Giảm bậc của hệ điều khiển tuyến tính không phụ thuộc thời gian sử dụng phân tích trực giao

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN VĂN LỘC GIẢM BẬC CỦA HỆ ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH KHƠNG PHỤ THUỘC THỜI GIAN SỬ DỤNG PHÂN TÍCH TRỰC GIAO LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN VĂN LỘC GIẢM BẬC CỦA HỆ ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH KHƠNG PHỤ THUỘC THỜI GIAN SỬ DỤNG PHÂN TÍCH TRỰC GIAO Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN THANH SƠN Thái Nguyên - 2015 i Mục lục Tóm tắt nội dung iii Lời cảm ơn iv Danh sách ký hiệu v Mở đầu 1 0.1 Lý chọn đề tài 0.2 Mục đích nghiên cứu 0.3 Nhiệm vụ nghiên cứu 0.4 Đối tượng phạm vi nghiên cứu 0.5 Phương pháp nghiên cứu Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Những lí thuyết hệ động lực tuyến tính khơng phụ thuộc thời gian 1.1.1 Tính đạt 1.1.2 Tính quan sát Phân tích giá trị kì dị ma trận 1.2.1 Phân tích giá trị kỳ dị ma trận (SVD) 1.2.2 Ý nghĩa hình học giá trị kì dị ma trận 14 Phương pháp phân tích trực giao 16 ii 2.1 Ý tưởng phương pháp 16 2.2 Trường hợp liệu rời rạc 16 2.3 Trường hợp liệu liên tục 20 2.4 Phương pháp giảm bậc sử dụng phân tích trực giao 22 2.5 Mối quan hệ với phương pháp chặt cân 23 2.5.1 Sơ lược phương pháp chặt cân 23 2.5.2 Phương pháp POD cân (balanced POD) 24 Ví dụ số 26 3.1 Hệ hình thức FOM 27 3.2 Hệ Eady 27 Kết luận 30 Tài liệu tham khảo 31 iii TÓM TẮT NỘI DUNG Trong thực tiễn, thường xuất hệ điều khiển mà mơ hình tốn học có cỡ lớn Thực tế gây khó khăn cho việc mơ máy tính làm việc với hệ lớn thường địi hỏi máy tính có tốc độ cao nhớ lớn Do xuất nhu cầu xấp xỉ hệ cỡ lớn hệ cỡ nhỏ, hay gọi giảm bậc mơ hình, để việc tính tốn diễn thuận lợi Tùy theo thông tin đầu vào nhu cầu xấp xỉ mà người ta có nhiều phương pháp giảm bậc khác Luận văn trình bày chi tiết phương pháp giảm bậc hệ điều khiển tuyến tính khơng phụ thuộc thời gian phương pháp phân tích trực giao (Proper Orthogonal Decomposition) Ngồi chúng tơi phân tích mối quan hệ với phương pháp Chặt cân Hai ví dụ số trình bày để minh họa cho phương pháp iv Lời cảm ơn Trước tiên xin gửi lời cám ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Nguyễn Thanh Sơn - Giảng viên khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, người thầy hướng dẫn, bảo tận tình cho tơi suốt q trình hồn thành luận văn Tơi xin gửi lời cám ơn chân thành đến thầy, cô tham gia giảng dạy trường Đại học Khoa học Thái Nguyên Các thầy cô nhiệt tình giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành khóa học trường Đồng thời, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn tới tất bạn bè, đồng nghiệp người thân động viên, giúp đỡ tơi suốt q trình học tập viết luận văn Mặc dù dành nhiều thời gian nghiên cứu tím hiểu, song luận văn khơng thể tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Vì vậy, tơi mong muốn nhận góp ý để luận văn hoàn thiện Thái Nguyên, 2015 Nguyễn Văn Lộc Học viên Cao học Toán K7A, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên v Danh sách ký hiệu Trong toàn luận văn, ta dùng ký hiệu với ý nghĩa xác định bảng đây: R+ tập số thực dương R− tập số thực âm Rn×r tập ma trận thực cỡ n × r AT ma trận chuyển ma trận A x(t) ˙ đạo hàm x theo biến t span(X) không gian sinh X diag (σ1 , , σn ) ma trận chéo với phần tử đường chéo σ1 , , σn Λ(A) tập hợp giá trị kì dị ma trận A Im ảnh ma trận/ánh xạ tuyến tính Ker nhân ma trận/ánh xạ tuyến tính rank(R) hạng ma trận R σi (A) giá trị kỳ dị thứ i ma trận A trace tổng phần tử đường chéo ma trận vi Danh sách hình vẽ 3.1 Sai số tuyệt đối mơ hình FOM: bậc giảm r = 20 (a) bậc giảm r = 30 (b) 3.2 Sai số tương đối mơ hình FOM: bậc giảm r = 20 (a) bậc giảm r = 30 (b) 3.3 28 Sai số tuyệt đối mơ hình Eady: bậc giảm r = 20 (a) bậc giảm r = 40 (b) 3.4 27 28 Sai số tương đối mơ hình Eady: bậc giảm r = 20 (a) bậc giảm r = 40 (b) 29 vii Danh sách bảng Mở đầu 0.1 Lý chọn đề tài Trong thực tiễn hệ điều khiển xuất thường xuyên; sử dụng hệ mơ hình tốn học máy tính, cỡ hệ thường lớn, hàng nghìn đến hàng triệu biến Với máy tính thơng thường, việc mơ trở thành khó khăn, chậm chạp máy tính phải làm việc với liệu lớn Từ đó, xuất nhu cầu xấp xỉ, theo nghĩa đó, hệ có cỡ lớn hệ có cỡ nhỏ Cơng việc gọi giảm bậc mơ hình (model order reduction) Có ba phương pháp giảm bậc thường dùng (cho hệ tuyến tính, khơng phụ thuộc thời gian): • Phương pháp phân tích trực giao-POD (Proper Orthogonal Decomposition) • Phương pháp chặt cân (Balanced truncation) • Phương pháp khơng gian Krylov Mỗi phương pháp có điểm mạnh điểm yếu riêng Phương pháp POD phương pháp có ý tưởng thực tương đối đơn giản; phạm vi khơng giới hạn cho hệ tuyến tính mà cịn áp dụng cho hệ phi tuyến Ngồi ra, chúng tơi muốn nghiên cứu phương pháp để so sánh với phương pháp Chặt cân vốn có quan hệ gần gũi với phương pháp POD Chính vậy, chúng tơi chọn "Giảm bậc hệ điều khiển tuyến tính khơng phụ thuộc thời gian sử dụng phân tích trực giao" làm đề tài nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ Luận văn gồm chương 18 vectơ có chuẩn Từ U sở trực giao RN , v biểu diễn v = UUT v Kết là, n | xj , v | = v T XX T v j=1 = v T U U T XX T U U T v = v T U U T U ΣV T V ΣT U T U U T v = v T U ΣΣT U T v σ12 v T U IU T v = σ12 = uT1 XX T u1 n | xj , u1 |2 = j=1 Trong lập luận trên, sử dụng kết ΣΣT = diag σ12 , σ22 , , σd2 , 0, , ∈ RN ×N Điều dẫn đến câu trả lời cột U , u1 nghiệm toán (2.1) trường hợp k = giá trị tối đa σ12 Với lập luận tương tự, ta thấy nghiệm toán n | xj , v |2 , v arg max v∈RN = 1và v, v1 = 0, j=1 u2 Kết dẫn đến phát biểu sau Định lí 2.1 Với ký hiệu trên, k = 1, , d, nghiệm tốn (2.1) tập k giá trị kì