Trong phần này ta sẽ sử dụng thuật toán Buchberger để tính cơ sở Groebner.
Định lý 1.2.4. Cho F = {f1, f2, . . . , fs} với fi 6= 0(1 ≤ i ≤ s). Thuật toán Buchberger sẽ cho ta một cơ sở Groebner của iđêan I =hf1, f2, . . . , fsi.
Input: F ={f1, . . . , fs} ⊆ K[x1, . . . , xn] với fi 6= 0 (1 ≤i ≤ s)
Output: G={g1, . . . , gt} là một cơ sở Groebner của iđêan hf1, . . . , fsi
Initialization: G:=F, G0 :={{fi, fj}fi 6=fj ∈G}
while G0 6= 0 do
Chọn một cặp {f, g} ∈G0 G0 :=G0− {{f, g}}
S(f, g)−−→G h, ở đây h là thu gọn theo G
if h6= 0 then
G0 :=G0S
{{u, h}∀u∈G}
G:=GS{h}
Chứng minh. Ta chỉ ra thuật toán trên là dừng. Gỉa sử thuật toán không dừng, ta sẽ có một dãy tăng: G1 ⊆ G2 ⊆G3 ⊆ . . . . Ta có với mỗi i, Gi =Gi−1S {h}, h là rút gọn theo Gi−1. Suy ra lt(h) ∈/ Lt(Gi−1). Suy ra ta có: Lt(G1) (Lt(G2) ( Lt(G3) ( . . . .
Đây là một dãy tăng các iđêan không dừng.
Điều này mâu thuẫn với định lý Hilbert. Vậy thuật toán trên dừng. Sau khi thuật toán dừng sẽ cho ra cơ sở Groebner cần tìm.
Ví dụ 1.14. Cho f1, f2, f3 ∈ Q[x, y]
f1 =y2+yx, f2 =y +x và f3 =y.
Ta sử dụng thứ tự từ lex với y > x. Ta áp dụng thuật toán Buchberger để tính cơ sở Groebner của iIđêan I = hf1, f2, f3i như sau:
Initialization: G={f1, f2, f3}, G0 ={{f1, f2},{f1, f3},{f2, f3}}
Xét vòng lặp while đầu tiên:
G0 :={{f1, f3},{f2, f3}} S(f1, f2) −−→G x2 là rút gọn theo {f1, f2, f3}. Đặt f4 := x2 G0 :={{f1, f3},{f2, f3},{f1, f4},{f2, f4},{f3, f4}} G:= {f1, f2, f3, f4} Vòng lặp while thứ hai: G0 := {{f2, f3},{f1, f4},{f2, f4},{f3, f4}} S(f1, f3)−−→G 0 Vòng lặp while thứ ba: G0 :={{f1, f4},{f2, f4},{f3, f4}} S(f1, f2) =x là rút gọn theo {f1, f2, f3, f4} Đặt f5 := x G0 := {{f1, f4},{f2, f4},{f3, f4},{f1, f5},{f2, f5},{f3, f5},{f4, f5}} G={f1, f2, f3, f4, f5}
Vòng lặp while thứ bốn: G0 :={{f2, f4},{f3, f4},{f1, f5},{f2, f5},{f3, f5},{f4, f5}} S(f1, f4)−−→G 0 Vòng lặp while thứ năm: G0 :={{f3, f4},{f1, f5},{f2, f5},{f3, f5},{f4, f5}} S(f2, f4)−−→G 0 Vòng lặp while thứ sáu: G0 := {{f1, f5},{f2, f5},{f3, f5},{f4, f5}} S(f3, f4)−−→G 0 Vòng lặp while thứ bảy: G0 :={{f2, f5},{f3, f5},{f4, f5}} S(f1, f5)−−→G 0 Vòng lặp while thứ tám: G0 :={{f3, f5},{f4, f5}} S(f2, f5)−−→G 0 Vòng lặp while thứ chín: G0 := {{f4, f5}} S(f3, f5)−−→G 0 Vòng lặp while thứ mười: G0 := ∅ S(f4, f5)−−→G 0 Đến đây vòng lặp while dừng.
Chương 2
CƠ SỞ GROEBNER CỦA IĐÊAN CÁC ĐA THỨC TRIỆT TIÊU
TRONG VÀNH ĐA THỨC Zm[x1, . . . , xn]
Trong chương này ta sẽ đề cập ngắn gọn đến khái niệm cơ sở Groebner của iđêan các đa thức triệt tiêu trongZm[x1, . . . , xn]và ứng dụng của cơ sở Groebner mạnh cực tiểu của iđêan các đa thức triệt tiêu trongZm[x1, . . . , xn]. Tài liệu tham khảo chính của chương này là [5].
2.1. Cơ sở Groebner của iđêan các đa thức triệt tiêu trong Zm[x1, . . . , xn]
Trong mục này ta sẽ xét vành C là một vành Nơte giao hoán với đơn vị 1và
C[x] :=C[x1, . . . , xn] là vành đa thức nhiều biến trên C với n ≥1.
2.1.1. Một số khái niệm cơ sở
Định nghĩa 2.1.1. Cho vành đa thức C[x] := C[x1, . . . , xn] với n ≥ 1. Cho
α, β ∈Nn α = (α1, . . . , αn), β = (β1, . . . , βn). i) xα :=xα1 1 xα2 2 . . . xαn
n được gọi là đơn thức.
iii) α±β := (α1±β1, . . . , αn±βn). Quy ước:
α4 β ⇔ ∀i ∈ {1, . . . , n}: αi ≤βi, α≺ β ⇔ α4 β∧α 6=β.
Định nghĩa 2.1.2. Cho chỉ số nhân α = (α1, . . . , αn) ∈ {0,1, . . .}n. Ta định nghĩa
α! := α1!. . . αn!,
|α| := α1+. . .+αn.
Ở đây yêu cầu vành đa thức C[x] phải được trang bị một thứ tự toàn phần
< các đơn thức, tức là < là một thứ tự tốt trên tập các đơn thức và thõa mãn
xα > xβ ⇒ xα+γ > xβ+γ với mọi α, β, γ ∈ {0,1, . . .}n. Khi đó < là trường hợp riêng của ≺.
Định nghĩa 2.1.3. Cho vành đa thức Zm[x1, . . . , xn], ta định nghĩa tính chia hết trong Zm và Z
a|Zb ⇔ ∃k ∈Z: b =ak
và a|Zmb ⇔ ∃k ∈Z: m|Z(b−ak),
tức là b và ak miêu tả lớp thặng dư giống nhau trong Zm.
Định nghĩa 2.1.4. Cho hai đơn thức axα và bxβ, ta nói bxβ chia hết cho axα
nếu a|Zmb và α4 β. Khi đó ta viết
axα|bxβ.
Cho
f =a0xα(0) +. . .+akxα(k)
là một đa thức trong C[x1, . . . , xn] với ai 6= 0, 0≤ i < k và xα(0) > . . . > xα(k). Ta có:
+ Tổng bậc của f: Def(f) = maxα(i) : 0 ≤i ≤ k .
+ Đơn thức dẫn đầu của f: LM(f) =xα(0).
+ Hệ số dẫn đầu của f: LC(f) =a0.
+ Iđêan dẫn đầu của A ⊂ C[x1, . . . , xn], A6= ∅
L(A) =hLT(f) : f ∈AiC[x
1,...,xn].
2.1.2. Cơ sở Groebner của iđêan các đa thức triệt tiêu trongvành đa thức Zm[x1, . . . , xn]