Hệ điều khiển tuyến tính

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Nguyễn Thị Thanh Thủy HỆ ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60 46 01 12 Người hướng dẫn khoa học PGS TS TẠ DUY PHƯỢNG THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 Mục lục Danh mục ký hiệu Mở đầu Chương1 Một số kiến thức bổ trợ 1.1 Một số kiến thức tơpơ giải tích hàm 1.1.1 Tôpô 1.1.2 Tôpô yếu 1.1.3 Hội tụ yếu 1.1.4 Tập compact 1.2 Lý thuyết độ đo 1.2.1 Khái niệm sigma-đại số ( σ− đại số) 1.2.2 Độ đo 1.2.3 Định nghĩa tích phân theo Lebesgue 1.3 Hệ phương trình vi phân 1.3.1 Nghiệm suy rộng hệ phương trình vi 1.3.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính Chương2 Một số tính chất định tính khiển 2.1 Tập đạt 2.1.1 Khái niệm tập đạt 2.1.2 Tính chất tập đạt 2.2 Tính điều khiển phân 8 10 10 12 12 12 14 17 17 19 hệ tuyến tính có điều Chương3 Bài toán điều khiển tối ưu nguyên lý cực triagin 3.1 Dạng tổng quát toán điều khiển tối ưu 3.1.1 Tổng quan toán điều khiển tối ưu 3.2 Nguyên lý cực đại Pontriagin 22 22 22 23 28 đại Pon29 30 30 35 Chương4 Điều khiển tối ưu hệ tuyến tính 4.1 Phương pháp quy hoạch động 4.2 Nguyên lý cực đại 4.3 Nguyên lý cực đại điều kiện cần đủ tốn tuyến tính tối ưu 38 38 39 cho 47 Kết luận 53 Tài liệu tham khảo 54 Danh mục ký hiệu R C ∅ x∈M y∈ /M ∀x ∃x M ⊆N |x| ||x|| x, y f x0 , y fx (x0 , y0 ) x(t) ˙ dx dt max f (x) trường số thực trường số phức tập rỗng phần tử x thuộc tập M phần tử y không thuộc tập M với x tồn x M tập N giá trị tuyệt đối x chuẩn x tích vơ hướng vectơ x, y giá trị toán tử fx0 y đạo hàm hàm f theo biến thứ điểm (x0 , y0 ) đạo hàm x(.) t f (x) minimum tập số thực {f (x) | x ∈ K} M (m, n) A = (aij ) A∗ A−1 tập ma trận cấp m × n ma trận A với thành phần aij ma trận chuyển vị ma trận A ma trận nghịch đảo ma trận A phần tử không không gian vectơ x∈K x∈K đạo hàm x(.) t maximum tập số thực {f (x) | x ∈ K} LỜI CẢM ƠN Mặc dù lời cảm ơn khơng thể nói lên hết lịng biết ơn to lớn tôi, xin dành lời luận văn để bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy cô giáo, người dìu dắt, dạy dỗ tơi suốt thời gian qua Đặc biệt, xin chân thành cảm ơn thầy PGS TS Tạ Duy Phượng hướng dẫn tơi hồn thành luận văn Cuối xin cảm ơn gia đình, bạn bè tạo điều kiện cho tơi học tập nghiên cứu, giúp đỡ đóng góp ý kiến để luận văn tơi hồn thiện Tơi xin trân trọng cảm ơn! Học viên Nguyễn Thị Thanh Thủy LỜI CAM ĐOAN Luận văn hoàn thành nhờ nỗ lực cố gắng nghiên cứu thân hướng dẫn PGS.TS Tạ Duy Phượng, thầy, cô giáo hội đồng bảo vệ đóng góp bạn nhóm Tơi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực, giúp đỡ việc thực luận văn cảm ơn thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Mở đầu Lý chọn đề tài Lý thuyết điều khiển toán học lĩnh vực toán học ứng dụng quan trọng, phát triển khoảng 50 năm trở lại Nội dung lý thuyết điều khiển tốn học mơ hình phương pháp tốn học giải vấn đề định tính giải số hệ thống điều khiển Rất nhiều toán khoa học, công nghệ, kỹ thuật kinh tế mô tả hệ phương trình vi phân chứa tham số điều khiển cần đến cơng cụ tốn học để giải Một vấn đề quan trọng lý thuyết điều khiển hệ thống lý thuyết điều khiển được, tức tìm chiến lược điều khiển, cho chuyển hệ thống từ trạng thái sang trạng thái khác Bài toán điều khiển liên quan chặt chẽ đến toán khác toán tồn điều khiển tối ưu, toán ổn định ổn định hóa, tốn quan sát Lý thuyết định tính hệ phương trình vi phân tuyến tính có điều khiển khơng gian Rn nghiên cứu hoàn thiện vào năm 50-70 kỉ trước quan tâm nghiên cứu có thêm nhiều kết Với mong muốn tìm hiểu số vấn đề lý thuyết phương trình vi phân tuyến tính có điều khiển, tơi chọn Hệ điều khiển tuyến tính làm đề tài luận văn cao học Mục đích nghiên cứu Luận văn trình bày tổng quan tính chất định tính hệ điều khiển tuyến tính, chủ yếu dựa tài liệu [1]-[5] Nhiệm vụ nghiên cứu Đọc hiểu tài liệu trình bày luận văn cao học kiến thức hệ điều khiển tuyến tính Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Hệ điều khiển tuyến tính Phạm vi nghiên cứu: Các sách, báo tài liệu viết Hệ điều khiển tuyến tính Phương pháp nghiên cứu Sử dụng kiến thức Giải tích, Giải tích hàm Phương trình vi phân để tiếp cận giải vấn đề Thu thập, nghiên cứu, tổng hợp trình bày tài liệu có liên quan đến vấn đề mà luận văn đề cập tới Chương Một số kiến thức bổ trợ 1.1 1.1.1 Một số kiến thức tơpơ giải tích hàm Tôpô Định nghĩa 1.1 Không gian tôpô cặp (X, τ ), X tập hợp, τ họ tập X thỏa mãn: 1) ∅ ∈ τ, X ∈ τ 2) U1 , U2 ∈ τ suy U1 ∩ U2 ∈ τ ; 3) Ut ∈ τ (∀t ∈ T ) suy Ut ∈ τ t∈T Mỗi phần tử τ gọi tập mở X ; họ τ gọi tôpô X Tập U ⊂ X gọi lân cận điểm x ∈ X , tồn tập mở V cho x ∈ V ⊂ U Định nghĩa 1.2 Giả sử K trường số thực số phức Tập hợp X = ∅ với hai phép tốn cộng nhân vơ hướng thỏa mãn tiên đề sau: 1) (X; +) nhóm Abel 2) X với phép nhân vơ hướng thỏa mãn: a, α(x + y) = αx + αy với x, y ∈ X với α ∈ K b, (α + β)x = αx + βy với x ∈ X với α, β ∈ K c, α(β)x = (αβ)x = αβx với x ∈ X với α, β ∈ K d, 1x = x với x ∈ X X gọi khơng gian tuyến tính trường K Kết hợp hai khái niệm không gian tôpô khơng gian tuyến tính ta đến khái niệm khơng gian tơpơ tuyến tính sau Định nghĩa 