Giảm bậc của hệ điều khiển tuyến tính không phụ thuộc thời gian sử dụng phân tích trực giao

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN VĂN LỘC GIẢM BẬC CỦA HỆ ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH KHÔNG PHỤ THUỘC THỜI GIAN SỬ DỤNG PHÂN TÍCH TRỰC GIAO LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN VĂN LỘC GIẢM BẬC CỦA HỆ ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH KHÔNG PHỤ THUỘC THỜI GIAN SỬ DỤNG PHÂN TÍCH TRỰC GIAO Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN THANH SƠN Thái Nguyên - 2015 i Mục lục Tóm tắt nội dung iii Lời cảm ơn iv Danh sách ký hiệu v Mở đầu 1 0.1 Lý do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0.2 Mục đích nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0.3 Nhiệm vụ nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0.4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0.5 Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 Kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Những lí thuyết căn bản của hệ động lực tuyến tính không phụ thuộc thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Tính đạt được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Tính quan sát được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Phân tích giá trị kì dị của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1 Phân tích giá trị kỳ dị của ma trận (SVD) . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2 Ý nghĩa hình học của giá tr ị kì dị của ma trận . . . . . . . . . 14 2 Phương pháp phân tích trực giao 16 ii 2.1 Ý tưởng của phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 Trường hợp dữ liệu rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3 Trường hợp dữ liệu liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4 Phương pháp giảm bậc sử dụng phân tích trực giao . . . . . . . . . . . 22 2.5 Mối quan hệ với phương pháp chặt cân bằng . . . . . . . . . . . . . . 23 2.5.1 Sơ lược về phương pháp chặt cân bằng . . . . . . . . . . . . . 23 2.5.2 Phương pháp POD cân bằng (balanced POD) . . . . . . . . . 24 3 Ví dụ số 26 3.1 Hệ hình thức FOM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2 Hệ Eady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Kết luận 30 Tài liệu tham khảo 31 iii TÓM TẮT NỘI DUNG Trong thực tiễn, thường xuất hiện những hệ điều khiển mà mô hình toán học của nó có cỡ rất lớn. Thực tế này gây khó khăn cho việc mô phỏng trên máy tính vì làm việc với hệ lớn thường đòi hỏi máy tính có tốc độ cao và bộ nhớ lớn. Do đó xuất hiện nhu cầu xấp xỉ hệ cỡ lớn bởi hệ cỡ nhỏ, hay còn gọi là giảm bậc của mô hình, để việc tính toán được diễn ra thuận lợi. Tùy theo thông tin đầu vào và nhu cầu xấp xỉ mà người ta có nhiều phương pháp giảm bậc khác nhau. Luận văn này sẽ trình bày chi tiết phương pháp giảm bậc của hệ điều khiển tuyến tính không phụ thuộc thời gian bằng phương pháp phân tích trực giao (Proper Or- thogonal Decomposition). Ngoài ra chúng tôi cũng phân tích mối quan hệ của nó với phương pháp Chặt cân bằng. Hai ví dụ số được trình bày để minh họa cho phương pháp. iv Lời cảm ơn Trước tiên tôi xin gửi lời cám ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Nguyễn Thanh Sơn - Giảng viên khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, người thầy đã hướng dẫn, chỉ bảo tận tình cho tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin được gửi lời cám ơn chân thành đến các thầy, cô đã và đang tham gia giảng dạy tại trường Đại học Khoa học Thái Nguyên. Các thầy cô đã nhiệt tình giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành khóa học tại trường. Đồng thời, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn tới tất cả bạn bè, đồng nghiệp và người thân đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và viết luận văn. Mặc dù đã dành nhiều thời gian nghiên