dị trái {ui , i = 1, , k} giá trị tối đa tương ứng k i=1 σi2 19 Do kết định lý này, định nghĩa Định nghĩa 2.1 k vectơ riêng trái ui , i = 1, , k, (k d) gọi sở POD hạng k Đối với vectơ trực giao {vj , j = 1, , k}, có, k n xi − xi , vj vj n k xi − = i=1 j=1 i=1 k xi , vj vj , xi − j=1 n j=1 n k | xi , vj |2 xi , xi − = i=1 xi , vj vj i=1 j=1 Điều cho thấy toán cực đại (2.1) tương đương với toán cực thiểu sau n xi − arg vi ∈RN k i=1 , với vj , vj = δij , xi , vj vj i, j j=1 Hơn nữa, biểu thị Υ ma trận bao gồm vectơ cột trực giao vj , j = 1, , k Ta suy n n k | xi , vj |2 = trace X T X − X T ΥΥT X xi , xi − i=1 i=1 j=1 = trace X T I − ΥΥT X = trace X T I − ΥΥT I − ΥΥT X = trace T = I − ΥΥT X I − ΥΥT X = X − ΥΥT X với F F I − ΥΥT X F , biểu thị chuẩn Frobenius Một hệ định lý 2.1.1 Hệ 2.1 Với ký hiệu nói trên, chúng tơi có X − U (1 : k) U (1 : k)T X X − ΥΥT X F với U(1: k) biểu thị ma trận hình thành k cột U F (2.6) 20 Phát biểu lời, bất đẳng thức (2.6) nói khơng gian sinh sở POD tối thiểu hóa chuẩn Frobenius hiệu X hình chiếu tất khơng gian có số chiều Nhận xét: Trong khn khổ mơ hình giảm POD, kích thước khơng gian trạng thái N thường lớn nhiều so với số lượng ảnh chụp n Do đó, người ta khơng tính tốn cách giải tốn giá trị riêng N chiều (2.4) Căn vào (2.3), giải toán giá trị riêng n chiều (2.5) sau tính tốn ui ui = Xvi , i = 1, , k σi Để trả lời câu hỏi làm tăng kích thước sở POD lên để gần liệu cho X , khơng có tiêu chí cụ thể Một đầu mối mà vấn đề giải dựa tỷ lệ k σi i=1 d σi i=1 Người ta xem xét để lựa chọn k cho tỷ lệ gần 2.3 Trường hợp liệu liên tục Thay ma trận, chúng tơi xét quỹ đạo {x (t) , t ∈ [0, T ]} ⊂ RN vấn đề đặt tìm tập vectơ trực giao vi , i = 1, , k gần quỹ đạo Hay nói cách khác, ta phải giải tốn tối ưu hóa T x (t) − arg vi ∈RN k x (t) , vi vi dt, với vi , vj = δij , i, j k i=1 Như trường hợp liệu rời rạc, vấn đề tương đương với k | x (t) , vi |2 dt, với vi , vj = δij , arg max v i ∈R N T i=1 i, j k (2.7) 21 Để làm rõ điều kiện cực đại cần thiết, đầu tiên, xác định R : RN → RN T v → Rv = x (t) , v x (t) dt Ta có R tuyến tính, bị chặn, khơng âm, đối xứng Do R có tập hợp giá trị riêng không âm Rui = λi ui , λ1 λ2 λd > = = 0, (2.8) R hạng d Ta nhận thấy R đóng vai trị tương tự U U T trường hợp liệu rời rạc Và trường hợp đó, vectơ riêng R sở POD vào định lí sau Định lí 2.2 Giả sử x (t) ∈ C([0, T ] , RN ) nghiệm phương trình trạng thái với điều kiện ban đầu cho Từ đó, nghiệm tốn (2.7) cho k vectơ riêng R, λ1 λ2 λk Vấn đề đặt là, làm để tránh việc giải toán giá trị riêng lớn (2.8) theo phương pháp ảnh chụp Các đại diện cho ma trận R RN T x (t) xT (t) dt R= (2.9) Bây giờ, thay liệu liên tục {x (t) , t ∈ [0, T ]} ⊂ RN , chúng tơi có số ảnh chụp quỹ đạo mà x (tj ) , = t0 < t1 < t2 < < tn = T Ma trận (2.9) xấp xỉ n x (tj ) xT (tj ) ∆j , R= j=1 22 ∆j