Hệ điều khiển tuyến tính

Một số tính chất định tính của hệ tuyến tính có điều khiển 22 2.1 Tập đạt được.. LỜI CẢM ƠNMặc dù một lời cảm ơn không thể nói lên được hết lòng biết ơn to lớncủa tôi, nhưng tôi vẫn xin

Nguyễn Thị Thanh Thủy

HỆ ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Mục lục

1.1 Một số kiến thức của tôpô và giải tích hàm 8

1.1.1 Tôpô 8

1.1.2 Tôpô yếu 9

1.1.3 Hội tụ yếu 10

1.1.4 Tập compact 10

1.2 Lý thuyết độ đo 12

1.2.1 Khái niệm sigma-đại số ( σ− đại số) 12

1.2.2 Độ đo 12

1.2.3 Định nghĩa tích phân theo Lebesgue 14

1.3 Hệ phương trình vi phân 17

1.3.1 Nghiệm suy rộng của hệ phương trình vi phân 17

1.3.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính 19

Chương2 Một số tính chất định tính của hệ tuyến tính có điều khiển 22 2.1 Tập đạt được 22

2.1.1 Khái niệm tập đạt được 22

2.1.2 Tính chất của tập đạt được 23

2.2 Tính điều khiển được 28

Chương3 Bài toán điều khiển tối ưu và nguyên lý cực đại Pon-triagin 29 3.1 Dạng tổng quát của bài toán điều khiển tối ưu 30

3.1.1 Tổng quan về bài toán điều khiển tối ưu 30

3.2 Nguyên lý cực đại Pontriagin 35

Chương4 Điều khiển tối ưu hệ tuyến tính 384.1 Phương pháp quy hoạch động 384.2 Nguyên lý cực đại 394.3 Nguyên lý cực đại là điều kiện cần và đủ của tối ưu cho bài

toán tuyến tính 47

hx, yi tích vô hướng của các vectơ x, y

hfx0, yi giá trị của toán tử fx0 tại y

fx(x0, y0) đạo hàm của hàm f theo biến thứ nhất tại điểm (x0, y0)

˙x(t) đạo hàm của x(.) tại t

LỜI CẢM ƠN

Mặc dù một lời cảm ơn không thể nói lên được hết lòng biết ơn to lớncủa tôi, nhưng tôi vẫn xin dành những lời đầu tiên trong bài luận văn củamình để được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc của tôi tới các thầy

cô giáo, những người đã dìu dắt, dạy dỗ tôi trong suốt thời gian qua

Đặc biệt, xin chân thành cảm ơn thầy PGS TS Tạ Duy Phượng đã hướngdẫn tôi hoàn thành luận văn này

Cuối cùng tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã tạo điều kiện cho tôi học tậpnghiên cứu, giúp đỡ đóng góp ý kiến để luận văn của tôi được hoàn thiện hơn

Tôi xin trân trọng cảm ơn!

Học viên

Nguyễn Thị Thanh Thủy

LỜI CAM ĐOAN

Luận văn được hoàn thành nhờ sự nỗ lực cố gắng nghiên cứu của bản thândưới sự hướng dẫn của PGS.TS Tạ Duy Phượng, các thầy, cô giáo trong hộiđồng bảo vệ và sự đóng góp của các bạn trong nhóm

Tôi xin cam đoan nội dung trình bày trong luận văn là trung thực, mọi

sự giúp đỡ trong việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và nhữngthông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết điều khiển toán học là một trong những lĩnh vực toán họcứng dụng quan trọng, mới được phát triển khoảng 50 năm trở lại đây.Nội dung chính của lý thuyết điều khiển toán học là những mô hình vàcác phương pháp toán học giải quyết những vấn đề định tính và giải sốcác hệ thống điều khiển Rất nhiều bài toán trong khoa học, công nghệ,

kỹ thuật và kinh tế được mô tả bởi các hệ phương trình vi phân chứatham số điều khiển và cần đến những công cụ toán học để giải

Một trong những vấn đề đầu tiên và quan trọng nhất trong lý thuyếtđiều khiển hệ thống là lý thuyết điều khiển được, tức là tìm một chiếnlược điều khiển, sao cho có thể chuyển hệ thống từ một trạng thái nàysang một trạng thái khác Bài toán điều khiển được liên quan chặt chẽđến các bài toán khác như bài toán tồn tại điều khiển tối ưu, bài toán

ổn định và ổn định hóa, bài toán quan sát được

Lý thuyết định tính của hệ phương trình vi phân tuyến tính có điềukhiển trong không gian Rn đã được nghiên cứu và hoàn thiện vào nhữngnăm 50-70 của thế kỉ trước và cho tới nay vẫn được quan tâm nghiêncứu và có thêm nhiều kết quả mới Với mong muốn tìm hiểu một sốvấn đề của lý thuyết phương trình vi phân tuyến tính có điều khiển, tôichọn Hệ điều khiển tuyến tính làm đề tài luận văn cao học

2 Mục đích nghiên cứu

Luận văn trình bày tổng quan về các tính chất định tính của hệ điềukhiển tuyến tính, chủ yếu dựa trên các tài liệu [1]-[5]

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Đọc hiểu các tài liệu và trình bày trong một luận văn cao học các kiếnthức cơ bản nhất của hệ điều khiển tuyến tính

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Hệ điều khiển tuyến tính

Phạm vi nghiên cứu: Các sách, các bài báo và các tài liệu viết về Hệđiều khiển tuyến tính

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các kiến thức của Giải tích, Giải tích hàm và Phương trình viphân để tiếp cận và giải quyết vấn đề Thu thập, nghiên cứu, tổng hợp

và trình bày các tài liệu có liên quan đến các vấn đề mà luận văn đề cậptới

Không gian tôpô là một cặp (X, τ ), trong đó X là một tập hợp, τ là một

họ các tập con của X thỏa mãn:

Định nghĩa 1.2

Giả sử K là một trường số thực hoặc số phức Tập hợp X 6= ∅ cùng vớihai phép toán cộng và nhân vô hướng thỏa mãn các tiên đề sau:

1) (X; +) là một nhóm Abel

2) X cùng với phép nhân vô hướng thỏa mãn:

a, α(x + y) = αx + αy với mọi x, y ∈ X và với mọi α ∈ K

b, (α + β)x = αx + βy với mọi x ∈ X và với mọi α, β ∈ K

c, α(β)x = (αβ)x = αβx với mọi x ∈ X và với mọi α, β ∈ K.

d, 1x = x với mọi x ∈ X

thì X gọi là không gian tuyến tính trên trường K

Kết hợp hai khái niệm không gian tôpô và không gian tuyến tính ta đi đếnkhái niệm không gian tôpô tuyến tính như sau

1) X là một không gian tuyến tính;

2) X là một không gian tôpô ( với tôpô τ);

3) Với tôpô τ, phép cộng và phép nhân với một số của trường R hoặc C làliên tục X là một không gian định chuẩn, X# là không gian đối ngẫu đại

số của X và tập Γ ⊂ X# Với x ∈ X, ta xét họ Vx tất cả các tập con của X

có dạng:

V (x; f1, f2, , fn; ε) = { y ∈ X : |fi(x) − fi(y)| < ε, i = 1, , n} ,

trong đón là một số tự nhiên tùy ý, fi ∈ Γ(i = 1, , n), ε là số dương tùy ý.Đặt V = {Vx : x ∈ X} Họ V thỏa mãn các tính chất của hệ đầy đủ các lâncận của X, và do đó trên X tồn tại duy nhất một tôpô nhận Vx làm cơ sởlân cận của điểm x ∈ X Tôpô này được gọi là tôpô trên X xác định bởi họ

Γ ⊂ X#, kí hiệu là σ(X, Γ)

Tôpô σ(X, Γ) là tôpô yếu nhất trên X làm cho tất cả các phiếm hàm tuyến

Cho X là một không gian tuyến tính định chuẩn trên trường K Kí hiệu

X∗ = L(X, K) là tập tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X Dãy

{xn} được gọi là hội tụ yếu đến x trong X nếu mọi x∗ ∈ X∗ hội tụ đến

Không gian metric (X, d) thường được viết là X với d được hiểu ngầm khikhông bị nhầm lẫn.

Tập compact

Cho các không gian mêtric (X, d)

1 Một họ {Gi : i ∈ I} các tập con của X được gọi là một phủ của tập

A ⊂ X nếu A ⊂ S

i∈I

Gi

Nếu I là tập hữu hạn thì ta nói phủ là hữu hạn

Nếu mọi Gi là tập mở thì ta nói phủ là phủ mở

2 Tập A ⊂ X được gọi là một tập compact nếu từ mỗi phủ mở của A taluôn có thể lấy được một phủ hữu hạn

Tập compact yếu

Giả sử X là không gian định chuẩn, M ⊂ X Tập M được gọi là compắcyếu theo dãy, nếu mọi dãy {xn} ⊂ M đều chứa một dãy con hội tụ đến mộtphần tử x0 ∈ M

1.2 Lý thuyết độ đo

1.2.1 Khái niệm sigma-đại số ( σ− đại số)

Cho X là một tập hợp tùy ý khác rỗng Khi đó, một họ F các tập concủa X được gọi là sigma− đại số các tập con của X nếu F thỏa mãn bađiều kiện sau:

Nếu S là tập con bất kì của X, thì ta luôn luôn có thể tìm thấy một σ−đại

số có chứa S, là tập hợp lực lượng của X (Tập hợp gồm tất cả các tập concủa X ) Bằng cách lấy giao tất cả các σ−đại số có chứa S, ta cũng đượcmột σ−đại số Đây là σ−đại số nhỏ nhất chứa S và được gọi lF σ−đại sốsinh ra bởi S.)

1.2.2 Độ đo

Trong toán học, một độ đo là một hàm số cho tương ứng một "chiều dài",một "thể tích" hoặc một "xác suất" với một phần nào đó của một tập hợpcho sẵn Nó là một khái niệm quan trọng trong giải tích và trong lý thuyếtxác suất Một cách hình thức, độ đo µ là một hàm số cho tương ứng mỗiphần tử S của một tập σ - đại số X với một giá trị µ(S) là một số thựckhông âm hoặc vô hạn Các tính chất sau đây phải được thỏa mãn:

• Tập hợp rỗng có độ đo bằng không: µ(∅) = 0

• Độ đo là σ - cộng tính: nếu E1, E2, là các tập hợp chứa trong σ - đại

số X, đếm được và không giao nhau từng đôi một, và nếu E là hợp củachúng, thì độ đo µ(E) bằng tổng P∞

k=1µ(Ek)

• Nếu E1, E2, là các tập đo được và E1 là tập con của E2,

En có độ đo hữu hạn, thì µ(E) = lim µ(En)

Một tập S được gọi là hầu như rỗng hay có thể bỏ được nếu µ(S) = 0 Độ

đo µ được gọi là đủ nếu mọi tập con của một tập hầu như rỗng là đo được(một tập con như vậy thì bản thân nó cũng là một tập hầu như rỗng).Sau đây là một vài ví dụ tiêu biểu về độ đo:

• Độ đo đếm được định nghĩa bởi µ(S) = số phần tử của S

• Độ đo Lebesgue là độ đo đủ duy nhất bất biến qua phép dịch chuyểntrên σ -đại số chứa các các đoạn trên R sao cho µ([a,b]) = b-a với a<b

• Độ đo không được định nghĩa bởi µ(S) = 0 với mọi S

• Các khái niệm metric như độ dài, diện tích, thể tích đều là độ đo.Dựa trên cơ sở lí thuyết độ đo Lebesgue ta có một số định nghĩa sau:

1.2.3 Định nghĩa tích phân theo Lebesgue

Những phép tính tích phân đầu tiên đã được thực hiện từ cách đây 2.000năm bởi Archimedes (287–212 trước Công nguyên), khi ông tính diện tích bềmặt và thể tích khối của hình cầu, hình parabol và hình nón Phương pháptính của Archimedes rất hiện đại dù vào thời ấy chưa có khái niệm về đại số,

hàm số hay thậm chí cách viết số dạng thập phân.

Phép toán vi phân và tích phân (giải tích toán học), đã được Leibniz (1646–1716)

và Newton (1642–1727) xây dựng hoàn chỉnh Có thể coi tích phân là phéptoán ngược của vi phân Sử dụng mối liên hệ hình thức này, hai nhà toánhọc đã giải được một số lượng khổng lồ các bài toán quan trọng trong toánhọc, vật lý và thiên văn học

Riemann (1826–1866) và Lebesgue (1875–1941) là những người tiên phongđặt nền tảng lô-gíc vững chắc cho khái niệm tích phân Tích phân Riemanndựa trên độ đo Jordan, còn tích phân Lebesgue dựa trên độ đo Lebesgue.Tích phân theo Lebesgue được định nghĩa như sau:

Cho không gian độ đo và A ∈ F, f : A → R là hàm đo được.

(a) Nếu f là hàm đơn giản, không âm trên A và f =

(c) Nếuf là hàm đo được thìf+(x) = max {f (x), 0} , f−(x) = max {−f (x), 0}

là các hàm đo được, không âm và ta có f (x) = f+(x) − f−(x) Nếu ít nhấtmột trong các tích phân R

Ta nói f khả tích trên A nếu R

2 Nếu ˜h(t) 6= h(t) trên tập có độ đo bằng 0 thì R

J

h(t)dt = R

J

˜h(t)dt

3 Nếu h(t) là liên tục từng khúc và J là một tập compact thì tích phânLebesgue và tích phân Riemann trùng nhau

1 H(t) là hàm liên tục tuyệt đối

2 H(t) có đạo hàm hầu khắp nơi và dH(t)dt = h(t)

Ví dụ

Hàm y = |t| là hàm không có đạo hàm tại t = 0 nhưng nó lại liên tụctuyệt đối vì ∀ε > 0, ∃δ = ε > 0 , |t1 − t2| < δ ⇒ |f (t1) − f (t2)| < ε

Khái niệm hội tụ

Xét dãy {un(t)} , un(t) là khả tích trên J, được gọi là hội tụ yếu tới hàm

u∗(t) nếu với mọi hàm đo được bị chặn g(t) ta có:

Nhận xét

Tập tất cả các hàm vectơ u(t) đo được trên một khoảng hữu hạn J nhậngiá trị trong một tập compact lồi Ω ⊆ Rm là tập compact yếu, nghĩa lànếu dãy {unk(t)} đo được và hội tụ yếu đến u∗(t) thì u∗(t) đo được và

(a) Với mỗi t ∈ J cố định, hàm fi(t, x) là thuộc lớp C1 với mỗi x ∈ O;

(b) Với mỗi x ∈ O cố định, hàm fi(t, x) là đo được với t ∈ J ;

(c) Với mọi tập compact Jc ⊂ J và K ⊂ O, tồn tại một hàm m(t) khả tíchtrên J sao cho |f (t, x)| 6 m(t) và

∂f

∂x(t, x)

dt = f (t, ø(t, t0, x0))

hầu khắp nơi trên τ−(t0, x0) < t < τ+(t0, x0)

Hàm liên tục tuyệt đối ø(t, t0, x0) được gọi là nghiệm suy rộng của phươngtrình vi phân đã cho

Với mỗi(t, t0), hàm ø(t, t0, x0) thuộc lớp C1 tại x0 và vecto ∂ø(t,t0 ,x0)

∂xj0 , với mỗi

j = 1, 2, n, là liên tục tuyệt đối theo t và thỏa mãn hệ phương trình viphân tuyến tính

d dt

(c’) Với các tập compact Jc ⊂ J, K ⊂ O, L ⊂ Λ tồn tại hàm khả tích

m(t) trên Jc sao cho

|Df (t, x, λ)| 6 m(t)∀(t, x, λ) ∈ Jc × K × L

với mọi đạo hàm riêngD có bậc6 k theo(x, λ).Khi đó hàmø(t, t0, x0, λ)

là một hàm liên tục trong tập mở O0 ⊂R1+1+n+m và thuộc lớp Ck theo

(x, λ)

2 Nếu f (t, x, λ) mà liên tục trong J × O × Λ ⊂ R1+n+m và nó thỏa mãnđiều kiện (a’) và (c’) thì điều kiện (b) tự động được thỏa mãn Khi ấy

ta có nghiệm ø(t, t0, x0, λ) thuộc lớp C1 trong lân cận O0 ⊂R1+n+m vàthỏa mãn phương trình vi phân tại mọi điểm trong khoảng τ−(t0, x0) <

1.3.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính

Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính không dừng

Nếu x(t0) = x0 thì x(t) = Φ(t0)c = c ⇒ x(t) = Φ(t)x0.

Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất

Chương 2

Một số tính chất định tính của hệ

tuyến tính có điều khiển

2.1 Tập đạt được

2.1.1 Khái niệm tập đạt được

Xét hệ phương trình vi phân thường có điều khiển dạng

dx

dt = f (t, x, u), t > 0 (2.1)hoặc

˙x(t) = f (t, x, u), t > 0

Vectơ x ∈ Rn được gọi là biến trạng thái;

Rn được gọi là không gian trạng thái;

u ∈ Rn được gọi là biến điều khiển;

Hàm u : [0, ∞) → Rm là đo được (hoặc liên tục từng khúc theo t ), thỏamãn

u(t) ∈ U ⊂Rm, t > 0

được gọi là điều khiển chấp nhận được

Tập U được gọi là tập hạn chế trên biến điều khiển;

Hàm f : [0, ∞)×Rn × U → Rn là một véctơ hàm n chiều, liên tục theo cả

ba biến t, x, u Như vậy, với mỗi điều khiển chấp nhận được u(t) đã chọn

trên [0, T ] , hàm f (t, x(t), u(t)) là một hàm khả tích địa phương theo t, hệ(2.1) trở thành phương trình vi phân thường

Định lí 2.1

Nếu U là tập lồi thì với mọi T > 0, R(T ) cũng là một tập lồi trongkhông gian hữu hạn chiều Rm

Chứng minh

Giả sử x1(T ) ∈ R(T ) và x2(T ) ∈ R(T ) Khi ấy tồn tại hai điềukhiển chấp nhận được u1(t) và u2(t) sao cho hai nghiệm tương ứng

x1(t, x0, u1(t)) và x2(t, x0, u1(t)) có các điểm cuối là x1(T ) và x2(T ) Với mỗi λ ∈ [0, 1] ta xây dựng điều khiển:

uλ(t) := λu1(t) + (1 − λ)u2(t), t ∈ [0, T ]

Do u1(t), u2(t) đo được nên uλ(t) cũng là hàm đo được Do u1(t) ∈ U,

u2(t) ∈ U và U là tập lồi nên uλ(t) ∈ U với mọi t ∈ [0, T ], tức là uλ(t)

cũng là điều khiển chấp nhận được

Nghiệm của hệ (2.2) tương ứng với điều khiển u2(t) có dạng

2 Tính compact của tập đạt được

Trong trường hợp tập hạn chế U là compact thì tập đạt được R(T )cũng

là một tập compact Ta có định lý sau

Định lý 2.2

Giả sử A(t) là khả tích địa phương trên [0, T ] , f (t, u) là liên tục theo

cả hai biến Hàm điều khiển u(.) là đo được và nhận giá trị trong tậpcompact U ⊂ Rm Khi ấy tập đạt được R(T ) của hệ x(t) = A(t)x +

Giả sử x(t) là nghiệm tương ứng với điều khiển u(t), tức là

t ∈ [0, t1 + 1] Do f (u, t) là hàm liên tục nên tồn tại hằng số C2 > 0

Sử dụng tính chất liên tục của tích phân theo cận trên ta có: Với mỗi

ε > 0 tồn tại số δ > 0 sao cho với mọi |t − t1| < δ ta có







u(t), 0 6 t 6 t1;u(t1), t1 6 t6 t1 + 1

Khi ấy u(t)¯ là điều khiển chấp nhận được trên [0, t1 + 1] Nếu x(t)¯

là điều khiển tương ứng với u(t)¯ trên [0, t1 + 1] thì x(t¯ 2) ∈ R(t2) và

k¯x(t2) − ¯x(t1)k < ε khi |t2 − t1| < δ Hơn nữa,

¯x(t) ≡ x(t) trên [0, t1]

Suy ra k¯x(t2) − x(t1)k = k¯x(t2) − ¯x(t1)k < ε

Từ đây ta có

ρ(x(t1),R(t2)) := inf

¯ x(t 2 )∈R(t 2 )ρ(x(t1), ¯x(t2)) < ε

Tương tự, nếu x(t˜ 2) ∈R(t2) tương ứng với điều khiển u(t)˜ trên khoảng

[0, t2] Xác định điều khiển chấp nhận được

ˆu(t) =







˜u(t), → 0 6 t 6 t2;

˜u(t2), → t2 6 t6 t1 + 1

Trên[0, t1 + 1] Nếu x(t)ˆ là điều khiển tương ứng với u(t)ˆ trên [0, t1 + 1]

thì x(tˆ 1) ∈ R(t1) và kˆx(t2) − ˆx(t1)k < ε khi |t2 − t1| < δ Hơn nữa,

2.2 Tính điều khiển được

Hệ (2.1) được gọi là điều khiển được hoàn toán nếu với mỗi cặp vectơ

x0, x1 trong không gian trạng thái Rn có thể tìm được một thời gian T

và một điều khiển chấp nhận được u(.) trên [0, T ] sao cho quĩ đạo tươngứng xu(.) của hệ (2.1) thỏa mãn điều kiện x(0) = x0 và x(T ) = x1

Có thể xem các tiêu chuẩn điều khiển được trong [1]-[5]

... tính chất định tính hệ< /h2>

tuyến tính có điều khiển< /h2>

2.1 Tập đạt được

2.1.1 Khái niệm tập đạt

Xét hệ phương trình vi phân thường có điều khiển dạng

dx... Tính điều khiển được

Hệ (2.1) gọi điều khiển hồn tốn với cặp vectơ

x0, x1 khơng gian trạng thái Rn tìm thời gian T

và điều khiển. .. τ−(t0, x0) <

1.3.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính

Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính khơng dừng