cứu tím hiểu, song bản luận văn không thể tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót. Vì vậy, tôi rất mong muốn nhận được những góp ý để luận văn này được hoàn thiện hơn. Thái Nguyên, 2015 Nguyễn Văn Lộc Học viên Cao học Toán K7A, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên v Danh sách ký hiệu Trong toàn luận văn, ta dùng những ký hiệu với các ý nghĩa xác định trong bảng dưới đây: R + tập các số thực dương R − tập các số thực âm R n×r tập các ma trận thực cỡ n × r A T ma trận chuyển của ma trận A ˙x(t) đạo hàm của x theo biến t span(X) không gian con sinh bởi X diag (σ 1 , , σ n ) ma trận chéo với các phần tử đường chéo là σ 1 , , σ n Λ(A) tập hợp các giá tr ị kì dị của ma trận A Im ảnh của một ma trận/ánh xạ tuyến tính Ker nhân của một ma trận/ánh xạ tuyến tính rank(R) hạng của ma trận R σ i (A) giá trị kỳ dị thứ i của ma trận A trace tổng các phần tử trên đường chéo chính của ma trận vi Danh sách hình vẽ 3.1 Sai số tuyệt đối của mô hình FOM: bậc giảm r = 20 (a) và bậc giảm r = 30 (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2 Sai số tương đối của mô hình FOM: bậc giảm r = 20 (a) và bậc giảm r = 30 (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.3 Sai số tuyệt đối của mô hình Eady: bậc giảm r = 20 (a) và bậc giảm r = 40 (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.4 Sai số tương đối của mô hình Eady: bậc giảm r = 20 (a) và bậc giảm r = 40 (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 vii Danh sách bảng 1 Mở đầu 0.1 Lý do chọn đề tài Trong thực tiễn hệ điều khiển xuất hiện thường xuyên; khi sử dụng hệ đó như là một mô hình toán học trên máy tính, cỡ của hệ thường rất lớn, hàng nghìn đến hàng tr iệu biến. Với máy tính thông thường, việc mô phỏng trở thành rất khó khăn, chậm chạp do máy tính phải làm việc với dữ liệu lớn. Từ đó, xuất hiện nhu cầu xấp xỉ, theo nghĩa nào đó, hệ có cỡ lớn bằng hệ có cỡ nhỏ hơn. Công việc đó gọi là giảm bậc của mô hình (model order reduction). Có ba phương pháp giảm bậc thường dùng (cho hệ tuyến tính, không phụ thuộc thời gian): • Phương pháp phân tích trực giao-POD (Proper Orthogonal Decomposition). • Phương pháp chặt cân bằng (Balanced truncation). • Phương pháp không gian con Krylov. Mỗi phương pháp có những điểm mạnh và điểm yếu riêng. Phương pháp POD là phương pháp có ý tưởng và thực hiện tương đối đơn giản; phạm vi của nó không chỉ giới hạn cho hệ tuyến tính mà còn có thể áp dụng cho cả hệ phi tuyến. Ngoài ra, chúng tôi cũng muốn nghiên cứu phương pháp này để so sánh với phương pháp Chặt cân bằng vốn có quan hệ gần gũi với phương pháp POD. Chính vì vậy, chúng tôi đã chọn "Giảm bậc của hệ điều khiển tuyến tính không phụ thuộc thời gian sử dụng phân tích trực giao" làm đề tài nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ. Luận văn này gồm 3 chương. [...]... phương pháp Chặt cân bằng Chương 3: minh họa phương pháp phân tích trực giao thông qua 2 ví dụ số, phân tích một số ưu điểm và nhược điểm của phương pháp phân tích trực giao 0.2 Mục đích nghiên cứu Mục đích của luận văn này là nhằm tìm hiểu về phương pháp giảm bậc của hệ điều khiển tuyến tính không phụ thuộc thời gian, sử dụng phương pháp phân tích trực giao 0.3 Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung làm... pháp phân tích trực giao: Hệ động lực tuyến tính không phụ thuộc thời gian, phân tích giá trị kì dị của ma trận - Trình bày ý tưởng của phương pháp phân tích trực giao, nội dung phương pháp, một số nhận xét, và cuối cùng là áp dụng phương pháp này cho hai ví dụ thực tế 0.4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Phương pháp phân tích trực giao trong giảm bậc của mô hình điều khiển tuyến. .. sơ lược về hệ điều khiển tuyến tính không phụ thuộc thời gian và định nghĩa cũng như tính chất của phân tích giá trị kỳ dị của ma trận Chương 2: là chương chính của luận văn Chúng tôi diễn giải ý tưởng của phương pháp phân tích trực giao, phân tích phương pháp đối với dữ liệu rời rạc, với dữ liệu liên tục, nêu thuật toán thực hiện phương pháp, nêu mối quan hệ của phương pháp phân tích trực giao với phương... thuyết giảm bậc 4 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Những lí thuyết căn bản của hệ động lực tuyến tính không phụ thuộc thời gian Trong luận văn này, chúng tôi chỉ xét hệ điều khiển tuyến tính không phụ thuộc thời gian liên tục dạng x (t) = Ax (t) + Bu (t) , y (t) = Cx (t) + Du (t) , với A ∈ RN ×N , B ∈ RN ×m , C ∈ Rl×N , D ∈ Rl×m Trong đó • t ∈ (0, +∞): biến thời gian, • u(t) ∈ Rm : đầu vào hay hàm điều. .. A−1 = σ1 Nếu A là ma trận vuông và không kì dị, thì A 2 A−1 7 Giả sử σ1 2 −1 2 = σn và = σ1 /σn σr > σr+1 = = σn = 0 Thì hạng của A là r Hạt nhân của A, nghĩa là không gian con của vectơ v mà Av = 0, là không gian kéo dài bởi cột r + 1 đến n của V : span (vr+1 , , vn ) Ảnh của A, không gian con của vectơ có dạng Aw với mọi w, là không gian kéo dài bởi cột 1 đến r của U : span (u1 , , ur ) 8 Nếu... định nghĩa, P và Q là không giảm trong R+ Nếu Σ là đạt được, thì P (t) là không suy biến và nghịch đảo của nó P −1 (t) là không tăng Nếu chúng ta thay đổi một trạng thái x và sử dụng (1.2), thì thời gian điều khiển u(.) sẽ chạy từ 0 đến x, giảm năng lượng mà nó tiêu thụ Ta suy ra rằng năng lượng tối thiểu chạy từ 0 đến x tại thời điểm t là đạt được khi t → ∞ Tương tự như vậy, thời gian trạng thái x hoạt... (1.9) và (1.10) dẫn đến một phát hiện quan trọng: giá trị riêng của PQ là bất biến đối với phép biến đổi của không gian trạng thái 1.2 1.2.1 Phân tích giá trị kì dị của ma trận Phân tích giá trị kỳ dị của ma trận (SVD) SVD là một phân tích rất quan trọng được sử dụng cho nhiều mục đích khác nhau cả trong lý thuyết cũng như trong thực tiễn tính toán 10 Định lí 1.5 Cho A là một ma trận cỡ m × n tùy ý... pháp phân tích trực giao trong giảm bậc của mô hình điều khiển tuyến tính • Phạm vi nghiên cứu: Hệ điều khiển tuyến tính không phụ thuộc thời gian 3 0.5 Phương pháp nghiên cứu • Đọc và tìm hiểu một số tài liệu liên quan như sách, bài báo tạp chí, luận án tiến sĩ, luận văn thạc sĩ • Sử dụng các kiến thức toán học đã biết để phân tích, so sánh, nhận xét, tổng hợp • Kiểm chứng các kết quả lý thuyết bằng... có: 1 Điều này đúng theo định nghĩa của SVD 2 AT A = V ΣU T U ΣV T = V Σ2 V T Đây là một phân tích riêng của AT A với các cột của V là các vectơ riêng và đường chéo của Σ2 là các giá trị riêng 13 3 Chọn một ma trận U cấp m × (m − n) để U, U là vuông và trực giao Sau đó viết  AAT = U ΣV T V ΣU T = U Σ2 U T = U, U  Σ2 0 0  T  U, U 0 Đây là một phân tích riêng của AAT 4 Áp dụng định định nghĩa của. .. trình bày trong Chương 2 Chúng được lấy từ Tuyển tập các ví dụ tiêu chuẩn cho giảm bậc của mô hình tuyến tính không phụ thuộc thời gian [2] Trong cả hai ví dụ, sau khi giảm bậc, ta sẽ tính hai sai loại sai số Thứ nhất, sai số tuyệt đối của hàm truyền rút gọn so với hàm truyền gốc theo chuẩn H∞ Tức là sai số tuyệt đối được tính theo công thức ˆ H(·) − H(·) H∞ ˆ = sup H(iω) − H(iω) 2 ω∈R ≈ ˆ H(iω) − H(iω) . pháp giảm bậc của hệ điều khiển tuyến tính không phụ thuộc thời gian bằng phương pháp phân tích trực giao (Proper Or- thogonal Decomposition). Ngoài ra chúng tôi cũng phân tích mối quan hệ của. NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN VĂN LỘC GIẢM BẬC CỦA HỆ ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH KHÔNG PHỤ THUỘC THỜI GIAN SỬ DỤNG PHÂN TÍCH TRỰC GIAO Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC. đích nghiên cứu Mục đích của luận văn này là nhằm tìm hiểu về phương pháp giảm bậc của hệ điều khiển tuyến tính không phụ thuộc thời gian, sử dụng phương pháp phân tích trực giao. 0.3 Nhiệm vụ nghiên