Hệ điều khiển tuyến tính

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Nguyễn Thị Thanh Thủy HỆ ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60 46 01 12 Người hướng dẫn khoa học PGS. TS. TẠ DUY PHƯỢNG THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 1 Mục lục Danh mục ký hiệu 3 Mở đầu 6 Chương1. Một số kiến thức bổ trợ 8 1.1 Một số kiến thức của tôpô và giải tích hàm . . . . . . . . . . 8 1.1.1 Tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.2 Tôpô yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.3 Hội tụ yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.4 Tập compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2 Lý thuyết độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.1 Khái niệm sigma-đại số ( σ− đại số) . . . . . . . . . . 12 1.2.2 Độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.3 Định nghĩa tích phân theo Lebesgue . . . . . . . . . . 14 1.3 Hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.1 Nghiệm suy rộng của hệ phương trình vi phân . . . . 17 1.3.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính . . . . . . . . . . 19 Chương2. Một số tính chất định tính của hệ tuyến tính có điều khiển 22 2.1 Tập đạt được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1.1 Khái niệm tập đạt được . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1.2 Tính chất của tập đạt được . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 Tính điều khiển được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Chương3. Bài toán điều khiển tối ưu và nguyên lý cực đại Pon- triagin 29 3.1 Dạng tổng quát của bài toán điều khiển tối ưu . . . . . . . . 30 3.1.1 Tổng quan về bài toán điều khiển tối ưu . . . . . . . . 30 3.2 Nguyên lý cực đại Pontriagin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2 Chương4. Điều khiển tối ưu hệ tuyến tính 38 4.1 Phương pháp quy hoạch động . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.2 Nguyên lý cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.3 Nguyên lý cực đại là điều kiện cần và đủ của tối ưu cho bài toán tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Kết luận 53 Tài liệu tham khảo 54 3 Danh mục ký hiệu R trường các số thực C trường các số phức ∅ tập rỗng x ∈ M phần tử x thuộc tập M y /∈ M phần tử y không thuộc tập M ∀ x với mọi x ∃ x tồn tại x M ⊆ N M là một tập con của N |x| giá trị tuyệt đối của x ||x|| chuẩn của x x, y tích vô hướng của các vectơ x, y f x 0 , y giá trị của toán tử f x 0 tại y f x (x 0 , y 0 ) đạo hàm của hàm f theo biến thứ nhất tại điểm (x 0 , y 0 ) ˙x(t) đạo hàm của x(.) tại t dx dt đạo hàm của x(.) tại t max x∈K f(x) maximum của tập số thực {f(x) | x ∈ K} min x∈K f(x) minimum của tập số thực {f(x) | x ∈ K} M(m, n) tập các ma trận cấp m × n A = (a ij ) ma trận A với các thành phần a ij A ∗ ma trận chuyển vị của ma trận A A −1 ma trận nghịch đảo của ma trận A 0 phần tử không của các không gian vectơ 4 LỜI CẢM ƠN Mặc dù một lời cảm ơn không thể nói lên được hết lòng biết ơn to lớn của tôi, nhưng tôi vẫn xin dành những lời đầu tiên trong bài luận văn của mình để được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc của tôi tới các thầy cô giáo, những người đã dìu dắt, dạy dỗ tôi trong suốt thời gian qua. Đặc biệt, xin chân thành cảm ơn thầy PGS. TS. Tạ Duy Phượng đã hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này. Cuối cùng tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã tạo điều kiện cho tôi học tập nghiên cứu, giúp đỡ đóng góp ý kiến để luận văn của tôi được hoàn thiện hơn. Tôi xin trân trọng cảm ơn! Học viên Nguyễn Thị Thanh Thủy 5 LỜI CAM ĐOAN Luận văn được hoàn thành nhờ sự nỗ lực cố gắng nghiên cứu của bản thân dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Tạ Duy Phượng, các thầy, cô giáo trong hội đồng bảo vệ và sự đóng góp của các bạn trong nhóm. Tôi xin cam đoan nội dung trình bày trong luận văn là trung thực, mọi sự giúp đỡ trong việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và những thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. 6 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết điều khiển toán học là một trong những lĩnh vực toán học ứng dụng quan trọng, mới được phát triển khoảng 50 năm trở lại đây. Nội dung chính của lý thuyết điều khiển toán học là những mô hình và các phương pháp toán học giải quyết những vấn đề định tính và giải số các hệ thống điều khiển. Rất nhiều bài toán trong khoa học, công nghệ, kỹ thuật và kinh tế được mô tả bởi các hệ phương trình vi phân chứa tham số điều khiển và cần đến những công cụ toán học để giải. Một trong những vấn đề đầu tiên và quan trọng nhất trong lý thuyết điều khiển hệ thống là lý thuyết điều khiển được, tức là tìm một chiến lược điều khiển, sao cho có thể chuyển hệ thống từ một trạng thái này sang một trạng thái khác. Bài toán điều khiển được liên quan chặt chẽ đến các bài toán khác như bài toán tồn tại điều khiển tối ưu, bài toán ổn định và ổn định hóa, bài toán quan sát được. Lý thuyết định tính của hệ phương trình vi phân tuyến tính có điều khiển trong không gian R n đã được nghiên cứu và hoàn thiện vào những năm 50-70 của thế kỉ trước và cho tới nay vẫn được quan tâm nghiên cứu và có thêm nhiều kết quả mới. Với mong muốn tìm hiểu một số vấn đề của lý thuyết phương trình vi phân tuyến tính có điều khiển, tôi chọn Hệ điều khiển tuyến tính làm đề tài luận văn cao học. 7 2. Mục đích nghiên cứu Luận văn trình bày tổng quan về các tính chất định tính của hệ điều khiển tuyến tính, chủ yếu dựa trên các tài liệu [1]-[5]. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Đọc hiểu các tài liệu và trình bày trong một luận văn cao học các kiến thức cơ bản nhất của hệ điều khiển tuyến tính. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Hệ điều khiển tuyến tính. Phạm vi nghiên cứu: Các sách, các bài báo và các tài liệu viết về Hệ điều khiển tuyến tính. 5. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các kiến thức của Giải tích, Giải tích hàm và Phương trình vi phân để tiếp cận và giải quyết vấn đề. Thu thập, nghiên cứu, tổng hợp và trình bày các tài liệu có liên quan đến các vấn đề mà luận văn đề cập tới. 8 Chương 1 Một số kiến thức bổ trợ 1.1 Một số kiến thức của tôpô và giải tích hàm 1.1.1 Tôpô Định nghĩa 1.1 Không gian tôpô là một cặp (X, τ), trong đó X là một tập hợp, τ là một họ các tập con của X thỏa mãn: 1) ∅ ∈ τ, X ∈ τ 2) U 1 , U 2 ∈ τ suy ra U 1 ∩ U 2 ∈ τ; 3) U t ∈ τ (∀t ∈ T ) suy ra  t∈T U t ∈ τ. Mỗi phần tử của τ được gọi là tập mở của X; họ τ được gọi là một tôpô trên X. Tập U ⊂ X được gọi là một