Hệ sinh của một số cấu trúc đại số

NỘI DUNG

HỆ SINH CỦA NHÓM

Hệ sinh của nhóm

2.2 Nhóm đơn sinh, nhóm cyclic, nhóm hữu hạn sinh

 Chương 3: Hệ sinh của iđêan

PHẦN II: NỘI DUNG CHƯƠNG 1: HỆ SINH CỦA KHÔNG GIAN VECTƠ

1.1 Hệ sinh của không gian vectơ Định nghĩa 1.1.1

Cho {x x 1 , 2 , ,x n } là một hệ vectơ thuộc không gian vectơ V trên trường K

Người ta gọi là tổ hợp tuyến tính của hệ {x x 1 , 2 , ,x n } là một vectơ x V có dạng: x 1 1 x  2 2 x    n n x , với   1 , 2 , , n K Định nghĩa 1.1.2

Hệ n vectơ x = x1, x2, , xn của không gian vectơ V được gọi là hệ sinh của V nếu mọi vectơ x trong V có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ trong hệ này Điều này có nghĩa là tồn tại các hệ số 1, 2, , n thuộc K sao cho vectơ x có thể được tạo ra từ các vectơ sinh.

Ví dụ 1.1.1 Trong không gian vectơ 2 cho hệ vectơ E  e 1 (1,0);e 2 (0,1)

Khi đó hệ vectơ E là hệ sinh của không gian vectơ 2

Vậy E là hệ sinh của không gian vectơ 2

Ví dụ 1.1.2 Trong không gian vectơ 2 cho hệ vectơ

Khi đó hệ vectơ E ' là hệ sinh của không gian vectơ 2

Ví dụ 1.1.3 Trong không gian vectơ 3 , cho hệ vectơ

Khi đó hệ vectơ E là hệ sinh của không gian vectơ

Ví dụ 1.1.4 Trong không gian V = n xét các vectơ

Cộng các kết quả trên theo từng vế ta đƣợc

Mỗi phần tử V = n là tổ hợp tuyến tính của hệ {e1, e2, , en} Đối với bất kỳ vectơ x thuộc K^n, luôn tồn tại duy nhất một hệ các vô hướng λ1, λ2, , λn sao cho x = λ1 * x1 + λ2 * x2 + + λn * xn.

Ví dụ 1.1.5 K X   có hệ sinh  1, X , , X n ,  Định nghĩa 1.1.3 Không gian vectơ con sinh bởi S là không gian con nhỏ nhất theo quan hệ bao hàm chứa S Kí hiệu S

Chú ý: i) Cho V là một không gian vectơ, SV Nếu V  S thì S là hệ sinh của

V ii) S   khi đó S    0  0: Không gian vectơ không iii) S    0 khi đó S    0 iv) S  x x 1, 2, ,x n  khi đó S    1 1 x   2 2 x    n n x ,  i    K , i 1, n  v) S  x i i | I  khi đó i i | i i I

 ,  i  0 hầu hết trừ một số hữu hạn Định lí 1.1.1 Cho V là không gian vectơ, V V là không gian vectơ con của V 1 , 2

Khi đó nếu V 1  S và S V 2 thì V 1 V 2

Xét x V 1 bất kì Khi đó

Do V 2 là một không gian vectơ nên 2

Vậy V 1 V 2 Định nghĩa 1.1.4 Hệ vectơ {x x 1 , 2 , ,x n } thuộc K- không gian vectơ V gọi là độc lập tuyến tính nếu với mọi vô hướng   1 , 2 , , n K sao cho

Trường hợp ngược lại thì hệ vectơ {x x 1 , 2 , ,x n } là phụ thuộc tuyến tính

Ví dụ 1.1.6 Xét họ n1 hàm số: 1, ,x x 2 , ,x n và giả sử cho   0  1 x 2 x 2    n x n 0  x R

Thì trong đó  i là hằng số với i0,n,vì có vô số x thỏa mãn phương trình bậc n đối với x nên   1  2    n 0

Vậy trong không gian các đa thức đối với x thì hệ các đa thức {1, ,x x 2 , ,x n } là hệ độc lập tuyến tính

Ví dụ 1.1.7 K X   có hệ sinh  1, X , , X n ,  Định nghĩa 1.1.5 Ta gọi cơ sở của không gian vectơ là một hệ sinh độc lập tuyến tính

Nhƣ thế một hệ vectơ x x 1 , 2 , ,x n là một hệ cơ sở của không gian V thì phải có hai điều kiện

Ví dụ 1.1.8 Hệ vec tơ E  e 1(1,0);e 2 (0,1)là cơ sở của không gian vectơ

Cơ sở này đƣợc gọi là cơ sở chính tắc của không gian vectơ 2

Thật vậy E là hệ sinh theo 1 và từ đẳng thức:

Nên hệ E là độc lập lập tuyến tính

Ví dụ 1.1.9 Hệ vec tơ E '  e 1 (1,0);e 2 (0,1);e 3 (2,5) không là cơ sở của không gian vectơ 2

Vì hệ E ' là hệ sinh nhƣng không độc lập lập tuyến tính

Thật vậy, xét hệ thức:

Nên hệ E ' không phải là cơ sở của 2

Ví dụ 1.1.10 Hệ vec tơ E  e 1 (1,0,0);e 2 (0,1,0);e 3 (0,0,1) là cơ sở của không gian vec tơ 3

Cơ sở này đƣợc gọi là cơ sở chính tắc của không gian vec tơ 3

Thật vậy, E là hệ sinh (theo ví dụ 1.1.3) và từ đẳng thức :

Nên hệ E độc lập tuyến tính

Ví dụ 1.1.11 Trong không gian R n , ta xét hệ {e e 1 , , , 2 e n } đƣợc biểu diễn nhƣ sau: e 1 (1,0,0,,,0),e 2 (0,1,0,,,0),e 3 (0,0,1,,,0),…,e n (0,0,0,,,1) là hệ cơ sở của n

Qua ví dụ 1.1.4 ta đã thấy nó là một hệ sinh Bây giờ ta chứng minh nó là hệ độc lập tuyến tính

Vậy { , ,,, }e e 1 2 e n là cơ sở của R n

Tập hợp J x n ( ) bao gồm tất cả các đa thức với biến x có bậc không lớn hơn n, trong đó hệ các đa thức {1, x, x², , xⁿ} được xem là một hệ độc lập tuyến tính Điều này cho thấy rằng hệ đa thức này là một hệ sinh của J x n ( ), vì mọi đa thức bậc n đều có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các đa thức trong hệ này.

{1, ,x x 2, ,x n }là hệ cơ sở của không gian vectơ J x n ( )

Hệ vectơ { x x 1 , 2 , ,x } tạo thành hệ cơ sở của không gian vectơ V khi và chỉ khi n với bất kỳ vectơ x thuộc V đều tồn tại dạng duy nhất ( ,  1 2 , ,  n ), i K i, 1,n sao cho x 1 1 x  2 2 x    n n x (1.1 )

Giả sử hệ  x x 1, 2, ,x n  là hệ cơ sở của V, vectơ x V biểu diễn bởi hai cách

Vì { ,x x 1 2 , ,x n } là hệ độc lập tuyến tính nên    1  1 ' , 2  2 ' , , n  n '

Vậy đối với bất kỳ x V cách biểu diễn là duy nhất

Ngược lại: Nếu mỗi x V đều biểu diễn duy nhất dưới dạng (1) thì x x 1 , 2 , ,x n là hệ sinh của V

Vì cách biểu diễn vectơ 0 qua hệ { ,x x 1 2 , ,x n } là duy nhất , cho nên

Trong (1.1) các vô hướng   1 , 2 , , n được gọi là các tọa độ hoặc các thành phần của x theo cơ sở x x 1 , 2 , ,x n

Để thực hiện phép cộng hai vectơ trong một hệ cơ sở, ta cần cộng các tọa độ tương ứng của chúng Đối với phép nhân vectơ với một số vô hướng, ta chỉ cần nhân từng tọa độ của vectơ với số đó.

Người ta chứng minh được kết quả sau: là một vectơ thuộc V

Hệ     1 độc lập tuyến tính

Nếu mọi vectơ của V đều biểu thị tuyến tính qua hệ này thì đó là một cơ sở của

Ngƣợc lại, trong V có   2 không biểu thị tuyến tính qua   1 thì hệ vectơ       1 , 2 độc lập tuyến tính

Nếu hệ này không phải là một cơ sở thì trong V có một   3 không biểu thị tuyến tính đƣợc qua hệ       1 , 2

Vậy hệ vectơ         1 , 2 , 3 độc lập tuyến tính

Tiếp tục bổ sung nhƣ thế ta đƣợc những hệ vectơ độc lập tuyến tính của V

Vì V có một hệ sinh gồm mvectơ nào đó (có thể ta không biết hệ sinh ấy) lên theo bổ đề, quá trình này phải kết thúc ở vectơ   n nào đó với nm

Lúc đó ta đƣợc hệ vectơ độc lập tuyến tính        1 , 2 , ,   n 

Mà mọi vectơ của V đều biểu thị tuyến tính đƣợc qua hệ 

Vậy        1 , 2 , ,   n  là một cơ sở của V

Trong không gian vectơ, mọi hệ vectơ độc lập tuyến tính đều có thể được bổ sung thành một cơ sở, cho thấy rằng dù không biết trước hệ sinh của không gian, ta vẫn có thể xây dựng một cơ sở Khi đã biết một hệ sinh của không gian vectơ, Định lý 1.1.3 khẳng định rằng từ một hệ sinh khác có thể chọn ra một cơ sở Định lý 1.1.4 tiếp tục chỉ ra rằng nếu A là một hệ vectơ của không gian vectơ K, thì tập hợp này có thể được sử dụng để xác định cơ sở cho không gian vectơ V.

W=  r 1   1  r 2   2 , , r m   m  r i    K , i 1, m là một không gian con của V

W được gọi là không gian sinh bởi hệ vectơ A, còn A dược gọi là hệ sinh của W

Giả sử   ,   W và t∈K, chẳng hạn:

Từ các điều kiện trong định nghĩa của không gian vectơ, ta suy ra:

Vậy W là một không gian con của V

Chú ý: Không gian sinh bởi một vectơ   thường được kí hiệu bởi K 

Nếu W là không gian sinh bởi hệ vectơ     1 ,  2 , ,   m  thì W   i m  1 K   i

1.2 Không gian hữu hạn sinh

Không gian W trên đây sinh bởi một hệ hữu hạn vectơ

Người ta gọi nó là không gian hữu hạn sinh

Ví dụ 1.2.1 Tập hơp Vcác vec tơ OA OB OC, , ,

Không gian vectơ hình học được hình thành từ gốc O trong không gian, kết hợp với phép cộng hai vectơ và phép nhân một vectơ với một số thực Đây là những khái niệm cơ bản mà chúng ta đã học trong thời kỳ phổ thông.

+) Nếu OIthì tập U   r OI r  |  R  chỉ chứa vectơ O

, là một không gian con tầm thường của V

+) Nếu OI thì tập U   r OI r  |  R  gồm các vectơ gốc O, nằm trên đường thẳng OI

 Giả sử vec tơ OJ

 là vectơ không cùng phương với vectơ OI

. Khi đó, tập W  r OI r OJ r r 1 2 | , 1 2 R 

Là một không gian con của V gồm các OA OB OC, , ,

   nằm trong mặt phẳng (OIJ)

 không đồng phẳng với vectơ OI

}là một hệ sinh của V Thật vậy nhƣ ta đã biết mỗi vec tơ OA

 trong không gian đều có dạng :

Ví dụ 1.2.2 Xét không gian vec tơ 4 và không gian con

Hệ hai vectơ \(\epsilon_1 = (1,0,0,0)\) và \(\epsilon_2 = (0,1,0,0)\) là một hệ sinh của không gian \(W\), nơi \(W = \{(a_1, a_2, 0, 0) | a_i \in \mathbb{R}\}\) Để chứng minh điều này, ta cần chỉ ra rằng mỗi vectơ \(\alpha \in W\) có thể được biểu diễn dưới dạng \(\alpha = r_1 \epsilon_1 + r_2 \epsilon_2\), với \(r_1\) và \(r_2\) là các số thực Mỗi vectơ trong \(W\) đều có dạng \(\alpha = (a_1, a_2, 0, 0)\), cho thấy rằng phép cộng và phép nhân với một số trong không gian bốn chiều đều giữ nguyên tính chất của hệ sinh.

a 1 (1,0,0,0)a 2 (0,1,0,0)a 1   1 a 2   2 Vậy       1 , 2 là hệ sinh của W

Ta hãy thử thêm vectơ     2,3,0,0 vào hệ vec tơ       1 , 2 và xét không gian con

W' sinh bởi hệ vectơ         1 , 2 , Mỗi    a 1   1  a 2   2  a 3   3 đều có thể viết thành

=  a 12a 3    1 a 2 3a 3   2 Đó là một vectơ trong W Nhƣ vậy W’  W

Ngược lại, mỗi vectơ   b 1   1 b 2   2 W đều có thể viết dưới dạng :

           Đó là một vectơ thuộc W '

Vậy W’W; nghĩa là hai hệ       1 , 2 và         1 , 2 , đều là hệ sinh của không gian vectơ W

1.3 Không gian vectơ chiều vô hạn Định nghĩa: Một không gian vectơ đƣợc gọi là không gian vectơ chiều vô hạn nếu nó có một cơ sở gồm vô hạn phần tử

Ví dụ 1.3.1 Đa thức   X là không gian các đa thức chiều vô hạn

Thật vậy: Cơ sở của   X là  1, , x x 2 , 

Giả sử W là một không gian vectơ con của không gian Ta định nghĩa quan hệ trên V nhƣ sau:

Dễ dàng kiểm tra lại rằng là một quan hệ tương đương, tức là một quan hệ có ba tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu

Tập thương của V theo quan hệ được kí hiệu V

W Lớp tương đương của phần tử V đƣợc kí hiệu là    , hoặc   W.

W hai phép toán sau đây:

             ,    ,  V , a       a  ,   a K ,   V Định nghĩa 1.4.1 Không gian vectơ V

W được gọi là không gian thương của V theo không gian con W

Mệnh đề 1.4.1: Hai phép toán nói trên được định nghĩa không phụ thuộc vào việc chọn đại biểu Hơn nữa , V

W được trang bị hai phép toán đó là một

Khi đó, vì W là một không gian vectơ con, cho nên

      (   '  ' )      '   (    ' )  W Điều này chứng tỏ rằng             '  '  

Tương tự, nếu          ' , tức là     ' W , thì aa ' a(  ' )W Điều này có nghĩa rằng   a      a  ' 

Phần tử tập trung của phép cộng trong V

W chính là   0   0 W Phần tử đối của    chính là     Dễ dàng kiểm tra rằng các tiên đề khác về không gian vectơ đƣợc thỏa mãn cho không gianV

W Hai trường hợp đặc biệt của không gian thương là:

V V Định lí 1.4.1 dimV / WdimVdimW

Giả sử ( , , 1  r ) là một cơ sở của W (Nếu W= 0 thì ta coi   r 0).Ta bổ sung hệ vectơ nói trên để có một cơ sở ( , , 1   r , 1 , , s )của V

Ta sẽ chứng minh rằng ( 1 , ,  s )là một cơ sở của / WV

Giả sử có một ràng buộc tuyến tính:

1 1 s s 0 b   b   Điều này có nghĩa là b 1  1   b s  s W.Vì thế vectơ đó biểu thị tuyến tính qua cơ sở đã chọn của W :

Vì hệ ( , , 1   r , 1 , , s ) độc lập tuyến tính, nên a 1   a r    b 1 b s 0 Nhƣ thế , hệ ( 1 , ,  s )độc lập tuyến tính

Mặt khác, rõ ràng ( 1 , ,  s )là một hệ sinh của không gian / WV Thật vậy, mỗi vectơ V biểu thị tuyến tính qua ( , , 1   r , 1 , , s ):

Nhƣ vậy, mỗi vectơ     V W đều biểu thị tuyến tính đƣợc qua ( 1 , ,  s ) Đếm số vectơ của các cơ sở đã xây dựng cho W, , V V

W ta có: dimVW     s (r s) r dimV dimW

Ta định nghĩa ánh xạ:

   và gọi nó là phép chiếu từ V lên V

W Phép chiếu có tính chất sau đây:

Trong chương tiếp theo, chúng ta sẽ hệ thống hóa nghiên cứu về các ánh xạ có hai tính chất quan trọng, được gọi là ánh xạ tuyến tính.

Dạng 1: Chứng minh hệ  v v 1, , ,2 v n  là hệ sinh của V Để chứng minh v   v v 1 , 2, , v n  là một hệ sinh của V ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau:

Chứng minh với mọi vectơ v thuộc V thì có các số a a 1 , 2 , ,a n thuộc trường K sao cho:

Trong không gian vectơ K m điều kiện cần là nm điều này tương đương với hệ phương trình:

Kết luận: Nếu trong không gian V đã tồn tại một cơ sở, chúng ta có thể sử dụng tọa độ của các vectơ để chứng minh rằng tập hợp vectơ \( v_1, v_2, \ldots, v_n \) là một hệ sinh, từ đó giúp giải quyết hệ phương trình đã nêu.

Nếu biết trước 1 hệ sinh u 1 , u 2 , , u n của V thì cần chứng tỏ mỗi vectơ

, 1, u i  i m biểu diễn đƣợc qua các vectơ v v 1 , 2 , , v n

Phương pháp 3 yêu cầu điều kiện cần và đủ để m vectơ dòng của ma trận A thuộc M(m, n, k) với m ≥ n sinh ra k n là ma trận A phải có định thức con cấp n khác 0 Tương tự, n vectơ cột của ma trận A thuộc M(m, n, k) với n ≥ m sẽ sinh ra k m nếu như ma trận A có định thức cấp m khác 0.

Bài 1.1.1: Chứng minh rằng hệ 4 vectơ: u=(1,2,3); v=(0,2,1); w=(0,0,4); z=(2,4,5) là hệ sinh của không gian vectơ 3

Cách 1: Sử dụng phương pháp 1

Hệ phương trình này có nghiệm vì hạng của ma trận hệ số bằng hạng của ma trận hệ số mở rộng và nghiệm của hệ phương trình là:

Vì l l l 1 , , 2 3 là hệ sinh trong 3 , nên u v, , w,z là hệ sinh trong 3

Cách 3: Sử dụng phương pháp 3 Định thức

 , nên u v, , w,z là hệ sinh trong 3

Bài 1.1.2: Xem trong 3 các hệ vectơ nào là hệ sinh a) u(1,2,3);v(2, 5,6), w (0,0,0) b) u(2, 5,1); v(1,0,3);w(4,3,2),z   ( 1, 1, 1) c) Các vectơ có đúng 2 thành phần bằng nhau và khác 0

Nên hệ vectơ u v , , w không là hệ sinh trong 3 b) Tương tự a): hệ vectơ  u v , , w,z  là hệ sinh trong 3 c) Không phải là hệ sinh trong 3

Bài 1.1.3: Tìm điều kiện trên ( , , )a b c  3 để nó thuộc không gian con sinh bởi các vectơ u(2,1,0),v (1, 3,2) và w(0,7, 4)

Vectơ cần tìm phải thỏa mãn hệ thức:

( , , )a b c x(2,1,0)y(1, 3,2) z(0,7, 4) Với , ,x y xR Khử dần biến x,y,z Ta suy ra : 2a4b7c0

Bài 1.1.4: Tìm không gian vectơ V và SV Chứng tỏ rằng ( )E S bằng giao của các không gian con chứa S Từ đó suy ra ( ( ))E E S E S( )

Nếu S là tập con của U và U là không gian con, thì mọi phần tử v1, , vm thuộc S cũng sẽ thuộc U Do đó, tổ hợp tuyến tính α1v1 + + αmv m sẽ thuộc U với mọi hệ số α1, , αm thuộc K, từ đó suy ra rằng không gian con E(S) chứa S và E(S) nằm trong giao của các không gian con Tuy nhiên, E(S) chính là không gian con chứa S, vì vậy giao này cũng nằm trong E(S).

Do ( )E S cũng là không gian con bé nhất chứa ( )E S nên ( ( ))E E S E S( )

Bài 1.1.5: Chứng minh rằng a) Nếu ST thì ( )E S E T( ) b) Nếu S là hệ sinh của không gian con V 1 và T là hệ sinh của không gian con

V 2 thì S Tlà hệ sinh của V 1 V 2 Nói cách khác E S( T)E S( )E T( )

Giải a) Ta có ST hiển nhiên bao tuyến tính của S chứa trong bao tuyến tính của

T Hay ( )E S E T( ) b) Từ câu a V 1 V 2 E S( )E S( T) Mỗi phần tử v của V 1 V 2 có dạng

1 2 v v , trong đó v v 1 , 2 tương ứng là tổ hợp tuyến tính của Svà T Từ đó suy ra bao hàm thức còn lại

Bài 1.1.6: Chứng minh rằng từ mọi hệ sinh của V luôn tìm đƣợc một tập hợp con là hệ sinh tối tiểu

Giả sử S là hệ sinh Chọn trong S một tập độc lập tuyến tính cực đại T Khi đó

T là hệ sinh Thật vậy, nếu ( )E T V,thì tồn tại vE T( ) Giả sử s 1 , ,s n S

Và  1 , , n K để v 1 1 s    n n s Khi đó có ít nhất một s i E T( ), và vì vậy s i E T( ) và T độc lập tuyến tính

Trái với tính cực đại của T Vậy T là hệ sinh vì T độc lập tuyến tính, nên nó là hệ sinh tối tiểu

Bài 1.1.7: Hãy chứng minh mọi hệ sinh của không gian hữu hạn sinh đều chứa một hệ hệ sinh con hữu hạn

Giả sử f1, , fn là một hệ sinh hữu hạn của V và S là một hệ sinh tùy ý Khi đó, với mọi i = 1, , n, fi là tổ hợp tuyến tính của các phần tử sij thuộc S, với j = 1, , mi (có thể trùng nhau).

Tập hợp các phần tử s ij S i; 1, , ,n j1, ,m i S là tập con của V

Bài 1.1.8: Cho K là một trường có đặc số khác 2 Chứng minh rằng tập hợp

 e i  e j ;1    i j n  là hệ sinh của K n n ( 3).Khi đặc số bằng 2 thì sao?

Ta kí hiệu hệ đã cho S

Do vai trò của các e i là nhƣ nhau , từ đó ta suy ra e i E S( ) với mọi e i 1, ,n

Vì e 1 , ,e n là hệ sinh, suy ra ( )E S K n ,

Tức S là hệ sinh nếu char(K)=2 thì ta thấy e i e j có tổng các thành phần ( tọa độ) bằng 0

Mọi tổ hợp tuyến tính của các phần tử trong tập hợp đều giữ tính chất nhất định Tuy nhiên, phần tử e i lại không có tính chất này, do đó không thuộc vào tập E S Vì vậy, tập S không được coi là hệ sinh.

Bài tập