Tính không dương của hệ số hilbert của idêan tham số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TÔN NỮ THÙY DUYÊN ĐỀ TÀI TÍNH KHƠNG DƯƠNG CỦA HỆ SỐ HILBERT CỦA IĐÊAN THAM SỐ Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS CAO HUY LINH Thành phố Huế - 2018 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi, số liệu kết nghiên cứu ghi Luận văn trung thực Tôn Nữ Thùy Duyên LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Cao Huy Linh, người thầy tận tâm hướng dẫn, giúp đỡ động viên tơi q trình học tập lớp cao học q trình hồn thành Luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy, cô khoa Toán trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế truyền đạt cho tơi kiến thức bổ ích, làm tảng để tơi hồn thành Luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn bạn, anh, chị cao học viên Khóa K25 nhiệt tình giúp đỡ tơi suốt q trình học tập Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu quý thầy, cô giáo trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm tạo điều kiện thuận lợi để tơi tham gia hồn thành khóa học Cuối cùng, tơi xin cảm ơn gia đình bạn bè ln động viên, giúp đỡ tơi vượt qua khó khăn trình học tập, đặc biệt q trình hồn thành Luận văn Tơn Nữ Thùy Dun Mục lục Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Mở đầu MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Vành thương địa phương hóa 1.2 Chiều vành môđun 1.3 Dãy quy độ sâu 1.4 Iđêan m-nguyên sơ iđêan tham số 1.5 1.6 1.7 1.8 4 10 Vành môđun phân bậc 1.5.1 Vành môđun Cohen-macaulay 1.5.2 Độ dài môđun Hàm Hilbert hệ số Hilbert môđun phân bậc Đối đồng điều địa phương Số mũ rút gọn iđêan m-nguyên sơ 11 13 14 15 17 19 TÍNH KHƠNG DƯƠNG CỦA HỆ SỐ HILBERT 20 2.1 Hàm Hilbert-Samuel hệ số Hilbert-Samuel 20 2.2 2.3 2.4 Mối quan hệ hệ số Hilbert-Samuel hệ số Hilbert vành phân bậc liên kết 21 Dãy phần tử siêu bề mặt 24 Tính khơng dương hệ số Hilbert iđêan tham số 24 MỞ ĐẦU Cho (A, m) vành giao hốn địa phương có chiều d Giả sử I iđêan m-nguyên sơ vành A Hàm số học HI : Z −→ N n −→ HI (n) :=  λ(A/I n ) n ≥ 0 n < 0, gọi hàm Hilbert-Samuel I Samuel chứng minh đươc tồn đa thức PI có hệ số hữu tỉ thỏa PI (n) = HI (n) với n đủ lớn Đa thức gọi đa thức Hilbert-Samuel ứng với iđêan I viết dạng PI (n) = e0 (I) n+d−1 − e1 (I) d n+d−2 d−1 + + (−1)d ed (I), ei (I) số nguyên gọi hệ số Hilbert I Đặc biệt hệ số e0 (I) dương gọi số bội e1 (I) gọi hệ số Chern Mục đích luận văn nghiên cứu tính khơng dương hệ số Hilbert iđêan tham số vành hầu Cohen-Macaulay Hệ số Hilbert bất biến đại số giao hoán Các hệ số Hilbert chứa nhiều thông tin cấu trúc vành mơđun tương ứng nên thu hút quan tâm nhiều nhà toán học Năm 2008, Vasconcelos đưa số giả thuyết hệ số Chern bật giả thuyết tính âm hệ số Chern: "Vành A không CohenMacaulay e1 (Q) < với iđêan tham số Q A" Giả thuyết thu hút quan tâm nhiều nhà toán học giải thành cơng nhóm nghiên cứu Goto vào năm 2010 Trong q trình giải giả thuyết tính âm hệ số Chern, Mandal-Sing-Verma [15] chứng minh e1 (Q) với iđêan tham số Q vào năm 2010 Tuy nhiên hệ số Hilbert khác dương Năm 2013, McCune [16] chứng minh depth(A) d − (với d chiều vành A) e2 (Q) Bên cạnh đó, [16] với giả thiết độ sâu vành phân bậc liên kết depth GQ (A) d − 1, McCune chứng minh ei (Q) với i = 1, , d Tuy nhiên, giả thiết depth GQ (A) d − mà McCune đưa mạnh Năm 2013, Linh-Trung [2] cải tiến kết McCune qua định lý sau: Định lý 2.4.15: Cho (A, m) vành địa phương Noether có dim(A) = d depth(A) d − Giả sử I iđêan m-nguyên sơ Q iđêan tham số Nếu depth (G (Q)) d − ei (Q) 0, ∀i = 1, , d Để chứng minh định lý này, Linh-Trung sử dụng hàm sai phân hàm f = HQ − PQ (hàm sai phân f ∆f = f (n + 1) − f (n)) Trong luận văn này, chứng minh lại kết phương pháp khác Chúng dùng kết Hoa [10] (G (I n )) 0, ∀n để kiểm soát hệ số Hilbert Ưu điểm phương pháp suy tính khơng dương hệ số e3 (Q) Hệ 2.4.17: Nếu d depth (A) d − ei (Q) 0, ∀i = 1, 2, Luận văn chia làm hai chương Trong Chương 1, chúng tơi trình bày số kiến thức Đại số giao hoán bao gồm khái niệm số bổ đề nhằm hỗ trợ cho chứng minh chương sau Trong Chương 2, chúng tơi tập trung vào nội dung luận văn khảo sát tính khơng dương hệ số Hilbert ứng với iđêan tham số, cụ thể kết Linh-Trung Sau chúng tơi dùng phương pháp khác để chứng minh lại kết Linh-Trung Mặc dù thân có nhiều cố gắng, song luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, mong nhận góp ý từ q Thầy giáo bạn để luận văn hoàn thiện CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức đại số giao hoán như: vành thương địa phương hóa, chiều vành mơđun, dãy quy độ sâu, iđêan nguyên sơ iđêan tham số, vành môđun phân bậc, hàm Hilbert hệ số Hilbert môđun phân bậc, số Hilbert, đối đồng điều địa phương, số mũ rút gọn iđêan m-nguyên sơ, vành môđun Cohen-Macaulay Các kiến thức trình bày nhằm mục đích tham khảo cho nội dung chương sau Hầu hết kiến thức trình bày chương trích dẫn từ tài liệu [3], [5], [6], [10], [11], [13], [17], Trong suốt chương này, R vành giao hốn có đơn vị 1.1 Vành thương địa phương hóa Định nghĩa 1.1.1 Cho R vành giao hoán Một tập S R gọi tập nhân đóng 1R ∈ S ∀a, b ∈ S suy ab ∈ S Trên tập S × R = {(s, a) /s ∈ S, a ∈ R} ta định nghĩa quan hệ ∼ sau: (s, a) ∼ (t, b) ⇔ ∃u ∈ S : u (at − sb) = Quan hệ quan hệ tương đương Ta kí hiệu as lớp tương đương phần tử (s, a) (tức là: as = bt ⇔ (s, a) ∼ (t, b))và S −1 R tập hợp tất lớp tương đương Lúc đó: S −1 R = a |a ∈ R, s ∈ S s Định nghĩa 1.1.2 Cho S tập nhân đóng vành R Khi đó, S −1 R vành giao hoán với hai phép toán xác định sau: ∀s, t ∈ S, a, b ∈ R (s, a) + (t, b) ∼ (st, at + bs) (s, a) (t, b) ∼ (st, ab) Vành S −1 R gọi vành thương R ứng với S , có đơn vị 1S −1 R = (s, s) (s ∈ S) phần tử (s, t) với s, t ∈ S khả nghịch Cho M R-môđun S tập nhân đóng với phép nhân R, tập thương S −1 M = xs |x ∈ M, s ∈ S S −1 R-môđun gọi mơđun thương M S Ví dụ 1.1.3 Cho R = Z S := Z\ {0} tập nhân đóng R Do đó, ta có vành thương R ứng với S S −1 R = S −1 Z = n | n ∈ Z, m = = Q m Nhận xét 1.1.4 (1) Cho R miền nguyên Khi đó, tập S := R \ {0} tập nhân đóng R Do đó, ta có vành thương R ứng với S S −1 R = a | a ∈ R, s ∈ R \ {0} s Trong trường hợp ta có S −1 R trở thành trường gọi trường thương miền nguyên R ứng với S (2) Cho p ∈ Spec(R), tập S = R \ p tập nhân đóng R Khi vành thương R ứng với S kí hiệu Rp gọi địa phương hóa vành R ứng với iđêan nguyên tố p: Rp = a | a ∈ R, s ∈ /p s iđêan Rp có dạng IRp = a | a ∈ I, s ∈ /p , s với I iđêan R (3) Cho M R-môđun S = R \ p mơđun S −1 M kí hiệu Mp gọi mơđun địa phương hóa p Mp = m | m ∈ M, s ∈ /p s Định nghĩa 1.1.5 Một vành R gọi vành địa phương có iđêan cực đại m kí hiệu (R, m) Ví dụ 1.1.6 (1) Với iđêan nguyên tố p R Rp vành địa phương với iđêan cực đại pRp = a | a ∈ p, s ∈ /p s (2) Trong vành Z, iđêan pZ (với p nguyên tố) iđêan cực đại Do Z khơng phải vành địa phương Nhận xét 1.1.7 Tập hợp tất iđêan nguyên tố p ∈ Spec(R) cho Mp = 0, gọi giá M, kí hiệu Supp(M ), tức Supp(M ) = {p ∈ Spec(R) | Mp = 0} 1.2 Chiều vành môđun Định nghĩa 1.2.1 (1) Cho R vành, với dãy giảm (thực sự) iđêan nguyên tố vành R p0 ⊃ p1 ⊃ ⊃ pd ta gọi d độ dài dãy Ta định nghĩa chiều vành R độ dài lớn dãy giảm iđêan nguyên tố R, kí hiệu dimR Tức là, dimR := sup d | ∃ p0 ⊃ p1 ⊃ ⊃ pd dãy iđêan nguyên tố R (2) Cho M R-môđun, chiều môđun M dim R M := dimR/annR (M ) annR (M ) = {r ∈ R |rM = 0} Ta kí hiệu dimM thay cho dim R M trường hợp khơng có nhầm lẫn vành R Ví dụ 1.2.2 (1) Cho R = k [x1 , x2 , , xn ] vành đa thức n biến trường k Ta có (x1 , x2 , , xn ) ⊃ (x1 , x2 , , xn−1 ) ⊃ ⊃ (x1 ) ⊃ (0) dãy giảm cực đại iđêan nguyên tố R Do dimR [13, Corrolary 5.6] ta suy dimR = n n Từ (2) Trong vành số nguyên Z, iđêan nguyên tố khác (0) Z có dạng pZ với p số nguyên tố không tồn iđêan nguyên tố chứa thực pZ Từ suy dãy giảm iđêan nguyên tố Z có độ dài lớn phải có dạng pZ ⊃ (0) Vậy dim Z = Nhận xét 1.2.3 (1) Mỗi iđêan nguyên tố vành thương R/annR (M ) có dạng p/annR (M ), với p iđêan nguyên tố R chứa annR (M ) Do đó, chiều vành R/annR (M ) độ dài lớn dãy giảm iđêan nguyên tố R chứa annR (M ) Từ suy dimM ≤ dimR (2) Cho M R−mơđun có chiều d N R−mơđun M Lúc đó, annR (N ) ⊇ annR (M ) nên dimN = dimR/annR (N ) ≤ dimR/annR (M ) = d Tương tự ta chứng minh dimM/N ≤ d Định nghĩa 1.2.4 Cho R vành giao hốn khác khơng p iđêan nguyên tố R Khi đó, độ cao p, kí hiệu ht(p), định nghĩa sau: ht(p) = sup n ∃ p0 ⊂ p1 ⊂ ⊂ pn = p dãy iđêan nguyên tố R Nhận xét 1.2.5 Từ định nghĩa chiều vành độ cao iđêan nguyên tố ta thu tính chất sau: (1) Nếu p1 ⊆ p2 ht(p1 ) ≤ ht(p2 ) Hơn nữa, dấu "=" xảy p1 = p2 (2) Nếu dimR hữu hạn dimR = sup ht(p) | p iđêan nguyên tố R = sup ht(m) | m iđêan cực đại R Định nghĩa 1.2.6 Cho I iđêan vành giao hốn R Khi đó, độ cao iđêan I định nghĩa sau: ht(I) = ht(p) p iđêan nguyên tố R chứa I Cho I iđêan vành R Ta gọi iđêan nguyên tố p R iđêan nguyên tố tối tiểu I p chứa I không tồn iđêan nguyên tố nằm thực I p Ta kí hiệu tập iđêan nguyên tố tối tiểu I Min(I ) CHƯƠNG TÍNH KHƠNG DƯƠNG CỦA HỆ SỐ HILBERT 2.1 Hàm Hilbert-Samuel hệ số Hilbert-Samuel Định nghĩa 2.1.1 Cho (A, m) vành Noether địa phương I iđêan mnguyên sơ A Cho M A-mơđun hữu hạn sinh khác khơng Khi đó, ta định nghĩa hàm Hilbert-Samuel môđun M ứng với iđêan I hàm số học: HM : Z −→ N0 n −→ HM (n) =  λ(M/I n M ) n ≥ 0 n < Nhận xét 2.1.2 (1) Nếu xét A môđun ta có hàm Hilbert-Samuel vành A ứng với iđêan I cho công thức  λ(A/I n ) n ≥ HA (n) = n < 0 (2) Tương tự hàm Hilbert môđun phân bậc, Samuel chứng minh tồn đa thức PM ∈ Q[x] có bậc d = dimM cho HM (n) = PM (n) với n đủ lớn Đa thức PM gọi đa thức Hilbert-Samuel iđêan I môđun M biểu diễn dạng PM (n) = e0 (I, M ) n+d−1 −e1 (I, M ) d 20 n+d−2 d−1 +· · ·+(−1)d ed (I, M ) Hay d (−1)i ei (I, M ) PM (n) = i=0 n+d−i−1 d−i Các hệ số ei (I, M ) với i = 0, 1, , d số nguyên chúng gọi hệ số Hilbert-Samuel môđun M ứng với iđêan I Đặc biệt, hệ số e0 gọi số bội hệ số e1 gọi hệ số Chern Trường hợp M = A, ta viết ei (I) = ei (I, A) gọi hệ số Hilbert iđêan I (3) Chỉ số Hilbert-Samuel môđun M ứng với iđêan I xác định sau: nM (I) = max {n|HM (n) = PM (n)} = {n|HM (n) = PM (n)} viết n(I) thay cho nA (I) 2.2 Mối quan hệ hệ số Hilbert-Samuel hệ số Hilbert vành phân bậc liên kết Trong mục ta xem xét mối liên hệ hệ số Hilbert-Samuel hệ số Hilbert vành phân bậc liên kết Trước tiên, ta cần nắm định nghĩa hàm Hilbert vành phân bậc liên kết Định nghĩa 2.2.1 Cho (A, m) vành địa phương I iđêan m-nguyên sơ, M R-mơđun hữu hạn sinh Lúc đó, ta có hàm Hilbert môđun phân bậc liên kết GI (M ) xác định sau : hGI (M ) : Z −→ N0 n −→ hGI (M ) (n) = λ(I n M/I n+1 M ) Với n đủ lớn, tồn đa thức pGI (M ) (n) đa thức Hilbert môđun phân bậc liên kết GI (M ) biểu diễn dạng: pGI (M ) = e0 (GI (M )) n+d−1 d−1 −e1 (GI (M )) n+d−2 d−2 +· · ·+(−1)d−1 ed−1 (GI (M )) với ei (GI (M )), i = 0, 1, , d − hệ số Hilbert môđun phân bậc liên kết GI (M ) d = dimA = dimGI (M ) 21 Mối liên hệ hệ số Hilbert-Samuel hệ số Hilbert môđun phân bậc liên kết thể qua bổ đề sau: Bổ đề 2.2.2 ei (GI (M )) = ei (I, M ) , ∀i = 0, , d − Chứng minh Theo tính chất độ dài mơđun ta có: λ(M/I n+1 M ) = λ(M/IM ) + λ(IM/I M ) + + λ(I n M/I n+1 M ) Từ ta có mối liên hệ hàm Hilbert môđun phân bậc liên kết GI (M ) hàm Hilbert-Samuel môđun M ứng với iđêan I sau: HI,M (n + 1) = hGI (M ) (0) + hGI (M ) (2) + + hGI (M ) (n), ∀n ≥ Từ đẳng thức suy hGI (M ) (n) = HI,M (n + 1) − HI,M (n) ∀n ≥ Do pGI (M ) (n) = PI,M (n + 1) − PI,M (n), Ta lại có PI,M (n + 1) = e0 (I, M ) n+d −e1 (I, M ) d n+d−1 + ···+ d−1 (−1)d ed (I, M ) PI,M (n) = e0 (I, M ) n+d−1 −e1 (I, M ) d n+d−2 + ···+ d−1 (−1)d ed (I, M ) Suy PI,M (n + 1) − PI,M (n) = e0 (I, M ) n+d−1 d−1 −e1 (I, M ) n+d−2 + ···+ d−2 (−1)d−1 ed−1 (I, M ) Đồng hệ số đẳng thức pGI (M ) = PI,M (n) − PI,M (n − 1) ta có ei (GI (M )) = ei (I, M ), ∀i = 0, 1, , d − 22 Như hệ số Hilbert-Samuel môđun M ứng với iđêan I hệ số Hilbert môđun phân bậc liên kết GI (M ) trùng Do đó, để thuận tiện ta gọi hệ số Hilbert-Samuel mơđun M ứng với iđêan I hệ số Hilbert môđun M ứng với iđêan I Bổ đề 2.2.3 [4, Lemma 3.1] p (GI (A)) = n (I) + Bổ đề 2.2.4 Cho L môđun môđun A cho λ(L) < +∞, I iđêan m-nguyên sơ Lúc  ei (I, A/L) i = 0, , d − 1; ei (I, A) = e (I, A/L) + (−1)d λ (L) i = d d Chứng minh Ta có λ (A/I n ) = λ (A/I n + L) + λ (I n + L/I n ) Đặt A¯ = A/L Lúc λ (A/I n ) = λ A¯ I n A¯ + λ (I n + L/I n ) = λ A¯ I n A¯ + λ (L/(I n ∩ L)) Mặt khác, I ∩ L ⊃ I ∩ L ⊃ I ∩ L ⊃ Vì λ (L) < +∞ nên I n ∩ L = với n đủ lớn Từ suy ra, với n đủ lớn ta có λ (A/I n ) = λ A¯ I n A¯ + λ (L) Do ei (I, A) = ei I, A¯ , i = 0, , d − ⇒ (−1)d ed (I, A) = (−1)d ed I, A¯ + λ (L) ⇒ ed (I, A) = ed I, A¯ + (−1)d λ (L) (A) dim (A) = Nếu Q iđêan tham số ta Hệ 2.2.5 Cho L = Hm có: e1 (Q, M ) = −λ (L) < 23 2.3 Dãy phần tử siêu bề mặt Định nghĩa 2.3.1 (1) Cho (A, m) vành địa phương Noether I iđêan A Phần tử x ∈ I gọi phần tử siêu bề mặt I tồn số nguyên c cho I n+1 : x ∩ I c = I n với n c (2) Một dãy x1 , , xk gọi dãy siêu bề mặt I x1 phần tử siêu bề mặt I xi phần tử siêu bề mặt I/(x1 , , xi−1 ) với i k Nhận xét 2.3.2 (1) Nếu x phần tử siêu bề mặt Qn+1 : x ∼ Qn = (0:A x) , ∀n (2) Cho (A, m) vành địa phương Noether, |A/m| = ∞ ln tồn phần tử siêu bề mặt (xem [19], Proposition 5.12) (3) Nếu x phần tử siêu bề mặt A dim (A/xA) = d − (Xem [19, Corollary 5.10]) Bổ đề 2.3.3 [15, Theorem 3.3] Cho (A, m) vành Noether địa phương có chiều d 2, I iđêạn m-nguyên sơ x phần tử siêu bề mặt I Đặt A¯ = A/(x) I¯ = I A¯ = I/(x) ta có khẳng định sau: ¯ A¯ với i = 0, , d − 2; (1) ei (I) = ei I, ¯ A¯ + (−1)d λ (0 : x) (2) ed−1 (I) = ed−1 I, 2.4 Tính không dương hệ số Hilbert iđêan tham số Cho (A, m) vành địa phương Noether, Q iđêan tham số Với hàm f = HQ − PQ ta định nghĩa hàm sai phân f ∆f = f (n + 1) − f (n) Mệnh đề 2.4.1 [2, Mệnh đề 3.3] Cho (A, m) vành địa phương Noether có chiều d > depth A d − Giả sử Q iđêan tham số A cho depth GQ (A) d − Khi đó, (a) (−1)d+1 PQ (n) − HQ (n) với n 24 −d; (b) (−1)d ∆ PQ (n) − HQ (n) −d với n Trong [2] Linh-Trung sử dụng mệnh đề để đưa đến kết sau: Định lý 2.4.2 [2, Định lý 3.7] Cho (A, m) vành địa phương Noether có dim(A) = d depth(A) d − Giả sử I iđêan m-nguyên sơ Q iđêan tham số Nếu depth (G (Q)) d − ei (Q) 0, ∀i = 1, , d Trong mục ta chứng minh kết phương pháp khác Trước tiên, ta khảo sát tính khơng dương hệ số Chern Mệnh đề 2.4.3 [15, Theorem 3.6] Cho (A, m) vành Noether địa phương M mơđun hữu hạn sinh có chiều d, Q iđêan tham số Lúc đó, e1 (Q, M ) Chứng minh Từ Hệ 2.2.5 ta dễ dàng suy mệnh đề với d = Với d = ta đặt Q = (x, y) x, y dãy siêu bề mặt Q Xét dãy khớp: x → M (0 : x) − → M → M /xM → 0 vào dãy khớp ta thu dãy Tác động Hm g x 0 0 → Hm (M /(0 : x)) − → Hm (M ) → − Hm (M /xM ) → C → Trong C = cokerg Xét dãy khớp sau: → (0 : x) → M → M /(0 : x) → 0 vào dãy khớp ta thu dãy Tác động Hm 0 0 → Hm (0 : x) → Hm (M ) → Hm (M /(0 : x)) → 0 (0 : x) = (0 : x), ta có Vì Hm 0 λ (0 : x) = λ Hm (M ) − λ Hm (M /(0 : x)) (M /xM ) hai vế phương trình ta có Trừ λ Hm 0 0 λ (0 : x) − λ Hm (M /xM ) = λ Hm (M ) − λ Hm (M /xM ) − λ Hm (M /(0 : x)) Từ dãy khớp thứ (2) ta có 0 λ Hm (M /(0 : x)) − λ Hm (M ) + λ Hm (M /xM ) = λ (C) 25 Do đó, ta có (M /xM ) = λ (C) λ (0 : x) − λ Hm Theo Bổ đề 2.3.3 ta có ¯ = e1 (Q) − λ (0 : x) e1 Q (M /xM ) ¯ = −λ Hm Theo Hệ 2.2.5, e1 Q Vì e1 (Q) = λ (0 : x) − λ Hm (M /xM ) = −λ (C) ¯ = Q/(a) dim Q ¯ = Với d = 3, gọi a ∈ Q phần tử siêu bề mặt Đặt Q ¯ (theo Bổ đề 2.3.3) Từ giả thiết quy nạp ta suy e1 Q ¯ e1 (Q) = e1 Q Do e1 (Q) Với d > ta chứng minh phương pháp quy nạp Cho a1 , , ad−2 dãy ¯ = Q/(a1 , , ad−2 ) Lúc đó: dim Q ¯ = phần tử siêu bề mặt Q Đặt Q ¯ Từ giả thiết quy nạp ta suy e1 Q ¯ e1 (Q) = e1 Q Vậy e1 (Q) Mệnh đề cho ta biết e1 (Q) với iđêan tham số Q Tuy nhiên [16] McCune đưa ví dụ chứng tỏ hệ số Hilbert khác iđêan tham số nhận giá trị dương Ví dụ 2.4.4 [16, Example 3.7] Cho A = k [x, y, z, u, v, w]/I I = (x + y, z − u, w)∩ (z, u − v, y) ∩ (x, u, w) Q = (u − y, z + w, x − v) Khi đó, A vành khơng trộn lẫn có chiều d = độ sâu Q iđêan tham số với PQ (n) = n+2 +2 n+1 +n Suy e0 (Q) = 3, e1 (Q) = −2, e2 (Q) = > Định lý 2.4.5 [16, Theorem 3.5] Cho (A, m) vành Noether địa phương có chiều d Q iđêan tham số A Nếu depth A d − e2 (Q) Định lý 2.4.6 [16, Corollary 4.5] Cho (A, m) vành Noether địa phương có chiều d Q iđêan tham số A thỏa depth G (Q) d − ei (Q) với i = d Tuy nhiên giả thiết depth G (Q) d − mạnh Linh-Trung [2, Định lý 3.7] cải tiến kết cách giảm nhẹ giả thiết depth G (Q) d − depth G (Q) d − 26 Trong [2] Linh-Trung sử dụng hàm sai phân với Mệnh đề 2.4.1 để kiểm soát hệ số Hilbert Chúng chứng minh định lý phương pháp khác Sau số bổ đề mà sử dụng cho việc chứng minh Bổ đề 2.4.7 Cho (A, m) vành địa phương Noether có chiều d depth (A) Giả sử I iđêan m-nguyên sơ Nếu depth A với k đủ lớn depth G I k 1 Chứng minh Ta có: GI (A) = ⊕ I n I n+1 n Theo (2) Nhận xét 1.8.2, với số k đủ lớn G I k 0, ∀i Theo (3) Nhận xét 1.8.2, a0 G I k < a1 G I k k = 0 k vành G I k nên H Ta biết HG(I k )+ G I G(I k )+ G I a0 G I k 0 k = Vậy depth G I k Do HG(I k )+ G I depth G I k > hay với k đủ lớn Nhận xét 2.4.8 Cho (A, m) vành địa phương Noether có chiều d I iđêan m-ngun sơ Nếu depth (A) s khơng thiết depth (G (I n )) s Ta có bổ đề sau Bổ đề 2.4.9 [7, Theorem 2.4] Cho (A, m) vành Noether địa phương có chiều d depth (A) r Cho J iđêan m-nguyên sơ x1 , , xs dãy phần tử siêu bề mặt J , s r Với k đủ lớn, ta đặt I = J k y1 = x1 k , , ys = xs k Cho Ai = A/(y1 , , yi ) Ii = IAi Các mệnh đề sau tương đương (1) depth (G (J)) s (2) I n ∩ (y1 , , ys ) = (y1 , , ys ) I n−1 với n = 2, , s 27 Bổ đề 2.4.10 [12, Lemma 2.2] Cho (A, m) vành Noether địa phương I iđêan m-nguyên sơ A Giả sử y1 , y2 , , yk dãy siêu bề mặt I với k d − Đặt A¯ = A/(y1 , , yk ) I¯ = I A¯, lúc đó, depth G I¯ ⇔ depth (G (I)) k + Bổ đề 2.4.11 [8, Proposition 2.8] Cho (A, m) vành địa phương Noether có chiều d I iđêan m-nguyên sơ Lúc đó: ed (I) = ed I k , ∀k Nhận xét 2.4.12 Với Q iđêan tham số, ta có (−1)d ed (Q) = PQ (0) − HQ (0) Chứng minh Ta có PQ (n) = e0 (Q) n+d−1 − e1 (Q) n+d−2 d d−1 + · · · + (−1)d ed (Q) Từ dẫn đến PQ (0) = e0 (Q) 0+d−1 0+d−2 −e1 (Q) d−1 d +· · ·+(−1)d ed (Q) = (−1)d ed (Q) Mà HQ (0) = Do (−1)d ed (Q) = PQ (0) − HQ (0) Mối liên hệ đa thức Hilbert hàm Hilbert ứng với iđêan tham số thiết lập qua bổ đề sau Bổ đề 2.4.13 [14, Lemma 1.3] Cho (A, m) vành địa phương Noether chiều d Q iđêan m-nguyên sơ Lúc đó: d i (−1)i λ HG+ (G (Q) n) PQ (n) − HQ (n) = i=0 28 Nhận xét 2.4.14 (1) i (G (I)) = HG+ với i < depth (G (I)) , i > dim (G (I)) (2) depth G I k depth (G (I)) với k (Theo [7, Proposition 2.2]) Bây ta chứng minh Định lý Định lý 2.4.15 Cho (A, m) vành địa phương Noether có dim(A) = d depth(A) d − Giả sử I iđêan m-nguyên sơ Q iđêan tham số Nếu depth (G (Q)) d − ei (Q) 0, ∀i = 1, , d Chứng minh Theo Bổ đề 2.4.11, ta có: ed (Q) = ed (Qn ) theo Nhận xét 2.4.14 depth (G (Qn )) d−2 Mà depth (G (Q)) Mặt khác nên depth (G (Q)) depth (G (Qn )) d−2 (G (Qn )) = −∞, ∀i < d − 2, i > d Theo Nhận xét 1.8.2, ad−2 (G (Qn )) < ad−1 (G (Qn )) ad (G (Qn )) < d−2 d (G (Qn )) = Suy HG+ (G (Qn ))0 = HG+ Ta lại có (−1)d ed (Q) = (−1)d ed (Qn ) = PQ (0) − HQ (0) d d d−1 i (−1)i λ HG+ (G (Qn ))0 = (−1)d−1 λ HG+ (G (Qn ))0 n (−1) ed (Q ) = i=0 d−1 ed (Qn ) = −λ HG+ (G (Qn ))0 Theo Bổ đề 2.4.11, ed (Q) = ed (Qn ) 29 0 - Với d = 2, ta có: e2 (Q) = e2 (Qn ) Và e1 (Q) theo Mệnh đề 2.4.3 ¯ = QA¯ - Với d ta đặt A¯ = A/(x) Q ¯ ¯ Ta có dim A¯ = d − depth G Q d − Suy ed−1 (Q) = ed−1 Q ¯ = QA¯ Lúc đó: Đặt A¯ = A/(x1 , , xd−i ) Q dim A¯ = i Theo giả thiết ta có: depth (G (Q)) d−2 Nên theo Bổ đề 2.4.10, ¯ depth G Q d − − (d − i) ¯ Bằng phương pháp quy nạp, ta giả sử ei Q Theo Bổ đề 2.3.3, ta có ¯ ei (Q) = ei Q Vậy ei (Q) i − 0, ∀i = 1, , d Tiếp đến ta khảo sát tính khơng dương hệ số e3 (Q) hầu Cohen-Macaulay Mệnh đề 2.4.16 Nếu d depth (A) d − e3 (Q) vành Chứng minh Với n đủ lớn theo Bổ đề 2.4.7 ta có depth (G (Qn )) Với d = 3, áp dụng Định lý 2.4.15 ta suy e3 (Q) Với d > 3, ta đặt 1, ∀n ¯ = QA¯ A¯ = A/(x1 , , xd−3 ), Q Lúc đó: dim A¯ = depth (G (Qn )) Theo Bổ đề 2.3.3 ta suy ¯ = e3 Q ¯n e3 (Q) = e3 Q Từ mệnh đề ta thu hệ sau Hệ 2.4.17 Cho (A, m) vành Noether địa phương có chiều d iđêan tham số Nếu depth (A) d − ei (Q) 0, ∀i = 1, 2, Chứng minh Ta có e1 (Q) theo Mệnh đề 2.4.3 Theo Mệnh đề 2.4.5 e2 (Q) Và e3 (Q) với d > theo Mệnh đề 2.4.16 30 Q KẾT LUẬN Trong luận văn này, chủ yếu tổng quan lại kết đạt hệ số Hilbert iđêan tham số Q Ngoài sử dụng phương pháp khác để đưa chứng minh khác kết Linh-Trung [2] tính khơng dương hệ số Hilbert iđêan tham số trường hợp độ sâu vành phân bậc liên kết lớn d − (với d chiều vành) Các kết luận văn đạt là: - Tổng quan lại kết liên quan đến tính khơng dương hệ số Hilbert - Đưa cách chứng minh khác kết Linh-Trung Từ suy tính khơng dương hệ số Hilbert Mặc dù thân có nhiều cố gắng, song luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, mong nhận góp ý từ quý Thầy cô giáo bạn để luận văn hoàn thiện 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] N T Cường (2003), Giáo trình đại số đại, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội [2] C H Linh, V D Trung (2013), Hệ số Hilbert iđêan tham số, Tạp chí khoa học Đại học Huế, 87(9) Tiếng Anh [3] M F Atiyah and I G Macdonald (1969), Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley Publishing Company [4] M Brodmann and C H Linh (2014), Castelnuovo-Mumford regularity, postulation numbers and relation types, J Algebra 419, 124-140 [5] M Brodmann and R Y Sharp (1998), Local cohomology - an algebraic introduction with geometric applications, Cambridge University Press [6] W Bruns and J Herzog (1993), Cohen-Macaulay rings, Cambridge University Press [7] J Elias (2004), Depth of higher associated graded rings, Journal of the London Mathematical Society 70, 41-58 [8] J Elias (2013), On the last Hilbert-Samuel coefficient of isolated singularities, Journal of Algebra 394, 285-295 [9] L Ghezzi, J Hong and W V Vasconcelos (2009), The signature of the Chern of Noetherian rings, Math Res Lett 16, 279-289 [10] L T Hoa (1993), Reduction numbers and Rees algebra of power of an ideal, Proc Amer Math Soc 119, No.2, 415-422 [11] L T Hoa (1996), Reduction numbers of equimultiple ideals , J Pure Appl Algebra 109, 111-126 32 [12] S Huckaba and T Marley (1997), Hilbert coefficients and the depths of associated graded rings, J London Math Soc (2) 56, 64-76 [13] H Matsumura (1986), Commutative Ring Theory, Cambridge University Press, Cambridge [14] T Marley (1993), The reduction number of an ideal and the local eohomology of the associated graded rings, Proc Amer Math Soc., 117, 335-341 [15] M Mandal, B Singh and J K Verma (2010), On some conjectures about the Chern numbers of filtration, Journal of Algebra, 147-162 [16] L McCune (2013), Hilbert coefficients of parameter ideals, J Commutative Algebra 5, no 3, 399-412 [17] R Y Sharp (2000), Steps in Commutative Algebra, Cambridge University Press, Cambridge [18] W V Vasconcelos (2008), The Chern coefficients of local rings, Michigan Math J 57, 725-743 [19] J K Verma (2008), Hilbert coefficients and depth of the associated graded ring of an ideal 33 Xác nhận cán hướng dẫn Ý KIẾN CỦA HỘI ĐỒNG BẢO VỆ LUẬN VĂN Chủ tịch hội đồng 34 ... TÍNH KHƠNG DƯƠNG CỦA HỆ SỐ HILBERT 20 2.1 Hàm Hilbert- Samuel hệ số Hilbert- Samuel 20 2.2 2.3 2.4 Mối quan hệ hệ số Hilbert- Samuel hệ số Hilbert vành phân bậc... ed (I), ei (I) số nguyên gọi hệ số Hilbert I Đặc biệt hệ số e0 (I) dương gọi số bội e1 (I) gọi hệ số Chern Mục đích luận văn nghiên cứu tính khơng dương hệ số Hilbert iđêan tham số vành hầu Cohen-Macaulay... i=0 n+d−i−1 d−i Các hệ số ei (I, M ) với i = 0, 1, , d số nguyên chúng gọi hệ số Hilbert- Samuel môđun M ứng với iđêan I Đặc biệt, hệ số e0 gọi số bội hệ số e1 gọi hệ số Chern Trường hợp M