Sai lầm về phương diện suy luận logic thông qua cấu trúc đại số: Nguyên nhân và phương thức khắc phục

Ở bài báo này, chúng tôi xây dựng một giả thuyết nghiên cứu về nguyên nhân sai lầm và tiến hành một thực nghiệm để kiểm chứng giả thuyết này.. We also analyzed the cause of these error[r]

TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN Số 17 (42) - Tháng 6/2016

Errors in logical reasoning through algebraic structures: Causes and solutions

rườ Đại học Sài Gòn

Ph.D Nguyen Ai Quoc Sai Gon University

Tóm tắt

ro bà báo trướ , hú tô ê sa lầm phươ d ện suy luận logic sinh viên tìm chứng minh phần tử trung lập, phần tử đ i xứng cấ trú hóm, đồng thời phân tích nguyên nhân sai lầm nà dướ ba q a đ ểm: dạy học truyền th ng, thuyết didactic, thuyết hành vi

Ở báo này, xây dựng giả thuyết nghiên cứu nguyên nhân sai lầm tiến hành thực nghiệm để kiểm chứng giả thuyết Từ đó, hú tơ đề xuất phươ thức khắc phục sai lầm sinh viên

Từ khóa: suy luận logic, sai lầm, cấu trúc nhóm, phần tử trung hịa, phần tử đối xứng…

Abstract

I o r prev o s art le, we prese ted st de ts’ errors lo al reaso whe the f d a d demonstrate the identity and inverse elements of a group structure We also analyzed the cause of these errors from the three viewpoints of traditional teaching method, didactics and behaviorism

In this article, we propose a research hypothesis on the cause of these errors and proceed an experimentation to verify this hypothesis, from which we propose solutions to help students avoid these errors

Keywords: logical reasoning, error, structure of group, identity element, inverse element…

1. Suy luận logic

Trong phần này, chúng tơi trình bày đị h hĩa s khái niệm l ê q a đến suy luận logic

1.1.Logic

Logic tính quy luật tro tư tưởng, lập luận thể rõ ràng, xác, mạch lạc tư d [9, trang 7]

1.2.Phán đoán

Phá đố hình thức liên kết khái niệm, phản ánh m i liên hệ vật, hiệ tượng vào ý thức

ười Mỗ phá đố hỉ đú sai phù hợp hay khơng phù hợp với vật, hiệ tượng, khơng có phán đố vừa đú lại vừa sa ũ hư khơ ó phá đố khơ đú ũ khơng sai [9, trang 40]

1.3.Suy luận logic học

Suy luận hình thức tư d hằm rút phá đố từ hay nhiều phá đố ó [9, tra 66]

được gắn kết với theo nguyên tắc xá định dẫn tới kết luậ ”

Từ đ ển Encyclopedia Universalis (2009) đị h hĩa: “ l ậ , trước hết hoạt độ tư d , hoạt động suy lý logic mà hoạt độ ta đ từ s mệ h đề ho trướ hư t ề đề đến mệ h đề mới, theo liên kết logic gắn liền với mệ h đề ba đầ : tro ý hĩa q trình di n ý thức chủ thể theo thứ tự thờ a ”

1.4.Suy luận logic toán học

Trong báo này, suy luận logic mà hú tơ ó đến hình thứ tư d sử dụng lập luận nhằm rút mệ h đề từ hay nhiều mệ h đề ó

2. Sơ đồ suy luận logic phần tử

trung lập, phần tử đối xứng

2.1.Sơ đồ suy luận logic

đồ suy luận logic chúng tơi mơ

hình hóa từ “sơ đồ suy diễn từ nhiều tiền đề” logic học ([9, tra 84]) hư sa :

1 n

P    P P P hay

1

n

P P

P P

,

tro P P1, 2, ,Pn mệ h đề giả thiết P mệ h đề kết luận.

Suy luậ đú đắn (hợp logic) mệnh đề P1  P2 Pn hằ đú ( hĩa

tất mệ h đề P P1, , ,2 Pn đú )

2.2.Sơ đồ suy luận logic phần tử trung lập, phần tử đối xứng

Từ đị h hĩa phần tử trung lập [4, trang 9], phần tử đ i xứng [4, trang 15] lập sơ đồ suy luậ lo hư sa :

1

P P P

Mệ h đề Phần tử trung lập Phần tử đ i xứng

1

P  e X ex:   x, x X x  X, x' X x x: ' e

2

P  e X xe:   x, x X xX, x' X xx: 'e P X có phần tử trung lập e x'là phần tử đối xứng x

2.3 Sơ đồ suy luận làm sinh viên

Từ làm s h v ê mà hú tô t ến hành khảo sát, lập sơ đồ suy luậ lo hư sa :

1'

P P

Mệ h đề Phần tử trung lập Phần tử đ i xứng

1'

Sai lầm sinh viên thiết lập mệnh đề P1', tứ sa kh tìm phần tử e x', em hồn tồn khơng kiểm tra vị ngữ mệ h đề, đồng thời yếu t trung lập trái, trung lập phả (ha đ i xứ trá , đ i xứng phả ) ũ khô quan tâm

3 Giả thuyết nghiên cứu

Xuất phát từ quan sát hiệ tượng sai lầm sinh viên di n dai dẳng qua nhiề ăm từ nguyên nhân sai lầm mà hú tô phâ tí h dựa quan đ ểm dạy học truyền th , q a đ ểm d da t q a đ ểm thuyết hành vi tro bà báo trước, xây dựng giả thuyết khoa học nguyên nhân sai lầm sinh viên suy luận logic tìm chứng minh phần tử trung lập, phần tử đ i xứng cấ trú hóm hư sa :

Tồn sinh viên kiểu “suy luận logic không đầy đủ” kiến thức kỹ suy luận logic tiếp nhận rãi rác, đôi ngầm ẩn qua vài tốn mà khơng trang bị đầy đủ hệ thống

4 Phương thức khắc phục

Nhằm kiểm chứng giả thuyết trên, hú tô đề xuất phươ thức khắc phục gồm bước:

Bước 1: trang bị cho sinh viên kiến thức logic mệ h đề trước giảng dạy cấ trú đại s

Chúng thiết kế giảng lý thuyết logic mệ h đề, vị ngữ - lượng từ Bài giảng nhằm cung cấp h đầy đủ hệ th ng khái niệm toán học liên q a đến suy luận logic, từ s h v ê ó sở khoa họ để tư hợp lý, có phươ pháp lý l ận chặt chẽ biết vận dụng vào toán hiệu

+ Mệ h đề: cung cấp đị h hĩa mệnh đề, phép toán mệ h đề (phép phủ định, phép tuyển, phép hội, phép kéo theo, phép tươ đươ ), mệ h đề đảo, mệ h đề phản đảo, mệnh đề phức hợp tươ đươ lo Đặc biệt trọ đến tươ đươ lo q a trọng (luật đồng nhất, luật nu t, luật lũ đẳng, luật phủ định kép, luật giao hoán, luật kết hợp, luật phân ph i, luật De Mor a ,…)

+ Vị ngữ - lượng từ: cung cấp định hĩa vị ngữ, lượng từ biế , lượng từ hai biến

Chúng nhấn mạ h ý hĩa mệ h đề lượng từ phủ định mệ h đề lượng từ đ i vớ lượng từ biến bảng sau:

Mệnh đề Đúng Sai

 

x P x

 P(x) đú vớ mọ trị x Có trị x để P(x) sai

 

x P x

 Có trị x để P(x) đú P(x) sa vớ mọ trị x

Mệnh đề phủ định

Mệnh đề

tương đương Đúng Sai

 

x P x

 x P x  Có trị x để P(x) sai P(x) đú vớ mọ trị

x

 

x P x

 x P x  P(x) sa vớ mọ trị ủa x Có trị x để P(x)

Chú tô ũ lư ý trật tự, thứ tự xếp lượ từ tro lượng từ hai biến bảng sau:

Mệnh đề Đúng Sai

 

x y P x, y

 

 

y xP x, y

  P(x,y) đú vớ mọ ặp (x,y)

Có ặp (x,y) sao cho P(x,y) sai

 

x y P x, y

  Vớ mọ x ó y cho P(x,y) đú Có x sao cho P(x,y) sai vớ mọ y

 

x y P x, y

  Có x sao cho P(x,y) đú vớ mọ y Vớ mọ x ó y cho P(x,y) sai

 

x y P x, y

 

 

y x P x, y

  Có ặp (x,y) sao cho P(x,y) đú P(x,y) sa vớ mọ ặp (x,y)

Bướ 2: phâ tí h, hướng dẫn cách vận dụng logic mệ h đề lý thuyết nhóm giảng đị h hĩa phần tử trung lập, phần tử đ i xứng

Ở phần chúng tơi phân tích vài ví dụ cụ thể giảng đị h hĩa phần tử trung lập, phần tử đ i xứ để làm sáng tỏ việc vận dụng lý thuyết logic mệnh đề khái niệm nhóm

- Cá đị h hĩa tro tố học thườ đị h hĩa tươ xứng, bao gồm hai thành phần, phần khái niệm được định nghĩa, phần khái niệm dùng để định nghĩa ([9, trang 28]), đị h hĩa tro tố học di đạt hình thức logic mệnh đề mệ h đề tươ đươ ro lý th ết nhóm, có s đị h hĩa phát b ểu dạng mệ h đề“kéo theo” hư “định nghĩa” nên chúng mệ h đề tươ đươ Ví dụ ta ó đị h hĩa hóm ao hố hư sa :

