc đại số” 2 Mục tiêu khóa luận  Phân tích, làm rõ số vấn đề liên quan đến hệ sinh (tính hữu hạn sinh, không hữu hạn sinh, ứng dụng hệ sinh xây dựng đồng cấu ) ba cấu trúc đại số: Nhóm, khơng gian vectơ, iđêan  Giải khai thác toán liên quan đến hệ sinh Nhiệm vụ nghiên cứu  Nghiên cứu kiến thức sở liên quan đến ba cấu trúc đại số: Nhóm, khơng gian vectơ iđêan  Nghiên cứu hệ sinh ba cấu trúc đại số: Nhóm, khơng gian vectơ iđêan  Nghiên cứu toán liên quan đến ba cấu trúc đại số có ứng dụng hệ sinh Phƣơng pháp nghiên cứu  Phƣơng pháp nghiên cứu lí luận: Đọc nghiên cứu tài liệu, giáo trình có liên quan đến hệ sinh cấu trúc đại số: Nhóm, Iđêan, không gian vectơ  Phƣơng pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng hợp hệ thống hóa kiến thức vấn đề nghiên cứu cách đầy đủ khoa học đồng thời tìm ví dụ minh họa từ q trình học nghiên cứu  Phƣơng pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến giảng viên trực tiếp hƣớng dẫn, giảng viên khác để hoàn thiện mặt nội dung hình thức khóa luận Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu  Đối tƣợng: Hệ sinh nhóm, hệ sinh iđêan, hệ sinh khơng gian vectơ  Phạm vi: Nghiên cứu nhóm giao hốn, iđêan vành giao hốn, khơng gian vectơ trƣờng có đặc số Ý nghĩa khoa học thực tiễn Khóa luận xem nhƣ tài liệu tham khảo chủ đề “hệ sinh số cấu trúc đại số” Qua nội dung khóa luận, thấy rõ vai trị hệ sinh nhóm, khơng gian vectơ iđêan Đó nghiên cứu tốn gắn với cấu trúc đại số cụ thể nói trên, phải lựa chọn xét hệ sinh phù hợp Nhờ hệ sinh ban đầu mối quan hệ với hệ sinh phần tử tổng qt, tìm đƣợc hƣớng giải tốn Bố cục khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận đƣợc chia làm chƣơng:  Chƣơng 1: Hệ sinh không gian vectơ 1.1 Hệ sinh không gian vectơ 1.2 Không gian vectơ hữu hạn sinh 1.3 Không gian vectơ chiều vô hạn 1.4 Không gian thƣơng 1.5 Bài tập  Chƣơng 2: Hệ sinh nhóm 2.1 Hệ sinh nhóm 2.2 Nhóm đơn sinh, nhóm cyclic, nhóm hữu hạn sinh 2.3 Bài tập  Chƣơng 3: Hệ sinh iđêan 3.1 Hệ sinh iđêan 3.2 Iđêan hữu hạn sinh 3.3 Bài tập PHẦN II: NỘI DUNG CHƢƠNG 1: HỆ SINH CỦA KHÔNG GIAN VECTƠ 1.1 Hệ sinh không gian vectơ Định nghĩa 1.1.1 Cho { x1, x2 , , xn } hệ vectơ thuộc không gian vectơ V trƣờng K Ngƣời ta gọi tổ hợp tuyến tính hệ { x1, x2 , , xn } vectơ x V có dạng: x  1x1  2 x2   n xn , với 1, 2 , , n  K Định nghĩa 1.1.2 Ta nói hệ n vectơ x  x1, x2 , , xn không gian vectơ V tạo thành hệ sinh (hệ phần tử sinh) V vectơ x V tổ hợp tuyến tính hệ đó, tức tồn 1, 2 , , n  K cho: x  1x1  2 x2   n xn Ví dụ 1.1.1 Trong khơng gian vectơ cho hệ vectơ E  e1  (1,0); e2  (0,1) Khi hệ vectơ E hệ sinh khơng gian vectơ Thật , x  2 : x  ( a, b) Khi x  (a, b)  a(1,0)  b(0,1)  ae1  be2 Vậy E hệ sinh khơng gian vectơ Ví dụ 1.1.2 Trong không gian vectơ 2 cho hệ vectơ E '  e1  (1,0); e2  (0,1); e3  (2,5) Khi hệ vectơ E ' hệ sinh không gian vectơ Thật x  2 : x  (a, b) Hay x  (a, b)  a(1,0)  b(0,1)  0(2,5)  ae1  be2 Ví dụ 1.1.3 Trong khơng gian vectơ , cho hệ vectơ E  e1  (1,0,0); e2  (0,1,0); e3  (0,0,1) Khi hệ vectơ E hệ sinh không gian vectơ Thật x  : x  (a, b, c) Hay: a(1,0,0)  b(0,1,0)  c(0,0,1)  (a, b, c) ae1  be2  ce3  x Ví dụ 1.1.4 Trong không gian V = n xét vectơ e1  (1,0,0,,,0), e2  (0,1,0,,,0), e3  (0,0,1,,,0), …, en  (0,0,0,,,1) Ta thấy 1e1  (1,0,0, ,0) 2e2  (0, 2 ,0, ,0) ….… nen  (0,0,0, , n ) i  K , i  1, n Cộng kết theo vế ta đƣợc 1e1  2e2   nen  (1, 2 , , n ) Nhƣ phần tử V = n tổ hợp tuyến tính hệ { e1, e2 , , en }; với vectơ x cho trƣớc thuộc K n tồn hệ vô hƣớng 1, 2 , , n cho x  1x1  2 x2   n xn Ví dụ 1.1.5 K  X  có hệ sinh 1, X , , X n ,  Định nghĩa 1.1.3 Không gian vectơ sinh S không gian nhỏ theo quan hệ bao hàm chứa S Kí hiệu S Chú ý: i) Cho V không gian vectơ, S  V Nếu V  S S hệ sinh V   0 ii) S   S   : Khơng gian vectơ khơng iii) S  S iv) S  x1, x2 , , xn  S  1 x1  2 x2   n xn , i  K , i  1, n v)   S   xi | i  I  S   i xi | i  K  , i  hầu hết trừ số  iI    hữu hạn  Định lí 1.1.1 Cho V khơng gian vectơ, V1 ,V2 không gian vectơ V Khi V1  S S  V2 V1  V2 Chứng minh m Xét x V1 Khi x   Sii , Si  S , i  Z i 1 Vì S  V2 nên Si V2 , i  1, m m Do V2 không gian vectơ nên  S  V ; S  S ,   Z i i i 1 i i Vậy V1  V2 Định nghĩa 1.1.4 Hệ vectơ { x1, x2 , , xn } thuộc K- không gian vectơ V gọi độc lập tuyến tính với vô hƣớng 1, 2 , , n  K cho 1x1  2 x2   n xn  Thì suy : 1  2   n  Trƣờng hợp ngƣợc lại hệ vectơ { x1, x2 , , xn } phụ thuộc tuyến tính Ví dụ 1.1.6 Xét họ n  hàm số: 1, x, x2 , , xn giả sử cho 0  1x  2 x   n x n  x  R Thì i số với i  0, n ,vì có vơ số x thỏa mãn phƣơng trình bậc n x nên 1  2   n  Vậy không gian đa thức x hệ đa thức {1, x, x , , x n } hệ độc lập tuyến tính Ví dụ 1.1.7 K  X  có hệ sinh 1, X , , X n ,  Định nghĩa 1.1.5 Ta gọi sở không gian vectơ hệ sinh độc lập tuyến tính Nhƣ hệ vectơ x1, x2 , , xn hệ sở khơng gian V phải có hai điều kiện n x  V, tồn 1 , 2 , , n  K : x   i xi i 1 1x1  2 x2   n xn   1  2   n  Ví dụ 1.1.8 Hệ vec tơ E  e1  (1,0); e2  (0,1) sở không gian vectơ Cơ sở đƣợc gọi sở tắc không gian vectơ Thật E hệ sinh theo từ đẳng thức: 1e1  2e2   1 (1,0)  2 (0,1)  (0,0)  1  0, 2  Nên hệ E độc lập lập tuyến tính Ví dụ 1.1.9 Hệ vec tơ E '  e1  (1,0); e2  (0,1); e3  (2,5) không sở không gian vectơ Vì hệ E ' hệ sinh nhƣng khơng độc lập lập tuyến tính Thật vậy, xét hệ thức: 2(1,0)  5(0,1)  (2,5)  (0,0) Hay: 2e1  5e2  e3   Nên hệ E ' khơng phải sở Ví dụ 1.1.10 Hệ vec tơ E  e1  (1,0,0); e2  (0,1,0); e3  (0,0,1) sở không gian vec tơ Cơ sở đƣợc gọi sở tắc khơng gian vec tơ Thật vậy, E hệ sinh (theo ví dụ 1.1.3) từ đẳng thức : 1e1  2e2  3e3   1 (1,0,0)  2 (0,1,0)  3 (0,0,1)  (0,0,0)  1  0, 2  0, 3  Nên hệ E độc lập tuyến tính Ví dụ 1.1.11 Trong không gian R n , ta xét hệ { e1, e2 , , en } đƣợc biểu diễn nhƣ sau: e1  (1,0,0,,,0), e2  (0,1,0,,,0), e3  (0,0,1,,,0), …, en  (0,0,0,,,1) hệ sở n Qua ví dụ 1.1.4 ta thấy hệ sinh Bây ta chứng minh hệ độc lập tuyến tính 50 Định lí 3.1.1 Cho R vành giao hốn có đơn vị a1, a2 , , an n phần tử thuộc R Khi iđêan sinh tập hợp a1, a2 , , an  tập hợp A  x1a1  x2a2   xnan | xi  R Chứng minh Xét tập hợp A  x1a1  x2a2   xnan | xi  R Có thể thử lại A iđêan R , A chứa phần tử a1, a2 , , an Giả sử J iđêan R chứa phần tử a1, a2 , , an Khi đó: x1a1  x2a2   xnan  J Trong xi  R Do A  J Điều chứng tỏ A iđêan bé chứa , nghĩa A sinh tập a1, a2 , , an  Định lí 3.1.1 Cho I iđêan, I1 , I iđêan I Khi I1  S S  I I1  I Chứng minh m Xét x  I1 Khi x   Sii , Si  S , i  Z i 1 Vì S  I nên Si  X , i  1, m m Do I nhóm nên S   X i i 1 i ; Si  S ,  i  Z Vậy I1  I Định lí 3.1.2 cho f : R  S đồng cấu từ vành R đến vành S Khi I iđêan S f 1 ( I ) iđêan R Chứng minh Thật vậy,  f 1 ( I ) f (0)   I Giả sử x1, x2  f 1 ( I ) , f ( x1 )  I f ( x2 )  I Nên f ( x1 )  f ( x2 )  f ( x1  x2 )  I  x1  x2  f 1 ( I ) 51 Mặt khác, giả sử x  f 1 ( I ), r  R  f ( x)  I , f ( xr )  f ( x) f (r )  I tức xr  f 1 ( I ) Tƣơng tự, ta có rx  f 1 ( I ) Vậy I iđêan R 3.2 Iđêan hữu hạn sinh Định nghĩa 3.2.1: Ta nói iđêan I iđêan hữu hạn sinh có hệ sinh hữu hạn Ví dụ 3.2.1: Mọi iđêan vành sinh phần tử (iđêan chính) Ví dụ 3.2.2: Một iđêan có nhiều tập sinh tối tiểu Chẳng hạn 1 ,2,3 tập sinh tối tiểu iđêan vành Mệnh đề 3.1.1: Tồn vành có iđêan khơng hữu hạn sinh Chứng minh Chẳng hạn xét vành C0,1 (là hàm số thực liên tục đoạn  0,1 với phép cộng nhân hàm số lập thành vành) Chọn f n hàm liên tục cho f n ( x)  0 x  x  f n ( x)  n n Đặt J  f1, f , , f n , iđêan không hữu hạn sinh Thật vậy, giả sử g1, g2 , , gm  J cho J  g1, g2 , , g m Để khơng tính tổng qt ta giả sử: g j  h j1 f1  h j f   h jp f p ,1  j  m , p  số tự nhiên đủ lớn Khi đó: g j  f1 , f , , f p đó: J  g1, g2 , , gm  f1, f , , f p  J Nhƣ J  f1 , f , , f p  f p1 biểu diễn đƣợc qua hàm f1 , f , , f p vành C0,1 1 Lại f1 ( )  f ( )   f n ( )  p p p 1 1 Nên f p 1 ( )  Vì  nên f p 1 ( )  (mâu thuẫn) p p p 1 p 52 Định nghĩa 3.2.2: Cho X vành giao hốn có đơn vị e (i) Iđêan I  X đƣợc gọi iđêan nguyên tố xy  I x  I yI (ii) Iđêan I  X đƣợc gọi iđêan tối đại I iđêan thực X không bị chứa iđêan thật khác I (nói cách khác có J  X , J  I J  X J  I ) Ví dụ 3.2.3: (i) iđêan nguyên tố vành số nguyên nhƣng không iđêan tối đại (ii) Trong vành số nguyên iđêan có dạng m Chúng iđêan nguyên tố m nguyên tố Khi m iđêan tối đại (iii) Nếu K trƣờng vừa iđêan nguyên tố, vừa iđêan tối đại K Bổ đề 3.2.1: Cho X vành giao hốn có đơn vị Nếu I  X thì: (i) I iđêan nguyên tố vành thương X / I miền nguyên (ii) I iđêan tối đại X / I trường Chứng minh (i) Ta có X / I vành giao hốn có đơn vị nên I iđêan ngun tố  X / I khơng có ƣớc Thật vậy: I iđêan nguyên tố  xy  X   x  I  ( x  I )( y  I )  xy  I    x  I   y  I  y  I  Vậy X / I khơng có ƣớc (ii) Tƣơng tự nhận xét trên, X / I vành giao hốn có đơn vị nên I iđêan tối đại  a  I  khả nghịch Thật vậy: I iđêan tối đại  a  I iđêan 53 J  I , a  I  aX  X  a  I :1 I  aX  a  I , b  X :1 ab  I  a  I  0, b  I : (a  I )(b  I )  ab  I   I  a  I  khả nghịch (đpcm) Bổ đề 3.2.2 Cho vành giao hốn có đơn vị R J iđêan Khi đó: a) J iđêan nguyên tố vành R chi vành thương R / J miền nguyên b) J iđêan tối đại vành R vành thương R / J trường Chứng minh a) Giả sử J iđêan nguyên tố vành R   R / J  x  x  J x  R vành thƣơng vành R / J Vì J nguyên tố nên J  R , R / J có nhiều phần tử Đơn vị R / J   J với đơn vị R Do R vành giao hoán nên R / J vành giao hoán Bây giả sử x, y hai phần tử tùy ý R / J Nếu: x y  , x, y  J Vì J iđêan nguyên tố nên x  J y  J Suy x  y  Vậy R / J khơng có ƣớc khơng, R / J miền nguyên Ngƣợc lại, giả sử R / J miền nguyên Khi R / J có nhiều phần tử, J  R Nếu x, y hai phần tử thuộc R cho x y  J x y  xy  Vì R / J khơng có ƣớc nên suy x  y  Từ x  J y  J Vậy J iđêan nguyên tố c) Giả sử J iđêan tối đại vành R , giả sử u  R / J , u  54 Thế tồn r  R \ J cho: u  r  r  J Khi J  rR  R , đó:  y  rx, y  J , x  R Từ đó:   r.x Nghĩa r có nghịch đảo Vậy R / J trƣờng Thế R / J khơng có iđêan thực Khi B iđêan R cho: J  B  R Thì B / J iđêan R / J Do R / J khơng có iđêan thực nên B / J  , B / J  R / J  Nghĩa B  J B  R Điều chứng tỏ J iđêan tối đại R Định nghĩa 3.2.3 (vành Noether): Vành R đƣợc gọi vành Noether R thỏa mãn điều kiện dãy dừng, tức với dãy lồng iđêan: I1   I k 1  I k  I k 1  Thì tồn n , cho: I n  I n1  Ví dụ 3.2.3 Vành đa thức  X ,  X  vành Noether Ví dụ 3.2.4 Mọi vành vành Noether Ví dụ 3.2.5 Vành đa thức vơ hạn biến R  A X1, X , , X n ,  vành giao hoán A khác vành khơng phải vành Noether, tồn dãy tăng vô hạn iđêan sau R : ( X1 )  ( X1, X )   ( X1, X , , X n )  Mệnh đề 3.2.2: Cho M iđêan Khi khẳng định sau tương đương: (i) Mọi tập hợp không rỗng iđêan M có phần tử cực đại (ii) Mọi dãy tăng iđêan M : M1  M   M n  dừng, nghĩa tồn m : M k  M m , k  m (iii) Mọi iđêan M hữu hạn sinh Chứng minh 55 (i)  (ii) : Lấy tùy ý dãy tăng iđêan M M1  M   M n  Gọi F tập tất phần tử dãy Theo (i), tập có phần tử cực đại M m với m Khi ta có M k  M m , k  m (ii)  (iii) : Giả sử trái lại, tồn iđêan N M khơng hữu hạn sinh Khi N tồn dãy vô hạn phần tử x1, x2 , , xn , cho đặt M m   i 1 Ax i M j  M j 1,(M j  M j 1 ) , j  m Ta nhận đƣợc dãy tăng vô hạn mà không dừng M1  M   M n  Các iđêan M , mâu thuẫn với (ii) (iii)  (i) : Giả sử S tập khác rỗng iđêan M Vì S tập khác rỗng, nên ta chọn đƣợc iđêan M1  S Khi M khơng phải phần tử cực đại S tồn M thực chứa M Lặp lại lập luận ta suy S khơng có phần tử cực đại, tồn dãy tăng vô hạn M1  M   M n  không dùng iđêan M Dễ thấy N  i 1 M i iđêan M , nên N iđêan hữu hạn sinh Giả sử  x1 , , xm  hệ sinh N Vì dãy iđêan nhận đƣợc dãy tăng nên tồn k để x1, , xm  M k m Khi N   Ax i  M k i 1 M k  N , nhƣ dãy bị dừng bắt đầu vị trí thứ k (mâu thuẫn giả thiết) Hệ quả: A vành Noether, X1, X , , X n biến độc lập Khi A X1, X , , X n  vành Noether Ý nghĩa vành Noether: Trong vành Noether tập nghiệm hệ n phương trình nghiệm hệ d phương trình ( d  n ) Cho K trƣờng, X1, X , , X n biến độc lập 56 Khi K  X1, X , , X n  vành Noether (vì trƣờng K vành Noether) Cho: I  K  X1, X , , X n    V ( I )  (a1, a2 , , an |  K , i  1, n : f  I : f (a1, a2 , , an )   f ( X , X , , X n )  (1) V ( I ) tập nghiệm hệ phƣơng trình  f ( X , X , , X )  I n  Vì K  X1, X , , X n  vành Noether nên I hữu hạn sinh Do đó: I  f1, f , , f d  f1  f 0  Suy V ( I )  V ( f1 )  V ( f )   V ( f d )     f d   f1  f 0  Vậy nghiệm phƣơng trình (1)    f d  3.3 Bài tập Bài 3.1: Trong vành đa thức  x xét iđêan I sinh n  N x Chứng minh I iđêan nguyên tố n số nguyên tố Giải Xét ánh xạ:  :  x  a0  a1x   am x m n a0 Trong a0  a0  n Dễ chứng minh đƣợc  đồng cấu vành,  tồn cấu Ta có:  (a0  a1x   am x m )  n a0 hay a0  a1x   am x m  I Do đó, I  ker( ) Theo định lí đồng cấu  x I n 57 Từ suy I iđêan nguyên tố n miền nguyên Điều xảy n số nguyên tố Bài 3.2: Trong vành đa thức A x  xét iđêan I sinh nA X  Chứng minh I iđêan nguyên tố n số nguyên tố Giải Xét toàn cấu:  : A x   A  X  , f ( x) I f ( x) Trong đó: f ( x)  a1 X n   a0 , f ( x)  an X n   a0 Khi đó: f ( x)  ker  a0 , a1, , an  I Do ker  I  X  Theo định lí đồng cấu A X  / I  X   A X I Từ suy I iđêan nguyên tố A x  miền nguyên Điều xảy n số nguyên tố Bài 3.3: Giả sử I iđêan thực Z Chứng minh I iđêan tối đại Z I  pZ , với p số nguyên tố Giải Cách 1: Ta thấy vành số nguyên Z miền iđêan chính, nghĩa iđêan vành Z có dạng n với n Giả sử I  J  m Khi đó, n  m nên tồn x cho n  mx hay m n Bởi vậy, n tối đại m  n với ƣớc m n Điều xảy n số nguyên tố Cách 2: Giả sử I  n , I iđêan tối đại Z / I  n trƣờng, điều tƣơng đƣơng với n số nguyên tố Mở rộng: Cho A vành I iđêan A , I  a Khi I iđêan tối đại a nguyên tố I  A Bài 3.4: Cho R vành giao hốn có đơn vị Chứng minh hai khẳng định sau tƣơng đƣơng với 58 (i) R có iđêan tối đại (ii) Tập phần tử không khả nghịch R lập thành iđêan R Giải (i)  (ii) Giả sử R có iđêan tối đại M Khi iđêan M tập phần tử không khả nghịch M (áp dụng 3) (i)  (ii) Giả sử tập M phần tử không khả nghịch R iđêan R Ta thấy M iđêan tối đại R Giả sử M ' iđêan tối đại R , theo M '  M Suy M '  M tức R có iđêan Bài 3.5: Cho R vành giao hốn có đơn vị  Chứng minh iđêan R , khác R , iđêan nguyên tố R trƣờng Giải Do iđêan iđêan nguyên tố nên R miền nguyên Xét phần tử a R , a  Theo giả thiết a R iđêan nguyên tố a  a R nên a  a2 R Suy tồn r  R cho a  a 2r R miền nguyên nên giản ƣớc cho a ta đƣợc ar  Điều chứng tỏ a khả nghịch, suy R trƣờng Bài 3.6: Cho f đồng cấu vành từ R đến S ( R S vành giao hốn có đơn vị a) Chứng minh f toàn cấu I iđêan R f ( I ) iđêan S Nếu f không tồn cấu tính chất cịn không? Tại sao? b) Chứng minh P iđêan nguyên tố S f 1 ( P) iđêan nguyên tố R Kết cịn khơng thay giả thiết “ngun tố” giả thiết “tối đại”? Tại sao? Giải a) Ta có  f (0)  f ( I ) Giả sử a' , b'  f ( I ) , tồn a, b  I : f (a)  a' , f (b)  b' 59 Nhƣ vậy: a'  b'  f (a)  f (b)  f (a  b)  f ( I ) Giả sử a '  f ( I ) Khi a'  f (a), a  I Vì f tồn cấu nên tồn x  R : f ( x)  y Khi a' y  f (a) f ( x)  f (ax)  f ( I ) Vậy f ( I ) iđêan S Nếu f khơng tồn cấu khẳng định khơng Chẳng hạn, xét phép nhúng tự nhiên f :  vành số nguyên vào trƣờng số hữu tỷ, iđêan từ , nhƣng f ( ) không iđêan b) Ta biết P iđêan S f 1 ( P) iđêan R Giả sử P iđêan nguyên tố S , ta chứng minh f 1 ( P)  Q iđêan nguyên tố R Thật vậy, với x, y phần tử thuộc R Sao cho: xy  Q  f ( x) f ( y)  f ( xy)  P Do P iđêan nguyên tố nên f ( x)  P f ( y)  P Vậy x  Q Nếu P iđêan tối đại S khơng thể kết luận f 1 ( P) iđêan tối đại R Chẳng hạn, xét phép nhúng tự nhiên từ vành vào nhƣng f 1 (0)  0 không iđêan tối đại iđêan tối đại Bài 3.7: Chứng minh iđêan tối đại vành n , ta có 0 có dạng m m ƣớc nguyên tố n Giải Ta thấy iđêan Do iđêan m n n có dạng m n với m | n iđêan tối đại m Xét đồng cấu vành: : n  m , xn m Dễ thấy  toàn cấu ker  x  n | x  m  0  x  n | x  m Theo định lí đồng cấu, ta có: n / ker  n m /m n  n m n trƣờng n , 60 Do m n iđêan tối đại n , m trƣờng, hay m ƣớc nguyên tố n Bài 3.8: Chứng minh vành số nguyên iđêan nguyên tố khác không tối đại Giải Giả sử m  iđêan nguyên tố Nếu n  m m  n m  nr Theo định nghĩa iđêan nguyên tố n  m r  mZ , nghĩa r  mt với t Từ m  nr  ntm Do m  nên nt   n  Vậy m iđêan tối đại vành Bài 3.9: Giả sử a b hai phần tử nguyên tố vành A Chứng minh iđêan sinh a b vành A Chứng minh Giả sử a , b  A với a b nguyên tố vành A nên tồn u v thuộc A cho: au  bv  Nhƣ ta có thuộc vào iđêan sinh a b iđêan trùng với A Bài 3.10: Cho p phần tử khác vành A Chứng minh p bất khả quy Ap iđêan tối đại A Chứng minh Giả sử p phần tử bất khả quy vành A iđêan A cho pA  I pA  Nhƣ có phần tử a  I \ pA Vì a  pA nên a khơng chia hết cho p , a, p nguyên tố nhau.Từ suy tồn u v cho au  pv  Vì a  I p  pA  I nên  au  pv , I  A Điều chứng tỏ pA iđêan tối đại 61 Đảo lại, giả sử pA iđêan tối đại A pA  A p khơng ƣớc Giả sử p khơng bất khả quy, nghĩa p có ƣớc thực a, b, p  ab Vì aA  A (do a khơng ƣớc 1), aA  pA aA  pA (do a khơng liên kết với p ) Nhƣ có iđêan aA mà pA  aA  A Trái với giả thiết tính tối đại iđêan pA Vậy p phải phần tử bất khả quy A Bài 3.11: Chứng minh vành chính, iđêan nguyên tố khác iđêan tối đại Chứng minh Do tính chất A / I trƣờng I iđêan tối đại A / I miền nguyên I iđêan nguyên tố A nên iđêan tối đại iđêan nguyên tố Trƣớc hết ta chứng minh A vành iđêan ngun tố khác 0 iđêan tối đại Thật vậy, giả sử I  0 iđêan vành A Vì A vành nên tồn a  A cho I  (a) Do I nguyên tố nên I  A , a không ƣớc Bây ta chứng minh a phần tử bất khả quy A Thật vậy, giả sử a  uv với u v thuộc A Ta có: (a)  (u ) (a)  (v) Mặt khác uv  a  (a) nên v  (a) u  (a) suy ra: (u)  (a) (v)  (a) Từ bao hàm thức ta suy (u)  (a) (v)  (a) , nghĩa a liên kết với u a liên kết với v Vậy a phần tử bất khả quy 62 TIỂU KẾT CHƢƠNG Trong chƣơng biết đƣợc khái niệm hệ sinh iđêan, iđêan hữu hạn sinh, số định lí, mệnh đề tập liên quan đến hệ sinh iđêan Đặc biệt vai trò hệ sinh iđêan quan hệ bao hàm cấu trúc iđêan, đƣợc thể định lí 3.1.1 để chứng minh iđêan I1 chứa iđêan I , I1 , I iđêan iđêan I , ta cần chứng minh hệ sinh iđêan I1 chứa iđêan I Ngoài chƣơng 3, bạn đọc hiểu thêm iđêan vành Noether mệnh đề 3.2.2, vành Noether rằng: Mọi iđêan thuộc vành hữu hạn sinh 63 PHẦN III: KẾT LUẬN Bằng việc nghiên cứu tài liệu, khóa luận thể rõ:  Các định nghĩa: Hệ sinh khơng gian vectơ, hệ sinh nhóm, hệ sinh iđêan,…  Những định lí, mệnh đề thể tính chất, vai trị hệ sinh cấu trúc đại số  Phần tập giúp hiểu hệ sinh cấu trúc đại số: Khơng gian vectơ, nhóm iđêan Các khái niệm đƣợc định nghĩa rõ ràng, xác Sau định nghĩa có ví dụ minh họa làm sáng tỏ vấn đề 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hồng Xn Sính (2010), Đại số đại cương, NXBGD [2] Đậu Thế Cấp (2008), Cấu trúc đại số, NXBGD [3] Trần Trọng Huệ (2007), Đại số tuyến tính Hình học giải tích, NXBGD [4] Hồng Xn Sính (2002), Số đại số, NXBGD [5] Nguyễn Hồ Quỳnh (2006), Toán cao cấp, NXBKH&KT [6] Đỗ Đình Thanh – Nguyễn Phúc Thuần (2000), Toán học cao cấp, NXBGD [7] Bùi Huy Hiền - Nguyễn Hữu Hoan – Phan Doãn Thoại (1986), Bài tập Đại số Số học, NXBGD [8] Ngô Thúc Lanh (1985), Đại số Số học Tập 1, Tập 2, NXBGD [9] Đankô P.E,Pôpôp A.G, Côgiepnhicôva I.Ia (1983), Bài tập toán cao cấp, Nhà xuất Mir, Maxcơva (tiếng Nga) ... đến hệ sinh cấu trúc đại số đó, hệ sinh ln xuất cấu trúc Hệ sinh cho phép xác định đối tƣợng khác cấu trúc xét, sở để xây dựng cấu trúc, sở để xây dựng đồng cấu hai cấu trúc đại số Ngồi việc... linh hoạt hệ sinh nghiên cứu cấu trúc đại số nên em chọn đề tài: ? ?Hệ sinh số cấu trúc đại số? ?? 2 Mục tiêu khóa luận  Phân tích, làm rõ số vấn đề liên quan đến hệ sinh (tính hữu hạn sinh, không... đến ba cấu trúc đại số: Nhóm, khơng gian vectơ iđêan  Nghiên cứu hệ sinh ba cấu trúc đại số: Nhóm, khơng gian vectơ iđêan  Nghiên cứu toán liên quan đến ba cấu trúc đại số có ứng dụng hệ sinh