kích thước bước tj − tj−1 Nếu viết   √ √  x1 (t1 ) ∆1 x1 (tn ) ∆n  X=   √ √ xN (t1 ) ∆1 xN (tn ) ∆n    ∈ RN ×n ,   từ ma trận R viết R = XX T Như trường hợp liệu rời rạc, giải toán giá trị riêng n chiều X T Xvi = λi vi , tính n vectơ riêng R ui = √ Xvi , i = 1, , k λi Lập luận này, mặt, cho thấy liệu rời rạc trường hợp liệu liên tục xử lý cách thống nhất, mặt khác, điểm quan trọng để xây dựng gọi cân POD, mà trình bày sau nhận xét 2.4 Phương pháp giảm bậc sử dụng phân tích trực giao Bây giờ, đưa sở POD {ui , i = 1, , r} xây dựng từ liệu lấy từ hệ động lực x (t) = Ax (t) + Bu (t) , (2.10) y (t) = Cx (t) , với A ∈ RN ×N , B ∈ RN ×m , C ∈ Rl×N , chúng tơi việc làm để sử dụng sở để tạo hệ giảm Khi liệu đưa thường chứa trạng thái tiêu biểu nhất, sở POD đại diện cho nó, vectơ trạng thái x(t) có số chiều N xấp xỉ U x (t) , U = [u1 , , ur ], với vectơ trạng thái x (t) có số chiều r N Thế nghĩa là, x (t) tọa độ hình chiếu vectơ có tọa độ x(t) khơng gian sinh 23 {ui , i = 1, , r} Hệ thống (2.10) trở thành U x (t) = AU x (t) + Bu (t) , (2.11) y (t) = CU x (t) Để tránh việc số ẩn số phương trình (2.11), ta cho phần dư trực giao với không gian r chiều RN Phương pháp POD chọn phép chiếu Galerkin, nghĩa không gian lựa chọn không gian kéo dài {ui , i = 1, , r} Do đó, hệ thống giảm xây dựng là, x (t) = Ax (t) + Bu (t) , y (t) = C x (t) , với A = U T AU, B = U T B, C = CU Chú ý: Lưu ý việc áp dụng POD để MOR không bị giới hạn hệ thống tuyến tính Trong thực tế, phương pháp giảm thích hợp cho hệ thống phi tuyến tính Đối với mơ hình chung hình thức (2.1), mơ hình để giảm liên quan x (t) = U T f (t, U x (t) , u (t)) , t ∈ T, y (t) = η (U x (t) , u (t)) 2.5 2.5.1 Mối quan hệ với phương pháp chặt cân Sơ lược phương pháp chặt cân Thuật toán chặt cân hệ không tối thiểu thực sau: • Bước 1: Giải hai phương trình Lyapunov (1.5) (1.6) để tính P, Q ta thu P = LT L, Q = RT R 24 • Bước 2: Phân tích giá trị kỳ dị LRT , LRT = U SV T • Bước 3: Gọi S1 ma trận cỡ k × k S , U1 k cột U , V1T k hàng V T Tính −1 T = S1 V1T R, −1 T + = LT U1 S1 Khi A = T AT + , B = T B, C = CT + , D=D Hệ thu phương pháp chặt cân bằng: Σ = (A, B, C, 0) 2.5.2 Phương pháp POD cân (balanced POD) Nhớ lại Định nghĩa (1.3) (1.4) tính đạt tính quan sát Nếu biểu thị cột ma trận đầu vào B b1 , , bn , sau đáp ứng xung eAt B coi nhóm vectơ đáp ứng trạng thái xi (t) = eAt bi đến xung đơn vị thứ i δ (t) ei , với ei vectơ đơn vị thứ i Rm Theo đó, gramian tính đạt được viết sau ∞ m xi (t) xiT (t) dt R= i=1 Tương tự vậy, gramian tính quan sát ∞ m z i (t) z iT (t) dt, Q= T i=1 với z i (t) = eA t cTi , ci hàng thứ i C 25 Trong chặt cân để giải phương trình Lyapunov (1.5) (1.6), khó Trong thực tế, vectơ trạng thái đáp ứng xung xi (t) , z i (t) cho vào thời điểm khoảnh khắc t1 , , tn Hai gramians xấp xỉ n m xi (tj )xiT (tj ) ∆j , R= j=1 i=1 n m z i (tj )z iT (tj ) ∆j Q= j=1 i=1 Chúng ta đặt  √ x11 (tn ) ∆n xm (t1 ) √ x1N (t1 ) ∆1 √ x1N (tn ) ∆n √ (t ) ∆ x 1   X=   √ √  xm (tn ) √ xm N (t1 ) ∆1 √ xm N (tn ) ∆n ∆1 ∆n      ∈ RN ×(mn) Theo đó, R = XX T Tương tự vậy, Q = Y Y T Cho  Y T X = U ΣV T = U1 U2 Σ1  V1   Σ2   V2 SVD Y T X, với Σ1 ∈ Rr×r , r < rank Y T X , 1 φ1 = XV1 Σ− , ψ1 = Σ− U1T Y T Sau φ1 bao gồm r cột biến đổi cân tương đối, ψ1 tập hợp r hàng nghịch đảo Đó là, hệ thống x (t) = ψ1 Aφ1 x + ψ1 Bu (t) y (t) = Cφ1 x (t) hệ thống giảm hệ thống (2.10) tạo chặt cân xấp xỉ Người ta nhận thấy lợi POD cân khơng phải tính hai gramians Thay vào đó, cần đến hai ma trận X ; Y xác định từ mơ thí nghiệm Vì vậy, phương pháp cân POD xấp xỉ phương pháp chặt cân 26 Chương Ví dụ số Trong chương này, chúng tơi trình bày hai ví dụ nhằm thử nghiệm minh họa phương pháp trình bày Chương Chúng lấy từ Tuyển tập ví dụ tiêu chuẩn cho giảm bậc mơ hình tuyến tính khơng phụ thuộc thời gian [2] Trong hai ví dụ, sau giảm bậc, ta tính hai sai loại sai số Thứ nhất, sai số tuyệt đối hàm truyền rút gọn so với hàm truyền gốc theo chuẩn H∞ Tức sai số tuyệt đối tính theo cơng thức ˆ H(·) − H(·) H∞ ˆ = sup H(iω) − H(iω) ω∈R ≈ ˆ H(iω) − H(iω) sup ω∈[100 ,1015 ] Thứ hai sai số tương đối ˆ H(·) − H(·) H(·) H∞ H∞ đảm bảo cho chất lượng xấp xỉ Lưu ý không phương pháp Chặt cân mà đó, sai số theo chuẩn H∞ chặn cận tiên nghiệm Phương pháp POD không nhắm đến đạt chặn hay tối thiểu hóa sai số theo chuẩn Chúng sử dụng chuẩn H∞ để đo sai số có hệ quy chiếu so sánh phương pháp với Trong hai ví dụ, liệu sinh từ mơ số Tức ta giải phương trình trạng thái với điều kiện ban đầu cụ thể hàm đầu vào cụ thể Đối với hai trường hợp, sử dụng điều kiện ban đầu khơng, tín hiệu đầu 27 10 10 sai so tuyet doi sai so tuyet doi −5 10 10 −5 −10 10 10 −10 −15 10 10 −15 10 −20 10 10 10 a) 10 15 10 10 10 10 10 b) 10 15 10 Hình 3.1: Sai số tuyệt đối mơ hình FOM: bậc giảm r = 20 (a) bậc giảm r = 30 (b) vào u(t) = (sin 100πt)10 phương pháp BDF (Backward differentiation formula) cấp 3.1 Hệ hình thức FOM Đây hệ SISO có bậc 1006 Nó hệ tạo mang tính học thuật có mục đích kiểm nghiệm phương pháp khơng xuất phát từ mơ hình thực tế Đối với hệ này, ta thực hai lần giảm bậc với bậc giảm tương ứng r = 20 r = 30 Chất lượng phương pháp thể qua sai số tuyệt đối đưa Hình 3.1 sai số tương đối đưa Hình 3.2 3.2 Hệ Eady Đây liệu lấy từ mơ hình theo dõi bão khoảng Thái Bình Dương Quá trình mơ hình hóa miêu tả cụ thể [2] Nó mơ hình SISO với bậc ban đầu 598 Tương tự hệ FOM, tiến hành giảm bậc hai lần với bậc hệ giảm tương ứng 20 40 Sai số tuyệt đối sai số tương đối thể qua hai hình 3.3 3.4 28 10 10 sai so tuong doi sai so tuong doi 10 −5 10 −2 10 −4 10 −10 10 −6 10 −8 10 −15 10 10 10 a) 10 15 10 10 10 10 10 b) 10 15 10 Hình 3.2: Sai số tương đối mơ hình FOM: bậc giảm r = 20 (a) bậc giảm r = 30 (b) −5 10 10 sai so tuyet doi sai so tuyet doi −10 10 −10 10 −20 10 −15 10 −30 10 −20 10 −40 10 −25 10 −50 10 10 10 a) 10 15 10 10 10 10 10 b) 10 15 10 Hình 3.3: Sai số tuyệt đối mơ hình Eady: bậc giảm r = 20 (a) bậc giảm r = 40 (b) Qua hai ví dụ ta nhận thấy phương pháp POD không hữu hiệu phương pháp Chặt cân bằng, đặc biệt ví dụ FOM Trong nghiên cứu khác, tiến hành giảm bậc hệ FOM đến bậc 15 sai số tuyệt đối đạt tới 10−3 rõ ràng xấp xỉ tốt xấp xỉ trình bày thí nghiệm Tuy nhiên, phải nhận thấy liệu để thực POD có từ đạc mơ nên chắn có sai số Ngồi ra, phương pháp POD áp dụng cho hệ phi tuyến, điều mà phương pháp Chặt cân tiêu chuẩn không thực 29 −6 −5 10 10 sai so tuong doi sai so tuong doi −10 10 −7 10 −15 10 −8 10 −20 10 −9 10 −25 10 −10 10 −30 10 10 10 a) 10 15 10 10 10 10 10 b) 10 15 10 Hình 3.4: Sai số tương đối mơ hình Eady: bậc giảm r = 20 (a) bậc giảm r = 40 (b) 30 Kết luận Luận văn xếp lại nghiên cứu sở lý thuyết hệ điều khiển tuyến tính, phương pháp phân tích trực giao dùng để giảm bậc hệ điều khiển tuyến tính Đồng thời luận văn nêu thuật tốn đưa ví dụ thực tế việc giảm bậc hệ điều khiển tuyến tính khơng phụ thuộc thời gian phương pháp phân tích trực giao, phân tích số ưu nhược điểm phương pháp 31 Tài liệu tham khảo Tiếng Anh [1] A.C Antoulas Approximation of Large-scale Dynamical Systems SIAM, (2006) [2] Y Chahlaoui, P Van Dooren (2005), "A collection of Benchmark examples for model reduction of linear time invariant dynamical systems", Lecture Notes in Computational Science and Engineering, 45, pp 379-392, [3] C.W Rowley Model reduction for fluids using balanced proper orthogonal decomposition Int J Bifurcat Chaos 15(3), (2005) [4] Nguyen Thanh Son, Interpolation Based Parametric Model Order Reduction, PhD dissertation Universităat Bremen, (2012) [5] S Volkwein Model reduction using proper orthogonal decomposition Lecture notes at Graz University, (2008) 32 Tôi cam đoan sửa chữa luận văn theo tất yêu cầu Hội đồng chấm luận văn thạc sĩ Thái Nguyên, ngày 12 tháng 06 năm 2015 Xác nhận người hướng dẫn Học viên TS Nguyễn Thanh Sơn Nguyễn Văn Lộc Xác nhận sở đào tạo ... Eady: bậc giảm r = 20 (a) bậc giảm r = 40 (b) 30 Kết luận Luận văn xếp lại nghiên cứu sở lý thuyết hệ điều khiển tuyến tính, phương pháp phân tích trực giao dùng để giảm bậc hệ điều khiển tuyến tính. .. chọn "Giảm bậc hệ điều khiển tuyến tính khơng phụ thuộc thời gian sử dụng phân tích trực giao" làm đề tài nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ Luận văn gồm chương 2 Chương 1: trình bày sơ lược hệ điều. .. TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN VĂN LỘC GIẢM BẬC CỦA HỆ ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH KHƠNG PHỤ THUỘC THỜI GIAN SỬ DỤNG PHÂN TÍCH TRỰC GIAO Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC