Dấu của hệ số hilbert của idean m nguyên sơ

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM THỊ CHÂU GIANG ĐỀ TÀI DẤU CỦA HỆ SỐ HILBERT CỦA IĐÊAN M-NGUN SƠ TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU Thừa Thiên Huế, năm 2019 ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM THỊ CHÂU GIANG ĐỀ TÀI DẤU CỦA HỆ SỐ HILBERT CỦA IĐÊAN M-NGUYÊN SƠ Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS CAO HUY LINH Thừa Thiên Huế, năm 2019 Mục lục Trang phụ bìa i Mục lục Mở đầu MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Chiều vành môđun 1.2 Vành thương địa phương hóa 1.3 Dãy quy độ sâu 1.4 Vành Cohen-Macaulay 1.5 Iđêan m-nguyên sơ iđêan tham số 1.6 Vành môđun phân bậc 10 1.7 Độ dài môđun 12 1.8 Hàm Hilbert hệ số Hilbert môđun phân bậc 13 1.9 Đối đồng điều địa phương 14 1.10 Chỉ số quy Castelnuovo-Mumford mơđun phân bậc Số mũ rút gọn iđêan m-nguyên sơ 16 DẤU CỦA HỆ SỐ HILBERT CỦA IĐÊAN M-NGUYÊN SƠ 18 2.1 Hàm Hilbert-Samuel hệ số Hilbert-Samuel 18 2.2 Mối quan hệ hệ số Hilbert-Samuel hệ số Hilbert vành phân bậc liên kết 19 2.3 Dãy phần tử siêu bề mặt 21 2.4 Tính khơng dương hệ số Hilbert iđêan tham số 22 2.5 Dấu hệ số Hilbert iđêan m-nguyên sơ 24 MỞ ĐẦU Hàm Hilbert khái niệm lĩnh vực Đại số giao hoán có nhiều liên hệ mật thiết với bất biến khác số mũ rút gọn, số Hilbert, số quy Castelnuovo-Mumford Việc nghiên cứu hàm Hilbert cho nhiều thông tin cấu trúc vành môđun tương ứng Cho (A, m) vành địa phương Giả sử M A-môđun chiều d I iđêan định nghĩa M Khi hàm Hilbert-Samuel, hay gọi tắt hàm Hilbert M ứng với iđêan I hàm số học xác định HI,M : Z −→ Z n −→ HI,M (n) := λR (M/I n M ), λR (M/I n M ) độ dài môđun M/I n M Samuel người tồn đa thức PI,M (x) bậc d với hệ số hữu tỷ cho HI,M (n) = PI,M (n) với n đủ lớn Đa thức gọi đa thức Hilbert (hay Hilbert-Samuel) M ứng với iđêan I viết dạng PI,M (n) = e0 (I, M ) n+d−1 d − e1 (I, M ) n+d−2 d−1 + · · · + (−1)d ed (I, M ) ei (I, M ); i = 0, 1, , d số nguyên gọi hệ số Hilbert M ứng với iđêan I Đặc biệt hệ số dẫn đầu e0 (I, M ) gọi hệ số bội hệ số e1 (I, M ) gọi hệ số Chern Năm 2008, Vasconcelos đưa giả thuyết tính âm hệ số Chern: "Vành A không Cohen-Macaulay e1 (Q) < với Q iđêan tham số A." Giả thuyết thu hút quan tâm nhiều nhà tốn học nhóm nghiên cứu Goto chứng minh trọn vẹn vào năm 2010 Năm 2011, nhóm tác giả Mandal-Sing-Verma [13] chứng minh tính khơng dương hệ số Chern iđêan tham số Tuy nhiên hệ số Hilbert khác iđêan tham số dương Năm 2013, Lori McCune [16] chứng minh (A, m) vành Noether địa phương có chiều d depth A ≥ d − e2 (Q) ≤ với Q iđêan tham số A Với giả thiết depth GQ (A) ≥ d − 1, Lori McCune [16] chứng minh ei (Q) ≤ với i = 1, , d Tuy nhiên giả thiết depth GQ (A) ≥ d − mà McCune đưa mạnh Năm 2019, Linh-Trung [11] cải tiến kết McCune cách giảm nhẹ giả thiết depth GQ (A) ≥ d − depth GQ (A) ≥ d − thu ei (Q) ≤ với i = 1, , d Nội dung Luận văn tổng quan kết tính khơng dương hệ số Hilbert iđêan tham số khảo sát dấu hệ số Hilbert iđêan m-nguyên sơ Luận văn chia làm hai chương Trong chương 1, chúng tơi trình bày số kiến thức Đại số giao hoán bao gồm Định nghĩa số Bổ đề nhằm hổ trợ cho chứng minh chương sau Trong chương 2, chúng tơi tập trung vào nội dung Luận văn tổng quan kết tính khơng dương hệ số Hilbert iđêan tham số, khảo sát dấu hệ số Hilbert iđêan m-nguyên sơ Trong suốt Luận văn này, R ln vành giao hốn có đơn vị Mặc dù thân cố gắng, song Luận văn khó tránh khỏi số thiếu sót, mong nhận góp ý từ quý Thầy, Cơ bạn để Luận văn hồn thiện CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức đại số giao hoán Hầu hết kiến thức chương trích dẫn từ tài liệu [2], [4], [15], [18] 1.1 Chiều vành môđun Định nghĩa 1.1.1 (1) Cho R vành, với dãy giảm (thực sự) iđêan nguyên tố vành R p0 ⊃ p1 ⊃ ⊃ pd ta gọi d độ dài dãy Chiều vành R độ dài lớn dãy giảm iđêan nguyên tố R, kí hiệu dimR Tức là, dimR := sup d | ∃ p0 ⊃ p1 ⊃ ⊃ pd dãy iđêan nguyên tố R (2) Cho M R-môđun, chiều môđun M dim R M := dimR/ann R (M ) ann R (M ) = {r ∈ R | rM = 0} Ta kí hiệu dimM thay cho dim R M trường hợp khơng có nhầm lẫn vành R Nhận xét 1.1.2 (1) Mỗi iđêan nguyên tố vành thương R/ann R (M ) có dạng p/ann R (M ), với p iđêan nguyên tố vành R chứa ann R (M ) Do đó, chiều vành R/ann R (M ) độ dài lớn dãy giảm iđêan nguyên tố R chứa ann R (M ) Suy dimM ≤ dimR (2) Cho M R-môđun chiều d N R-môđun M Lúc đó, ann R (M ) ⊆ ann R (N ) nên dimN = dimR/ann R (N ) ≤ dimR/ann R (M ) = d Tương tự ta chứng minh dimM/N ≤ d 1.2 Vành thương địa phương hóa Định nghĩa 1.2.1 Cho R vành giao hoán Một tập S R gọi tập nhân đóng 1R ∈ S ∀a, b ∈ S suy ab ∈ S Trên tập R × S = {(a, s) |s ∈ S, a ∈ R} ta định nghĩa quan hệ ∼ sau: (a, s) ∼ (b, t) ⇔ ∃u ∈ S : (at − sb) u = Quan hệ quan hệ tương đương Ta kí hiệu lớp tương đương phần tử (a, s) as (tức as = bt ⇔ (a, s) ∼ (b, t)) S −1 R tập hợp tất lớp tương đương Lúc S −1 R = a | a ∈ R, s ∈ S s Định nghĩa 1.2.2 Cho S tập nhân đóng vành R Khi đó, S −1 R vành giao hoán với hai phép toán xác định sau: ∀a, b ∈ R; s, t ∈ S (a/s) + (b/t) = (at + bs/st) , (a/s) (b/t) = (ab/st) Vành S −1 R gọi vành thương R ứng với S , có đơn vị 1S −1 R = s/s (s ∈ S) phần tử s/t với s, t ∈ S khả nghịch Định nghĩa 1.2.3 Cho M R-môđun S tập nhân đóng vành R, tập thương S −1 M = xs | x ∈ M, s ∈ S với hai phép toán xác định sau: ∀x, y ∈ R; s, t ∈ S (x/s) + (y/t) = (xt + ys/st) , (x/s) (y/t) = (xy/st) S −1 R-môđun gọi môđun thương M S Nhận xét 1.2.4 (1) Cho R miền nguyên Khi đó, tập S := R \ {0} tập nhân đóng R Do đó, ta có vành thương R ứng với S S −1 R = a |a ∈ R, s ∈ R \ {0} s Trong trường hợp ta có S −1 R trở thành trường gọi trường thương miền nguyên R ứng với S (2) Cho p ∈ Spec(R), tập S = R \ p tập nhân đóng R Khi đó, vành thương R ứng với S kí hiệu Rp gọi địa phương hóa vành R ứng với iđêan nguyên tố p Rp = a | a ∈ R, s ∈ /p , s IRp = a | a ∈ I, s ∈ /p , s iđêan Rp có dạng với I iđêan R (3) Cho M R-môđun S = R \ p mơđun S −1 M kí hiệu Mp gọi mơđun địa phương hóa p m | m ∈ M, s ∈ /p Mp = s Định nghĩa 1.2.5 Một vành R gọi vành địa phương có iđêan cực đại m kí hiệu (R, m) Nhận xét 1.2.6 Tập hợp tất iđêan nguyên tố p ∈ Spec(R) cho Mp = 0, gọi giá M, kí hiệu Supp(M ), tức Supp(M ) = {p ∈ Spec(R) | Mp = 0} 1.3 Dãy quy độ sâu Định nghĩa 1.3.1 Cho M R-môđun Phần tử x ∈ R gọi phần tử M quy với z ∈ M thỏa xz = z = 0, nói cách khác x khơng ước M Kí hiệu tập hợp phần tử M -chính quy R N ZDR (M ) Định nghĩa 1.3.2 Cho M R-môđun Một dãy x = x1 , , xn phần tử R gọi M -dãy quy hay nói ngắn gọn M -dãy điều kiện sau thỏa mãn: (1) x1 phần tử M -chính quy xi phần tử M/(x1 , , xi−1 )M -chính quy với i = 2, , n; (2) M/xM = Một dãy quy R-dãy Nhận xét 1.3.3 (1) Một M -dãy quy yếu thỏa mãn điều kiện (1) Định nghĩa 1.3.2 Số phần tử M -dãy x gọi độ dài dãy (2) Giả sử (R, m) vành địa phương Noether M = R-môđun hữu hạn sinh Nếu x ⊆ m điều kiện (2) Định nghĩa 1.3.2 ln thỏa mãn theo bổ đề Nakayama Hơn nữa, phần tử R không thuộc m khả nghịch nên để điều kiện (2) thỏa mãn M -dãy quy phải nằm m Mệnh đề 1.3.4 [4, Corollary 1.1.3] Cho R vành Noether, M R-môđun hữu hạn x môt M -dãy Giả sử iđêan nguyên tố p ∈ Supp(M ) chứa x Lúc x (là dãy Rp ) Mp -dãy Định nghĩa 1.3.5 (1) Cho M R-môđun I iđêan R Một M -dãy x (chứa I ) gọi M -dãy cực đại (trong I ) x1 , , xn , xn+1 M -dãy với xn+1 ∈ R (2) Cho R vành Noether, M R-môđun hữu hạn sinh I iđêan R thỏa IM = M Khi đó, độ dài M -dãy cực đại I gọi bậc iđêan I M , kí hiệu depth(I, M ) Nếu IM = M ta quy ước depth(I, M ) = ∞ (3) Nếu (R, m) vành địa phương Noether M R-mơđun M -dãy nằm m Vì vậy, bậc m M gọi độ sâu mơđun M Kí hiệu depth M Do depth M = depth(m, M ) Ta tính depth(I, M ) thông qua công thức cho định lý sau Định lý 1.3.6 [4, Proposition 1.2.10] Cho R vành Noether; M R-môđun hữu hạn sinh; I, J iđêan R Khi (1) depth(I, M ) = inf{depth Mp | p ∈ V (I)}, với V (I) tập iđêan nguyên tố chứa I ; √ (2) depth(I, M ) = depth( I, M ); (3) depth(I ∩ J, M ) = min{depth(I, M ); depth(J, M )}; (4) Nếu x = x1 , , xn M -dãy I depth(I/(x), M/xM ) = depth(I, M/xM ) = depth(I, M ) − n Đặc biệt, ta có depth M/xM = depth M − n Mệnh đề 1.3.7 [4, Proposition 1.2.12] Cho (R, m) vành Noether địa phương, M = R-môđun hữu hạn sinh Khi depth M ≤ dimM Tức độ sâu môđun M nhỏ chiều môđun M Mệnh đề 1.3.8 [4, Proposition 1.2.14] Cho R vành Noether I iđêan R Khi depth(I, R) ≤ height(I) 1.4 Vành Cohen-Macaulay Định nghĩa 1.4.1 Cho (R, m) vành địa phương Noether, M = R-môđun hữu hạn sinh (1) M gọi môđun Cohen-Macaulay depth M = dimM (2) M gọi môđun hầu Cohen-Macaulay depth M ≥ dimM − Nhận xét 1.4.2 (1) Cho R vành Noether M = R-môđun hữu hạn sinh Nếu M môđun CohenMacaulay Mp mơđun Cohen-Macaulay với iđêan ngun tố p ∈ Supp M (2) Vành Noether R gọi vành Cohen-Macaulay R-mơđun CohenMacaulay (3) Vành Noether R gọi vành hầu Cohen-Macaulay R-mơđun hầu Cohen-Macaulay Sau chúng tơi trình bày số tính chất quan trọng vành môđun CohenMacaulay dimE = d Tồn QE (t) ∈ Z[t] với QE (1) = để P (E, t) = QE (t) (1 − t)d Mệnh đề 1.8.4 [4, Proposition 4.1.9] Cho E = môđun phân bậc hữu hạn sinh với dimE = d Khi (i) ei (E) = QE (1) i! với i = 0, , d − Hơn nữa, e0 (E) = QE (1) Định nghĩa 1.8.5 Cho R = Rn vành phân bậc liên kết vành địa phương n∈Z Artin, E R-môđun phân bậc hữu hạn sinh Số nguyên dương nhỏ cho từ vị trí trở hàm Hilbert hE đa thức pE gọi số Hilbert E , kí hiệu p(E) p(E) = max {n | hE (n) = pE (n)} = {n | hE (n + 1) = pE (n + 1)} Mệnh đề 1.8.6 [4, Proposition 4.1.12] Cho E = môđun phân bậc hữu hạn sinh s bi ti với bs = Khi p(E) = s − d với dimE = d QE (t) = i=0 1.9 Đối đồng điều địa phương (0 : an ) Định nghĩa 1.9.1 Cho M R-mơđun a iđêan R Lúc Γa (M ) = n∈N M gọi môđun a-xoắn R-môđun M Nhận xét 1.9.2 (1) Γa (M ) môđun môđun M (2) Γa (M ) = m ∈ M | an m = với n số tự nhiên (3) Γ0 (M ) = M ΓR (M ) = Định nghĩa 1.9.3 (1) Cho M, N R-môđun f : M −→ N đồng cấu R-mơđun Lúc Γa (f ) xác định Γa (f ) : Γa (M ) −→ Γa (N ) x −→ f (x) đồng cấu R-môđun 14 (2) Kí hiệu M od(R) phạm trù R-môđun Xét tương ứng Γa : M od(R) −→ M od(R) M −→ Γa (M ) f : M −→ N −→ Γa (f ) : Γa (M ) −→ Γa (N ) x −→ f (x) Γa hàm tử hiệp biến, gọi hàm tử a-xoắn hay nói ngắn gọn hàm tử xoắn Nhận xét 1.9.4 (1) Hàm tử Γa có tính khớp trái, nghĩa từ dãy khớp ngắn R-môđun f g −→ M −→ N −→ E −→ ta thu dãy khớp Γa (f ) Γa (g) −→ Γa (M ) −→ Γa (N ) −→ E (2) Hàm tử Γa có tính cộng tính Định nghĩa 1.9.5 Xét giải thức nội xạ tối tiểu M / i M / d0 / E0 E1 d1 / d2 / E2 ··· Áp dụng hàm tử Γa ta có phức cảm sinh / Γa (E ) Γa (d0 ) / Γa (E ) Γa (d1 ) / Γa (E ) Γa (d2 ) Γ (d3 ) / Γa (E ) a / ··· Đối đồng điều địa phương thứ i môđun M ứng với iđêan a kí hiệu Hai (M ) xác định Hai (M ) = Ker(Γa (di ))/Im(Γa (di−1 )), ∀i ≥ Với quy ước d−1 = Dưới tính chất quan trọng đối đồng điều địa phương, gọi Định lý triệt tiêu Grothendieck Định lý 1.9.6 [4, Theorem 3.5.7] Cho (R, m) vành Noether địa phương, M Rmôđun hữu hạn sinh với depth M = t dimM = d Khi (1) Hmi (M ) = với i < t i > d; 15 (2) Hmt (M ) = Hmd (M ) = Nhận xét 1.9.7 (1) Nếu M R-mơđun Hm0 (M ) ∼ = Γm (M ) (2) Hmi (M ) môđun Artin (3) Nếu M R-mơđun Cohen-Macaulay dimM = depth M nên từ Định lí 1.9.6, ta có Hmi (M ) = với i = d (4) Nếu R vành phân bậc M R-môđun hữu hạn sinh Hmi (M ) R-mơđun phân bậc Hmi (M )n = với n 1.10 Chỉ số quy Castelnuovo-Mumford mơđun phân bậc Số mũ rút gọn iđêan m-nguyên sơ Cho R = Rn đại số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh vành địa phương R0 n≥0 Đặt R+ = Rn iđêan sinh phần tử bậc dương R Cho n∈N E= n∈Z i (E) môđun đối En R-môđun phân bậc hữu hạn với dimE = d Kí hiệu HR + đồng điều địa phương thứ i E ứng với iđêan R+ Ta biết HRi + (E) R-môđun phân bậc HRi + (E)n = với n đủ lớn Với i ∈ N0 đặt  sup{n | H i (E)n = 0} H i (E) = 0, R+ R+ (E) = −∞ HRi + (E) = Định nghĩa 1.10.1 Chỉ số quy Castelnuovo-Mumford mơđun phân bậc E định nghĩa reg(E) = max{ai (E) + i | i ≥ 0} Trong trường hợp (A, m) vành địa phương Noether I iđêan m-nguyên sơ A Chỉ số quy Castelnuovo-Mumford vành phân bậc liên kết G(I) reg(G(I)) = max{ai (G(I)) + i | i ≥ 0} Định nghĩa 1.10.2 Cho (A, m) vành địa phương Noether I iđêan m-nguyên sơ A 16 (1) Iđêan J ⊆ I gọi rút gọn I JI n = I n+1 với n ∈ N0 (2) Số nguyên n không âm nhỏ thỏa mãn JI n = I n+1 gọi số mũ rút gọn I ứng với J , kí hiệu rJ (I) rJ (I) = n ∈ N0 JI n = I n+1 (3) Nếu J ⊆ I rút gọn I khơng có rút gọn khác I chứa J J gọi rút gọn cực tiểu I (4) Số mũ rút gọn I , kí hiệu r(I), xác định r (I) = rJ (I) J rút gọn cực tiểu I Bổ đề 1.10.3 [3, Lemma 3.2] Cho (A, m) vành địa phương Noether có dimA = d I iđêan m-nguyên sơ Khi ad (G (I)) + d ≤ r (I) ≤ reg (G (I)) Nhận xét 1.10.4 Cho (A, m) vành địa phương Noether có dimA = d I iđêan m-nguyên sơ (1) Nếu Q iđêan tham số r (Q) = dẫn đến ad (G (Q)) + d ≤ Từ suy ad (G (Q)) < với d ≥ (2) G I k ≤ 0, ∀i ≤ d k ≥ r = reg(G(I)) + (Xem [7, Lemma 2.4]) (3) Nếu depth (A) ≥ s + depth (G (I)) = s as (G(I)) < as+1 (G(I)) (Xem [8, Theorem 5.2]) 17 CHƯƠNG DẤU CỦA HỆ SỐ HILBERT CỦA IĐÊAN M-NGUYÊN SƠ 2.1 Hàm Hilbert-Samuel hệ số Hilbert-Samuel Định nghĩa 2.1.1 Cho (A, m) vành Noether địa phương I iđêan m-nguyên sơ A Cho M = A-mơđun hữu hạn sinh Khi đó, ta định nghĩa hàm Hilbert-Samuel môđun M ứng với iđêan I hàm số học HI,M : Z −→ N0  λ(M/I n M ) n ≥ n −→ HI,M (n) = 0 n < Trong trường hợp M = A ta kí hiệu hàm Hilbert-Samuel môđun A ứng với iđêan I HI HI xác định công thức  λ(A/I n ) n ≥ HI (n) = 0 n < Mệnh đề 2.1.2 Tồn đa thức PI,M ∈ Q[x] có bậc d = dimM cho HI,M (n) = PI,M (n) với n đủ lớn Đa thức PI,M gọi đa thức Hilbert-Samuel môđun M ứng với iđêan I 18 biểu diễn dạng d (−1)i ei (I, M ) PI,M (n) = n+d−i−1 d−i i=0 = e0 (I, M ) − e1 (I, M ) n+d−1 d n+d−2 d−1 + ··· + (−1)d ed (I, M ) Trong ei (I, M ) với i = 0, 1, , d số nguyên gọi hệ số HilbertSamuel môđun M ứng với iđêan I Đặc biệt, hệ số e0 gọi số bội hệ số e1 gọi hệ số Chern Trường hợp M = A, ta viết ei (I) thay cho ei (I, A) Định nghĩa 2.1.3 Cho (A, m) vành Noether địa phương I iđêan m-nguyên sơ A Cho M = A-môđun hữu hạn sinh Số nguyên dương nhỏ cho từ vị trí trở hàm Hilbert-Samuel HI,M đa thức PI,M nhau, gọi số Hilbert-Samuel M ứng với iđêan I , kí hiệu n(I, M ) Hay nói cách khác n(I, M ) = max n | HI,M (n) = PI,M (n) = n0 | HI,M (n + 1) = PI,M (n + 1), ∀n ≥ n0 Trong trường hợp M = A, ta viết n(I) thay cho n(I, A) 2.2 Mối quan hệ hệ số Hilbert-Samuel hệ số Hilbert vành phân bậc liên kết Cho (A, m) vành địa phương I iđêan m-nguyên sơ, M A-mơđun hữu hạn sinh Kí hiệu GI (M ) = ⊕ I n M I n+1 M G (I)-môđun phân bậc liên kết M ứng n>0 với iđêan I Hàm Hilbert môđun phân bậc liên kết GI (M ) xác định hGI (M ) : Z −→ Z n −→ hGI (M ) (n) = λ(I n M/I n+1 M ) Tồn đa thức pGI (M ) ∈ Q[x] có bậc d − cho hGI (M ) (n) = pGI (M ) (n) với n đủ lớn Đa thức pGI (M ) gọi đa thức Hilbert môđun phân bậc liên kết GI (M ) 19 biểu diễn dạng pGI (M ) = e0 (GI (M )) n+d−1 − e1 (GI (M )) d−1 n+d−2 d−2 + ··· + (−1)d−1 ed−1 (GI (M )) Trong ei (GI (M )) với i = 0, 1, , d − số nguyên gọi hệ số Hilbert môđun phân bậc liên kết GI (M ) dim(GI (M )) = dim(A) = d Mối liên hệ hệ số Hilbert-Samuel hệ số Hilbert môđun phân bậc liên kết thể qua bổ đề sau Bổ đề 2.2.1 Cho (A, m) vành địa phương I iđêan m-nguyên sơ, M A-môđun hữu hạn sinh với dimM = dimGI (M ) = d Khi ei (GI (M )) = ei (I, M ) , ∀i = 0, , d − Định nghĩa 2.2.2 Cho (A, m) vành địa phương, I iđêan m-nguyên sơ G (I) = ⊕ I n I n+1 vành phân bậc liên kết A ứng với I Chuỗi lũy thừa hình thức với hệ n≥0 số nguyên +∞ hG(I) (n)tn P (G(I), t) = n=0 gọi chuỗi Hilbert vành phân bậc liên kết G(I) +∞ (I n /I n+1 )tn Như vậy, P (G (I), t) = n=0 Mệnh đề 2.2.3 [4, Corollary 4.1.8] Cho G(I) vành phân bậc liên kết A ứng với iđêan I có dim(G(I)) = d Tồn QG(I) (t) ∈ Z[t] với QG(I) (1) = để P (G(I), t) = QG(I) (t) (1 − t)d Mệnh đề 2.2.4 [4, Proposition 4.1.9] Cho G(I) vành phân bậc liên kết A ứng với iđêan I có dim(G(I)) = d Khi (i) ei (G(I)) = QG(I) (1) i! với i = 0, , d − Hơn nữa, e0 (G(I)) = QG(I) (1) 20 Bổ đề 2.2.5 [3, Lemma 3.1] Cho (A, m) vành địa phương I iđêan m-nguyên sơ Khi p (G(I)) = n (I) + Bổ đề 2.2.6 Cho (A, m) vành địa phương Noether với dimA = d ≥ 1, L = Hm0 (A) A-môđun I iđêan m-nguyên sơ Đặt A¯ = A/L I¯ = I A¯ Khi ¯ với i = 0, , d − 1; (1) ei (I) = ei (I) ¯ + (−1)d λ (L) (2) ed (I) = ed (I) Hệ 2.2.7 Cho (A, m) vành địa phương Noether với dimA = 1, L = Hm0 (A) A-môđun Nếu Q iđêan tham số e1 (Q) = −λ (L) < 2.3 Dãy phần tử siêu bề mặt Định nghĩa 2.3.1 Cho (A, m) vành địa phương Noether I iđêan A (1) Phần tử x ∈ I gọi phần tử siêu bề mặt I tồn số nguyên c cho I n+1 : x ∩ I c = I n với n ≥ c (2) Một dãy x1 , , xk gọi dãy siêu bề mặt I x1 phần tử siêu bề mặt I xi phần tử siêu bề mặt I/(x1 , , xi−1 ) với ≤ i ≤ k Nhận xét 2.3.2 (1) Cho (A, m) vành địa phương Noether có chiều d ≥ I iđêan m-nguyên sơ Giả sử x phần tử siêu bề mặt I (x) iđêan tham số, tức dim(A/(x)) = dimA − = d − (Xem [19], Corollary 5.10) (2) Cho (A, m) vành địa phương Noether,và I iđêan m-nguyên sơ Nếu A/m hữu hạn ln tồn phần tử siêu bề mặt I (Xem [19], Proposition 5.12) Bổ đề 2.3.3 [16, Proposition 3.1] Cho (A, m) vành địa phương Noether có chiều d ≥ I iđêan m-nguyên sơ A Cho x ∈ I \ mI phần tử siêu bề mặt I Đặt A¯ = A/(x) I¯ = I A¯ = I/(x) Khi ¯ A¯ với i = 0, , d − 2; (1) ei (I) = ei I, ¯ A¯ + (−1)d λ (0 : x) (2) ed−1 (I) = ed−1 I, 21 2.4 Tính khơng dương hệ số Hilbert iđêan tham số Bổ đề 2.4.1 [9, Lemma 2.2] Cho (A, m) vành Noether địa phương có chiều d J iđêan m-nguyên sơ A Giả sử y1 , , yk dãy siêu bề mặt J với ≤ k ≤ d − Đặt Ak = A/(y1 , , yk ) Jk = JAk Khi depth (G (Jk )) ≥ ⇔ depth (G (J)) ≥ k + Bổ đề 2.4.2 [6, Proposition 2.2] Cho J iđêan vành A Đặt σJ (k) = depth(G(J k )), σJ (k) số với k Kí hiệu số σ(J) Bổ đề 2.4.3 Cho (A, m) vành Noether địa phương có chiều d ≥ J iđêan m-nguyên sơ A Nếu depth(A) ≥ σJ (k) ≥ với k ≥ r = reg(G(J)) + Nhận xét 2.4.4 Cho (A, m) vành địa phương Noether có chiều d J iđêan m-ngun sơ Nếu depth (A) ≥ s khơng thiết depth G J k ≥ s với s ≥ Ta có bổ đề sau Bổ đề 2.4.5 [6, Theorem 2.4] Cho (A, m) vành Noether địa phương có chiều d ≥ depth (A) ≥ r Cho J iđêan m-nguyên sơ x1 , , xs dãy phần tử siêu bề mặt J với ≤ s ≤ r Với k đủ lớn, đặt I = J k y1 = x1 k , , ys = xs k Cho Ai = A/(y1 , , yi ) Ii = IAi Các mệnh đề sau tương đương: (1) depth (G (I)) ≥ s; (2) I n ∩ (y1 , , ys ) = (y1 , , ys ) I n−1 với n = 2, , s Bổ đề 2.4.6 [5, Proposition 2.8] Cho (A, m) vành địa phương Noether có chiều d J iđêan m-nguyên sơ Lúc ed (J) = ed J k , ∀k ≥ Nhận xét 2.4.7 Cho (A, m) vành địa phương Noether có chiều d Q iđêan A Khi (−1)d ed (Q) = PQ (0) − HQ (0) Mối liên hệ đa thức Hilbert hàm Hilbert ứng với iđêan m-nguyên sơ thiết lập qua bổ đề sau 22 Bổ đề 2.4.8 [14, Lemma 1.3] Cho (A, m) vành địa phương Noether chiều d J iđêan m-nguyên sơ Lúc d i (−1)i λ HG(J) (G (J) n) + PJ (n) − HJ (n) = i=0 Cho (A, m) vành địa phương Noether I iđêan A Nhận xét 2.4.9 i (1) HG(I) (G (I)) = với i < depth (G (I)) , i > dim (G (I)) + (2) depth G I k ≥ depth (G (I)) với k ≥ (Theo [6, Proposition 2.2]) Ta khảo sát tính khơng dương hệ số Hilbert iđêan tham số qua mệnh đề Mệnh đề 2.4.10 [13, Theorem 3.5] Cho (A, m) vành Noether địa phương M A-môđun hữu hạn có chiều d, Q iđêan tham số Khi e1 (Q) ≤ Như vậy, e1 (Q) ≤ với iđêan tham số Q A Trong hệ số Hilbert khác iđêan tham số dương Định lý 2.4.11 [16, Theorem 3.5] Cho (A, m) vành Noether địa phương có chiều d ≥ Q iđêan tham số A Nếu depth(A) ≥ d − e2 (Q) ≤ Hơn nữa, McCune [16] chứng minh ei (Q) ≤ với i = 1, , d depth(G(Q)) ≥ d − Định lý 2.4.12 [16, Corollary 4.5] Cho (A, m) vành Noether địa phương có chiều d ≥ Q iđêan tham số A Nếu depth(G (Q)) ≥ d−1 ei (Q) ≤ với i = 1, , d Tuy nhiên giả thiết depth G(Q) ≥ d − mà McCune đưa mạnh Linh-Trung [11] cải tiến kết McCune cách giảm nhẹ giả thiết depth G(Q) ≥ d − depth G(Q) ≥ d − thu ei (Q) ≤ với i = 1, , d Định lý 2.4.13 [11, Theorem 1] Cho (A, m) vành địa phương Noether có dim(A) = d ≥ depth(A) ≥ d−1 Giả sử Q iđêan tham số A thỏa mãn depth (G (Q)) ≥ d−2 ei (Q) ≤ với i = 1, , d Mệnh đề 2.4.14 [10, Proposition 3.5] Cho (A, m) vành Noether địa phương có dim(A) = d ≥ depth(A) ≥ d − Giả sử Q iđêan tham số thỏa mãn σ(Q) ≥ d − Khi ed (Q) ≤ 23 Hệ 2.4.15 [10, Corollary 3.6] Cho (A, m) vành Noether địa phương có dim(A) = depth(A) ≥ Giả sử Q iđêan tham số A thỏa σ(Q) ≥ Khi ei (Q) ≤ với i = 1, 2, 3, Hệ 2.4.16 [10, Corollary 3.7] Cho (A, m) vành Noether địa phương có chiều d ≥ depth (A) ≥ d − Giả sử Q iđêan tham số A Khi ei (Q) ≤ với i = 1, 2, 2.5 Dấu hệ số Hilbert iđêan m-nguyên sơ Trong mục này, cho (A, m) vành địa phương Noether có chiều d, J iđêan mnguyên sơ A Kí hiệu vành phân bậc liên kết vành A ứng với iđêan J G (J) = ⊕ J n J n+1 Đặt r = reg(G(J)) + n≥0 Mệnh đề 2.5.1 Cho (A, m) vành Cohen-Macaulay có chiều d ≥ Cho J iđêan m-nguyên sơ thỏa mãn σJ (r) ≥ d − Khi ed (J) ≥ Hệ 2.5.2 Cho (A, m) vành Cohen-Macaulay có chiều d ≥ Cho J iđêan m-nguyên sơ thỏa mãn depth (G (J)) ≥ d − Khi ei (J) ≥ với i = 1, , d Bổ đề 2.5.3 [7, Lemma 2.7] Cho (A, m) vành địa phương Noether chiều d J iđêan m-nguyên sơ Lúc r(J n ) ≤ ]r(J) + − s(J)[ + s(J) − n với ]a[= min{m ∈ Z | m ≥ a} s(J) = dimG(J) ⊕ A/m phân tích mở rộng J Định lý 2.5.4 Cho (A, m) vành Noether địa phương có chiều d ≥ depth (A) ≥ d − Cho J iđêan m-nguyên sơ A thỏa mãn r(J) ≤ d − σJ (r) ≥ d − Khi ed (J) ≤ Hệ 2.5.5 Cho (A, m) vành Cohen-Macaulay có chiều d ≥ Cho J iđêan 24 m-nguyên sơ thỏa mãn σJ (r) ≥ d − r(J) ≤ d − Khi ed (J) = Định nghĩa 2.5.6 Một iđêan I gọi iđêan tiệm cận chuẩn tồn số nguyên k ≥ cho I n đóng nguyên vẹn với n ≥ k Nhận xét 2.5.7 (1) Cho (A, m) vành Noether địa phương có depth (A) = s ≥ Cho J iđêan mnguyên sơ tiệm cận chuẩn A Khi depth(G(J n )) ≥ với n Theorem 7.3]) (Theo [17, (2) Cho (A, m) vành địa phương Cohen-Macaulay có chiều Cho J iđêan m-nguyên sơ K rút gọn cực tiểu J Nếu J iđêan tiệm cận chuẩn A rK (J) ≤ e4 (J) ≤ 0.(Theo [12, Theorem 1.5]) Hệ mở rộng kết Nhận xét 2.5.7 (2) Hệ 2.5.8 Cho (A, m) vành Noether địa phương có chiều d = depth (A) ≥ Cho J iđêan m-nguyên sơ tiệm cận chuẩn A thỏa mãn r(J) ≤ Khi e4 (J) ≤ Hệ 2.5.9 Cho (A, m) vành Noether địa phương có chiều d = depth (A) ≥ Cho J iđêan m-nguyên sơ A thỏa mãn r(J) ≤ σJ (r) ≥ Khi ei (J) ≤ với i = 2, 3, Hệ 2.5.10 Cho (A, m) vành Noether địa phương có chiều d ≥ depth (A) ≥ d − Cho J iđêan m-nguyên sơ A thỏa mãn r(J) ≤ Khi ei (J) ≤ với i = 2, Hệ 2.5.11 Cho (A, m) vành Noether địa phương có chiều d ≥ depth (A) ≥ d − Cho J iđêan m-nguyên sơ A Nếu r(J) ≤ depth(G(J)) ≥ d − ei (J) ≤ với i = 2, , d 25 KẾT LUẬN Trong Luận văn này, đạt số kết sau: - Tổng quan kết tính khơng dương hệ số Hilbert iđêan tham số - Khảo sát dấu hệ số Hilbert iđêan m-nguyên sơ Cụ thể: · Tính khơng dương hệ số Hilbert iđêan m-nguyên sơ (Định lý 2.5.4) · Tính không âm hệ số Hilbert iđêan m-nguyên sơ (Mệnh đề 2.5.1) 26 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] C H Linh, V D Trung (2013), Hệ số Hilbert iđêan tham số, Tạp chí khoa học Đại học Huế, 87(9) Tiếng Anh [2] M F Atiyah and I G Macdonald (1969), Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley Publishing Company [3] M Brodmann and C H Linh (2014), Castelnuovo-Mumford regularity, postulation numbers and relation types, J Algebra 419, 124-140 [4] W Bruns and J Herzog (1993), Cohen-Macaulay rings, Cambridge University Press [5] J Elias (2013), On the last Hilbert-Samuel coefficient of isolated singularities, Journal of Algebra, 394, 285-295 [6] J Elias (2004), Depth of higher associated graded rings, Journal of the London Mathematical Society, 70, 41-58 [7] L T Hoa (1993), Reduction numbers and Rees algebra of power of an ideal, Proc Amer Math Soc, 119 (2), 415-422 [8] L T Hoa (1996), Reduction numbers of equimultiple ideals , J Pure Appl Algebra 109, 111-126 [9] S Huckaba and T Marley (1997), Hilbert coefficients and the depths of associated graded rings, J London Math Soc 56 (2), 64-76 [10] C H Linh (2019), Castelnuovo-Mumford regularity and Hilbert coefficients of parameter ideals, Taiwanese Journal of Mathematics, 23(5), 1115-1131 27 [11] C H Linh, V D Trung (2019), Hilbert coeficients and the depths of associated graded rings of parameter ideals, to appear in Vietnam Journal in Mathematics, 47 (2), 431-422 [12] A Mafy and D Nadery (2018), Results on the Hilbert coefficients and reduction numbers [13] M Mandal, B Singh and J K Verma (2011), On some conjectures about the Chern numbers of filtration, Journal of Algebra, 325, 147-162 [14] T Marley (1993), The reduction number of an ideal and the local eohomology of the associated graded rings, Proc Amer Math Soc 117, 335-341 [15] H Matsumura (1986), Commutative Ring Theory, Cambridge University Press, Cambridge [16] L McCune (2013), Hilbert coefficients of parameter ideals, J Commutative Algebra, 5(3), 399-412 [17] T J Puthenpurakal (2007), Ratliff-Rush filtration, regularity and depth of higher associated graded modules, past I, J Pure and Appl Algebra, 208, 159-176 [18] R Y Sharp (2000), Steps in Commutative Algebra, Cambridge University Press, Cambridge [19] J K Verma (2008), Hilbert coefficients and depth of the associated graded ring of an ideal 28 ... iđêan m- nguyên sơ 16 DẤU CỦA HỆ SỐ HILBERT CỦA IĐÊAN M- NGUYÊN SƠ 18 2.1 H? ?m Hilbert- Samuel hệ số Hilbert- Samuel 18 2.2 M? ??i quan hệ hệ số Hilbert- Samuel... (Xem [8, Theorem 5.2]) 17 CHƯƠNG DẤU CỦA HỆ SỐ HILBERT CỦA IĐÊAN M- NGUYÊN SƠ 2.1 H? ?m Hilbert- Samuel hệ số Hilbert- Samuel Định nghĩa 2.1.1 Cho (A, m) vành Noether địa phương I iđêan m- nguyên sơ. .. (M )) với i = 0, 1, , d − số nguyên gọi hệ số Hilbert m? ?đun phân bậc liên kết GI (M ) dim(GI (M )) = dim(A) = d M? ??i liên hệ hệ số Hilbert- Samuel hệ số Hilbert m? ?đun phân bậc liên kết thể qua