Tìm hệ sinh thuần nhất tối tiểu của môđun hữu hạn sinh trên vành đa thức bằng phần mềm apcocoa

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HỒ THỊ NHÃ PHƯƠNG TÌM HỆ SINH THUẦN NHẤT TỐI TIỂU CỦA MÔĐUN HỮU HẠN SINH TRÊN VÀNH ĐA THỨC BẰNG PHẦN MỀM APCOCOA Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÍ THUYẾT SỐ Mã số: 8460104 TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS TRẦN NGUYỄN KHÁNH LINH Huế, tháng 10/2019 Mở đầu Cho K trường P = K[x1 , , xn ], n ≥ vành đa thức K Xét M P -môđun hữu hạn sinh phần tử Lúc đó, hệ sinh tối tiểu M có số phần tử Cơ sở Grăobner úng mt vai trũ rt quan trng vic tìm hệ sinh tối tiểu Lý thuyết c s Grăobner c Bruno Buchberger, Giỏo s Toỏn hc Máy tính Đại học Johannes Kepler (Áo), đưa luận án tiến sĩ năm 1965 phát triển suốt nghiệp ơng Thuật tốn Buchberger, nay, giải pháp hữu hiệu vic tớnh toỏn c s Grăobner Vic tớnh toỏn cách thủ cơng thuật tốn phức tạp tốn nhiều cơng sức dễ có sai sót Đại số máy tính (Computer Algebra) đời giải vấn đề Một hệ thống đại số máy tính (Computer Algebra System) phần mềm tốn học có khả tính tốn biểu thức tốn học theo cách thức tương tự cách tính tốn truyền thống nhà toán học nhà khoa học Có nhiều phần mềm cho phép người dùng thao tác với biểu thức toán học như: CoCoA, ApCoCoA, Macaulay, Maxima, Magma, Maple, Mathematica SageMath, Trong đó, ApCoCoA, phần mềm miễn phí, đánh giá đơn giản, dễ sử dụng đặc biệt tích hợp sẵn câu lệnh hữu ích Đại số giao hoán Dựa sở đó, tơi chọn: "Tìm hệ sinh tối tiểu môđun hữu hạn sinh vành đa thức phần mềm ApCoCoA" làm đề tài cho Luận văn với hi vọng thành công xây dựng chương trình hỗ trợ việc tìm hệ sinh tối tiểu môđun hữu hạn sinh vành đa thức cách nhanh chóng xác Chương Một số kiến thức chuẩn bị Xuyên suốt chương này, ta ln giả thiết tất vị nhóm vành có tính giao hốn 1.1 Vành đa thức Cho R vành, P = R[x1 , , xn ] vành đa thức n biến R Định nghĩa 1.1.1 Cho n ≥ Khi đó: a) Một đa thức t ∈ P có dạng t = xα1 · · · xαnn cho (α1 , , αn ) ∈ Nn gọi từ hay tích lũy thừa Tập gồm tất từ P kí hiệu Tn T(x1 , , xn ) Lúc đó, đa thức f ∈ P biểu diễn cách dạng: f= cα tα α∈Nn α = (α1 , , αn ), tα = xα1 · · · xαnn , cα ∈ R với hữu hạn cα khác b) Với α ∈ Nn , phần tử cα ∈ R gọi hệ số từ tα f c) Với từ t = xα1 · · · xαnn ∈ Tn , deg(t) = α1 + · · · + αn gọi bậc t d) Tập hợp {tα | cα = 0} gọi giá f , kí hiệu Supp(f ) e) Nếu f = max{deg(tα ) | tα ∈ Supp(f )} gọi bậc f , kí hiệu deg(f ) f) Ánh xạ log : Tn → Nn cho xα1 · · · xαnn → (α1 , , αn ) gọi logarit Tập hợp Tn vị nhóm giao hoán với phần tử đơn vị = x01 · · · x0n Ví dụ Cho đa thức f (x, y) = x5 y + 2x3 y − 7x3 y + 2x3 + xy − 10 ∈ R[x, y] Giá đa thức f gồm từ có bậc 9, 7, 6, 3, 2, deg(f ) = Định nghĩa 1.1.2 Cho n ≥ Khi đó: a) Nếu r ≥ M = P r P -môđun tự hữu hạn sinh với sở tắc {e1 , , er } ei = (0, , 0, 1, 0, , 0) với vị trí thứ i Luận văn thạc sĩ Tìm hệ sinh tối tiểu từ M phần tử có dạng tei cho t ∈ Tn ≤ i ≤ r Tập gồm tất từ M kí hiệu Tn e1 , , er T(x1 , , xn ) e1 , , er Lúc đó, phần tử m ∈ M biểu diễn cách dạng: r cα,i tα ei m = (f1 , , fr ) = i=1 α∈Nn f1 , , fr ∈ P , cα,i ∈ R với hữu hạn cα,i khác b) Với α ∈ Nn , i ∈ {1, , r}, phần tử cα,i ∈ R gọi hệ số từ tα ei m c) Tập hợp {tα ei | cα,i = 0} gọi giá m kí hiệu Supp(m) 1.2 Iđêan đơn thức Môđun đơn thức Định nghĩa 1.2.1 Cho (Γ , ◦) vị nhóm Khi đó: a) Một tập khác rỗng ∆ ⊆ Γ gọi iđêan đơn Γ ∆ ◦ Γ ⊆ Γ b) Tập B iđêan đơn ∆ ⊆ Γ gọi hệ sinh ∆ (hay ∆ sinh B ) ∆ iđêan đơn nhỏ Γ chứa B Trong trường hợp này, ta có ∆ = {β ◦ γ | β ∈ B , γ ∈ Γ } Nếu B = {β1 , β2 , }, ta viết ∆ = (β1 , β2 , ) c) Tập hợp Σ với phép toán ∗ : Γ × Σ → Σ cho (γ, s) → γ ∗ s gọi Γ -môđun đơn với s ∈ Σ với γ1 , γ2 ∈ Γ ta có: 1Γ ∗ s = s, (γ1 ◦ γ2 ) ∗ s = γ1 ∗ (γ2 ∗ s) d) Một tập C Γ -môđun đơn Σ gọi hệ sinh Σ Σ = {γ ∗ s | γ ∈ Σ , s ∈ C } Hệ 1.2.2 [2, Corollary 1.3.6.] (Bổ đề Dickson) Cho n ≥ t1 , t2 , từ Tn Khi đó, tồn N > cho từ ti bội số từ t1 , , tN với i > N , hay iđêan đơn (t1 , t2 , ) ⊆ Tn sinh {t1 , , tN } Đặc biệt, với R vành tùy ý, iđêan (t1 , t2 , ) ⊆ R[x1 , , xn ] hữu hạn sinh Định nghĩa 1.2.3 Một P -môđun M ⊆ P r gọi mơđun đơn thức có hệ sinh gồm phần tử Tn e1 , , er Một môđun đơn thức gọi iđêan đơn thức P Ví dụ I = (x4 + 2x2 y, x2 y − 3xz, xz) = (x4 , x2 y, xz) iđêan đơn thức R[x, y, z] Tuy nhiên, J = (x4 + 2x2 y, x2 y − 3xz) khơng iđêan đơn thức R[x, y, z] phần tử hệ sinh khơng thuộc Tn Mệnh đề 1.2.4 [2, Proposition 1.3.11.] Cho M ⊆ P r môđun đơn thức Khi đó: Hồ Thị Nhã Phương K26 Tốn ĐHSPH Luận văn thạc sĩ Tìm hệ sinh tối tiểu a) Mọi hệ sinh G = {t1 , , ts } M bao gồm từ với từ t ∈ M , tồn từ ti ∈ G cho t bội ti b) Trong tập hợp gồm tất hệ sinh M , tồn phần tử tối tiểu tương ứng với quan hệ bao hàm Ta gọi phần tử hệ sinh đơn thức tối tiểu M 1.3 Thứ tự từ Cho (Γ , ◦) vị nhóm Sau số thứ tự từ quan trọng Tn Định nghĩa 1.3.1 Cho t1 , t2 ∈ Tn , ta có t1 ≥Lex t2 thành phần khác log(t1 ) − log(t2 ) dương t1 = t2 Đây thứ tự từ Tn gọi thứ tự từ điển, kí hiệu: Lex Ví dụ Dùng thứ tự từ σ = Lex để so sánh từ sau: a) Với n = 2, x1 x32 Lex x1 x42 x3 (3, 1, 2) − (1, 4, 1) = (2, −3, 1) có thành phần khác dương Định nghĩa 1.3.2 Cho t1 , t2 ∈ Tn , ta có t1 ≥DegLex t2 deg(t1 ) > deg(t2 ) deg(t1 ) = deg(t2 ) t1 ≥Lex t2 Đây thứ tự từ Tn gọi thứ tự từ điển bậc, kí hiệu: DegLex Ví dụ Với ví dụ 3, dùng σ = DegLex a) Với n = 2, x1 x32 >DegLex x21 x2 deg(x1 x32 ) = > = deg(x21 x2 ) b) Với n = 3, x31 x2 x23 >DegLex x1 x42 x3 deg(x31 x2 x23 ) = = deg(x1 x42 x3 ) (3, 1, 2) − (1, 4, 1) = (2, −3, 1) có thành phần khác dương Định nghĩa 1.3.3 Cho t1 , t2 ∈ Tn , ta có t1 ≥DegRevLex t2 deg(t1 ) > deg(t2 ) deg(t1 ) = deg(t2 ) thành phần cuối khác log(t1 ) − log(t2 ) âm t1 = t2 Đây thứ tự từ Tn gọi thứ tự từ điển bậc đảo ngược, kí hiệu: DegRevLex Ví dụ Cũng với ví dụ 3, dùng σ = DegRevLex a) Với n = 2, x1 x32 >DegRevLex x21 x2 deg(x1 x32 ) = > = deg(x21 x2 ) b) Với n = 3, x31 x2 x23 σ · · · >σ ts eγs Nếu viết m = f1 e1 +· · ·+fr er f1 , , fr ∈ P Supp(fi ) = {tj | γj = i} với i ∈ {1, , r} s i=1 ci ti eγi Định nghĩa 1.4.2 Cho phần tử m = ∈ P r \{0} Chú ý 1.4.1 a) Từ LTσ (m) = t1 eγ1 ∈ Tn e1 , , er gọi từ dẫn đầu m ứng với σ b) Phần tử LCσ (m) = c1 ∈ R\{0} gọi hệ số dẫn đầu m ứng với σ Nếu LCσ (m) = 1, ta nói m σ -đơn, đơn c) Ta đặt LMσ (m) = LCσ (m) · LTσ (m) = c1 t1 eγ1 Định nghĩa 1.4.3 Cho M ⊆ P r P -môđun a) Môđun LTσ (M ) = LTσ (m) | m ∈ M \{0} gọi môđun từ dẫn đầu M ứng với σ b) Nếu r = tức M ⊆ P iđêan LTσ (M ) ⊆ P gọi iđêan từ dẫn đầu M ứng với σ c) Môđun đơn {LTσ (m) | m ∈ M \{0}} ⊆ Tn e1 , , er kí hiệu LTσ {M } 1.5 Thuật tốn chia Cho K trường, P = K[x1 , , xn ] với n ≥ σ thứ tự từ môđun Tn e1 , , er với r ≥ Định lí 1.5.1 [2, Theorem 1.6.4.] (Thuật tốn chia) Cho s ≥ m, g1 , , gs ∈ P r \{0} Thực theo bước sau: (1) Cho q1 = · · · = qs = v = m Hồ Thị Nhã Phương K26 Tốn ĐHSPH Luận văn thạc sĩ Tìm hệ sinh tối tiểu (2) Tìm i ∈ {1, , s} nhỏ cho LTσ (v) bội LTσ (gi ) Nếu i tồn LMσ (v) LMσ (v) v v − · gi tại, thay qi qi + LM (g ) LM σ i σ (gi ) (3) Lặp lại bước (2) khơng cịn i ∈ {1, , s} thỏa mãn LTσ (v) bội LTσ (gi ) Khi đó, thay p p + LMσ (v) v v − LMσ (v) (4) Nếu v = trở lại bước (2) Nếu v = trả (q1 , , qs ) ∈ P s vectơ p ∈ P r Thuật toán trả vectơ (q1 , , qs ) ∈ P s p ∈ P r cho m = q1 g1 + · · · + qs gs + p Đồng thời, điều kiện sau thỏa mãn: a) Khơng có phần tử Supp(p) chứa LTσ (g1 ), , LTσ (gs ) b) Nếu qi = với i ∈ {1, , s} ta có LTσ (qi gi ) ≤σ LTσ (m) c) Với số i = 1, , s từ t thuộc giá qi , ta có t · LTσ (gi ) ∈ / LTσ (g1 ), , LTσ (gi−1 ) Hơn nữa, vectơ (q1 , , qs ) ∈ P s p ∈ P r thỏa mãn điều kiện nhất, xác định (m, g1 , , gs ) ∈ (P r )s+1 Định nghĩa 1.5.2 Cho s ≥ 1, m, g1 , , gs ∈ P r \{0} G (g1 , , gs ) Áp dụng Thuật toán chia ta thu biểu diễn m = q1 g1 +· · ·+qs gs +p với q1 , , qs ∈ P p ∈ P r Khi đó, vectơ p gọi phần dư chuẩn tắc m ứng với G , kí hiệu NRσ,G (m) NRG (m) Với m = 0, ta đặt NRG (m) = 1.6 Phân bậc Cho R vành M R-môđun Định nghĩa 1.6.1 Cho (Γ , +) vị nhóm a) Vành R gọi Γ -phân bậc (hay phân bậc Γ ) tồn họ nhóm {Rγ }γ∈Γ cho: R = ⊕γ∈Γ Rγ Rγ · Rγ ⊆ Rγ+γ với γ, γ ∈ Γ b) Một phần tử Rγ gọi phần tử bậc γ Cho r ∈ Rγ , ta viết deg(r) = γ Ví dụ Xét vành đa thức P = K[x1 , x2 ] trường K với deg(x1 ) = −1, l deg(x2 ) = Lúc ta có P−1 = {x2l+1 xl2 | l ∈ N} K , P0 = {x2l x2 | l ∈ N} K , P1 = {x2l−1 xl2 | l ∈ N} K , , Pd = {x2l−d xl2 | l ∈ N} K Rõ ràng Pd ∩ Pd = 1 Pd · Pd ⊆ Pd+d với d, d ∈ Z Vậy P Z-phân bậc Định nghĩa 1.6.2 Cho (Γ , +) vị nhóm R vành Γ -phân bậc Cho (Σ , ∗) Γ -môđun đơn M R-mơđun Ta nói M R-môđun Γ -phân bậc (hay đơn giản R-môđun phân bậc Γ = Σ ) tồn họ nhóm {Ms }s∈Σ cho: Hồ Thị Nhã Phương K26 Toán ĐHSPH Luận văn thạc sĩ Tìm hệ sinh tối tiểu a) M = ⊕s∈Σ Ms b) Rγ · Ms ⊆ Mγ∗s với γ ∈ Γ với s ∈ Σ Định nghĩa 1.6.3 Cho S vành phân bậc vị nhóm (Γ , +) N Rmôđun Γ -phân bậc a) Với đồng cấu vành ϕ : R → S đồng cấu vị nhóm ψ : Γ → Γ , ta gọi (ϕ, ψ) (hoặc ϕ) đồng cấu vành phân bậc ϕ(Rγ ) ⊆ Sψ(γ) với γ ∈ Γ b) Một ánh xạ R-tuyến tính λ : M → N gọi đồng cấu R-môđun Γ -phân bậc hay ánh xạ R-tuyến tính λ(Ms ) ⊆ Ns với s ∈ Γ Định nghĩa 1.6.4 Một R-môđun N R-môđun Γ -phân bậc M gọi R-môđun Γ -phân bậc M N = ⊕s∈Γ (N ∩ Ms ) Một môđun Γ -phân bậc R gọi Γ -iđêan R đơn giản iđêan R Hệ 1.6.5 [2, Corollary 1.7.16.] Cho τ thứ tự từ Γ σ thứ tự tốt Σ tương thích với τ Giả sử luật giản ước phải Σ a) Một tập hợp phần tử m1 , , ms ∈ M hệ sinh R-môđun M lớp thặng dư chúng m1 , , ms ∈ M/(R+ M ) hệ sinh môđun lớp thặng dư b) Nếu R0 trường, hệ sinh M chứa hệ sinh tối tiểu 1.7 1.7.1 Vành đa thức phân bậc ma trận Phân bậc ma trận Cho K trường, P = K[x1 , , xn ], n ≥ vành đa thức K Cho (Γ , +) vị nhóm giao hốn với phần tử đơn vị kí hiệu Mệnh đề 1.7.1 [3, Proposition 4.1.1.] Cho Γ vị nhóm γ1 , , γn ∈ Γ Khi đó: a) Tồn Γ -phân bậc P cho đa thức khác khơng có bậc với i = 1, , n biến xi có bậc γi b) Với phân bậc này, tập hợp {γ ∈ Γ |Pγ = } vị nhóm Γ sinh {γ1 , , γn } Ví dụ Xét vành đa thức cho Ví dụ Nhắc lại: P = K[x1 , x2 ] Z-phân bậc với deg(x1 ) = −1, deg(x2 ) = Khi đó, deg(x21 x2 ) = tức x21 x2 ∈ P0 , l K ⊂ P0 Thực tế, dễ thấy dimK (P0 ) = ∞ P0 = {x2l x2 | l ∈ N} K Hồ Thị Nhã Phương K26 Toán ĐHSPH Luận văn thạc sĩ Tìm hệ sinh tối tiểu Định nghĩa 1.7.2 Cho m ≥ vành đa thức P = K[x1 , , xn ] Zm -phân bậc cho K ⊆ P0 x1 , , xn phần tử a) Với j = 1, , n, cho (w1j , , wmj ) ∈ Zm bậc phần tử xj Ma trận W = (wij ) ∈ Matm,n (Z) gọi ma trận bậc phân bậc Nói cách khác, cột ma trận bậc bậc biến Các hàng ma trận bậc gọi vectơ có trọng số biến b) Ngược lại, với ma trận W = (wij ) ∈ Matm,n (Z), ta xét Zm -phân bậc P mà K ⊆ P0 biến phần tử có bậc cho cột ma trận W Trong trường hợp này, ta nói P phân bậc W c) Cho d ∈ Zm Tập đa thức bậc d kí hiệu PW,d hay Pd phân bậc xét rõ ràng Với đa thức f ∈ PW,d , ta viết degW (f ) = d Nếu phân bậc P xác định ma trận W ∈ Matm,n (Z) bậc từ t = xα1 · · · xαnn degW (t) = W · (α1 , , αn )tr Từ ta có: {d ∈ Zm |PW,d = 0} = {W · (α1 , , αn )tr |(α1 , , αn ) ∈ Nn } Ví dụ Cho P = K[x, y, z] phân bậc ma trận W = f = x − yz Khi ta có: deg(x) = Suy degW (yz) = W · log(yz)tr = 1 , deg(y) = 1 0 1 1 = 1 , deg(z) = 1 đa thức = deg(y) + deg(z) = deg(x) Vậy f có bậc (1, 1) Iđêan sinh f iđêan 1.7.2 Các môđun phân bậc Cho P = K[x1 , , xn ] Zm -phân bậc xác định ma trận W ∈ Matm,n (Z) Zm Zm -mơđun đơn Khi đó, M P -mơđun phân bậc thỏa mãn: a) M = ⊕d∈Zm Md b) Pd · Md ⊆ Md+d với d, d ∈ Zm Cho P phân bậc W ∈ Matm,n (Z) M , N hai P -môđun Zm -phân bậc Một ánh xạ P -tuyến tính ϕ : M → N gọi đồng cấu môđun phân bậc hay ánh xạ P -tuyến tính ϕ(Md ) ⊆ Nd với d ∈ Zm Chú ý 1.7.3 Cho P phân bậc W ∈ Matm,n (Z), M P -môđun phân bậc Cho v1 , , vr ∈ M phần tử cho degW (vi ) = δi ∈ Zm Ánh xạ P -tuyến tính ϕ : F → M xác định ei → vi , i = 1, , r đồng cấu môđun phân bậc Ta nói ϕ ánh xạ cảm sinh (v1 , , vr ) Hồ Thị Nhã Phương K26 Toán ĐHSPH Luận văn thạc sĩ Tìm hệ sinh tối tiểu Phân bậc P cảm sinh Zm -phân bậc P -môđun tự F = ⊕ri=1 P (−δi ) Với d ∈ Zm , phân bậc xác định Fd = ⊕ri=1 PW,d−δi Do từ tei ∈ Tn e1 , , er với i ∈ {1, , r} t ∈ Tn , phần tử F có bậc degW (tei ) = degW (t) + δi Đặc biệt, F P -môđun tự phân bậc thỏa mãn deg(ei ) = δi , i = 1, , r Cho M P -môđun phân bậc F , hay nói M phân bậc W Các phần tử M kí hiệu MW,d với d ∈ Zm Một môđun phân bậc P gọi iđêan P Từ trở đi, khơng giải thích thêm, ta xem ma trận W có hàng Z-độc lập tuyến tính 1.8 1.8.1 Phân bậc dạng dương phân bậc dương Phân bậc dạng dương Định nghĩa 1.8.1 Cho m ≥ 1, P phân bậc ma trận W ∈ M atm,n (Z) có hạng m w1 , , wm hàng W a) Phân bậc P W gọi phân bậc dạng không âm tồn a1 , , am ∈ Z cho thành phần v = a1 w1 + · · · + am wm ứng với cột khác không W dương Trong trường hợp này, ta nói W ma trận dạng không âm b) Ta nói phân bậc P cho W phân bậc dạng dương tồn a1 , , am ∈ Z cho thành phần v = a1 w1 + · · · + am wm dương Trong trường hợp này, ta nói W ma trận dạng dương Định nghĩa 1.8.2 Cho R vành M R-môđun hữu hạn sinh a) Một hệ sinh hữu hạn M gọi hệ sinh tối tiểu số phần tử bé số tất hệ sinh M b) Một hệ sinh M gọi hệ sinh không rút gọn khơng có tập thực sinh M Mọi hệ sinh tối tiểu không rút gọn Tuy nhiên, điều ngược lại nói chung khơng Ví dụ Xét vành Z, Z-mơđun Z có hệ sinh tối tiểu {1}, hiển nhiên {1} không rút gọn Mặt khác, {2, 3} hệ sinh không rút gọn Z Do {1} = {2, 3} nên {2, 3} không hệ sinh tối tiểu Mệnh đề 1.8.3 [3, Proposition 4.1.22.] Cho P phân bậc ma trận W ∈ Matm,n (Z) có dạng dương M = P -môđun phân bậc M hữu hạn sinh Khi đó: a) Tập phần tử m1 , , ms sinh P -môđun M lớp thặng dư chúng m1 , , ms sinh K -không gian vectơ M/(x1 , , xn )M Hồ Thị Nhã Phương K26 Toán ĐHSPH Luận văn thạc sĩ Tìm hệ sinh tối tiểu Định nghĩa 2.1.6 Cho R vành, M R-môđun G = (g1 , , gs ) phần tử M a) Một xoắn G (f1 , , fs ) ∈ Rs cho f1 g1 + · · · + fs gs = b) Tập tất xoắn G có dạng R-mơđun gọi mơđun xoắn G , kí hiệu SyzR (G) SyzR (g1 , , gs ) hay đơn giản Syz(G) Syz(g1 , , gs ) Định lí 2.1.7 [2, Theorem 2.3.7.] (Xoắn phần tử môđun đơn thức) Với j = 1, , s ta viết LMσ (gj ) = cj tj eγj với cj ∈ K, tj ∈ Tn γj ∈ {1, , r} lcm(ti ,tj ) Với i, j ∈ {1, , s} ta xác định tij = ti a) Với i, j ∈ {1, , s} thỏa i < j γi = γj , phần tử σij = c1i tij εi − s cj tji εj ∈ P xoắn LMσ (G) có σ -bậc degσ,G (σij ) = lcm(ti , tj )eγi b) Ta có Syz(LMσ (G)) = σij | ≤ i < j ≤ s, γi = γj Cụ thể, Syz(LMσ (G)) môđun hữu hạn sinh Tn e1 , , er -phân bậc P s Định nghĩa 2.1.8 Một phần tử m ∈ P s gọi nâng phần tử m ∈ P s ta có LF(m) = m Mệnh đề 2.1.9 [2, Proposition 2.3.10.] Các điều kiện sau tương đương: D1 ) Mọi phần tử Syz(LMσ (G)) có nâng Syz(G ) D2 ) Tồn hệ sinh Syz(LMσ (G)) gồm tất phần tử có nâng Syz(G ) D3 ) Tồn hệ sinh hữu hạn Syz(LMσ (G)) gồm tất phần tử có nâng Syz(G ) Mệnh đề cho ta ý tưởng tìm phần tử Syz(G ) cách sử dụng quy trình nâng mệnh đề sau khẳng định có hệ sinh Syz(G ) bao gồm nâng Mệnh đề 2.1.10 [2, Proposition 2.3.11.] Cho môđun Syz(LMσ (G)) có hệ sinh tập hợp {m1 , , mt } m1 , , mt ∈ Syz(G) phần tử cho LF(mi ) = mi với i = 1, , t Khi đó, {m1 , , mt } hệ sinh Syz(G ) Mệnh đề 2.1.11 [2, Proposition 2.3.12.] Cho g1 , , gs ∈ P r \{0} M = g1 , , gs Khi đó, điều kiện A1 ), A2 ) Mệnh đề 2.1.1 điều kiện D1 ), D2 ), D3 ) Mệnh đề 2.1.9 tương đương Hồ Thị Nhã Phương 13 K26 Toán ĐHSPH Luận văn thạc sĩ 2.2 Tìm hệ sinh ti tiu C s Gră obner ca Iờan v Môđun Cho K trường, n ≥ 1, P = K[x1 , , xn ] vành đa thức, r ≥ 1, σ thứ tự từ môđun Tn e1 , , er Định lí 2.2.1 [2, Theorem 2.4.1.] (Đặc trưng ca c s Gră obner) r Cho hp G = {g1 , , gs } ⊆ P \{0} gồm phần tử sinh môđun G M = g1 , , gs ⊆ P r , −→ quy tắc viết lại xác định G, G (g1 , , gs ), ánh xạ λ : P s −→ P r xác định εi → gi Λ : P s −→ P r ánh xạ xác định εi → LMσ (gi ) Khi đó, điều kiện sau tương đương: A1 ) Với phần tử m ∈ M \{0}, tồn f1 , , fs ∈ P cho m = si=1 fi gi LTσ (m) ≥σ LTσ (fi gi ) với i = 1, , s cho fi gi = 0, tức cho LTσ (m) ≥σ degσ,G ( si=1 fi εi ) A2 ) Với phần tử m ∈ M \{0}, tồn f1 , , fs ∈ P cho m = si=1 fi gi LTσ (m) = maxσ {LTσ (fi gi ) | i ∈ {1, , s}, fi gi = 0}, tức cho LTσ (m) = degσ,G ( si=1 fi εi ) B1 ) Tập hợp {LTσ (g1 ), , LTσ (gs )} sinh Tn -môđun đơn LTσ {M } B2 ) Tập hợp {LTσ (g1 ), , LTσ (gs )} sinh P -môđun LTσ (M ) P r G C1 ) Với m ∈ P r , ta có m −→ m ∈ M G C2 ) Nếu m ∈ M phần tử không rút gọn tương ứng với −→ m = C3 ) Với phần tử m1 ∈ P r , tồn phần tử m2 ∈ P r cho G G m1 −→ m2 m2 không rút gọn tương ứng với −→ G G C4 ) Nếu m1 , m2 , m3 ∈ P r thỏa mãn m1 −→ m2 m1 −→ m3 tồn phần G G tử m4 ∈ P r cho m2 −→ m4 m3 −→ m4 D1 ) Mọi phần tử Syz(LMσ (G)) có nâng Syz(G ) D2 ) Tồn hệ sinh Syz(LMσ (G)) gồm tất phần tử có nâng Syz(G ) D3 ) Tồn hệ sinh hữu hạn Syz(LMσ (G)) gồm tất phần tử có nâng Syz(G ) Định nghĩa 2.2.2 Cho G = {g1 , , gs } ⊆ P r \{0} tập hợp phần tử sinh môđun M = g1 , , gs ⊆ P r Nếu điều kiện Định lý 2.2.1 thỏa mãn G c gi l c s Gră obner ca M tng ng vi hoc -c s Gră obner M Trong trường hợp M = , ta núi G = l -c s Grăobner M 2.2.1 Sự tồn sở Gră obner Mnh 2.2.3 [2, Proposition 2.4.3.] (S tn ti ca -c s Gră obner) r Cho M khác không P -môđun P Khi đó: Hồ Thị Nhã Phương 14 K26 Tốn ĐHSPH Luận văn thạc sĩ Tìm hệ sinh tối tiểu a) Cho g1 , , gs ∈ M \{0} cho LTσ (M ) = LTσ (g1 ), , LTσ (gs ) , ta có M = g1 , , gs tập hợp G = {g1 , , gs } l -c s Grăobner M b) Mơđun M có σ -cơ s Grăobner G = {g1 , , gs } ⊆ M \{0} 2.2.1.1 Dạng chuẩn tắc Cho G = {g1 , , gs } P r \{0} l mt -c s Grăobner M = g1 , , gs ⊆ P r m ∈ P r Theo điều kiện C3 ), tồn phần tử mG ∈ P r G G cho m −→ mG mG rút gọn tương ứng với −→ Mệnh đề 2.2.4 [2, Proposition 2.4.7.] Với tình trên, mG phần tử P r có tính chất m − mG ∈ M Supp(mG ) ∩ LTσ {M } = ∅ Đặc bit, nú khụng ph thuc vo -c s Gră obner cụ thể chọn Định nghĩa 2.2.5 Cho môđun M ⊆ P r khác không m ∈ P r Phần tử mG ∈ P r mô tả gọi dạng chuẩn tắc m tương ứng với σ Kí hiệu NFσ,M (m) đơn giản NFσ (m) 2.2.1.2 Cơ sở Gră obner thu gn nh ngha 2.2.6 Cho G = {g1 , , gs } ⊆ P r \{0} M = g1 , , gs Ta nói G σ -cơ s Gră obner thu gn ca M nu nú tha mãn điều kiện sau: a) Với i = 1, , s, ta có LCσ (gi ) = b) Tập hợp {LTσ (g1 ), , LTσ (gs )} hệ sinh tối tiểu LTσ (M ) c) Với i = 1, , s, ta có Supp(gi − LTσ (gi )) ∩ LTσ {M } = ∅ Định lí 2.2.7 [2, Theorem 2.4.13 ] (Sự tồn tính nht ca C s Gră obner thu gn) Vi P -môđun M ⊆ P r , tồn ti nht mt -c s Gră obner thu gọn Cho σ thứ tự từ môđun Khi đó, mơđun M ⊆ P r có nhiều -c s Grăobner Chng hn, ta cú th thờm phần tử M vào σ -c s Grăobner thỡ nú l mt -c s Grăobner ca M Tuy nhiờn, M ch cú nht mt -c s Grăobner thu gn 2.2.2 Thuật toán Buchberger Định nghĩa 2.2.8 Cho B = {(i, j) | ≤ i < j ≤ s, γi = γj } Đặt tij = t lcm(ti ,tj ) = gcd(tji ,tj ) ∈ Tn σij = c1i tij εi − c1j tji εj ∈ P s với i, j ∈ {1, , s} ti Với cặp (i, j) ∈ B, ta gọi Sij = λ(σij ) = 1 tij gi − tji gj ∈ M ci cj S -vectơ gi gj Nếu r = 1, ta gọi Sij ∈ P S -đa thức gi gj Hồ Thị Nhã Phương 15 K26 Toán ĐHSPH Luận văn thạc sĩ Tìm hệ sinh tối tiểu Hệ 2.2.9 [2, Corollary 2.5.3.] (Tiêu chuẩn Buchberger) Cho M ⊆ P r P -môđun sinh tập G = {g1 , , gs } ⊆ P r \{0} G = (g1 , , gs ) Khi đó, điều kiện sau tương đương: a) Tập hp G l mt -c s Gră obner ca M b) Với cặp (i, j) ∈ B, ta có NRσ,G (Sij ) = Định lí 2.2.10 [2, Theorem 2.5.5.] (Thuật toán Buchberger) Cho G = (g1 , , gs ) ∈ (P r )s phần tử khác không sinh môđun M = g1 , , gs ⊆ P r Với i = 1, , s, cho LMσ (gi ) = ci ti eγi với ci ∈ K\{0}, ti ∈ Tn γi ∈ {1, , r} Xét bước sau: 1) Cho s = s B = B = {(i, j) | ≤ i < j ≤ s , γi = γj } 2) Nếu B = ∅, trả G Mặt khác, chọn cặp (i, j) ∈ B xóa khỏi B 3) Tính Sij = tj ci gcd(ti ,tj ) gi − ti cj gcd(ti ,tj ) gj NRσ,G (Sij ) Nếu NRσ,G (Sij ) = tiếp tục với bước 2) 4) Tăng s lên Thêm gs = NRσ,G (Sij ) vào G gán tập hợp cặp {(i, s ) | ≤ i < s , γi = γs } cho B Sau đó, tiếp tục với bước 2) Đây thuật tốn với: • Input: Bộ G = (g1 , , gs ) thứ tự từ môđun σ • Output: Bộ G gồm phần tử ca -c s Grăobner ca M 2.3 C s Gră obner thun nht Cho K l mt trng, giả sử P = K[x1 , , xn ] phân bậc dương W ∈ Matm,n (Z) Cho δ1 , , δr ∈ Zm , xét P -môđun tự phân bậc F = ⊕ri=1 P (−δi ) với thứ tự từ môđun σ môđun đơn Tn e1 , , er từ F 2.3.1 Thuật toán Buchberger Mệnh đề 2.3.1 [3, Proposition 4.5.1.] Cho M môđun phân bậc F {g1 , , gs } tập hợp vectơ khác không sinh M a) Áp dụng Thuật toán Buchberger 2.2.10 cho G = (g1 , , gs ), kết tr v l -c s Grăobner thun nht ca M b) -c s Grăobner thu gn ca M bao gồm vectơ Hệ 2.3.2 [3, Corollary 4.5.2.] (Tính chất mơđun phân bậc) Cho M môđun F Khi đó, điều kiện sau tương đương: a) Mơđun M môđun phân bậc F Hồ Thị Nhã Phương 16 K26 Toán ĐHSPH Luận văn thạc sĩ Tìm hệ sinh tối tiểu b) Với thứ tự từ σ Tn e1 , , er , -c s Gră obner thu gọn M bao gồm vectơ c) Tồn thứ tự từ σ Tn e1 , , er σ -c s Gră obner thu gn ca M bao gm vectơ Chú ý 2.3.3 Cho G = (g1 , , gs ) vectơ khác không F di = degW (gi ) với i = 1, , s a) Môđun xoắn SyzP (G) SyzP (LMσ (G)) môđun phân bậc P môđun tự phân bậc ⊕si=1 P (−di ) Cơ sở tắc mơđun kí hiệu {ε1 , , εs } b) Với hai số i, j ∈ {1, , s} cho i = j γi = γj , phần tử σij = lcm(ti ,tj ) lcm(ti ,tj ) ci ti εi − cj tj εj gọi xoắn (LMσ (gi ), LMσ (gj )) Khi đó, σij có bậc degW (σij ) = degW (lcm(ti , tj )) + δγi Ta kí hiệu degW (σij ) ≥Lex {di , dj } c) Với cặp (i, j) cho ≤ i < j ≤ s γi = γj , S -vectơ Sij = lcm(ti ,tj ) lcm(ti ,tj ) ci ti gi − cj tj gj gi gj phần tử F có bậc degW (lcm(ti , tj )) + δγi = degW (σij ) d) Tập hợp B = {(i, j) | ≤ i < j ≤ s, γi = γj } gọi tập hợp cặp tới hạn G Với (i, j) ∈ B , ta xác định bậc cặp tới hạn (i, j) degW ((i, j)) = degW (Sij ) Định nghĩa 2.3.4 Cho M P -môđun phân bậc, S tập M , V = (v1 , , vs ) phần tử khác không M a) Bộ V gọi thứ tự-bậc degW (v1 ) ≤Lex · · · ≤Lex degW (vs ) b) Cho bậc d ∈ Zm , đặt S≤d = {v ∈ S | v nhất, degW (v) ≤Lex d} Sd = {v ∈ S | v nhất, degW (v) = d} c) Tương tự, với bậc d ∈ Zm , đặt V≤d V gồm phần tử vi cho degW (vi ) ≤Lex d Vd V gồm phần tử vi cho degW (vi ) = d Định lí 2.3.5 [3, Theorem 4.5.5.] (Thuật toán Buchberger nhất) Cho P = K[x1 , , xn ] phân bậc dương W ∈ Matm,n (Z), M môđun phân bậc F V = (v1 , , vs ) thứ tự-bậc vectơ khác không sinh M Hơn nữa, cho σ thứ tự từ môđun Tn e1 , , er Xét bước sau: 1) Cho B = ∅, W = V, G = ∅ s = 2) Cho d bậc nhỏ tương ứng với Lex phần tử B W Lập tập Bd B , Wd W xóa tương ứng thành phần chúng từ B W 3) Nếu Bd = ∅, đến bước 6) Ngược lại, chọn cặp (i, j) ∈ Bd loại bỏ khỏi Bd Hồ Thị Nhã Phương 17 K26 Tốn ĐHSPH Luận văn thạc sĩ Tìm hệ sinh tối tiểu 4) Tính S-vectơ Sij phần dư chuẩn tắc Sij = NRσ,G (Sij ) Nếu Sij = 0, tiếp tục với bước 3) 5) Tăng s lên một, thêm gs = Sij vào G đặt tập hợp B = {(i, s ) | ≤ i < s , γi = γs } Tiếp tục với bước 3) 6) Nếu Wd = ∅ tiếp tục với bước 9) Ngược lại, chọn vectơ v ∈ Wd xóa khỏi Wd 7) Tính v = NRσ,G (v) Nếu v = tiếp tục với bước 6) 8) Tăng s lên một, thêm gs = v vào G đặt tập hợp B = {(i, s ) | ≤ i < s , γi = γs } Tiếp tục với bước 6) 9) Nếu B = ∅ W = ∅, trả G dừng lại Ngược lại, tiếp tục với bước 2) Đây thuật tốn với: • Input: Ma trận W , thứ tự-bậc V = (v1 , , vs ) thứ tự từ môđun σ • Output: Bộ thứ tự-bậc G = (g1 , , gs ) gồm phần tử ca -c s Grăobner thun nht ca M 2.3.2 C s Gră obner thu gn theo bc Cho G hệ sinh môđun phân bậc M bậc d ∈ Zm Khi đó, tập hợp G≤d sinh môđun M≤d Cho P = K[x1 , , xn ] phân bậc dương W ∈ Matm,n (Z), P -môđun tự phân bậc F = ⊕ri=1 P (−δi ) σ thứ tự từ môđun Tn e1 , , er Giả sử G = {g1 , , gs } gồm vectơ khác khơng F Khi đó, đặt M = g1 , , gs G = (g1 , , gs ) Định nghĩa 2.3.6 Giả sử tập hợp G -c s Gră obner thun nht ca M m d ∈ Z Khi đó, tập hợp G≤d (hoặc G≤d ) gọi σ -cơ s Gră obner d-thu gn ca M hay mt -c s Gră obner ca M c thu gn theo bậc d 2.4 Hệ sinh tối tiểu Mệnh đề 2.4.1 [3, Proposition 4.6.1.] (Đặc trưng hệ sinh tối tiểu) Cho P phân bậc ma trận W ∈ Matm,n (Z) có dạng dương, M môđun phân bậc F sinh vectơ khác không {g1 , , gs } Giả sử degW (g1 ) ≤σ · · · ≤σ degW (gs ) a) Tập hợp {g1 , , gs } hệ sinh tối tiểu môđun M gi ∈ / g1 , , gi−1 với i = 1, , s b) Tập hợp {gi | i ∈ {1, , s}, gi ∈ / g1 , , gi−1 } hệ sinh tối tiểu M Hồ Thị Nhã Phương 18 K26 Toán ĐHSPH Luận văn thạc sĩ Tìm hệ sinh tối tiểu Ví dụ 11 Cho K trường, P = K[x1 , , xn ] phân bậc dương ma trận W ∈ Matm,n (Z) Cho δ1 , , δr ∈ Zm F = ⊕ri=1 P (−δi ) Đặt V = (v1 , , vs ) thứ tự-bậc vectơ khác không sinh môđun phân bậc M F Từ Mệnh đề 2.4.1.b, ta xây dựng thuật tốn tính Vmin V hệ sinh tối tiểu M sau: Chương trình - Thuật tốn ApCoCoA: Tìm hệ sinh tối tiểu môđun hàm Min1( ) - Input: Ma trận W, V thứ tự từ môđun Output: Hệ sinh tối tiểu môđun M -Define Min1(V) Vmin:=[]; For I := To Len(V) Do L := First(V,I-1); M := Module(L); If Vector(V[I]) IsIn M Then Vmin := Vmin Else Append(Vmin,V[I]) EndIf; EndFor; Return Vmin; EndDefine; Áp dụng hàm Min1( ) với sau hệ sinh môđun phân bậc Q[x, y, z] ⊕ Q[x, y, z](−2), W = (1 1): 1) V1 = ((x2 − xy, 0), (x2 − yz, 0), (x3 − yz , 0), (y − z , 0)); 2) V2 = ((x4 , y ), (x3 y, yz), (x2 y , z ), (0, y −xyz), (0, y z−xz ), (0, y −x2 z ), (x3 y − x4 z, 0)) 3) V3 = ((xyz, x−y), (x4 +xyz , xz), (x4 , yz), (x6 −x5 y, x2 y −z ), (x2 y z , x2 y − z ), (0, x4 y − y z − x2 z )) V:=[[x^2-xy,0] ,[x^2-yz,0], [x^3-yz^2,0], [y^5-z^5,0]]; Min1(V); [[x^2 - xy, 0], [x^2 - yz, 0], [y^5 - z^5, 0]] V:=[[x^4,y^2], [x^3y,yz], [x^2y^2,z^2], [0,y^3-xyz], [0,y^2z-xz^2],[0,y^4-x^2z^2], [x^3y^2-x^4z,0]]; Min1(V); [[x^4, y^2], [x^3y, yz], [x^2y^2, z^2]] V:=[[xyz,x-y], [x^4+xyz^2,xz], [x^4,yz], [x^6-x^5y,x^2y^2-z^4], [x^2y^2z^2,x^2y^2-z^4], [0,x^4y^2-y^3z^3-x^2z^4]]; Min1(V); [[xyz, x - y], [x^4 + xyz^2, xz], [x^6 - x^5y, x^2y^2 - z^4]] - Định lí 2.4.2 [3, Theorem 4.6.3.] (Thuật toán Buchberger với Tối tiểu hóa) Cho P = K[x1 , , xn ] phân bậc dương W ∈ Matm,n (Z), M môđun phân bậc F , V = (v1 , , vs ) thứ tự-bậc vectơ khác không sinh M σ thứ tự từ môđun Tn e1 , , er Xét bước sau: Hồ Thị Nhã Phương 19 K26 Tốn ĐHSPH Luận văn thạc sĩ Tìm hệ sinh tối tiểu 1) Cho B = ∅, W = V, G = ∅, s = Vmin = ∅ 2) Cho d bậc nhỏ tương ứng với Lex phần tử B W Lập tập Bd B , Wd W xóa tương ứng thành phần chúng từ B W 3) Nếu Bd = ∅, đến bước 6) Ngược lại, chọn cặp (i, j) ∈ Bd loại bỏ khỏi Bd 4) Tính S-vectơ Sij phần dư chuẩn tắc Sij = NRσ,G (Sij ) Nếu Sij = tiếp tục với bước 3) 5) Tăng s lên một, thêm gs = Sij vào G đặt tập hợp B = {(i, s ) | ≤ i < s , γi = γs } Tiếp tục với bước 3) 6) Nếu Wd = ∅ tiếp tục với bước 9) Ngược lại, chọn vectơ v ∈ Wd xóa khỏi Wd 7) Tính v = NRσ,G (v) Nếu v = tiếp tục với bước 6) 8) Tăng s lên một, thêm gs = v vào G , thêm v vào Vmin đặt tập hợp B = {(i, s ) | ≤ i < s , γi = γs } Tiếp tục với bước 6) 9) Nếu B = ∅ W = ∅, trả cặp (G, Vmin ) dừng lại Ngược lại, tiếp tục với bước 2) Đây thuật toán với: • Input: Ma trận W , thứ tự-bậc V = (v1 , , vs ) thứ tự từ mơđun σ • Output: Cặp (G, Vmin ) với G thứ tự-bậc tạo thành mt -c s Grăobner thun nht ca M v Vmin V gồm phần tử tạo thành hệ sinh tối tiểu M Ta viết chương trình dựa thuật tốn Định lí 2.4.2 sau: Chương trình - Thuật toán ApCoCoA: Tìm (G,Vmin) với G sở Groebner M Vmin hệ sinh tối tiểu M hàm Min2( ) - Input: Môđun M khác thuộc P^r Output: Cặp (G,Vmin) -Define Sort(Var(L)) For I := To Len(L)-1 Do M := I; For J := I+1 To Len(L) Do If L[J] = L[M] Then M:=J; EndIf; For K:=1 To Len(L[1]) Do If L[J][K] < L[M][K] Then M:=J; ElIf L[J][K] = L[M][K] Then K:=K+1; Else J:=M; EndIf; EndFor; EndFor; If M I Then C := L[M]; Hồ Thị Nhã Phương 20 K26 Toán ĐHSPH Luận văn thạc sĩ Tìm hệ sinh tối tiểu L[M] := L[I]; L[I] := C; EndIf; EndFor; EndDefine; Define Deg(G,I,J) E:=List(LT(Vector(G[I]))); Ti:=0; For M:=1 To Len(E) Do Ti:=Ti+E[M]; EndFor; F:=List(LT(Vector(G[J]))); Tj:=0; For N:=1 To Len(F) Do Tj:=Tj+F[N]; EndFor; A:=MDeg(LCM(Ti,Tj)); Return A; EndDefine; Define Sij(G,I,J) E:=List(LT(Vector(G[I]))); Ti:=0; For M:=1 To Len(E) Do Ti:=Ti+E[M]; EndFor; F:=List(LT(Vector(G[J]))); Tj:=0; For N:=1 To Len(F) Do Tj:=Tj+F[N]; EndFor; Ci:= LC(Vector(G[I])); Cj:= LC(Vector(G[J])); Sij:=LCM(Ti,Tj)/(Ci*Ti)*Vector(G[I])- LCM(Ti,Tj)/(Cj*Tj)*Vector(G[J]); Return Sij; EndDefine; Define Min2(V) A:=NewList(Len(V[1]),0); G:=[]; S:=0; Vmin:=[]; B:=[]; W:=V; Dw:=[MDeg(Vector(N)) | N In V ]; Sort(Dw); Dmax:=Last(Dw); While B [] Or W [] Do DegList1:=NewList(Len(B)); For T:=1 To Len(B) Do I:=B[T][1]; J:=B[T][2]; Degij:=Deg(G,I,J); DegList1[T]:=Degij; EndFor; DegList2:=[MDeg(Vector(F)) | F In W]; DegList:= Concat(DegList1,DegList2); Sort(DegList); D:=Head(DegList); Hồ Thị Nhã Phương 21 K26 Tốn ĐHSPH Luận văn thạc sĩ Tìm hệ sinh tối tiểu B:=[E In B| Sij(G,E[1],E[2]) Vector(A)]; Bd:=[E In B| MDeg(Sij(G,E[1],E[2]))=D]; Wd:=[N| N In W And MDeg(Vector(N))=D]; B:=Diff(B,Bd); W:=Diff(W,Wd); While Bd[] Do I:=Bd[1][1]; J:=Bd[1][2]; Remove(Bd,1); Sija:=NR(Sij(G,I,J),[Vector(F)| F In G]); If Sija Vector(A) Then S:=S+1; Append(G,List(Sija)); Foreach I In S Do B:=Concat(B,[[N,I] | N In (S-1) And N