hình
Tính đầy của không gian mầm hàm chỉnh hình được đề xuất lần đầu tiên bởi L.Nachbin [5]. Khi E là không gian Banach, tính đầy của H(K)
đã được chứng minh bởi Dineen [4]. Sau đó, Dineen đã chứng tỏ tính đầy của H(K) khi E là tích đếm được của các không gian Banach. Nhớ lại rằng một DF− không gian tựa đầy là đầy nên trong trường hợp đối với không gian metric ta chỉ cần nghiên cứu tính đầy của một tập con đóng, bị chặn.
Để chứng minh tính đầy của H(K) ta cần một số kết quả sau
Định nghĩa 2.4.1.
i) Một phép phân tích của không gian véc tơ tô pô E là một dãy các không gian con khác rỗng (En)∞n=1 của E sao cho với mỗi x ∈ E có thể biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng x =
∞
P
i=1
xi, trong đó xi ∈ Ei với mỗi i = 1,2, ...
ii) Một phép phân tích của không gian véc tơ tô pô E được gọi là Schauder nếu tồn tại một dãy các phép chiếu trực giao liên tục (Qn)∞n=1
sao cho Qn(E) =En và x =
∞
P
i=1
Qn(x)
Ta kí hiệu S là tập tất cả các dãy số phức (αn)∞n=1 sao cho
lim
n→∞sup|αn|1/n ≤1.
Nếu {En}n là một phân tích Schauder đối với (E, τ) thì ta nói {En}n là phân tích S-Schauder nếu
∞ P n=1 xn ∈ E và (αn)∞n=1 ∈ S kéo theo ∞ P n=1 αnxn ∈
E. Phép phân tích này là một phép phân tích S tuyệt đối nếu với mỗi p∈ cs(E) và (αn)∞n=1 ∈ S thì nửa chuẩn ˜ p( ∞ X n=1 xn) = ∞ X n=1 |αn|p(xn) là liên tục.
Mệnh đề 2.4.2. Cho U là một tập con mở cân của một không gian lồi địa phương E và τ là tô pô lồi địa phương trên H(U) sao cho {P(nE), τ}
là một phép phân tích S tuyệt đối trên H(U). Khi đó H(U) là đầy đủ nếu và chỉ nếu (P(nE), τ) là đầy đủ.
Chứng minh. Cho (fa)a∈Γ là một lưới Cauchy trong (H(U), τ). Khi đó,
( ˆ dnfα(0) n! ) α∈Γ
là một lưới Cauchy trong (P(nE), τ) với mỗi n và vì vậy
ˆ
dnfα(0)
n! → Pn ∈ P(nE), α → ∞ với mỗi n. Cho p là một nửa chuẩn τ liên tục trên H(U), giả sử p(f) =
∞ P n=0 p ˆ dnf(0) n! ! với f = ∞ P n=0 ˆ dnf(0) n! ∈
H(U). Khi đó, với ε > 0 ta có thể tìm được αo ∈ Γ sao cho ∞ X n=0 p ˆ dnfα(0) n! − dˆ nfβ(0) n! ! ≤ ε,
với mọi α, β ∈ Γ, α ≥ αo, β ≥ αo. Do đó k X n=0 p ˆ dnfα(0) n! −Pn ! ≤ ε với mọi α ≥ αo và k nguyên dương. Đặc biệt
k X n=0 p(Pn) ≤ k X n=0 p ˆ dnfαo(0) n! ! +ε với mọi k nên ∞ P n=0 p(Pn) < ∞ . Từ đó kéo theo f = ∞ P n=0 Pn ∈ H(U)
Cũng với chứng minh như vậy ta chứng tỏ ∞ X n=0 p ˆ dnfα(0) n! −Pn ! ≤ ε
với mọiα ≥αo và do đófα →f vớiα → ∞. Định lý được chứng minh.
Mệnh đề 2.4.3. Cho E là không gian lồi địa phương metric và n là một số nguyên dương. Khi đó, trên P(nE) tô pô τω là tô pô thùng liên kết với τ0. Nghĩa là τω = τ0,t.
Chứng minh. (P(nE), τω) là một DF-không gian bornological với hệ cơ bản các tập bị chặn.
Bm = {P ∈ P(nE) : ||P||Vm ≤ 1},
ở đóVm là một hệ cơ bản các lân cận của 0 trong E gồm các tập cân, lồi, đóng. Theo ([4], hệ quả 3.38)Bmlà một tập con compact của(P(nE), τ0). Bởi vì τω là tô pô thùng nên τω ≥τ0,t. Từ đó suy ra rằng τω = τ0,t.
Hệ quả 2.4.4. Nếu E là không gian lồi địa phương khả metric thì
(P(nE), τω) là một không gian lồi địa phương đầy với mọi số nguyên dương n.
Chứng minh. Theo ([4], mệnh đề 3.5) không gian (P(nE), τ0) là đầy nên P(nE) trang bị tô pô thùng liên kết cũng là đầy. Áp dụng mệnh đề
ta nhận được điều phải chứng minh.
Định lý 2.4.5. Nếu K là tập compact cân của một không gian lồi địa phương khả metric E thì H(K) là không gian lồi địa phương đầy. Chứng minh. Theo hệ quả 2.4.3 không gian (P(nE), τω) là đầy với mọi n. Nếu dãy (Pn)∞n=0 là một dãy các đa thức thuần nhất sao cho
∞
P
n=0
p(Pn) < ∞ với mỗi nửa chuẩn p trên H(K), thì dãy (Pn)∞n=0 là bị chặn trong H(K). Bởi vì H(K) là giới hạn quy nạp chính quy nên tồn tại một lân cận V của K và λ > 1 sao cho
sup n ||Pn||λV = M < ∞. Do đó ∞ X n=0 ||Pn||V ≤ M ∞ X n=0 1 λn < ∞, và ∞ P n=0
Pn ∈ H(K). Từ mệnh đề 2.4.1 ta nhận được tính đầy của H(K).
KẾT LUẬN
Luận văn đã đóng góp một số kết quả sau đây
1) Hệ thống hóa một số kiến thức căn bản về hàm chỉnh hình và không gian mầm các hàm chỉnh hình H(K).
2) Trình bày tính chính quy và tính chính quy Cauchy của H(K)
khi K là tập con compact trong không gian lồi địa phương khả metric. 3) Trình bày tính đầy của H(K) khi K là tập compact cân của một không gian lồi địa phương khả metric.
4) Đưa ra một số ví dụ, phản ví dụ về điều kiện (B) đảm bảo cho tính chính quy Cauchy và tính đầy của không gian mầm các hàm chỉnh hình.
Tài liệu tham khảo
[A] Tài liệu tiếng Anh
[1] A. Baerstein II (1971), "Representation of holomorphic functions by boundary intergrals", Trans Amer. Math. Soc, (160), 27-37.
[2] C. Bănică and O. Stăcsilă (1976), Algebraic Methods in the global of complex spaces, John Wiley, London - NewYork - Sydney - Toronto.
[3] S. B. Chae (1971), "Holomorphic germs on Banach spaces", Ann. Inst. Fourier. Grenoble, (21), 107-141.
[4] S. Dineen (1971), "Holomorphy types on a Banach space", Studia Math, (39), 241-288.
[5] L. Nachbin (1967), "On the topology of the space of all holomophic functions on a given open subset", Indag. Math,(29), 366-368.
[6] H. H. Schaefer (1971), Topological Vector Spaces, Springer-Verlag, Berlin and NewYork.
[7] Y. T. Siu (1969), " Noetherianness of rings of holomorphic function on Stein compact subsets", Prc. Amer. Math. Soc, (21), 483-489.
[B] Tài liệu tiếng Pháp
[8] J. A. Barroso (1971), "Topologias nos espacos de aplicacoes holo- morfas entre espacos localmente convexos", Anais Acad. Brasil. Ciencias, (43), 527-546
[9] S. B. Chae (1970), "Sur les espaces localement convexes de germes holomorphes", C. R. Acad. Sci. Paris,, (271), 990-991.
[10] A. Grothendieck (1955), Produits tensoriels topologiques et spaces nucléaires, Amer. Math. Soc, Providence, Rhode Island, (16).
[11] A. Grothendieck (1958),Espaces vectoriels topologiques, 2nd ed, Soc. Mat. Sao. Paulo.
[12] A. Hirschowitz (1971), "Bornologie des espaces de fonctions ana- lytiques en dimension infinie", Seminaire Pierre Lelong 1969/70, (205), 21-33.
[13] A. Hirschowitz (1972), "Prolongement analytiques en dimension in- finie", Ann.Inst.Fourier, (22), 255-292.
[14] A. Martineau (1963), "Sur les fonctionnelles analytiques et la trans- formation de Fourier- Borel", J. Anal. Math, (11), 1-164.
[15] A. Martineau (1966), "Sur la topologie des espaces de fonctions holomorphes", Math. Ann, (163), 62-68.
[16] Ph. Noverraz (1973), Pseudo-convexité, convexité polinomiale et do- mains d’holomorphie en dimension infinie, North-Holland Publ, Amsterdam.