1.3 1.1.2 Tơpơ yếu Tơpơ σ(X, Γ) Phiếm hàm tuyến tính f : X → R phiếm hàm thỏa mãn f (αx1 + βx2 ) = αf (x1 ) + βf (x2 ), ∀x1 , x2 ∈ X Tập tất phiếm hàm tuyến tính tạo nên khơng gian tôpô (X ∗ , T ∗ ) đối ngẫu với (X , T ) Giả sử Tập X gọi khơng gian tơpơ tuyến tính trường số thực R trường số phức C, 1) X khơng gian tuyến tính; 2) X không gian tôpô ( với tôpô τ ); 3) Với tôpô τ , phép cộng phép nhân với số trường R C liên tục X không gian định chuẩn, X # không gian đối ngẫu đại số X tập Γ ⊂ X # Với x ∈ X , ta xét họ Vx tất tập X có dạng: V (x; f1 , f2 , , fn ; ε) = { y ∈ X : |fi (x) − fi (y)| < ε, i = 1, , n} , n số tự nhiên tùy ý, fi ∈ Γ(i = 1, , n), ε số dương tùy ý Đặt V = {Vx : x ∈ X} Họ V thỏa mãn tính chất hệ đầy đủ lân cận X, X tồn tôpô nhận Vx làm sở lân cận điểm x ∈ X Tôpô gọi tôpô X xác định họ Γ ⊂ X # , kí hiệu σ(X, Γ) Tơpơ σ(X, Γ) tơpơ yếu X làm cho tất phiếm hàm tuyến 41 Trong đó: aiα , biβ hệ số khơng đổi Hệ (4.1) viết dạng vectơ sau x˙ = A(t)x + B(t)u (4.2) Trong     A=   a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann   b11 b12 b1r       b2 b2 b2    r  ; B =         n n n b1 b2 br Ta gọi toán điều khiển tối ưu tuyến tính tốn tìm tác dụng nhanh tối ưu với ba điều kiện sau: (a) Phương trình chuyển động đối tượng tuyến tính (b) Trạng thái cuối định trước trùng với gốc tọa độ (0, 0, , 0) không gian pha n chiều biến x1 , x2 , , xn (c) Miền điều khiển U đa diện lồi r chiều không gian r chiều u1 , u2 , , ur đồng thời gốc tọa độ không gian thuộc đa diện U , đỉnh Gốc tọa độ xi = 0, i = 1, , n vị trí cân hệ n i aiα xα , i = 1, , n x˙ = (4.3) α=1 Hệ nhận từ hệ (4.1) cách bỏ điều khiển ( cho u1 = u2 = = ur = ) Khi đó, điều kiện tương đương với việc cần phải tìm điều khiển để đưa đối tượng từ trạng thái ban đầu cho trước x0 vị trí cân 42 Chứng minh nguyên lý cực đại trường hợp tốn điều khiển tối ưu tuyến tính Hàm n H= n ψα ( α=1 r aαγ xγ + γ=1 bαβ uβ ) = ψ(Ax + Bu) = ψAx + ψBu β=1 (4.4) (Các tích vơ hướng viết vế phải, ví dụ ψAx tích vơ hướng vectơ ψ Ax ) Ta xét hệ phương trình vi phân biến phụ ψ1 , ψ2 , , ψn ∂H(ψ, x(t), u(t)) ψ˙ k = − ∂xk , k = 1, , n (4.5) Ta có  n n r  ∂H ∂  = ψx( aαγ xγ + bαβ uβ ) = i i ∂x ∂x α=1 γ=1 β=1 r aαi ψα (4.6) α=1 Cho nên hệ phương trình biến số phụ có dạng n ψ˙ i = − aαi ψα , i = 1, , n (4.7) α=1 Dưới dạng vectơ hệ (3.7) có dạng     ∗ Với A =    a11 a21 an1 ψ˙ = −A∗ ψ  (4.8)  a12 a22 an2   ma trận nhận từ A cách    a1n a2n ann chuyển vị Xét H = ψAx + ψBu 43 Do ψ không phụ thuộc vào U nên viết hệ thức (D) cần để ý đến số hạng thứ 2, hệ thức (D) trường hợp τ, t0 τ t1 có dạng ψ(τ )Bu(τ ) = max ψ(τ )Bu (4.9) u∈U Hệ thức (E) ln thỏa mãn Tóm lại, giả sử U (t) , t0 t t1 điều khiển chấp nhận được, đưa đối tượng x˙ = Ax + Bu từ trạng thái ban đầu cho trước x0 đến vị trí cân (0, 0, 0) Ta nói điều khiển U (t) thỏa mãn nguyên lý cực đại tồn nghiệm khơng tầm thường ψ(t) phương trình (3.8) cho điều kiện cực đại (3.9) thỏa mãn (tại thời điểm τ, t0 τ t1 ) Để cho điều khiển U (t) tối ưu, điều kiện cần phải thỏa mãn nguyên lý cực đại Chứng minh nguyên lý cực đại Bổ đề 4.1 Giả sử u(t) điều khiển chấp nhận đoạn t0 t t1 đó, cịn x(t) = x1 (t), , xn (t) quỹ đạo tương ứng phương trình x˙ = Ax + Bu, xuất phát từ điểm x0 Tiếp theo, giả sử ψ(t) = (ψ1 (t), , ψn (t)) nghiệm phương trình ψ˙ = −A∗ φ Khi điểm liên tục điều khiển u(t) thỏa mãn hệ thức d dt (ψ(t), x(t)) = ψ(t)Bu(t) Và t1 ψ(t1 )x(t1 ) − ψ(t0 )x(t0 ) = ψ(τ ) Bu(τ ) dτ t0 Lưu ý Trong bổ đề trên, điều khiển u(t) không giả thiết điều khiển tối ưu điều kiện cực đại ψ(τ )Bu(τ ) = max ψ(τ )Bu cho hàm u∈U u(t) ψ(t) không giả thiết thỏa mãn 44 Chứng minh Ta có: d dt (ψ(t)x(t)) n = n d dt i=1 n ψ˙ i (t)xi (t) ψi (t)x˙ i (t) + = i=1 i=1 n n = i=1 n + ψi (t)x1 (t) α=1 aiα xα (t) + β=1 xi (t) − n α=1 i=1 n n i=1 β=1 = r biβ uβ (t) ψi (t)+ aαi ψα (t) = biβ uβ (t) ψi (t) = ψ(t)Bu(t) Nhận xét tính tốn áp dụng điểm liên tục điều khiển u(t), khẳng định x(t) ˙ = Ax(t) + Bu(t) Vì tích vơ hướng x(t)ψ(t) hàm liên tục có đạo hàm điểm (trừ số hữu hạn giá trị T ), nên t1 ψ(t1 )x(t1 ) − ψ(t0 )x(t0 ) = t0 d dt (ψ(t)x(t))dt t1 = (ψ(t)Bu(t))dt t0 Bổ đề chứng minh Hệ 4.2 Giả sử x(t) = x1 (t), , xn (t) nghiệm hệ tuyến tính (3.3) cịn ψ(t) = (ψ1 (t), , ψn (t)) nghiệm hệ liên hợp (3.7) Khi tích vô hướng ψ(t) x(t) số (tức không phụ thuộc vào t ) Thật vậy, x(t) nghiệm tương ứng với điều khiển u(t) ≡ hệ (3.1) x˙ i = n α=1 aiα xα + r β=1 biβ uβ , i = 1, 2, , n Cho nên từ Bổ đề 4.1 suy d dt (ψ(t)x(t)) ≡ 0, tức ψ(t) x(t) = const Chứng minh nguyên lý cực đại Giả sử (u(t), x(t)), t0 t t1 , trình tối ưu (theo nghĩa tác 45 dụng nhanh) chuyển đối tượng từ trạng thái pha x0 vào gốc tọa độ O sau thời gian T = t1 − t0 Ta xét hình cầu đạt VT Rõ ràng điểm x0 thuộc hình cầu đạt Nếu x0 điểm tập hợp lồi VT , từ x0 chuyển vào gốc tọa độ sau thời gian ngắn T Như mâu thuẫn với tính tối ưu trình (u(t), x(t)) Vì x0 điểm biên tập hợp lồi VT Do qua x0 dựng siêu phẳng tựa Γ tập hợp VT (Nếu x0 siêu phẳng tựa khơng nhất, ta chọn chúng) Ta ký hiệu Π nửa không gian tạo siêu phẳng Γ chưa tập hợp VT , n ¯ vectơ pháp tuyến siêu phẳng Γ xuất phát từ x0 nằm nửa không gian π Nửa không gian π chứa tất điểm x mà vectơ n ¯ hợp thành góc nhọn (hoặc góc vng) vectơ, tức tích vơ hướng n ¯ (x − x0 ) khơng âm n ¯ (x − x0 ) (4.10) Vì trường hợp riêng, tập hợp VT nằm nửa không gian π , nên điểm x ∈ VT bất đẳng thức (3.10) thỏa mãn Bây ta ký hiệu ψ(t) = (ψ1 (t), , ψn (t)) nghiệm hệ tuyến tính n (3.7) ψ˙ i = − aα ψα , i = 1, , n với điều kiện ban đầu ψ(t0 ) = n ¯ α=1 i Nghiệm khơng tầm thường (vì n ¯ = ) xác định toàn trục số, ta xét đoạn t0 t t1 Ta chứng minh ψ(t) nghiệm cần tìm hệ ψ˙ = −A∗ ψ (3.8), thỏa mãn nguyên lý cực đại, tức hàm ψ(t), u(t), với t0 t t1 thỏa mãn hệ thức cực đại (3.9) ψ(τ )Bu(τ ) = max ψ(τ )Bu u∈U Giả sử ngược lại, thời điểm τ (t0 τ t1 ) hệ thức cực đại (3.9) ψ(τ )Bu(τ ) = max ψ(τ )Bu không thỏa mãn Điều nghĩa u∈U tìm điểm v ∈ U cho ψ(τ )Bu(τ ) < ψ(τ )Bv Nếu τ < t1 , điều khiển u(t) (nghĩa tích vô hướng ψ(t)Bu(t)) liên tục bên phải điểm τ tức liên tục đoạn [τ, τ ] đó, τ > τ Do tính liên tục suy đoạn [τ, τ + h] bất đẳng 46 thức ψ(t)Bu(t) < ψ(t)Bv (4.11) thỏa mãn Cịn τ = t1 , điều khiển u(t) (và nghĩa tích vơ hướng ψ(t)Bu(t) ) liên tục bên trái τ , trên, đoạn [τ − h, τ ] thỏa mãn bất đẳng thức (3.11) ψ(t)Bu(t) < ψ(t)Bv Như vậy, trường hợp tồn đoạn [τ0 , τ1 ] chứa đoạn [t0 , t1 ] cho bất đẳng thức (3.11) ψ(t)Bu(t) < ψ(t)Bv, thỏa mãn Bây ta xác định điều khiển u∗ (t) với t0 t u∗ (t) = t1 sau   v với τ0 t τ1 ,  u(t) điểm lại t t t1 Tiếp theo ký hiệu x∗ (t) quỹ đạo tương ứng với điều khiển u∗ (t) thỏa mãn điều kiện biên x∗ (t) = Quỹ đạo ta xét với t0 t t1 Giá trị ban đầu (tức x∗ (t0 ) ) ta ký hiệu x∗0 Như vậy, từ điểm x∗0 chuyển vào gốc tọa độ sau thời gian t1 − t0 = T (dưới tác dụng điều khiển u∗ (t) ) Vì điểm x∗0 thuộc hình cầu đạt VT thỏa mãn bất đẳng thức n ¯ (x∗0 − x0 ) (4.12) Bây sử dụng bổ đề 3.1 cho hàm ψ(t), x(t), u(t) đoạn t0 t t1 , ta có t1 ψ(t1 ) x(t1 ) − ψ(t0 ) x(t0 ) = (ψ(τ )Bu(τ ))dτ t0 Tương tự ψ(t1 ) x∗ (t1 ) − ψ(t0 ) x∗ (t0 ) = t1 t0 (ψ(τ )Bu∗ (τ ))dτ 47 Nếu trừ đẳng thức thứ hai cho đẳng thức thứ ý x(t1 ) = x∗ (t1 ) = 0, ta t1 ψ(t0 )(x∗ (t0 ) − x(t0 )) = [ψ(τ )Bu(τ ) − ψ(τ )Bu∗ (τ )]dτ t0 Vế trái đẳng thức có dạng n ¯ (x∗0 − x0 ) Ở vế phải, tích phân cần lấy đoạn τ0 τ1 (vì ngồi đoạn u∗ (τ ) ≡ u(τ ) τ biểu thức tích phân khơng) Nhưng đoạn điều khiển u∗ (τ ) có dạng u∗ (τ ) = v Để ý đến tất điều đó, ta viết lại biểu thức dạng τ1 n ¯ (x∗0 − x0 ) = [ψ(τ )Bu(τ ) − ψ(τ )Bv]dτ τ0 Vì biểu thức tích phân vế phải âm nên n ¯ (x∗0 − x0 ) < , mâu thuẫn với bất đẳng thức (3.12) n ¯ (x∗0 − x0 ) Mâu thuẫn chứng minh hệ thức cực đại (3.9) ψ(τ )Bu(τ ) = max ψ(τ )Bu thỏa u∈U mãn với t thuộc đoạn t0 t t1 4.3 Nguyên lý cực đại điều kiện cần đủ tối ưu cho tốn tuyến tính Một kiện quan trọng trường hợp toán điều khiển tối ưu tuyến tính, nguyên lý cực đại điều kiện cần mà điều kiện đủ tối ưu Nhưng điều khơng phải cho tốn tuyến tính bất kỳ, mà cần phải loại trừ số trường hợp quan trọng Do đó, ta đặt cho tốn tuyến tính điều kiện hạn chế, gọi điều kiện vị trí tổng quát Trước phát biểu điều kiện vị trí tổng qt, cần nhắc lại khái niệm khơng gian bất biến chứng minh bổ đề quan trọng 48 sau Như lưu ý trên, ma trận A xác định phép biến đổi tuyến tính không gian tọa độ biến x1 , x2 , , xn (tức ánh xạ tuyến tính khơng gian vào nó) Điều có nghĩa vectơ x tương ứng với vectơ y = Ax xác định công thức n y˙ = α=1 ααi xα , i = 1, , n Tiếp tục, lại áp dụng tốn tử A cho vectơ y , ta vectơ z = Ay = A(Ax), mà ta quy ước ký hiệu A2 x Nếu lại áp dụng tốn tử A cho vectơ này, vectơ nữa, mà ta quy ước ký hiệu A3 x, v.v ( Ký hiệu có nghĩa, ta chứng minh rằng, áp dụng k lần ma trận A cho vectơ x, kết tương đương áp dụng ma trận Ak cho vectơ x ) Một không gian Y không gian vectơ X gọi bất biến phép biến đổi A, vectơ y ∈ Y , vectơ Ay thuộc khơng gian Y (có nghĩa phép biến đổi A biến khơng gian Y vào nó) Khơng gian bất biến gọi không gian thực sự, khơng trùng với tồn khơng gian X Dễ ràng chứng minh kiện sau: vectơ a ∈ X thuộc không gian bất biến thực phép biến đổi A, vectơ: a, Aa, A2 a, , An−1 a phụ thuộc tuyến tính với ( n số chiều không gian X ) Bây ta chứng minh bổ đề sau: Bổ đề 4.3 Giả sử ψ(t) nghiệm không tầm thường phương trình (2.8) ψ˙ = −A∗ ψ a vectơ khác không không gian X Nếu tất giá trị t khoảng τ0 < t < τ1 hệ thức ψ(t) a = thỏa mãn vectơ a thuộc khơng gian bất biến thực phép biến đổi A 49 Chứng minh Ta ký hiệu Y tập hợp tất vectơ Y ∈ X thỏa mãn (đối với giá trị t khoảng τ0 < t < τ1 ) hệ thức ψ(t) y = Rõ ràng Y không gian (tức y1 ∈ Y, y2 ∈ Y, y1 + y2 ∈ Y ky2 ∈ Y giá trị k thực bất kỳ) Hơn giá trị t thuộc khoảng τ0 < t < τ1 vectơ ψ(t) không tầm thường, nên Y không trùng với X Còn phải chứng minh Y không gian bất biến Giả sử y ∈ Y Lấy đạo hàm biểu thức ψ(t)y = ta (với giá trị t khoảng τ0 < t < τ1 ): 0= n n =− i=1 α=1 d dt (ψ(t)y) aαi ψα (t) i ˙ = ψ(t)y = −(A∗ ψ(t))y = n n y =− ψα (t) α=1 i=1 aαi y i = −ψ(t)(Ay ) Do đó, vectơ Ay ∈ Y , tức khơng gian Y bất biến Như vectơ a thuộc không gian bất biến thực Y Bây ta phát biểu Điều kiện vị trí tổng quát: Nếu ω vectơ song song với cạnh đa diện U , vectơ Bω khơng thuộc không gian thực bất biến phép biến đổi A Điều kiện phát biểu cách khác: Nếu ω vectơ song song với cạnh đa diện U , vectơ Bω, ABω, A2 Bω, , An−1 Bω độc lập tuyến tính với Điều kiện vị trí tổng qt khơng thỏa mãn có nghĩa có cạnh đa diện U mà vectơ phụ thuộc tuyến tính, tức định thức cấp n lập thành từ tọa độ vectơ không Bởi số cạnh đa diện U hữu hạn, nên viết số hữu hạn định thức cấp n Điều kiện vị trí tổng qt có nghĩa khơng định thức số định thức không Rõ ràng điều kiện khơng hẹp lắm: Nếu có vài 50 định thức khơng, cần thay đổi chút hệ số phương trình n i (4.1) x˙ = α=1 aiα xα r + β=1 biβ uβ , i = 1, 2, , n, vị trí đa diện U làm tất định thức trở nên khác khơng Do trường hợp khơng thỏa mãn điều kiện vị trí tổng quát trường hợp hãn hữu, hệ số phương trình (3.1) vị trí đa diện U , “một cách ngẫu nhiên” bị chọn khiến cho dù định thức khơng Nói cách khác, điều kiện vị trí tổng qt nói chung thỏa mãn Bây ta đề cập đến định lý phát biểu đầu đề mục Định lý Giả sử u(t), t0 t t1 , điều kiện chấp nhận đưa đối tượng từ trạng thái ban đầu cho trước x0 đến vị trí cân (0, 0, , 0) Điều kiện cần đủ điều khiển u(t) tối ưu phải thỏa mãn nguyên lý cực đại Chứng minh Điều kiện cần chứng minh trên, ta chứng minh điều kiện đủ Ký hiệu x(t), t0 t t1 , nghiệm tương ứng với điều khiển u(t) phương trình x˙ = Ax + Bu; x(t0 ) = x0 , x(t1 ) = (0) Ta chọn nghiệm không tầm thường ψ(t) hệ (4.8) ψ˙ = −A∗ ψ cho t0 τ t1 điều kiện cực đại (4.9) ψ(τ )Bu(τ ) = max ψ(τ )Bu u∈U thỏa mãn, nghiệm ψ(t) tồn tại, theo giả thiết, điều khiển u(t) phải thỏa mãn nguyên lý cực đại Giả sử điều khiển u(t) không tối ưu Khi tồn điều khiển chấp nhận u ˜(t) chuyển điểm pha từ vị trí x0 (tại thời điểm t0 ) gốc tọa độ thời điểm θ < t1 (tức đến sớm so với chuyển động theo quỹ đạo x(t) ) Quĩ đạo pha x0 tương ứng với điều khiển u ˜(t) Nhờ điều kiện cực đại (3.9) 51 ψ(τ )Bu(τ ) = max ψ(τ )Bu, u∈U ta có ψ(t) Bu(t) = max ψ(t) Bu ψ(t) B u˜(t), u∈U với t đoạn t0 t (4.13) t1 Bởi hai quĩ đạo x(t) x˜(t) thời điểm t0 xuất phát từ x0 nên: ψ(t0 )x(t0 ) = ψ(t0 )˜ x(t0 ) Ngoài rõ ràng: ψ(t1 )x(t1 ) = ψ(θ)˜ x(θ) = Như theo Bổ đề 4.1, nhận được: ψ(θ)x(θ) = ψ(θ)x(θ) − ψ(θ)˜ x(θ) = = [ψ(θ)x(θ) − ψ(t0 )x(t0 )] − [ψ(θ)˜ x(θ) − ψ(t0 )˜ x(t0 )] θ θ (ψ(τ )Bu(τ ))dτ − = t0 θ (ψ(τ )B u˜(τ ))dτ = t0 (ψ(τ )Bu(τ ) − ψ(τ )B u˜(τ ))dτ = t0 Mặt khác, ψ(t)Bu(t) = max ψ(t)Bu u∈U (với t, t0 t t1 ) Vì u1 = u2 = ur = thuộc đa diện U Cho nên: t1 ψ(θ)x(θ) = ψ(θ)x(θ) − ψ(t1 )x(t1 ) = − (ψ(τ )Bu(τ ))dτ θ t1 Như ψ(θ)x(θ) = Nhưng (ψ(τ )Bu(τ ))dτ = Do θ theo hệ thức ψ(t)Bu(t) = max ψ(t)Bu u∈U 0, khoảng θ < t < t1 ta có: ψ(t)Bu(t) = max ψ(t)Bu ≡ u∈U 52 Bây ta ký hiệu U1 diện đa diện U chứa gốc tọa độ không gian u1 , , ur làm điểm Đa diện U1 trùng với U , diện thực đa diện U , trường hợp số chiều bé 1, gốc tọa độ đỉnh đa diện U Vì điểm đa diện U1 (tại gốc tọa độ) hàm ψ(t)Bu có giá trị khơng ngồi max ψ(t) × Bu ≡ 0, u∈U nên ψ(t)Bu ≡ điểm u ∈ U1 t khoảng θ < t < t1 Đặc biệt, u u mút cạnh diện U1 (số chiều U1 khơng bé U1 có cạnh), ψ(t)Bu = ψ(t)Bu = nên vectơ ω = u − u (hướng theo cạnh đa diện U ) ta có: ψ(t)Bω = ψ(t)Bu −ψ(t)Bu = (đối với t khoảng θ < t < t1 ) Từ đó, theo bổ đề 3.3 suy vectơ Bω thuộc không gian bất biến thực phép biến đổi A, điều mâu thuẫn với điều kiện vị trí tổng quát Như vậy, giả thiết θ < t1 dẫn đến mâu thuẫn, tính tối ưu điều khiển u(t) chứng minh 53 Kết luận Luận văn trình bày số vấn đề điều khiển tối ưu hệ phương trình tuyến tính, có nguyên lý cực đại Pontriagin, điều kiện cần đủ tối ưu cho hệ tuyến tính chứa tham số điều khiển 54 Tài liệu tham khảo [1] V G Bơnchianxki, Các phương pháp tốn học điều khiển tối ưu (Trần Cao Nguyên, Nguyễn Sương dịch), NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội, 1972 [2] Vũ Ngọc Phát, Nhập môn Lý thuyết điều khiển học toán học, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội, 2001 [3] S K Gordunov (1997), Ordinary Differential Equations with Constant Coefficient, American Mathematical Society, USA (Chương 1, trang 1110; Chương 4: trang 209-277) [4] E B Lee, L Markus (1986), Foundations of Optimal Control Theory, Robert E Krieger Publishing Company, Florida, USA (Chương 2,3; trang 67-239) [5] J Zabczyk, Mathematical Control Theory: An Introduction (Reprint of the the 1995 Edition), Birkhăauser, Boston-Basel-Berlin, 2008 55 Lun với đề tài: " Hệ điều khiển tuyến tính " học viên Nguyễn Thị Thanh Thủy chỉnh sửa theo ý kiến đóng góp Hội đồng chấm luận văn họp Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên ngày 21 tháng 06 năm 2014 Người hướng dẫn khoa học PGS.TS TẠ DUY PHƯỢNG ... phân tuyến tính có điều khiển, tơi chọn Hệ điều khiển tuyến tính làm đề tài luận văn cao học 7 Mục đích nghiên cứu Luận văn trình bày tổng quan tính chất định tính hệ điều khiển tuyến tính, ... học kiến thức hệ điều khiển tuyến tính Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Hệ điều khiển tuyến tính Phạm vi nghiên cứu: Các sách, báo tài liệu viết Hệ điều khiển tuyến tính Phương... điều khiển chấp nhận u(t), gọi tập đạt hệ (2.1) thời điểm T xuất phát từ điểm x0 2.1.2 Tính chất tập đạt Tính lồi tập đạt Trường hợp tập lồi hệ tuyến tính theo biến điều khiển Xét hệ tuyến tính