“Nếu phép tốn nhóm giao

hoán” [7, trang 42]

Rõ rà ế xem p: “phép tốn nhóm giao hốn” q: “nhóm gọi là nhóm giao hốn” ta ó p  q Tuy h ê , h h ể hư trê khô hí h xá phát b ể trê đị h hĩa ê ế “nhóm gọi nhóm giao hốn” “phép tốn nhóm giao hốn”, hĩa p  q, ó h p q tươ đươ lo

- Cầ lư ý đị h hĩa tro lý th ết hóm đượ phát b ể dướ mệ h đề lượ từ dướ mệ h đề phứ hợp kết hợp vớ lo mệ h đề hư hú vẫ mệ h đề tươ đươ

Ví dụ đị h hĩa phầ tử đ xứ sa loạ đị h hĩa phát b ể dướ mệ h đề lượ từ kết hợp vớ mệ h đề:

“Giả sử * phép tốn hai ngơi trong tập X có phần tử trung lập e x là phần tử tùy ý X Ta nói x phần tử khả đối xứng có x'X sao cho

'* * '

trang 39]

a thấ x ất h ệ mệ h đề lượ từ p: “ x' X : x* x'x'* xe” mệ h đề q: “phần tử x'gọi phần tử đối xứng x (đối với *)” Bỏ q a ả th ết ba đầ , đị h hĩa trê ho thấ p q tươ đươ lo

Ví dụ đị h hĩa hóm sa đâ loạ đị h hĩa phát b ể dướ mệ h đề phứ hợp kết hợp vớ mệ h đề:

“Ta gọi nhóm nửa nhóm X có các tính chất sau:

1 có phần tử trung lập e;

2 với x X, có x'X cho x x' xx'e.” [4, trang 15]

Đị h hĩa trê hứa mệ h đề phứ hợp bao ồm ba mệ h đề: “X nửa nhóm”, “có phần tử trung lập e”, và “với mọi x X, có x’ X cho x’x=xx’=e mà ta ầ k ểm tra trị hâ lý đú mỗ mệ h đề mệ h đề “X nhóm”

Lư ý tro kỹ th ật k ểm tra mệ h đề thứ ba mệ h đề phứ hợp trê v ệ phả k ểm trị hâ lý đú “với mọi x X” V ệ tìm thấ phầ tử đ xứ hỉ đú ho từ phầ tử khô đảm bảo đú ho “x phần tử tùy ý X”, vậ sa kh tìm thấ phầ tử x' ta hất th ết phả k ểm tra b ể thứ ó đú ho “với mọi x X” Ví dụ sa m h ho v ệ k ểm tra thự ầ th ết:

Cho S tập số thực nằm đoạn [0,1] Ta định nghĩa phép toán *

tập S sau: a* b a b,1 , a,b S      Biết  S ,* vị nhóm giao hốn với phần tử trung lập Liệu S có nhóm khơng ? Tại ? [7, trang 69]

trì h tìm phầ tử đ xứ

 

a* a' 0, a S

min a a',1 0 a a' 0 a' a

  

        

Suy a' a phầ tử đ xứ a Vậ hóm

a lầm trê ta bỏ q a ế t “lượ từ” tro mệ h đề “với x X, có x’ X cho x’*x=x*x’=e”, kết l ậ a' a phầ tử đ xứ a

hỉ đú tro trườ hợp a0 Hơ ữa q trì h tìm k ếm hưa đủ sở để kết l ậ mà v ệ d đạt tro m h thỏa mệ h đề lượ từ thự ầ th ết

- Kh ả đị h hĩa phần tử trung lập, phần tử đ i xứng cấu trúc hóm, đị h hĩa phát b ểu ngôn ngữ mô tả, chúng cần thiết đượ định hĩa hình thức logic mệ h đề lượng từ, cụ thể hư sa :

Phần tử trung lập

Giả sử cho phép toán “.” tập X

 X,. có phần tử trung lập

: ,

e  e X e x  x  x e  x X

Phần tử đ i xứng

Giả sử tập X với phép tốn “.” có phần tử trung lập e

xX có phần tử đối xứng x'  x' X: ' x x  e  'x x

ươ tự, quy trình kiểm chứng tồn hay khơng tồn phần tử đ i xứng sau:

Lư ý q trì h k ểm chứng tồn phần tử trung lập, phần tử đ i xứng hiệu cho trình tìm chứng minh phần tử thực tồn

Đ i với tốn chứng minh khơng tồn phần tử trung lập hay phần tử đ i xứng, sinh viên cần vận dụng kiến thức phủ định mệ h đề lượng từ đ i vớ lượng

từ hai biến mà trang bị bước cầ lư ý rằ kh phươ trì h ả định vơ nghiệm ó hơ nghiệm

