Cơ sở gronebner của iđêan các đa thức triệt tiêu trong vành đa thức zm = x1,…xn

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRƯƠNG THỊ NHƯ HẰNG CƠ SỞ GROEBNER CỦA IĐÊAN CÁC ĐA THỨC TRIỆT TIÊU TRONG VÀNH ĐA THỨC Zm[x1, , xn] LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU Thừa Thiên Huế, năm 2017 ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRƯƠNG THỊ NHƯ HẰNG CƠ SỞ GROEBNER CỦA IĐÊAN CÁC ĐA THỨC TRIỆT TIÊU TRONG VÀNH ĐA THỨC Zm[x1, , xn] Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 60460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS PHAN VĂN THIỆN Thừa Thiên Huế, năm 2017 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan luận văn thân thực hướng dẫn khoa học PGS TS Phan Văn Thiện Các kết trích dẫn luận văn nêu phần tài liệu tham khảo cuối luận văn Trương Thị Như Hằng i LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn Thầy giáo, PGS TS Phan Văn Thiện Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc kính trọng Thầy Thầy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi q trình học tập hồn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến quý Thầy Khoa Tốn, Thầy Đại học Huế Viện Toán học dạy dỗ truyền đạt kiến thức cho tơi suốt q trình học tập Tơi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường ĐHSP Huế, phịng Đào tạo sau Đại học, khoa Tốn trường ĐHSP Huế tạo điều kiện cho suốt khóa học Cuối cùng, tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè Cao học Tốn khóa XXIV trường ĐHSP Huế chuyên ngành Đại số Lý thuyết số động viên, giúp đỡ trình học tập vừa qua Xin chân thành cảm ơn quan tâm, giúp đỡ q báu đó! Vì thời gian có hạn, thân cịn nhiều hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, kính mong đánh giá, góp ý quý thầy cô bạn quan tâm để luận văn hoàn chỉnh Trương Thị Như Hằng ii MỤC LỤC Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục Mở đầu Chương Cơ sở Groebner iđêan vành đa thức K[x1 , , xn ] trường K 1.1 1.2 Cơ sở Groebner iđêan K[x1 , , xn ] 1.1.1 Các thứ tự từ 1.1.2 Thuật toán chia 1.1.3 Cơ sở Groebner iđêan K[x1 , , xn ] 12 Cách tìm sở Groebner iđêan K[x1 , , xn ] 17 1.2.1 Định lý Buchberger 17 1.2.2 Thuật toán Buchberger 22 Chương Cơ sở Groebner iđêan đa thức triệt tiêu vành đa thức Zm [x1 , , xn ] 2.1 25 Cơ sở Groebner iđêan đa thức triệt tiêu Zm [x1 , , xn ] 25 2.1.1 Một số khái niệm sở 25 2.1.2 Cơ sở Groebner iđêan đa thức triệt tiêu vành đa thức Zm [x1 , , xn ] 27 2.2 Ứng dụng sở Groebner mạnh cực tiểu 35 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 MỞ ĐẦU Lý thuyết sở Groebner nhà toán học người Áo Bruno Buchberger đưa luận án tiến sĩ năm 1965, dẫn dắt người thầy Wolfrang Groebner Lý thuyết Groebner đời tạo bước ngoặt lớn nghiên cứu, giúp chứng minh nhiều tốn đại số, hình học việc kiểm chứng giả thuyết hay tốn đại số hình học Cho K trường, cho I iđêan K[x1 , , xn ] Cơ sở Groebner iđêan I vành K[x1 , , xn ] nghiên cứu nhiều sở Groebner iđêan vành đa thức C[x1 , , xn ] vành C chưa nghiên cứu nhiều Gần sở Groebner iđêan vành đa thức Zm [x1 , , xn ] thu hút nhiều ý nhà toán học dựa vào tiềm ứng dụng chúng, chẳng hạn kết [5] áp dụng để cải thiện tính xác đường liệu thiết kế hệ thống vi mạch Tập đa thức triệt tiêu vành Zm [x1 , , xn ] lập thành iđêan Zm [x1 , , xn ] (xem [5]) Với mong muốn tìm hiểu thêm sở Groebner iđêan đa thức triệt tiêu định hướng thầy hướng dẫn PGS.TS Phan Văn Thiện, chọn đề tài "Cơ sở Groebner iđêan đa thức triệt tiêu vành đa thức Zm [x1 , , xn ]" làm đề tài nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ Chương CƠ SỞ GROEBNER CỦA IĐÊAN TRONG VÀNH ĐA THỨC K[x1, , xn] TRÊN TRƯỜNG K Cho K trường Trong chương đề cập đến thứ tự từ, thuật chia đa thức vành nhiều biến K[x1 , , xn ], sở Groebner iđêan vành đa thức cách tìm sở Groebner Ta ký hiệu x := (x1 , x2 , xn ) ký hiệu K[x] := K[x1 , , xn ] Tài liệu tham khảo chương [2] 1.1 Cơ sở Groebner iđêan K[x1, , xn] 1.1.1 Các thứ tự từ Trước hết nhắc lại quan hệ thứ tự Một quan hệ < tập A gọi quan hệ thứ tự thỏa mãn tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu Nếu A có quan hệ thứ tự ta nói A thứ tự Nếu hai phần tử A so sánh với A gọi tập thứ tự tồn phần Đồng thời A gọi tập thứ tự tốt A tập thứ tư toàn phần cho tập khác rỗng A có phần tử nhỏ Cho vành đa thức n biến K[x] := K[x1 , , xn ], n ≥ Một phần tử K[x] có dạng xα1 xα2 xαnn với αi ∈ N, ∀i = 1, , n gọi đơn thức K[x] Một phần tử K[x] có dạng axα1 xα2 xαnn với a ∈ K αi ∈ N, ∀i = 1, , n gọi từ K[x] Định nghĩa 1.1.1 Một thứ tự từ T n = {xβ := xβ1 xβnn |βi ∈ N, i = 1, , n} thứ tự toàn phần < T n thỏa mãn hai điều kiện sau: i) < xβ với xβ ∈ T n , xβ = ii) Nếu xα < xβ xα xγ < xβ xγ , với xγ ∈ T n Cho hai từ K[x1 , , xn ], từ có đơn thức lớn từ lớn hơn, tập từ có quan hệ thứ tự tồn phần gọi thứ tự từ Ta đến với vài thứ tự từ cụ thể sau : Định nghĩa 1.1.2 Thứ tự từ điển, ký hiệu lex, T n thứ tự xác định sau: Giả sử x1 > x2 > · · · > xn , α = (α1 , , αn ) β = (β1 , , βn ) ∈ N n Khi đó: xα < xβ ⇔ thành phần αi βi α β tính từ trái sang khác thỏa mãn αi < βi Ví dụ 1.1 Cho x1 , x2 ∈ Q[x1 , x2 ], với quy ước x1 > x2 , theo thứ tự lex ta có < x2 < x2 < x2 < · · · < x1 < x1 x2 < x1 x2 < · · · < x1 < · · · Định nghĩa 1.1.3 Giả sử: x1 > x2 > · · · > xn , α = (α1 , , αn ) β = (β1 , , βn ) ∈ N n Thứ tự từ điển phân bậc, ký hiệu deglex, T n thứ tự từ xác định:  n n   βi  αi < α β i=1 i=1 x x2 > · · · > xn  αi = i=1 i=1 Ví dụ 1.2 Cho x1 , x2 ∈ Q[x1 , x2 ], với quy ước x1 > x2 , theo thứ tự deglex ta có < x2 < x1 < x2 < x1 x2 < x1 < x2 < x1 x2 < x1 x2 < x1 < · · · Định nghĩa 1.1.4 Thứ tự từ điển ngược phân bậc, ký hiệu degrevlex, T n thứ tự xác định sau: Giả sử x1 > x2 > · · · > xn , cho α = (α1 , , αn ) β = (β1 , , βn ) ∈ N n Khi :  n n  α < βi  i   i=1  i=1 n n xα < xβ ⇔ α = βi αi , βi α β i   i=1 i=1    tính từ phải sang khác thỏa mãn αi > βi Ví dụ 1.3 Cho x1 , x2 , x3 ∈ Q[x1 , x2 , x3 ], với quy ước x1 > x2 > x3 , theo thứ tự degrevlex ta có x1 x2 x3 > x1 x2 , theo deglex x1 x2 x3 < x1 x2 Định nghĩa 1.1.5 Cho = f ∈ K[x1 , , xn ] Khi ta viết f dạng: f = a1 xα1 + a2 xα2 + + ar xαr , = ∈ K, xαi ∈ T n xα1 > xα2 > > xαr Ta có định nghĩa sau: • lp(f ) = xα1 : đơn thức dẫn đầu f • lc(f ) = a1 : hệ số dẫn đầu f • lt(f ) = a1 xα1 : từ dẫn đầu f Ở ta quy ước: lp(0) = lc(0) = lt(0) = • T (f ) = {X ∈ T n /X từ dẫn đầu f } Ví dụ 1.4 Cho f = 2x2 yz + 3xy − 2x3 ∈ K[x1 , , xn ], đó: • Nếu theo thứ tự lex với x > y > z lp(f ) = x3 , lc(f ) = −2, lt(f ) = −2x3 • Nếu theo thứ tự delex với x > y > z lp(f ) = x2 yz, lc(f ) = 2, lt(f ) = 2x2 yz • Nếu theo thứ tự degrevlex với x > y > z lp(f ) = xy , lc(f ) = 3, lt(f ) = 3xy Định lý 1.1.1 (Định lý Hilbert) [4, tr.4] Cho vành K[x1 , , xn ] Khi I iđêan K[x1 , , xn ] tồn đa thức f1 , , fs ∈ K[x1 , , xn ] cho I = f1 , , fs 1.1.2 Thuật toán chia Định nghĩa 1.1.6 Cho f, g, h ∈ K[x1 , , xn ] với g = Ta nói f rút gọn h theo g , ký hiệu: g f −−−−→ h, lp(g) chia hết từ khác không X biểu diễn f h=f− X g lt(g) Ví dụ 1.5 Cho hai đa thức f, g ∈ Q[x, y] f = 6x2 y − x + 4y − 1, g = 2xy + y Dùng thứ tự lex với x > y, ta có lp(g) = xy chia hết X = 6x2 y = với X từ f Khi theo định nghĩa: h=f− X g lt(g) 6x2 y (2xy + y ) = (6x y − x + 4y − 1) − 2xy 3 = −3xy − x + 4y − g Do f −−−−→ h Nếu dùng thứ tự từ deglex với x > y, ta có lt(g) = y , X = 4y từ biểu diễn f từ dẫn đầu f Khi h=f− X g = 6x2 y − 8xy − x − lt(g) g Do f −−−−→ h Chương CƠ SỞ GROEBNER CỦA IĐÊAN CÁC ĐA THỨC TRIỆT TIÊU TRONG VÀNH ĐA THỨC Zm[x1, , xn] Trong chương ta đề cập ngắn gọn đến khái niệm sở Groebner iđêan đa thức triệt tiêu Zm [x1 , , xn ] ứng dụng sở Groebner mạnh cực tiểu iđêan đa thức triệt tiêu Zm [x1 , , xn ] Tài liệu tham khảo chương [5] 2.1 Cơ sở Groebner iđêan đa thức triệt tiêu Zm[x1, , xn] Trong mục ta xét vành C vành Nơte giao hoán với đơn vị C[x] := C[x1 , , xn ] vành đa thức nhiều biến C với n ≥ 2.1.1 Một số khái niệm sở Định nghĩa 2.1.1 Cho vành đa thức C[x] := C[x1 , , xn ] với n ≥ Cho α, β ∈ Nn α = (α1 , , αn ), β = (β1 , , βn ) i) xα := xα1 xα2 xαnn gọi đơn thức ii) axα với α ∈ C gọi từ 25 iii) α ± β := (α1 ± β1 , , αn ± βn ) Quy ước: α β ⇔ ∀i ∈ {1, , n} : αi ≤ βi , α≺β ⇔α β ∧ α = β Định nghĩa 2.1.2 Cho số nhân α = (α1 , , αn ) ∈ {0, 1, }n Ta định nghĩa α! := α1 ! αn !, |α| := α1 + + αn Ở yêu cầu vành đa thức C[x] phải trang bị thứ tự toàn phần < đơn thức, tức < thứ tự tốt tập đơn thức thõa mãn xα > xβ ⇒ xα+γ > xβ+γ với α, β, γ ∈ {0, 1, }n Khi < trường hợp riêng ≺ Định nghĩa 2.1.3 Cho vành đa thức Zm [x1 , , xn ], ta định nghĩa tính chia hết Zm Z a|Z b ⇔ ∃k ∈ Z : b = ak a|Zm b ⇔ ∃k ∈ Z : m|Z (b − ak), tức b ak miêu tả lớp thặng dư giống Zm Định nghĩa 2.1.4 Cho hai đơn thức axα bxβ , ta nói bxβ chia hết cho axα a|Zm b α β Khi ta viết axα |bxβ Cho f = a0 xα (0) + + ak xα (k) đa thức C[x1 , , xn ] với = 0, ≤ i < k xα Ta có: + Tổng bậc f : Def(f ) = max α(i) : ≤ i ≤ k (0) + Từ dẫn đầu f : LT(f ) = a0 xα 26 (0) (k) > > xα (0) + Đơn thức dẫn đầu f : LM(f ) = xα + Hệ số dẫn đầu f : LC(f ) = a0 + Iđêan dẫn đầu A ⊂ C[x1 , , xn ], A = ∅ L(A) = LT(f ) : f ∈ A C[x1 , ,xn ] 2.1.2 Cơ sở Groebner iđêan đa thức triệt tiêu vành đa thức Zm [x1 , , xn ] Định nghĩa 2.1.5 Cho iđêan I ⊂ C[x1 , , xn ], tập hữu hạn G ⊂ C[x1 , , xn ] gọi sở Groebner I G⊂I L(I) = L(G), tức G sở Groebner từ dẫn đầu G sinh từ dẫn đầu I G gọi sở Groebner mạnh với f ∈ I\{0} bất kỳ, tồn đa thức g ∈ G thõa mãn LT(g)| LT(f ) Một sở Groebner G gọi mạnh cực tiểu LT(g1 ) LT(g2 ), với g1 = g2 thuộc G Chú ý Nếu C trường hệ số khác từ khả nghịch C L(A) = LM(f )|f ∈ A Trong trường hợp này, sở Groebner sở Groebner mạnh Khi C vành điều khơng cịn Ví dụ 2.1 Xét C := Z6 vành đa thức biến C[x] G := {2x, 3x} sở Groebner iđêan I := x Nhưng khơng phải 2x hay 3x chia hết x nên G sở Groebner mạnh Định nghĩa 2.1.6 Cho f ∈ C[x1 , , xn ] đa thức bất kỳ, xét hàm đa thức f˜ : Cn −→ C (c1 , , cn ) −→ f (c1 , , cn ) Ta nói f đa thức triệt tiêu hàm f˜ đồng không 27 Tập I0 = f ∈ C[x1 , , xn ] : f đa thức triệt tiêu hiển nhiên iđêan đa thức triệt tiêu Bổ đề 2.1.1 Cho a ∈ Z α = (α1 , , αm ) ∈ Nm n cho m|Z aα! Khi m αi (xi − l) ∈ Zm [x1 , , xn ] Pα,a := a i=1 l=1 đa thức triệt tiêu Chứng minh Cố định điểm tùy ý (c1 , , cm ) ∈ C m Pα,a (c1 , , cn ) chữa nhân tử ci − 1, ci − 2, , ci − αi , với i, theo định nghĩa αi giá trị G độc lập, chứa tất nhân tử từ đến αi Vì Pα,a (c1 , , cm ) chia hết cho αi !, với i Do ta có Pα,a (c1 , , cm ) chia hết cho aα1 ! αm ! với m|Z aα! Điều dẫn đến Pα,a (c1 , , cm ) = mod m Bổ đề 2.1.2 Cho f ∈ I0 ⊂ Zm [x1 , , xn ] đa thức triệt tiêu với LT(f ) = bxβ Khi m|Z bβ Chứng minh Cho C[xn , , rxn ] vành đa thức với n ≥ biến cho h ∈ C[x] đa thức Khi ta có định nghĩa sai phân riêng thứ i: ∇i h := h (x1 , , xi−1 , xi + 1, xi+1 , , xn ) − h(x1 , , xi−1 , xi , xi+1 , , xn ) với ≤ i ≤ n Chú ý ∇i tốn tử tuyến tính Ta định nghĩa: ∇0i h := h ∇k+1 := ∇i ∇ki , i với k ≥ (Cho n = 1, ∇k1 ≡ ∇k h.) Vì ∇i ∇j h = h (x1 , , xi + 1, , xj + 1, , xn ) − h(x1 , , xi + 1, , xn ) − h(x1 , , xj + 