2 TÍNH KHÔNG DƯƠNG CỦA HỆ SỐ HILBERT
2.4 Tính không dương của hệ số Hilbert của iđêan tham số
tham số
Cho (A,m) là vành địa phương Noether, Q là iđêan tham số. Với hàm
f =HQ−PQ ta định nghĩa hàm sai phân của f là ∆f =f(n+ 1)−f(n).
Mệnh đề 2.4.1. [2, Mệnh đề 3.3] Cho (A,m) là vành địa phương Noether có chiều d > 0 và depthA > d − 1. Giả sử Q là iđêan tham số của A sao cho
depthGQ(A)>d−2. Khi đó,
(b) (−1)d∆ PQ(n)−HQ(n)>0 với mọi n>−d.
Trong [2] Linh-Trung đã sử dụng mệnh đề này để đưa đến kết quả sau:
Định lý 2.4.2. [2, Định lý 3.7] Cho (A,m) là vành địa phương Noether có
dim(A) = d>2và depth(A)>d−1. Giả sử I là iđêan m-nguyên sơ vàQ là iđêan tham số. Nếu depth (G(Q))>d−2 thì ei(Q)60,∀i= 1, ..., d.
Trong mục này ta sẽ chứng minh kết quả trên bằng một phương pháp khác. Trước tiên, ta khảo sát tính không dương của hệ số Chern.
Mệnh đề 2.4.3. [15, Theorem 3.6] Cho (A,m) là vành Noether địa phương và
M là môđun hữu hạn sinh có chiều d, Qlà iđêan tham số. Lúc đó, e1(Q, M)60. Chứng minh. Từ Hệ quả 2.2.5 ta dễ dàng suy ra mệnh đề đúng với d= 1. Với d= 2 ta đặt Q= (x, y) trong đó x, y là dãy siêu bề mặt của Q.
Xét dãy khớp:
0→M.(0 : x)−→x M →M/xM →0
Tác động Hm0 vào dãy khớp trên ta thu được dãy
0→Hm0 (M/(0 :x))−→x Hm0 (M)−→g Hm0 (M/xM)→C →0
Trong đó C =cokerg. Xét dãy khớp sau:
0→(0 :x)→M →M/(0 :x)→0
Tác động Hm0 vào dãy khớp trên ta thu được dãy
0→Hm0 (0 : x)→Hm0 (M)→Hm0 (M/(0 :x))→0
Vì Hm0 (0 : x) = (0 :x), ta có
λ(0 :x) =λ Hm0 (M)−λ Hm0 (M/(0 :x))
Trừ λ Hm0 (M/xM) hai vế của phương trình ta có
λ(0 :x)−λ Hm0 (M/xM)=λ Hm0 (M)−λ Hm0 (M/xM)−λ Hm0 (M/(0 :x))
Từ dãy khớp thứ (2) ta có
Do đó, ta có λ(0 : x)−λ Hm0 (M/xM)=λ(C) Theo Bổ đề 2.3.3 ta có e1 Q¯=e1(Q)−λ(0 :x) Theo Hệ quả 2.2.5, e1 Q¯=−λ H0 m(M/xM) Vì vậy e1(Q) =λ(0 : x)−λ Hm0 (M/xM)=−λ(C)60
Với d = 3, gọi a ∈ Q là phần tử siêu bề mặt. Đặt Q¯ = Q/(a) thì dim Q¯ = 2 và e1(Q) = e1 Q¯(theo Bổ đề 2.3.3). Từ giả thiết quy nạp ta suy rae1 Q¯60. Do đó e1(Q)60.
Với d > 3 ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp. Cho a1, ..., ad−2 là dãy phần tử siêu bề mặt của Q. Đặt Q¯ = Q/(a1, ..., ad−2). Lúc đó: dim Q¯ = 2 và
e1(Q) = e1 Q¯. Từ giả thiết quy nạp ta suy ra e1 Q¯60. Vậy e1(Q)60. Mệnh đề trên cho ta biết e1(Q) 6 0 với mọi iđêan tham số Q. Tuy nhiên trong [16] McCune đã đưa ra ví dụ chứng tỏ các hệ số Hilbert khác của iđêan tham số có thể nhận giá trị dương.
Ví dụ 2.4.4.[16, Example 3.7] ChoA=k[x, y, z, u, v,w]/I trong đóI = (x+y, z−u,w)∩
(z, u−v, y)∩(x, u,w) và Q= (u−y, z+w, x−v). Khi đó, A là vành không trộn lẫn có chiều d= 3 và độ sâu bằng 1 và Q là iđêan tham số với
PQ(n) = 3 n+ 2 3 ! + 2 n+ 1 2 ! +n Suy ra e0(Q) = 3, e1(Q) = −2, e2(Q) = 1>0.
Định lý 2.4.5. [16, Theorem 3.5] Cho (A,m) là vành Noether địa phương có chiều d>2 và Q là iđêan tham số của A. Nếu depthA> d−1 thì e2(Q)60.
Định lý 2.4.6. [16, Corollary 4.5] Cho (A,m) là vành Noether địa phương có chiều d> 2 và Q là iđêan tham số của A thỏa depthG(Q)>d−1 thì ei(Q)60
với mọi i= 1...d.
Tuy nhiên giả thiết depthG(Q) > d−1 khá mạnh. Linh-Trung [2, Định lý 3.7] đã cải tiến kết quả trên bằng cách giảm nhẹ giả thiết depthG(Q)>d−1 là
Trong [2] Linh-Trung đã sử dụng hàm sai phân cùng với Mệnh đề 2.4.1 để kiểm soát hệ số Hilbert. Chúng tôi sẽ chứng minh định lý trên bằng một phương pháp khác. Sau đây là một số bổ đề mà chúng tôi sử dụng cho việc chứng minh.
Bổ đề 2.4.7. Cho(A,m)là vành địa phương Noether có chiều dvàdepth (A)>1. Giả sử I là iđêan m-nguyên sơ. Nếu depthA>1 thì với k đủ lớn
depth G Ik>1.
Chứng minh. Ta có: GI(A) = ⊕ n>0
InIn+1
Theo (2) Nhận xét 1.8.2, với mọi số k đủ lớn thì
ai G Ik60,∀i>0
Theo (3) Nhận xét 1.8.2,
a0 G Ik< a1 G Ik60.
Ta biết rằng HG0(Ik)+G Ik là vành con của G Ik nên nếu HG0(Ik)+G Ik 6= 0
thì a0 G Ik>0.
Do đó HG0(Ik)+G Ik= 0. Vậy depth G Ik>0 hay
depth G Ik>1
với mọi k đủ lớn.
Nhận xét 2.4.8. Cho (A,m) là vành địa phương Noether có chiều d và I là iđêan m-nguyên sơ. Nếu depth (A)>s thì không nhất thiết depth (G(In))>s.
Ta có bổ đề sau.
Bổ đề 2.4.9. [7, Theorem 2.4] Cho (A,m) là vành Noether địa phương có chiều
d> 3 và depth (A) >r. Cho J là iđêan m-nguyên sơ và x1, ..., xs là dãy phần tử siêu bề mặt của J, 26s6r. Với k đủ lớn, ta đặt I =Jk và y1=x1k, ..., ys =xsk. Cho Ai=A/(y1, ..., yi) và Ii=IAi. Các mệnh đề sau tương đương.
(1) depth (G(J))>s.
Bổ đề 2.4.10. [12, Lemma 2.2] Cho (A,m) là vành Noether địa phương và I
là iđêan m-nguyên sơ của A. Giả sử y1, y2, ..., yk là dãy siêu bề mặt của I với
16k6d−1. Đặt A¯=A/(y1, ..., yk) và I¯=IA¯, lúc đó,
depth G I¯>1⇔depth (G(I))>k+ 1.
Bổ đề 2.4.11. [8, Proposition 2.8] Cho (A,m) là vành địa phương Noether có chiều d và I là iđêan m-nguyên sơ. Lúc đó:
ed(I) =ed Ik,∀k >1. Nhận xét 2.4.12. Với Q là iđêan tham số, ta có
(−1)ded(Q) = PQ(0)−HQ(0). Chứng minh. Ta có PQ(n) = e0(Q) n+d−1 d ! −e1(Q) n+d−2 d−1 ! +· · ·+ (−1)ded(Q) Từ đây dẫn đến PQ(0) =e0(Q) 0 +d−1 d ! −e1(Q) 0 +d−2 d−1 ! +· · ·+(−1)ded(Q) = (−1)ded(Q) Mà HQ(0) = 0 Do đó (−1)ded(Q) = PQ(0)−HQ(0).
Mối liên hệ giữa đa thức Hilbert và hàm Hilbert ứng với iđêan tham số được thiết lập qua bổ đề sau.
Bổ đề 2.4.13. [14, Lemma 1.3] Cho (A,m) là vành địa phương Noether chiều
d và Q là iđêan m-nguyên sơ. Lúc đó:
PQ(n)−HQ(n) =
d X
i=0
Nhận xét 2.4.14. (1)
HGi+(G(I)) = 0
với mọi i <depth (G(I)), i > dim(G(I)).
(2) depth G Ik>depth (G(I)) với k >1 (Theo [7, Proposition 2.2]). Bây giờ ta sẽ chứng minh Định lý chính.
Định lý 2.4.15. Cho (A,m) là vành địa phương Noether có dim(A) =d>2 và
depth(A) > d−1. Giả sử I là iđêan m-nguyên sơ và Q là iđêan tham số. Nếu
depth (G(Q))>d−2 thì ei(Q)60,∀i= 1, ..., d.
Chứng minh. Theo Bổ đề 2.4.11, ta có:
ed(Q) = ed(Qn)
và theo Nhận xét 2.4.14 thì
depth (G(Qn))>depth (G(Q))
Mà depth (G(Q))>d−2 nên depth (G(Qn))>d−2
Mặt khác ai(G(Qn)) = −∞, ∀i < d−2, i > d Theo Nhận xét 1.8.2, ad−2(G(Qn))< ad−1(G(Qn))60 ad(G(Qn))<0 Suy ra HGd−+2(G(Qn))0 = 0 và HGd+(G(Qn))0 = 0 Ta lại có (−1)ded(Q) = (−1)ded(Qn) =PQ(0)−HQ(0) (−1)ded(Qn) = d X i=0 (−1)iλ HGi+(G(Qn))0= (−1)d−1λ HGd−+1(G(Qn))0 ed(Qn) =−λ HGd−+1(G(Qn))060 Theo Bổ đề 2.4.11, ed(Q) = ed(Qn)60
- Với d= 2, ta có:
e2(Q) = e2(Qn)60
Và e1(Q)60 theo Mệnh đề 2.4.3.
- Với d>3 ta đặt A¯=A/(x) và Q¯ =QA¯
Ta có dim A¯=d−1 và depth G Q¯>d−3 Suy ra ed−1(Q) =ed−1 Q¯6 0
Đặt A¯=A/(x1, ..., xd−i) và Q¯ =QA¯. Lúc đó:
dim A¯=i.
Theo giả thiết ta có:
depth (G(Q))>d−2
Nên theo Bổ đề 2.4.10,
depth G Q¯>d−2−(d−i)>i−2.
Bằng phương pháp quy nạp, ta giả sử ei Q¯60. Theo Bổ đề 2.3.3, ta có
ei(Q) = ei Q¯60.
Vậy ei(Q)60,∀i= 1, ..., d.
Tiếp đến ta sẽ khảo sát tính không dương của hệ số e3(Q) 6 0 trong vành hầu Cohen-Macaulay.
Mệnh đề 2.4.16. Nếu d>3 và depth (A)> d−1 thì e3(Q)60.
Chứng minh. Với n đủ lớn thì theo Bổ đề 2.4.7 ta có depth (G(Qn))>1,∀n 0. Với d= 3, áp dụng Định lý 2.4.15 ta suy ra e3(Q)60.
Với d >3, ta đặt
¯
A=A/(x1, ..., xd−3),Q¯ =QA¯
Lúc đó: dim ¯A= 3 và depth (G(Qn))>1. Theo Bổ đề 2.3.3 ta suy ra
e3(Q) =e3 Q¯=e3 Q¯n60.
Từ các mệnh đề trên ta thu được hệ quả sau.
Hệ quả 2.4.17. Cho (A,m) là vành Noether địa phương có chiều d>3 và Q là iđêan tham số. Nếu depth (A)>d−1 thì ei(Q)60,∀i= 1,2,3.
Chứng minh. Ta có e1(Q)60 theo Mệnh đề 2.4.3. Theo Mệnh đề 2.4.5 e2(Q)60.
KẾT LUẬN
Trong luận văn này, chúng tôi chủ yếu tổng quan lại các kết quả đạt được về hệ số Hilbert của iđêan tham số Q. Ngoài ra chúng tôi sử dụng một phương pháp khác để đưa ra một chứng minh khác của kết quả Linh-Trung [2] về tính không dương của hệ số Hilbert của iđêan tham số trong trường hợp độ sâu của vành phân bậc liên kết lớn hơn d−2 (với d là chiều của vành).
Các kết quả chính luận văn đã đạt được là:
- Tổng quan lại các kết quả liên quan đến tính không dương của hệ số Hilbert.
- Đưa ra một cách chứng minh khác về kết quả của Linh-Trung. Từ đó suy ra tính không dương của hệ số Hilbert.
Mặc dù bản thân đã có nhiều cố gắng, song luận văn khó tránh khỏi sự thiếu sót, rất mong nhận được sự góp ý từ quý Thầy cô giáo cùng các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
[1] N. T. Cường (2003), Giáo trình đại số hiện đại, Nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội.
[2] C. H. Linh, V. D. Trung (2013), Hệ số Hilbert của iđêan tham số, Tạp chí khoa học Đại học Huế, 87(9).
Tiếng Anh
[3] M. F. Atiyah and I. G. Macdonald (1969), Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley Publishing Company.
[4] M. Brodmann and C. H. Linh (2014),Castelnuovo-Mumford regularity, pos- tulation numbers and relation types, J. Algebra 419, 124-140.
[5] M. Brodmann and R. Y. Sharp (1998), Local cohomology - an algebraic introduction with geometric applications, Cambridge University Press . [6] W. Bruns and J. Herzog (1993),Cohen-Macaulay rings, Cambridge Univer-
sity Press.
[7] J. Elias (2004), Depth of higher associated graded rings, Journal of the Lon- don Mathematical Society . 70, 41-58.
[8] J. Elias (2013), On the last Hilbert-Samuel coefficient of isolated singulari- ties, Journal of Algebra. 394, 285-295.
[9] L. Ghezzi, J. Hong and W. V. Vasconcelos (2009), The signature of the Chern of Noetherian rings, Math. Res. Lett.16, 279-289.
[10] L. T. Hoa (1993),Reduction numbers and Rees algebra of power of an ideal, Proc. Amer. Math. Soc 119, No.2, 415-422
[11] L. T. Hoa (1996), Reduction numbers of equimultiple ideals , J. Pure Appl. Algebra 109, 111-126.
[12] S. Huckaba and T. Marley (1997), Hilbert coefficients and the depths of associated graded rings, J. London Math. Soc. (2) 56, 64-76.
[13] H. Matsumura (1986), Commutative Ring Theory, Cambridge University Press, Cambridge.
[14] T. Marley (1993),The reduction number of an ideal and the local eohomology of the associated graded rings, Proc. Amer. Math. Soc., 117, 335-341. [15] M. Mandal, B. Singh and J. K. Verma (2010), On some conjectures about
the Chern numbers of filtration, Journal of Algebra, 147-162.
[16] L. McCune (2013),Hilbert coefficients of parameter ideals, J. Commutative. Algebra 5, no. 3, 399-412.
[17] R. Y. Sharp (2000), Steps in Commutative Algebra, Cambridge University Press, Cambridge.
[18] W. V. Vasconcelos (2008), The Chern coefficients of local rings, Michigan Math. J. 57, 725-743.
[19] J. K. Verma (2008), Hilbert coefficients and depth of the associated graded ring of an ideal.
Xác nhận của cán bộ hướng dẫn
Ý KIẾN CỦA HỘI ĐỒNG BẢO VỆ LUẬN VĂN Chủ tịch hội đồng