lân cận của điểm x ∈ X, nếu tồn tại tập mở V sao cho x ∈ V ⊂ U. Định nghĩa 1.2 Giả sử K là một trường số thực hoặc số phức. Tập hợp X = ∅ cùng với hai phép toán cộng và nhân vô hướng thỏa mãn các tiên đề sau: 1) (X; +) là một nhóm Abel. 2) X cùng với phép nhân vô hướng thỏa mãn: a, α(x + y) = αx + αy với mọi x, y ∈ X và với mọi α ∈ K. b, (α + β)x = αx + βy với mọi x ∈ X và với mọi α, β ∈ K. 9 c, α(β)x = (αβ)x = αβx với mọi x ∈ X và với mọi α, β ∈ K. d, 1x = x với mọi x ∈ X thì X gọi là không gian tuyến tính trên trường K. Kết hợp hai khái niệm không gian tôpô và không gian tuyến tính ta đi đến khái niệm không gian tôpô tuyến tính như sau. Định nghĩa 1.3 1.1.2 Tôpô yếu Tôpô σ(X, Γ) Phiếm hàm tuyến tính f : X → R là phiếm hàm thỏa mãn f(αx 1 + βx 2 ) = αf(x 1 ) + βf(x 2 ), ∀x 1 , x 2 ∈ X. Tập tất cả các phiếm hàm tuyến tính tạo nên không gian tôpô (X ∗ , T ∗ ) đối ngẫu với (X, T ) . Giả sử Tập X được gọi là một không gian tôpô tuyến tính trên trường số thực R hoặc trường số phức C, nếu 1) X là một không gian tuyến tính; 2) X là một không gian tôpô ( với tôpô τ); 3) Với tôpô τ, phép cộng và phép nhân với một số của trường R hoặc C là liên tục. X là một không gian định chuẩn, X # là không gian đối ngẫu đại số của X và tập Γ ⊂ X # . Với x ∈ X, ta xét họ V x tất cả các tập con của X có dạng: V (x; f 1 , f 2 , , f n ; ε) = { y ∈ X : |f i (x) − f i (y)| < ε, i = 1, , n} , trong đó n là một số tự nhiên tùy ý, f i ∈ Γ(i = 1, , n), ε là số dương tùy ý. Đặt V = {V x : x ∈ X} . Họ V thỏa mãn các tính chất của hệ đầy đủ các lân cận của X, và do đó trên X tồn tại duy nhất một tôpô nhận V x làm cơ sở lân cận của điểm x ∈ X. Tôpô này được gọi là tôpô trên X xác định bởi họ Γ ⊂ X # , kí hiệu là σ(X, Γ). Tôpô σ(X, Γ) là tôpô yếu nhất trên X làm cho tất cả các phiếm hàm tuyến [...]... khiển chấp nhận được u(t), được gọi là tập đạt được của hệ (2.1) tại thời điểm T xuất phát từ điểm x0 2.1.2 Tính chất của tập đạt được 1 Tính lồi của tập đạt được Trường hợp là tập lồi và hệ là tuyến tính theo biến điều khiển Xét hệ tuyến tính theo cả hai biến trạng thái và biến điều khiển dx = A(t)x(t) + B(t)u(t), t dt 0 (2.2) với u(t) là các điều khiển chấp nhận được, U là tập lồi trong không gian hữu... Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất     21 x = A(t)x + f (t) ˙ Nghiệm của hệ này được biểu diễn dưới dạng t x(t) = Φ(t)x0 + Φ(t)Φ−1 (s)f (s)ds t0 Trong lý thuyết điều khiển hệ tuyến tính, ta thường xét hệ x(t) = A(t)x + B(t)u, ˙ trong đó u(t) được gọi là hàm điều khiển Công thức biểu diễn nghiệm của hệ này là t x(t) = Φ(t)x0 + t0 Φ(t)Φ−1 (s)B(s)u(s)ds 22 Chương 2 Một số tính. .. theo t 2.2 Tính điều khiển được Hệ (2.1) được gọi là điều khiển được hoàn toán nếu với mỗi cặp vectơ x0 , x1 trong không gian trạng thái Rn có thể tìm được một thời gian T và một điều khiển chấp nhận được u(.) trên [0, T ] sao cho quĩ đạo tương ứng xu (.) của hệ (2.1) thỏa mãn điều kiện x(0) = x0 và x(T ) = x1 Có thể xem các tiêu chuẩn điều khiển được trong [1]-[5] 29 Chương 3 Bài toán điều khiển tối... tìm điều khiển u(.) ∈ U sao cho cùng với quỹ đạo ˆ 34 tương ứng x(.) của hệ (3.2) hàm mục tiêu (3.3) sẽ đạt cực trị (cực đại ˆ hoặc cực tiểu) tại điều khiển u(.) đó, tức là ˆ T f 0 (t, x(t, )u(t))dt ˆ J(ˆ) = min / max u u(.)∈U u(.)∈U 0 Điều khiển u(.) được gọi là điều khiển tối ưu, và cặp (ˆ(.), u(.)) được ˆ x ˆ gọi là quá trình tối ưu của bài toán điều khiển tối ưu (3.2)–(3.3) Các bài toán điều khiển. .. khiển chấp nhận được u(.) đưa trạng thái x0 về x1 bởi phương trình điều khiển x(t) = u(t) ˙ Ví dụ trên cho thấy cần thiết nghiên cứu bài toán điều khiển tối ưu mô tả bởi hệ phương trình vi phân tổng quát 3.1 ưu 3.1.1 Dạng tổng quát của bài toán điều khiển tối Tổng quan về bài toán điều khiển tối ưu Xét hệ phương trình vi phân thường có điều khiển dạng dx = f (t, x, u), t dt 0 (3.1) Hàm u : [0, ∞) → Rm là... một biến t nên ta có thể thực hiện được phép tính tích phân ở trên Nếu điểm cuối x1 được cho trước (khi xét bài toán điều khiển tối ưu với điểm cuối cố định) thì thời gian T phải thỏa mãn điều kiện x(T ) = x1 Đặc biệt, nếu f 0 (t, x, u) ≡ 1 thì J(u) = T , và ta có bài toán điều khiển tối ưu thời gian Bài toán điều khiển tối ưu được mô tả như sau Xét hệ điều khiển   x(t) = f (t, x(t), u(t)) với hầu... (s)B(s)u(s)ds 22 Chương 2 Một số tính chất định tính của hệ tuyến tính có điều khiển 2.1 2.1.1 Tập đạt được Khái niệm tập đạt được Xét hệ phương trình vi phân thường có điều khiển dạng dx = f (t, x, u), t dt 0 x(t) = f (t, x, u), t ˙ 0 (2.1) hoặc Vectơ x ∈ Rn được gọi là biến trạng thái; Rn được gọi là không gian trạng thái; u ∈ Rn được gọi là biến điều khiển; Hàm u : [0, ∞) → Rm là đo được (hoặc liên... thời gian không cố định Bài toán điều khiển tác động nhanh được phát biểu như sau: Trong số tất cả các điều khiển chấp nhận được u = u(t) hãy tìm một điều khiển sao cho quĩ đạo tương ứng chuyển từ trạng thái ban đầu cho trước x0 về trạng thái cuối cùng định trước x1 với thời gian ngắn nhất Nói chung trong lớp những hàm liên tục không tồn tại điều khiển tối ưu, vì vậy điều khiển tối ưu cần phải tìm trong... tiêu có dạng (3.3) thì ta có bài toán điều khiển tối ưu Lagrange Nếu hàm J(u) có dạng J(u) = g(T, x(T )), (3.4) trong đó T là thời điểm cuối cố định cho trước của hệ, thì ta có bài toán điều khiển tối ưu Mayer Còn nếu hàm mục tiêu được cho bởi T f 0 (t, x(t, )u(t))dt + g(T, x(T )), J(x, u) = (3.5) 0 thì ta có bài toán điều khiển tối ưu Bolza Cả hai bài toán điều khiển tối ưu Lagrange và Bolza đều có... x(t) được gọi là đầu ra hoặc quĩ đạo tương ứng với điều khiển u(t) Cặp x(t), u(t) được gọi là một quá trình Có nhiều cách phát biểu khác nhau của bài toán điều khiển tối ưu Thí dụ, bài toán tối ưu năng lượng trên khoảng thời gian cho trước là bài toán: cho trước khoảng thời gian [0, T ], trong số tất cả các điều khiển chấp nhận được, hãy tìm điều khiển sao cho cùng với quĩ đạo tương ứng (nghiệm của . phân tuyến tính có điều khiển, tôi chọn Hệ điều khiển tuyến tính làm đề tài luận văn cao học. 7 2. Mục đích nghiên cứu Luận văn trình bày tổng quan về các tính chất định tính của hệ điều khiển tuyến. thuyết điều khiển hệ thống là lý thuyết điều khiển được, tức là tìm một chiến lược điều khiển, sao cho có thể chuyển hệ thống từ một trạng thái này sang một trạng thái khác. Bài toán điều khiển. phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Hệ điều khiển tuyến tính. Phạm vi nghiên cứu: Các sách, các bài báo và các tài liệu viết về Hệ điều khiển tuyến tính. 5. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng