Iđêan hữu hạn sinh

CHƢƠNG III : HỆ SINH CỦA IĐÊAN

3.2. Iđêan hữu hạn sinh

Định nghĩa 3.2.1: Ta nói iđêan Ilà iđêan hữu hạn sinh nếu nó có một hệ sinh hữu hạn.

Ví dụ 3.2.1: Mọi iđêan trong vành đều sinh bởi một phần tử (iđêan chính).

Ví dụ 3.2.2: Một iđêan có thể có nhiều tập sinh tối tiểu. Chẳng hạn    1 , 2,3 là các tập sinh tối tiểu của iđêan trong vành

Mệnh đề 3.1.1: Tồn tại vành có những iđêan không hữu hạn sinh.

Chứng minh

Chẳng hạn xét vành C 0,1 (là các hàm số thực liên tục trên đoạn  0,1 với phép cộng và nhân hàm số lập thành một vành).

Chọn fn là hàm liên tục sao cho f xn( )0 nếu 1 x 1

n  và f xn( )0 nếu 1

0 x n

 

Đặt J  f f1, 2,..., fn,... iđêan này không hữu hạn sinh. Thật vậy, giả sử g g1, 2,...,gm J sao cho J  g g1, 2,...,gm

Để không mất tính tổng quát ta giả sử:

1 1 2 2 ... ,1 j j j jp p g h f h f  h f  j m, trong đó p2là số tự nhiên đủ lớn Khi đó: gj f f1, 2,..., fp và do đó:J  g g1, 2,...,gm  f f1, 2,..., fp  J Nhƣ vậy J  f f1, 2,..., fp . 1 p f 

 biểu diễn đƣợc qua các hàm f f1, 2,..., fp trong vành C 0,1

Lại do f1( )1 f2( )1 ... fn( )1 0 p  p   p  Nên fp 1( )1 0. p   Vì 1 1 1 p  p  nên 1 1 ( ) 0 p f p   (mâu thuẫn).

Định nghĩa 3.2.2: Cho X là vành giao hoán có đơn vị là e.

(i) Iđêan I  X đƣợc gọi là iđêan nguyên tố nếu xyI thì hoặc xI hoặc

yI.

(ii) Iđêan I  X đƣợc gọi là iđêan tối đại nếu I là iđêan thực sự của X và không bị chứa trong bất kì iđêan thật sự nào khác I (nói cách khác nếu có J X J, I thì hoặc J  X hoặc J I ).

Ví dụ 3.2.3:

(i) 0 là iđêan nguyên tố của vành số nguyên nhƣng không là iđêan tối đại của .

(ii) Trong vành số nguyên mọi iđêan đều có dạng m . Chúng là iđêan nguyên tố của khi và chỉ khi m là nguyên tố. Khi đó m cũng là iđêan tối đại của .

(iii) Nếu K là một trƣờng thì 0 vừa là iđêan nguyên tố, vừa là iđêan tối đại của K.

Bổ đề 3.2.1: Cho X là vành giao hoán có đơn vị 1. Nếu I X thì: (i) I là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi vành thương X I là miền nguyên. /

(ii) I là iđêan tối đại khi và chỉ khi X I là một trường. /

Chứng minh

(i) Ta có X I/ là vành giao hoán có đơn vị nên I là iđêan nguyên tố X I/ không có ƣớc của 0.

Thật vậy: I là iđêan nguyên tố

0 ( )( ) 0 0 x I x I xy X x I y I xy I y I y I                    

Vậy X I/ không có ƣớc của 0 .

(ii) Tƣơng tự nhận xét trên, do X I/ là vành giao hoán có đơn vị nên I là iđêan tối đại   a I 0 là khả nghịch.

, :1 , :1 0, : ( )( ) 1 J I a I aX X a I I aX a I b X ab I a I b I a I b I ab I I                             0 a I     đều khả nghịch (đpcm).

Bổ đề 3.2.2. Cho vành giao hoán có đơn vị Rvà J là một iđêan của nó. Khi đó: a) J là iđêan nguyên tố trong vành R khi và chi khi vành thương R J là /

một miền nguyên.

b) J là iđêan tối đại trong vành R khi và chỉ khi vành thương R J là /

trường.

Chứng minh

a) Giả sử J là một iđêan nguyên tố của vành R

và R J/ x x J xR là vành thƣơng của vành R J/ . Vì J là nguyên tố nên J  R, do đó /R J có nhiều hơn một phần tử. Đơn vị của R J/ là 1 1 J

với 1 là đơn vị của R. Do R là vành giao hoán nên R J/ cũng là vành giao hoán. Bây giờ giả sử ,x y là hai phần tử tùy ý của R J/ .

Nếu: .x y0, thì ,x yJ.

Vì Jlà iđêan nguyên tố nên hoặc xJ hoặc yJ.

Suy ra x0 hoặc y0. Vậy R J/ không có ƣớc của không, và do đó /R Jlà một miền nguyên.

Ngƣợc lại, giả sử R J/ là một miền nguyên. Khi đó R J/ có nhiều hơn một phần tử, do đóJ R. Nếu ,x ylà hai phần tử thuộc R sao cho .x yJ thì

. 0

x yxy

Vì R J/ không có ƣớc của 0 nên suy ra 0

x hoặc y0 Từ đó xJhoặc yJ.Vậy J là iđêan nguyên tố.

Thế thì tồn tại rR J\ sao cho: u  r r J

Khi đó J rRR, do đó: 1 y rx y, J x, R

Từ đó: 1 0 r x.

Nghĩa là r có nghịch đảo. Vậy R J/ là một trƣờng. Thế thì R J/ không có iđêan thực sự.

Khi đó nếu Blà một iđêan của R sao cho: J  B R

Thì /B J là một iđêan của R J/ . Do trong R J/ không có iđêan thực sự nên / 0

B J  , hoặc B J/ R J/ 0.

Nghĩa là BJ hoặc BR.Điều này chứng tỏ Jlà iđêan tối đại trong R.

Định nghĩa 3.2.3 (vành Noether): Vành R đƣợc gọi là vành Noether nếu R

thỏa mãn điều kiện dãy dừng, tức là với mọi dãy lồng nhau các iđêan:

1 ... k 1 k k 1 ...

I  I   I I  

Thì tồn tại n, sao cho: In In1 ...

Ví dụ 3.2.3. Vành các đa thức    X , X là vành Noether

Ví dụ 3.2.4. Mọi vành chính đều là vành Noether

Ví dụ 3.2.5. Vành đa thức vô hạn biến R A X X 1, 2,...,Xn,...trên một vành giao hoánA khác vành 0 không phải là một vành Noether, vì tồn tại một dãy tăng vô hạn các iđêan sau đây trong R:

1 1 2 1 2

(X )(X X, ) ... (X X, ,...,Xn)...

Mệnh đề 3.2.2: Cho M là một iđêan. Khi đó các khẳng định sau là tương đương:

(i) Mọi tập hợp không rỗng những iđêan của M đều có một phần tử cực đại (ii) Mọi dãy tăng những iđêan của M :

2

1 ... n ...

M M  M 

đều dừng, nghĩa là tồn tại m M: k Mm, k m. (iii) Mọi iđêan của M đều là hữu hạn sinh.

( )i ( )ii : Lấy tùy ý một dãy tăng các iđêan của M

2

1 ... n ...

M M  M 

Gọi F là tập tất cả các phần tử của dãy này. Theo (i), tập này có phần tử cực đại

m

M với m nào đó. Khi đó ta có Mk Mm, k m.

( )ii ( )iii : Giả sử trái lại, tồn tại một iđêan N của M không hữu hạn sinh. Khi đó trong N tồn tại một dãy vô hạn các phần tử x x1, 2,...,xn,... sao cho nếu đặt

1Ax

m

m i i

M  thì Mj Mj1,(Mj Mj1), j 1

Ta sẽ nhận đƣợc một dãy tăng vô hạn mà không dừng

2

1 ... n ...

M M  M 

Các iđêan của M , mâu thuẫn với (ii)

( )iii ( )i : Giả sử S là một tập khác rỗng các iđêan của M . Vì S là một tập khác rỗng, nên ta chọn đƣợc một iđêan M1S. Khi đó nếu M1 không phải là một phần tử cực đại trong S thì sẽ tồn tại M2 thực sự chứa M1. Lặp lại lập luận đó ta suy ra nếu trong S không có phần tử cực đại, thì sẽ tồn tại một dãy tăng vô hạn

2

1 ... n ...

M M  M 

không dùng các iđêan của M . Dễ thấy rằng khi đó

1 i

i

N   M là một iđêan của

M , nên N là một iđêan hữu hạn sinh. Giả sử x1,...,xm là một hệ sinh của N. Vì dãy các iđêan nhận đƣợc là một dãy tăng nên tồn tại kđể x1,...,xmMk. Khi đó 1 Ax m i k i N M   

do vậy Mk N, và nhƣ thế thì dãy trên bị dừng bắt đầu tại vị trí thứ k(mâu thuẫn giả thiết).

Hệ quả: A là vành Noether, X X1, 2,...,Xn là các biến độc lập. Khi đó

 1, 2,..., n

A X X X là vành Noether.

Ý nghĩa vành Noether: Trong vành Noether tập nghiệm của hệ n phương trình là nghiệm của hệ d phương trình ( d n ).

Khi đó K X X 1, 2,...,Xn là một vành Noether (vì trƣờng K là một vành Noether). Cho:IK X X 1, 2,...,Xn  1 2 1 2  ( ) ( , ,..., n| i , 1, : : ( , ,..., n) 0 V I  a a a a K i n  f I f a a a  ( )

V I là tập nghiệm của hệ phƣơng trình 1 2

1 2 ( , ,..., ) 0 ( , ,..., ) n n f X X X f X X X I      (1)

Vì K X X 1, 2,...,Xn là vành Noether nên I hữu hạn sinh Do đó: I  f f1, 2,..., fd Suy ra 1 2 1 2 0 0 ( ) ( ) ( ) ... ( ) ... 0 d d f f V I V f V f V f f               

Vậy nghiệm của phƣơng trình (1) là

1 2 0 0 ... 0 d f f f           3.3. Bài tập

Bài 3.1: Trong vành đa thức  x xét iđêan I sinh bởi nNvà x. Chứng minh rằng I là một iđêan nguyên tố nếu và chỉ nếu n là một số nguyên tố.

Giải

Xét ánh xạ: :  x  n

a0 a x1  ... a xm m a0

Trong đó a0 a0n . Dễ chứng minh đƣợc  là một đồng cấu vành, hơn nữa  là một toàn cấu.

Ta có: (a0 a x1  ... a xm m)0 khi và chỉ khi n a0 hay

0 1 ... m m

a a x a x I. Do đó, I ker( ) Theo định lí đồng cấu  x I  n

Từ đó suy ra I là một iđêan nguyên tố khi và chỉ khi nlà một miền nguyên. Điều này xảy ra khi và chỉ khi n là một số nguyên tố.

Bài 3.2: Trong vành đa thức A x  xét iđêan I sinh bởi nA X . Chứng minh rằng I là một iđêan nguyên tố nếu và chỉ nếu n là một số nguyên tố.

Giải Xét toàn cấu: :A x  A X , ( )f x f x( ) I   Trong đó: f x( )a X1 n  ... a f x0, ( )a Xn n  ... a0 Khi đó: f x( )ker a a0, ,...,1 anI . Do đó ker I X  Theo định lí đồng cấu A X   /I X A X I 

Từ đó suy ra I là một iđêan nguyên tố khi và chỉ khi A x  là một miền nguyên. Điều này xảy ra khi và chỉ khi n là một số nguyên tố.

Bài 3.3: Giả sử I là một iđêan thực sự của Z. Chứng minh rằng I là một iđêan tối đại của Z khi và chỉ khi I  pZ, với p là một số nguyên tố.

Giải

Cách 1:

Ta thấy vành các số nguyên Z là một miền iđêan chính, nghĩa là mọi iđêan của vành Z đều có dạng n với n

Giả sử và I  J m . Khi đó, nm nên tồn tại x sao cho nmx hay m n. Bởi vậy, n là tối đại khi và chỉ khi m n với mọi ƣớc m của n. Điều này xảy ra khi và chỉ khi n là số nguyên tố

Cách 2:

Giả sử I n , khi đó I là iđêan tối đại khi và chỉ khi Z I/  n là một trƣờng, điều này tƣơng đƣơng với nlà một số nguyên tố.

Mở rộng: Cho A là một vành chính I là một iđêan của A, I  a . Khi đó I là iđêan tối đại khi và chỉ khi a nguyên tố và I  A

Bài 3.4: Cho R là vành giao hoán có đơn vị. Chứng minh hai khẳng định sau tƣơng đƣơng với nhau

(i) R chỉ có một iđêan tối đại duy nhất

(ii) Tập các phần tử không khả nghịch của R lập thành một iđêan của R

Giải

(i) (ii)

Giả sử Rchỉ có một iđêan tối đại duy nhất là M .

Khi đó iđêanM là tập các phần tử không khả nghịch của M (áp dụng bài 3) (i)  (ii)

Giả sử tậpM các phần tử không khả nghịch của R là một iđêan của R. Ta thấy M là iđêan tối đại của R.

Giả sử M' là một iđêan tối đại bất kì của R, khi đó theo bài 3 M'M. Suy ra M'M tức là Rchỉ có một iđêan duy nhất

Bài 3.5: Cho R là vành giao hoán có đơn vị 1 0 . Chứng minh rằng nếu mọi iđêan của R, khác R, đều là iđêan nguyên tố thì R là một trƣờng

Giải

Do iđêan 0 là iđêan nguyên tố nên R là một miền nguyên. Xét một phần tử aR,a0. Theo giả thiết a R2 là một iđêan nguyên tố và do a2a R2 nên

2

aa R.

Suy ra tồn tại rR sao cho aa r2 do R là một miền nguyên nên giản ƣớc cho a ta đƣợc ar 1 . Điều này chứng tỏ a khả nghịch, suy ra R là một trƣờng

Bài 3.6: Cho f là một đồng cấu vành từ R đến S (R và S là những vành giao hoán có đơn vị.

a) Chứng minh rằng nếu f là một toàn cấu và I là một iđêan của R thì ( )f I

là iđêan của S. Nếu f không là một toàn cấu thì tính chất này còn đúng không? Tại sao?

b) Chứng minh rằng nếu P là một iđêan nguyên tố của S thì f1( )P là một iđêan nguyên tố của R. Kết quả này còn đúng không nếu thay giả thiết “nguyên tố” bằng giả thiết “tối đại”? Tại sao?

Giải

a) Ta có 0 f(0) f I( )

Giả sử a b', ' f I( ), khi đó tồn tại ' '

, : ( ) , ( )

Nhƣ vậy: ' '

( ) ( ) ( ) ( )

a  b f a  f b  f a b f I

Giả sử a' f I( ). Khi đó '

( ),

a  f a aI. Vì f là toàn cấu nên tồn tại : ( )

xR f x  y

Khi đó '

( ) ( ) (a ) ( )

a y f a f x  f x  f I

Vậy ( )f I là một iđêan của S. Nếu f không là một toàn cấu thì khẳng định trên không còn đúng nữa. Chẳng hạn, xét phép nhúng tự nhiên :f  từ vành số nguyên vào trƣờng số hữu tỷ, là iđêan của , nhƣng ( )f

không là iđêan của

b) Ta đã biết nếu P là iđêan của S thì f1( )P là một iđêan của R.

Giả sử P là iđêan nguyên tố của S, ta chứng minh f 1( )P Q là một iđêan nguyên tố của R.

Thật vậy, với ,x y là 2 phần tử thuộc R Sao cho: xy Q f x f y( ) ( ) f xy( )P

Do P là một iđêan nguyên tố nên hoặc ( )f x P hoặc ( )f y P. Vậy xQ Nếu P là một iđêan tối đại của S thì không thể kết luận f1( )P là một iđêan tối đại của R. Chẳng hạn, xét phép nhúng tự nhiên từ vành vào , ta có  0 là iđêan tối đại của nhƣng 1  

(0) 0

f  không là iđêan tối đại của .

Bài 3.7: Chứng minh rằng mọi iđêan tối đại trong vành n đều có dạng m n, trong đó m là một ƣớc nguyên tố của n.

Giải

Ta thấy rằng mọi iđêan của n đều có dạng m n với m n| .

Do đó iđêan m n là một iđêan tối đại khi và chỉ khi m n là một trƣờng . Xét đồng cấu vành:

: n m, x n m

  

Dễ thấy  là một toàn cấu và

   

er | 0 | n

k  xn xm   xn xm m

Do đó m n là một iđêan tối đại trong n, khi và chỉ khi m là một trƣờng, hay

m là một ƣớc nguyên tố của n.

Bài 3.8: Chứng minh rằng trong vành số nguyên mọi iđêan nguyên tố khác không đều là tối đại

Giải

Giả sử m 0 là một iđêan nguyên tố. Nếu n m thì mn và mnr. Theo định nghĩa của iđêan nguyên tố nếu nm thì rmZ, nghĩa là rmtvới

t nào đó. Từ đó mnr ntm. Do m0 nên nt 1 n  . Vậy m là iđêan tối đại của vành .

Bài 3.9: Giả sử a và b là hai phần tử nguyên tố cùng nhau của vành chính A.