1, , xn ) + h(x1 , , xn ) = ∇j ∇i h, 28 với i, j ∈ 1, , n Nên ta mở rộng cho tốn tử với số nhân, tức với α = (α1 , , αn ) ∈ 0, 1, n , từ ∇α h := ∇α1 ∇αnn h độc lập đến bậc áp dụng tốn tử ∇i xác định tốt Xét sai phân (xi + 1)k − xki = kxk−1 + g(xi ), i deg(g) < k − Bằng quy nạp ta ∇ki xki = k! ∇ji xki = 0, với j > k Bây cho axα := LT(h) ký hiệu từ dẫn đầu Khi đó, phần lớn tính tuyến tunhs tốn tử ∇i , ta tổng quát: ∇α h = aα!, ∇β h = 0, (2.1) β > α (2.2) Ta áp dụng (2.1) cho đa thức triệt tiêu f vành Zm với f : ∇β f = bβ! phải đa thức triệt tiêu cách xây dựng Điều kéo theo bβ! = modulo m Định lý 2.1.3 Cho m ≥ n ≥ số nguyên tùy ý Đặt Sm := {(α, a)/ ≤ a < m, a|Z m, α ∈ Nn0 , m|Z aα!, ∀β≺α:m Z bα!, ∀b < a, b|Z a : m Z bα!} Khi Gm := {Pα,a /(α, a) ∈ Sm } sở Groebner mạnh cực tiểu iđêan I0 đa thức triệt tiêu vành đa thức Zm [x1 , , xn ], không phụ thuộc bậc đơn thức Chứng minh Cho m ≥ cố định, biến n ≥ thứ tự đơn thức toàn phần tùy ý Đầu tiên ta Gm sở Groebner thực I0 , tức ta phải ra: i) Sm Gm tập hữu hạn ii) Gm ⊂ I0 =⇒ L(Gm ) ⊂ L(I0 ) iii) L(I0 ) ⊂ L(Gm ) 29 Đầu tiên ta chứng minh i) Vì (α, a) ∈ Sm nên α (m, , m) Tập hữu hạn ii) Gm gồm có đa thức Pα,a với m|Z aα! Khi Gm ⊂ I0 theo bổ đề 2.1.1 iii) Cho f ∈ L(I0 ) tùy ý Khi tồn số nguyên N ≥ 1, hi ∈ Zm [x1 , , m] fi ∈ I0 , 1lei ≤ N cho: N f= hi LT(fi ) i=1 Ta viết xα (i) := LT(fi ), ta thu m|Z α(i) ! theo bổ đề 2.1.2 Ta có (α(i) , ) phần tử Sm ta lặp lại theo bi |Z α(i) theo β ( i) α(i) cho: (β (i) , bi ) ∈ Sm Ta kết hợp hai trường hợp cách phát biểu sau: Với (i) i ∈ {1, , N } có (β (i) , bi ) ∈ Sm cho bi xβ | LT(fi ) với đa thức gi thõa N hi gi LT Pβ (i) ,bi , f= i=1 tức f ∈ L(Gm ) Cho f ∈ I0 , lập luận tương tự cho fi , tồn Pα,c ∈ Gm cho LT(Pα,c )| LT(f ) Điều dẫn đến Gm sở Groebner mạnh Lấy hai cặp (α, a), (β, b) ∈ Sm cho axα |bxβ Ta chứng minh a = b α = β Bằng tính toán Z, lấy thừa số nguyên tố q b k ≥ lớn cho q k |Z b Giả sử q k Z a, aα! có bα! thừa số bé q phép phân tích thành nhân tử thừa số nguyên tố Nhưng m|Z aα!, ta có: b b m|Z α!|Z β!, q q b không cực tiểu (β, b) ∈ Sm Ta kết luận b|Z a, ta viết a = db với d|Z m 30 Ta có a|Z (cd − 1), cố định d = 1, suy a = b Khi ta có α = β α = β khơng cực tiểu (β, b) ∈ Sm Ta có từ dẫn đầu sở Groebner mạnh cực tiểu I0 ⊂ Zm [x1 , , xn ] tính nhân định theo đơn vị Zm Ví dụ 2.2 Cho m = q1 qk tích k ≥ số nguyên tố khác n ≥ tùy ý Ta giả sử q1 < < qk Khi ta viết tất phần tử Gm dạng: (xi − 1) (xi − 2) (xi − qk ), qk (xi − 1) (xi − 2) (xi − qk ), qk qk−1 (xi − 1) (xi − 2) (xi − qk ), qk qk−1 q2 (xi − 1) (xi − 2) (xi − qk ), với i ∈ 1, 2, , m Chú ý: m|Z qk ! Vì thừa số đa thức qk : ∀r < qk , tức m Z qk Z r!, r! Ta thấy khơng có phần tử Gm chứa nhiều hai biến đa thức trình bày phần tử Gm Trường hợp đặc biệt: |Gm | = kn bậc lớn qk Điều có nghĩa độ lớn sở tuyến tính số biến Trường hợp k = 1, Zq1 trường Định lý 2.1.4 a) Cho G, F hai sở Groebner mạnh cực tiểu iđêan tùy ý I ⊂ C[x1 , , xn ], với C vành giao hoán có đơn vị Khi |G| = |F | : ∀g ∈ G, ∃f ∈ F, ∃c ∈ C : LT(g) = c LT(f ) (2.3) b) Trường hợp C = Zm I = I0 , phần tử vành (2.3) chọn đơn vị Zm Nếu C miền phát biểu cho iđêan 31 Chứng minh a) Lấy g ∈ G ⊂ I, theo tính chất ổn định F , tồn f ∈ F cho LT(f )| LT(g) Ngược lại theo tính ổn định G, tồn g ∈ G cho LT(g )| LT(f ) Do LT(g )| LT(f )| LT(g) Suy g = g , theo tính cực tiểu G Khi LM(f ) ≡ LM(g) Tương tự ta thấy hai từ dẫn đầu phân biệt F thõa mãn (2.3) với từ dẫn đầu G ngược lại kéo theo |LT(g)/g ∈ G| = |LT(f )/f ∈ F |, mà theo tính cực tiểu G F ta có |G| = |F | b) Chọn G = Gm sở Groebner cho F sở Groebner mạnh cực tiểu khác I0 ⊂ Zm [x1 , , xn ] Xét quan hệ (2.3) bxβ = caxα , với (β, b) ∈ Sm axα ký hiệu từ dẫn đầu f ∈ F Khi b = ac mod m hay m|Z ac − b Đặt a ˜ := gcd(a, m) ước chung lớn a m Ta có a=a ˜u với gcd(n, m) = 1, hay u đơn vị Zm Mà a ˜|Z m|Z ac − b nên a ˜|Z b Ta phải a ˜ = b Giả sử α < bf ∈ F ⊂ I0 kéo theo m|Z aα! theo bổ đề 2.1.2, m|Z a ˜α! = a ˜β!, thừa số a|˜ a khơng ảnh hưởng đến tính chia hết cho m α = β, tức ta lặp lại b theo a ˜ nhỏ mà thõa điều kiện m|Z a ˜β! Điều mâu thuẫn tính cực tiểu b (β, b) ∈ Sm Do a ˜ = b Vì ta có ubxβ = axα c lặp lại theo đơn vị u−1 ∈ Z∗m Chú ý thừa số C liên quan đến hai từ dẫn đầu khơng thiết đơn vị 32 Ví dụ 2.3 Xét đa thức f (x, y) = 3(x − 1)(x − 2)(y − 1)(y − 2) ∈ G12 Ta chuyển sang sở Groebner mạnh cực tiểu khác I0 ⊂ Z12 [x, y] cách lặp lại f (x, y) theo f (x, y) = 9(x − 1)(x − 2)(y − 1)(y − 2) Trên Z12 , iđêan f f Do G12 \{f } ∪ \{f } sở Groebner mạnh cực tiểu Ta có LT(f ) = LT(f ), đơn vị Z12 Cơ sở Groebner mạnh cực tiểu trường hợp tổng quát không ta xét từ dẫn đầu Ví dụ trường hợp iđêan I0 ta sửa đổi Gm thu sở Groebner mạnh cực tiểu Để chứng minh ta chọn f, g ∈ Gm cho LM(g) < LM(f ) lặp lại f f + g Độ lớn Gm , |Gm | hàm số số biến n Khi tất thừa số nguyên tố m phân biệt lẫn nhau, Gm tuyến tính n Với m = q k cố định, độ lớn Gm thứ tự đa thức n Giả sử n số lớn nhiều so với m = q k Ta phân tích Gm thành hợp tập rời G(j) m , Gm = 0≤j 0, b := gcd(m, α), ta có m|Z bα!, tức (m/b)|Z α! Khi ta có m b gcd(m, α!) kéo theo m|Z b gcd(m, α!) Z Nhưng b gcd(m, α!) ≤ a gcd(m, α!) < m, nên mâu thuẫn Do a = Hệ 2.2.2 Số hàm đa thức Znm −→ Zm cho bởi: m gcd(m, α!) n N= α∈{0,1, ,m−1} 36 Số tất hàm số Znm −→ Zm : n m(m ) = m=N α∈{0,1, ,m−1}n gcd(m, α!) α∈{0,1, ,m−1}n Znm −→ Zm Số hàm số Số hàm đa thức m = 22 256 64 m = 28 10616 1016 m = 216 10315 652 1052 m = 232 1041 373 247 567 10184 Do m khơng phải số ngun tố có hàm đa thức so với hàm số Ta có thuật tốn nhanh cho việc tính tốn dạng chuẩn rút gọn Thuật tốn 1: Dạng chuẩn rút gọn Zm [x1 , , xn ] I0 Input: f ∈ Zm [x1 , , xn ] đa thức > bậc đơn thức Zm [x1 , , xn ] Output: Dạng chuẩn rút gọn h f I0 h := while f = axα := LT(f ) m c := gcd(m, α!) slove a = kc + r with k ∈ N and ≤ r < c h := h + rxα f := f − kpα,c − rxα end while returrn h 37 KẾT LUẬN Nội dung chủ yếu luận văn trình bày số kết sở Groebner iđêan đa thức trường K iđêan đa thức triệt tiêu vành đa thức Zm [x1 , , xn ] Luận văn đạt số kết sau: • Định nghĩa thứ tự từ vành đa thức K[x1 , , xn ] trường K, với n ≥ Đưa thuật tốn chia cách tính tốn sở Groebner iđêan K[x1 , , xn ] cách sử dụng thuật tốn Buchberger Trình bày chi tiết định nghĩa số tính chất sở Groebner vành đa thức K[x1 , , xn ] trường K • Trình bày khái niệm sở Groebner iđêan đa thức triệt tiêu vành đa thức Zm [x1 , , xn ] ứng dụng sở Groebner mạnh cực tiểu iđêan đa thức triệt tiêu vành đa thức Zm [x1 , , xn ] Tuy nhiên thời gian lực có hạn nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận đóng góp ý kiến q thầy bạn quan tâm để luận văn hoàn thiện 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO I Tiếng Việt: Lê Tuấn Hoa (2003), Đại số máy tính sở Groebner, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội II Tiếng Anh: Adams W and Loustaunau P (2003), An introduction to Groebner bases, AMS Bigatti A M., Caboara M., Robbiano L (2011), “Computing inhomogeneous Groebner bases”, Journal of Symbolic Computation, Vol 46 (No 5), pp 498-510 Cox D., Little J., O’Shea D (2005), Using Algebraic Geometry, edition, Springer Verlag, New York Greuel G., Seelisch F., Wienand O (2011), “The Groebner basis of the ideal of vanishing polynomials”, Journal of Symbolic Computation, Vol 46 (No 5), pp 561-570 Levandovskyy V., Schindelar K (2011), “Computing diagonal form and Jacobson normal form of a matrix using Groebner bases”, Journal of Symbolic Computation, Vol 46 (No 5), pp 595-608 Sato Y., Inoue S., Suzuki A., Nabeshima K., Sakai K (2011), “Boolean Groebner bases”, Journal of Symbolic Computation, Vol 46 (No 5), pp 622-632 39 ... GROEBNER CỦA IĐÊAN CÁC ĐA THỨC TRIỆT TIÊU TRONG VÀNH ĐA THỨC Zm[ x1, , xn] Trong chương ta đề cập ngắn gọn đến khái niệm sở Groebner iđêan đa thức triệt tiêu Zm [x1 , , xn ] ứng dụng sở Groebner... 22 Chương Cơ sở Groebner iđêan đa thức triệt tiêu vành đa thức Zm [x1 , , xn ] 2.1 25 Cơ sở Groebner iđêan đa thức triệt tiêu Zm [x1 , , xn ] 25 2.1.1 Một số khái niệm sở ... Thiện, chọn đề tài "Cơ sở Groebner iđêan đa thức triệt tiêu vành đa thức Zm [x1 , , xn ]" làm đề tài nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ Chương CƠ SỞ GROEBNER CỦA IĐÊAN TRONG VÀNH ĐA THỨC K[x1, ,