Định nghĩa 2.1.5. Cho iđêan I ⊂ C[x1, . . . , xn], một tập hữu hạn G ⊂
C[x1, . . . , xn] được gọi là một cơ sở Groebner của I nếu
G ⊂I và L(I) = L(G),
tức là Glà một cơ sở Groebner nếu từ dẫn đầu của G sinh ra từ dẫn đầu của I.
G được gọi là cơ sở Groebner mạnh nếu với f ∈I\{0}bất kỳ, tồn tại một đa thức g ∈ G thõa mãn
LT(g)|LT(f).
Một cơ sở Groebner G được gọi là mạnh cực tiểu nếu
LT(g1) -LT(g2), với mọi g1 6=g2 thuộc G.
Chú ý. Nếu C là một trường thì bất kỳ hệ số khác 0 nào của một từ là khả nghịch trong C và do đó
L(A) =hLM(f)|f ∈Ai.
Trong trường hợp này, mọi cơ sở Groebner là một cơ sở Groebner mạnh. Khi C
là một vành thì điều này không còn đúng.
Ví dụ 2.1. Xét C := Z6 và vành đa thức một biến C[x] thì G := {2x,3x} là một cơ sở Groebner của iđêan I := hxi. Nhưng vì không phải 2x hay 3x chia hết x nên G không phải là một cơ sở Groebner mạnh.
Định nghĩa 2.1.6. Cho f ∈C[x1, . . . , xn] là đa thức bất kỳ, xét hàm đa thức
˜
f : Cn −→C
(c1, . . . , cn) 7−→f(c1, . . . , cn).
Tập
I0 =f ∈ C[x1, . . . , xn] :f là một đa thức triệt tiêu hiển nhiên là một iđêan của các đa thức triệt tiêu.
Bổ đề 2.1.1. Cho a ∈Z và α = (α1, . . . , αm) ∈Nm
n sao cho m|Zaα!. Khi đó
Pα,a :=a m Y i=1 αi Y l=1 (xi−l) ∈Zm[x1, . . . , xn]
là một đa thức triệt tiêu.
Chứng minh. Cố định một điểm tùy ý (c1, . . . , cm) ∈ Cm thì Pα,a(c1, . . . , cn)
chữa các nhân tử kế tiếp nhau
ci−1, ci−2, . . . , ci−αi, với mọi i,
và theo định nghĩa αi các giá trị G độc lập, nó chứa tất cả các nhân tử từ 2đến
αi. Vì vậy Pα,a(c1, . . . , cm) chia hết cho αi!, với mọi i.
Do đó ta có Pα,a(c1, . . . , cm) chia hết cho aα1!. . . αm! với m|Zaα!. Điều này dẫn đến Pα,a(c1, . . . , cm) = 0 mod m.
Bổ đề 2.1.2. Cho f ∈ I0 ⊂ Zm[x1, . . . , xn] là một đa thức triệt tiêu bất kỳ với
LT(f) =bxβ. Khi đó m|Zbβ.
Chứng minh. Cho C[xn, . . . , rxn] là một vành đa thức với n ≥ 1 biến và cho
h∈ C[x] là một đa thức. Khi đó ta có định nghĩa sai phân riêng thứ i:
∇ih:= h (x1, . . . , xi−1, xi+ 1, xi+1, . . . , xn)
− h(x1, . . . , xi−1, xi, xi+1, . . . , xn)
với 1≤ i ≤n.
Chú ý rằng ∇i là một toán tử tuyến tính. Ta định nghĩa:
∇0ih:= h và ∇ki+1 := ∇i∇ki, với k ≥ 0. (Cho n = 1, ∇k 1 ≡ ∇kh.) Vì ∇i∇jh= h (x1, . . . , xi+ 1, . . . , xj + 1, . . . , xn)−h(x1, . . . , xi+ 1, . . . , xn) − h(x1, . . . , xj + 1, . . . , xn) +h(x1, . . . , xn) =∇j∇ih,
với mọi i, j ∈ 1, . . . , n. Nên ta có thể mở rộng cho toán tử với chỉ số nhân, tức là với α = (α1, . . . , αn) ∈ 0,1, . . .n, từ ∇αh := ∇α1 1 . . .∇αn n h là độc lập đến bậc áp dụng của toán tử ∇i và do đó xác định tốt. Xét sai phân (xi+ 1)k −xki =kxik−1+g(xi),
ở đây deg(g)< k−1. Bằng quy nạp ta chỉ ra
∇kixki =k! và ∇jixki = 0, với j > k.
Bây giờ cho axα := LT(h) là ký hiệu từ dẫn đầu. Khi đó, phần lớn do tính tuyến tunhs của toán tử ∇i, ta có thể tổng quát:
∇αh = aα!, (2.1)
∇βh = 0, β > α. (2.2)
Ta áp dụng (2.1) cho đa thức triệt tiêu f trên vành Zm với f: ∇βf = bβ! cũng phải là một đa thức triệt tiêu bằng cách xây dựng. Điều này kéo theo bβ! = 0
modulo m.
Định lý 2.1.3. Cho m≥2 và n ≥1 là các số nguyên tùy ý. Đặt
Sm :={(α, a)/ 1 ≤a < m, a|Zm, α ∈Nn0, m|Zaα!,
∀ β ≺α : m-Z bα!,∀b < a, b|Za: m-Z bα!}.
Khi đó
Gm := {Pα,a/(α, a) ∈Sm}
là một cơ sở Groebner mạnh cực tiểu của iđêan I0 các đa thức triệt tiêu trong vành đa thức Zm[x1, . . . , xn], không phụ thuộc bậc đơn thức.
Chứng minh. Chom≥ 2cố định, biến n≥ 1và một thứ tự đơn thức toàn phần tùy ý. Đầu tiên ta chỉ ra Gm là cơ sở Groebner thực sự củaI0, tức là ta phải chỉ ra:
i) Sm và Gm là một tập hữu hạn.
ii) Gm ⊂ I0 =⇒ L(Gm) ⊂ L(I0).
Đầu tiên ta chứng minh i). Vì (α, a) ∈Sm nênα 4 (m, . . . , m). Tập này hữu hạn.
ii)Gm gồm có các đa thức Pα,a với m|Zaα!. Khi đó Gm ⊂ I0 theo bổ đề 2.1.1.
iii) Chof ∈L(I0) tùy ý. Khi đó tồn tại số nguyênN ≥ 1, hi ∈ Zm[x1, . . . , m]
và fi ∈I0, 1lei≤ N sao cho:
f =
N
X
i=1
hiLT(fi).
Ta viết aixα(i) := LT(fi), ta thu được m|Zaiα(i)! theo bổ đề 2.1.2.
Ta có hoặc (α(i), ai) à một phần tử củaSm hoặc ta có thể lặp lạiai theo bi|Zai
và α(i) theo β(i) 4 α(i) sao cho:
(β(i), bi)∈ Sm.
Ta có thể kết hợp cả hai trường hợp trên trong cách phát biểu sau: Với mọi
i ∈ {1, . . . , N} có (β(i), bi) ∈Sm sao cho bixβ(i)|LT(fi) với các đa thức gi thõa
f = N X i=1 higiLT Pβ(i),bi , tức là f ∈L(Gm).
Cho f ∈ I0, khi đó lập luận tương tự cho các fi, tồn tại một Pα,c ∈ Gm sao cho
LT(Pα,c)|LT(f).
Điều này dẫn đến Gm là một cơ sở Groebner mạnh.
Lấy hai cặp (α, a),(β, b) ∈ Sm sao cho axα|bxβ. Ta chứng minh a = b và
α= β.
Bằng tính toán trong Z, lấy một thừa số nguyên tố q của b và k ≥1 lớn nhất sao cho qk|Zb. Giả sử qk -Z a, khi đóaα! sẽ có ít hơn bα! ít nhất một thừa số bé hơn q trong phép phân tích thành nhân tử các thừa số nguyên tố.
Nhưng vì m|Zaα!, khi đó ta có:
m|Zb
qα!|Zb
qβ!,
Ta có a|Z(cd−1), cố định d = 1, suy ra a = b. Khi đó ta có α = β vì nếu
α6= β thì sẽ không là cực tiểu trong (β, b)∈ Sm.
Ta có các từ dẫn đầu của cơ sở Groebner mạnh cực tiểu củaI0 ⊂Zm[x1, . . . , xn]
là duy nhất bởi tính nhân quyết định theo đơn vị của Zm.
Ví dụ 2.2. Cho m=q1. . . qk là một tích của k≥ 1các số nguyên tố khác nhau và n ≥1 tùy ý. Ta giả sử q1 < . . . < qk. Khi đó ta có thể viết tất cả các phần tử
Gm dưới dạng: (xi−1) (xi−2). . .(xi−qk), qk (xi−1) (xi−2). . .(xi−qk), qkqk−1 (xi−1) (xi−2). . .(xi−qk), qkqk−1q2 (xi−1) (xi−2). . .(xi−qk), với i ∈ 1,2, . . . , m.
Chú ý: m|Zqk!. Vì vậy mọi thừa số đa thức qk:
∀r < qk, qk -Z r!,
tức là m-Z r!.
Ta thấy không có các phần tử trong Gm chứa nhiều hơn hai biến và các đa thức được trình bày là mọi phần tử của Gm.
Trường hợp đặc biệt: |Gm| =kn và bậc lớn nhất là qk. Điều này có nghĩa độ lớn của cơ sở chỉ tuyến tính trong số các biến.
Trường hợp k = 1, Zq1 là một trường.
Định lý 2.1.4.
a) Cho G, F là hai cơ sở Groebner mạnh cực tiểu của một iđêan tùy ý I ⊂
C[x1, . . . , xn], với C là vành giao hoán có đơn vị 1. Khi đó |G| =|F| và :
∀g ∈ G,∃f ∈F,∃c ∈C : LT(g) =cLT(f). (2.3)
b) Trường hợp C = Zm và I =I0, các phần tử của vành trong (2.3) có thể được chọn là đơn vị của Zm. Nếu C là một miền thì phát biểu này là cho iđêan bất kỳ.
Chứng minh. a) Lấy g ∈ G ⊂ I, khi đó theo tính chất ổn định của F, tồn tại
f ∈F sao cho LT(f)|LT(g).
Ngược lại theo tính ổn định củaG, tồn tại duy nhấtg0 ∈Gsao choLT(g0)|LT(f). Do đó
LT(g0)|LT(f)|LT(g).
Suy ra g =g0, theo tính cực tiểu của G. Khi đó
LM(f) ≡LM(g).
Tương tự ta thấy không phải hai từ dẫn đầu phân biệt trong F có thể thõa mãn (2.3) với cùng từ dẫn đầu trong G và ngược lại kéo theo
|LT(g)/g ∈G| =|LT(f)/f ∈F|,
mà theo tính cực tiểu của G và F ta có |G| =|F|.
b) Chọn G = Gm là cơ sở Groebner được cho và F là cơ sở Groebner mạnh cực tiểu khác của I0 ⊂Zm[x1, . . . , xn].
Xét một quan hệ như trong (2.3)
bxβ =caxα, với (β, b)∈ Sm
và axα là ký hiệu từ dẫn đầu của f ∈ F. Khi đó
b=ac mod m hay m|Zac−b.
Đặt ˜a:= gcd(a, m) là ước chung lớn nhất của a và m. Ta có
a= ˜au với gcd(n, m) = 1,
hayulà một đơn vị trongZm. Mà vì˜a|Zm|Zac−bnên˜a|Zb. Ta phải chỉ ra˜a= b. Giả sử α < bf ∈ F ⊂ I0 kéo theo m|Zaα! theo bổ đề 2.1.2, vì vậy m|Z˜aα! = ˜
aβ!, vì các thừa số tronga|˜akhông ảnh hưởng đến tính chia hết chomvà α =β, tức là ta có thể lặp lại b theo ˜a nhỏ hơn mà vẫn thõa điều kiện m|Zaβ˜ !. Điều này mâu thuẫn tính cực tiểu của b trong (β, b) ∈Sm. Do đó ˜a=b. Vì vậy ta có
ubxβ =axα
và c có thể được lặp lại theo đơn vị u−1 ∈Z∗m.
Chú ý rằng một thừa số C liên quan đến hai từ dẫn đầu không nhất thiết là đơn vị.
Ví dụ 2.3. Xét đa thức
f(x, y) = 3(x−1)(x−2)(y−1)(y−2) ∈G12.
Ta có thể chuyển sang cơ sở Groebner mạnh cực tiểu khác của I0 ⊂ Z12[x, y]
bằng cách lặp lại f(x, y) theo
f0(x, y) = 9(x−1)(x−2)(y−1)(y−2).
Trên Z12, iđêan hfi và hf0i là như nhau. Do đó
G12\{f} ∪ \{f0}
vẫn là một cơ sở Groebner mạnh cực tiểu. Ta có
LT(f0) = 3 LT(f),
nhưng 3 không phải là đơn vị trong Z12.
Cơ sở Groebner mạnh cực tiểu trong trường hợp tổng quát không là duy nhất do ta chỉ xét các từ dẫn đầu. Ví dụ trong trường hợp iđêan I0 ta có thể sửa đổi
Gm và vẫn thu được một cơ sở Groebner mạnh cực tiểu. Để chứng minh ta chọn
f, g ∈Gm sao cho LM(g)< LM(f)
và lặp lại f bởi f +g.
Độ lớn củaGm, |Gm|như là một hàm số của số biếnn. Khi tất cả các thừa số nguyên tố của m là phân biệt lẫn nhau, Gm chỉ tuyến tính trong n. Với m=qk
cố định, độ lớn của Gm là thứ tự đa thức trong n. Giả sử n là số lớn hơn nhiều so với m=qk. Ta có thể phân tích Gm thành hợp các tập rời
Gm = [ 0≤j<k G(mj), với G(mj) := qj(xi−1). . .(xi−(k−j)q) : 1≤ i ≤n ∪ {qj(xi1 −1). . .(xi1 −s1q)(xi2−1). . .(xi2−s2q) : 1≤i1, i2 ≤n, i1 6=i2; 1≤ s1, s2;s1+s2 =k−j} . . . ∪ {qi(xi1−1). . .(xi1−q)(xi2 −1). . .(xi2 −q). . .(xik−j −1)(xik−j −q) : 1≤iu ≤n;iu 6=iv, u6=v}
Trong G(mj) ta có hệ số hằng số qj va ta có các đa thức từ 1 đến (k−j) biến với
hj := G(mj)
,
ta thu được ước lượng thô:
hj ≤ n+ n 2 k1+. . .+ n k−j kk−j−1 = k−j X l=1 n l kl−1 ≤ n k kk, hj ≥ n k−j . Với h:=|Gm| =P 0≤j≤khj, ta có n k ≤ k−1 X j=0 n k−j ≤ h≤ k n k kk = n k kk+1,
và h=|Gm| là của đa thức bậc k, n biến.
Ta xây dựng cách tính toán cơ sở Groebner mạnh cực tiểu của iđêan các đa thức triệt tiêu trên vành Zm[x1, . . . , xn].
Cấu trúc đơn giản của cơ sở Groebner mạnh cực tiểu đã cung cấp cho ta một phương thức đệ quy để xây dựng Gm từ cơ sở cho số m nhỏ hơn. Ta đặc biệt quan tâm đến việc tính toán GM từ các phần tử của tập Gm đã được tính, ở đâyM =qm với q là một số nguyên tố. Sự phân tích các cặp điểm rời nhau sau là kiểm tra dễ dàng:
GM = {Pα,a/Pα,a ∈ Gm,(α, a) ∈SM} ∪ {Pα,aq/Pα,a ∈Gm,(α, aq) ∈SM}
∪ {Pα+β,b/Pα,a ∈ Gm,∃β ∈B(α, a, q),∃b|ZM : (α+β, b)∈ SM},
ở đây B(α, a, q) là ký hiệu tập tất cả β ≺ (0,0, . . . ,0) sao cho (α +β)! chứa nhiều hơn một thừa số nguyên tố q so với aα!.
Sự phân tích này nói rằng ta có thể tìm trực tiếp các phần tử của GM trong
Gm, hoặc ta có thể xây dựng một phần tử của GM bằng cách nhân một phần tử của Gm theo q, bên cạnh việc chỉ thay đổi hệ số, chúng ta cũng có thể thử
mở rộng vectơ số mũ của một số pα,a ∈G sao cho thừa số mũ mới (α+β)!chứa nhiều hơn một thừa số nguyên tố q so với aα!. Tuy nhiên việc mở rộng số mũ có thể dẫn đến nhiều ước số của M hơn, nên trong trường hợp tổng quát ta cần điều chỉnh lại hệ số. Dễ thấy rằng một khi có β thích hợp được tìm thấy, ta có thể đặt
b= M
gcd(M,(α+beta)!).
Việc tìm kiếm β phù hợp rõ ràng có thể được giới hạn trong các tập được xác định theo điều kiện β 4 (q, . . . , q), tức là ta biết một siêu tập hợp hữu hạn của
B(α, a, q).
Trong thực tế, cả ba trường hợp có thể xảy ra. Xem các ví dụ được đánh số thứ tự trong tất cả các khai triển (số biến, n, bằng 2).
Ví dụ 2.4. G3 ⊂ G6 vì 3! = 6 chứa tất cả các thừa số, xem Ví dụ 2.2 (và để ý đến k = 1) để nhớ lại các phần tử của G3.
Ví dụ 2.5. Với q là số nguyên tố bất kỳ, ta có
p(3,0),2 ∈ G12 vàp(3,0),2.9 ∈ G12.9.
Ví dụ 2.6. Ta có
6(x−1)(x−2)(y−1)(y−2)∈G24.
Ta thử xây dựng một phần tử trong G24.3 theo mở rộng tích của các từ x và y. Vì 6.2!.2! chứa một thừa số nguyên tố là 3, ta thử di chuyển đến tích cần tìm
(x−1)(x−2)(x−3)(y−1)(y−2)(y−3)
mà thu được thêm một thừa số 3 vì 32|Z3!.3!. Lúc này
b= 72
gcd(72,3!.3!) = 2,
và do đó
2(x−1)(x−2)(x−3)(y −1)(y −2)(y −3)∈ G72.