Ví dụ sau giúp thấ rõ hơ s luận logic mệ h đề áp dụng chứng minh không tồn phần tử đ i xứng:

Trên tập hợp Q số hữu tỷ ta xét phép toán x y*   x y xy

S

Đ

Đ S

2

ìm k ếm e

thơng qua phươ trì h

ả đị h

exx

K ểm tra

e th ộ X

K ểm tra

,

xe x x khơ ó phầ Dự

tử tr lập K ểm tra

, ex x x

Kết l ậ e phầ tử tr

lập

Đ

1 )

S

1: Phương trình có nghiệm nhất; 2: Phương trình vơ nghiệm có nghiệm; Đ: Đúng; S: Sai

S

Đ

Đ S

2 ìm k ếm x'

thơng qua phươ trì h

ả đị h

' x xe

K ểm tra

'

x th ộ

X K ểm tra

'

xx e Dự

'

x khơng có phầ tử đ

xứ K ểm tra

' x xe

Kết l ậ x' phầ tử đ xứ x

Đ

1 )

S

Cặp (Q,*) có phải nhóm khơng? [8, trang 40]

Ở đâ hú tô hỉ quan tâm việc vận dụng suy luận logic mệ h đề phần chứng minh phần tử đ i xứng nên bỏ qua phần trình bày chứng minh * có tính kết hợp (Q,*) có phần tử trung lập Quy trình sau dựa trê sơ đồ suy luận logic phần tử đ i xứ mà hú tô ê trê

+ Tìm kiếm x' thơ q a phươ trình giả định:

'* 0

x x  x' x x x' 0

 x' 1   x x '

1 x x

x

  

 với x 1

+ K ểm tra x' th ộ :

'

x th ộ kh hỉ kh x 1 Kết l ậ x 1 khơ ó phầ tử đ xứ , đâ ũ sa lầm phổ b ế s h v ê em khơ b ết vận dụng suy luận logic mệ h đề, đặc biệt phủ định mệ h đề lượng từ hai biến Vì vậy, ả đị h hĩa phần tử đ i xứng, ví dụ thực hiệu giúp sinh viên hiểu rõ chứng minh phần tử cụ thể khơng có phần tử đ xứ rước hết, ta vận dụng phủ định mệ h đề lượng từ hai biế tro đị h hĩa phần tử đ xứ hư sa :

Giả sử tập X với phép tốn “.” có phần tử trung lập e

Phần tử xX khơng có phần tử đối xứng   y X y x:  e x y. e

Vậy lời giả đú ho ví dụ là:

: 1* ( )

y Q y y y

          

nên -1 phần tử đ xứ

3. Thực nghiệm

3.1.Bài toán thực nghiệm

Thực nghiệm tiến hành vào 01/2016 trê 105 s h v ê h

phạm Toán khoa Toán - Ứng dụng trườ Đại học Sài Gòn với câu hỏi:

“Trên tập   2 

X  a,b R ,a0 ,

ta định nghĩa phép tốn hai ngơi* sau:

    a b, * ,c d  ac bc d,      , a b, , ,c d X

Chứng minh (X, *) nhóm.”

hờ a thự h ệm 15 phút thự h ệm đượ t ế hà h sa kh s h viên đượ tra bị phươ thứ khắ phụ dướ bà ả

Sau sinh viên làm bài, th sả phẩm ồm bà làm ấ háp s h v ê để ó thể q a sát đượ kỹ th ật ả ụ thể h t ết

3.2.Mục đích thực nghiệm

Thực nghiệm nhằm kiểm chứng tính thỏa đá giả thuyết nghiên cứu Chúng kỳ vọng sinh viên vận dụng hiệu phươ thức khắc phục trên, từ trá h sai lầm tìm chứng minh phần tử cấu trúc nhóm

3.3.Kỹ thuật giải mong đợi

- Kỹ thuật 1: sử dụng quy trình kiểm chứng tồn phần tử trung lập, phần tử đ i xứ đề xuất tro phươ thức khắc phục

- Kỹ thuật 2: chứng minh mệ h đề P P1, 2

tro sơ đồ suy luận logic phần tử trung lập, phần tử đ i xứng mệ h đề đú

3.4.Kết thực nghiệm

- Kỹ thuật a đoạn kiểm chứng tồn phần tử trung lập, phần tử đ i xứng thơ q a phươ trì h ả định Kỹ thuật “Đạt” thỏa mãn yêu cầu:

+ Thiết lập đú phươ trì h ả định + Giả đú h ệm (duy nhất) phươ trình giả định

a đâ s giải “Đạt” sinh viên giấy nháp: