Sau khi tính được một cơ sở Groebner mạnh cực tiểu của I0 ⊂ Zm[x1, . . . , xn], trong mục này ta sẽ biểu diễn lớp thặng dư trongZm[x1, . . . , xn]/I0. Khi ta ràng buộc các hệ số tất cả các đơn thức thì biểu diễn là duy nhất.
Mệnh đề 2.2.1. Mọi lớp thặng dư f¯∈ Zm[x1, . . . , xn]/I0 có biểu diễn duy nhất f ∈Zm[x1, . . . , xn] có dạng f = X α∈{0,1,...,m−1}n aαxα, ở đây 0≤a2 < m gcd(m, α!) với mọi α.
Để được nghiệm thì lúc nào aα cũng có ràng buộc m|Zα!.
Chứng minh. Cho f ∈ Zm[x1, . . . , xn] là một đa thức tùy ý. Giả sử f chứa một đơn thức axα mà a≥ c:= m/gcd(m, α!). Ta có a=kc+r, với k ∈ {1,2, . . .} và 0≤r ≤c. Lúc này m Z mα! gcd(m, α!) hay m|Zcα!, và Pα,c ∈I0 theo Bổ đề 2.1.1.
Ta có f và f0 :=f −kpα,c nằm gọn trong cùng một lớp thặng dư. Hệ số của
xα trong f0 là a−kc=r.
Giả sử có hai biểu diễn f1, f2 của lớp thặng dư của f,
g := f1−f2 hoặc g :=f2−f1,
ta thu được đa thức g ∈ I0. Với
LT(g) =axα và 0≤a < m
gcd(m, α!),
Theo Bổ đề 2.1.2, ta có m|Zaα!. Ta cần chỉ ra rằng a= 0. Ta giả sử
a >0, b := gcd(m, α), ta có m|Zbα!, tức là (m/b)|Zα!. Khi đó ta cũng có m b Z gcd(m, α!) kéo theo m|Zbgcd(m, α!). Nhưng bgcd(m, α!)≤ agcd(m, α!)< m,
nên mâu thuẫn. Do đó a = 0.
Hệ quả 2.2.2. Số các hàm đa thức Znm −→Zm được cho bởi:
N = Y
α∈{0,1,...,m−1}n
m
Số tất cả các hàm số Znm −→ Zm: m(mn) = Y α∈{0,1,...,m−1}n m=N Y α∈{0,1,...,m−1}n gcd(m, α!). Znm −→ Zm Số hàm số Số hàm đa thức m= 22 256 64 m= 28 10616 1016 m= 216 10315 652 1052 m= 232 1041 373 247 567 10184
Do đó nếu m không phải là số nguyên tố sẽ có rất ít các hàm đa thức so với các hàm số.
Ta có thuật toán nhanh cho việc tính toán dạng chuẩn rút gọn.
Thuật toán 1: Dạng chuẩn rút gọn trong Zm[x1, . . . , xn] đối với I0
Input: f ∈Zm[x1, . . . , xn] là một đa thức
> bậc đơn thức bất kỳ trên Zm[x1, . . . , xn]
Output: Dạng chuẩn rút gọn h của f đối với I0 h:= 0
while f 6= 0 do
axα := LT(f)
c := m
gcd(m, α!)
slove a =kc+r with k ∈N and 0≤ r < c h:= h+rxα
f :=f −kpα,c−rxα
end while returrn h
KẾT LUẬN
Nội dung chủ yếu của luận văn là trình bày một số kết quả cơ bản của cơ sở Groebner của iđêan các đa thức trên trường K và của iđêan các đa thức triệt tiêu trong vành đa thức Zm[x1, . . . , xn]. Luận văn đã đạt được một số kết quả sau:
• Định nghĩa thứ tự từ trong vành đa thức K[x1, . . . , xn] trên trường K, với
n ≥ 1. Đưa ra thuật toán chia và cách tính toán cơ sở Groebner của iđêan trong K[x1, . . . , xn] bằng cách sử dụng thuật toán Buchberger. Trình bày chi tiết định nghĩa và một số tính chất của cơ sở Groebner trong vành đa thức K[x1, . . . , xn] trên trường K.
• Trình bày khái niệm cơ sở Groebner của iđêan các đa thức triệt tiêu trong vành đa thức Zm[x1, . . . , xn] và ứng dụng của cơ sở Groebner mạnh cực tiểu của iđêan các đa thức triệt tiêu trong vành đa thức Zm[x1, . . . , xn].
Tuy nhiên do thời gian và năng lực có hạn nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô cũng như các bạn quan tâm để luận văn được hoàn thiện hơn.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
I. Tiếng Việt:
1. Lê Tuấn Hoa (2003), Đại số máy tính cơ sở Groebner, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.
II. Tiếng Anh:
2. Adams W. and Loustaunau P. (2003), An introduction to Groebner bases, AMS.
3. Bigatti A. M., Caboara M., Robbiano L. (2011), “Computing inhomogeneous Groebner bases”, Journal of Symbolic Computation, Vol. 46 (No. 5), pp. 498-510.
4. Cox D., Little J., O’Shea D. (2005), Using Algebraic Geometry, 2 edition, Springer Verlag, New York.
5. Greuel G., Seelisch F., Wienand O. (2011), “The Groebner basis of the ideal of vanishing polynomials”, Journal of Symbolic Computation, Vol. 46 (No. 5), pp. 561-570.
6. Levandovskyy V., Schindelar K. (2011), “Computing diagonal form and Ja- cobson normal form of a matrix using Groebner bases”, Journal of Symbolic Computation, Vol. 46 (No. 5), pp. 595-608.
7. Sato Y., Inoue S., Suzuki A., Nabeshima K., Sakai K. (2011), “Boolean Groebner bases”, Journal of Symbolic Computation, Vol. 46 (No. 5), pp. 622-632.