Phương pháp không gian con krylov cho giảm bậc của hệ động lực tuyến tính

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀO TRUNG KIÊN PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN CON KRYLOV CHO GIẢM BẬC CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 60.46.01.12 Người hướng dẫn: TS Nguyễn Thanh Sơn Thái Ngun - 2013 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ LỜI CẢM ƠN Trước tiên xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Nguyễn Thanh Sơn - Giảng viên khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, người thầy hướng dẫn, bảo tận tình cho tơi suốt q trình hồn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy, cô tham gia giảng dạy trường Đại học Khoa học Thái Ngun Các thầy nhiệt tình giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho hồn thành khóa học trường Đồng thời, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn tới tất bạn bè, đồng nghiệp người thân động viên, giúp đỡ tơi suốt q trình học tập viết luận văn Mặc dù dành nhiều thời gian nghiên cứu tìm hiểu, song luận văn khơng thể tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Vì vậy, tơi mong muốn nhận góp ý tất quý vị để luận văn hoàn thiện Thái Nguyên, tháng năm 2013 Học viên Đào Trung Kiên -iSố hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan số liệu kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Tác giả Đào Trung Kiên - ii Số hóa Trung tâm Học lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mục lục Mục lục Mở đầu Phương pháp không gian Krylov cho giảm bậc hệ động lực tuyến tính 1.1 Sơ lược lí thuyết hệ động lực tuyến tính 1.1.1 Cơng thức nghiệm phương trình trạng thái 1.1.2 Quan hệ đầu vào - đầu không gian trạng thái 1.1.3 Quan hệ đầu vào - đầu miền tần số 10 1.1.4 Chuẩn hệ động lực 11 1.2 Sơ lược lịch sử phương pháp 12 1.3 Phương pháp không gian Krylov 13 1.3.1 Phương pháp giảm bậc hệ động lực thông qua phép chiếu 13 1.3.2 Cơ sở phương pháp 14 1.4 Thuật toán Arnoldi thuật toán Lanczos 21 1.4.1 Thuật toán Arnoldi 22 1.4.2 Thuật toán Lanczos 23 1.5 Phương pháp Krylov cho hệ cấp hai [19] 24 1.5.1 Hệ động lực cấp đầu vào - đầu 24 1.5.2 Giảm bậc phương pháp hợp hóa mơmen không gian trạng thái 25 -1Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 1.5.3 Phương pháp giảm bậc sử dụng phép chiếu cho hệ cấp 25 1.5.4 Một số chủ đề liên quan 28 Ví dụ số 30 2.1 Một số ví dụ 30 2.1.1 Mơ hình Eady mơ khí trái đất 30 2.1.2 Mơ hình Fom Kết luận 33 37 Tài liệu tham khảo 38 -2Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Ngày nay, mô số khâu quan trọng giúp nhà sản xuất tạo sản phẩm Bước giúp nhà thiết kế tạo mẫu sản phẩm thỏa mãn yêu cầu nhà sản xuất Ngoài ra, việc mơ thay cho thí nghiệm thực tế thường đắt tiền kéo dài giúp hạ giá thành tiết kiệm thời gian Trong bước mơ phỏng, người ta phải tìm mơ hình tốn học mơ tả hoạt động thiết bị, thành phần đơn lẻ Việc hình thành mơ hình dựa quy luật vật lý, hóa học, vv Q trình thường kết thúc tập hợp phương trình vi phân đạo hàm riêng Để có liệu mơ người ta phải giải phương trình máy tính Để làm điều phương trình vi phân đạo hàm riêng phải rời rạc không gian số phương pháp số chẳng hạn phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) phương pháp sai phân hữu hạn (FDM) Thơng qua q trình tuyến tính hóa khai triển thích hợp ta thường thu hệ tuyến tính khơng phụ thuộc thời gian dạng sau: E x(t) ˙ = A(t)x(t) + B(t)u(t)), y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t)), (0.1) E, A ∈ RN ×N , B ∈ RN ×m , C ∈ Rl×N ma trận thực phức; x(t) véctơ mô tả trạng thái hệ thống phụ thuộc vào thời gian t; u(t) đại diện cho đầu vào đưa người sử dụng xác định trình, gọi đầu vào hàm điều khiển, ảnh hưởng tới hoạt động hệ thống; y(t) thơng -3Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ tin đầu từ trạng thái x(t) đầu vào u(t) mà người dùng quan tâm đến Hệ thống (0.1) mơ hình tốn học cho tương ứng đầu vào-đầu Nhập đầu vào u(t) quan sát thông tin đầu y(t) Hành động lặp lặp lại nhiều lần q trình thiết kế, mơ Hình 1: Sơ đồ đầu vào - đầu Với máy tính đại, có kết số dường đơn giản Nhưng khơng phải dễ dàng ta tưởng Trong ngành cơng nghiệp, nhiều lý chi phí sản xuất tiện lợi người sử dụng, người ta có xu hướng tích hợp nhiều thành phần khác vào đơn vị nhỏ Điều dẫn đến gọi hệ thống vi điện (micro-electro-mechanical systems -MEMS) Đó sản phẩm mà có tích hợp mạch điện thành phần học khác với kích cỡ micro Mơ vi hệ phức tạp Một mặt, kiến thức tượng xảy quy mơ bình thường khơng thể áp dụng cho quy mơ nhỏ, cần thiết phải xem xét lại hiệu ứng xảy quy mô nhỏ Mặt khác, để hiểu mối quan hệ phần khác hệ thống, tất chúng phải mô tương tác qua lại Thời gian mô hệ động lực phụ thuộc nhiều vào bậc N hệ động lực, tức cỡ véctơ trạng thái x(t) Thông thường bậc hệ động lực thực tế từ vài nghìn trở lên, thời gian thực lớn đặc biệt khơng phù hợp cho địi hỏi q trình mơ Từ người ta muốn xấp xỉ hệ động lực bậc N ban đầu hệ động lực bậc n, với n N Xấp xỉ hiểu theo nghĩa: với đầu vào giống nhau, đầu hai hệ động lực xấp xỉ Đương nhiên với bậc n nhỏ nhiều lần, -4Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ thời gian mơ rút ngắn nhiều Công việc gọi giảm bậc hệ động lực Việc giảm bậc hệ động lực quan trọng mặt lý thuyết ứng dụng thực tế Có nhiều cơng trình viết vấn đề nhiều phương pháp tìm Nổi bật ba phương pháp: phân tích trực giao (Proper Orthogonal Decomposition), chặt cụt cân (Balanced Truncation) phương pháp không gian Krylov (Krylov Subspace Methods) Trong ba phương pháp giảm bậc phương pháp khơng gian Krylov có ưu điểm dễ lập trình, độ phức tạp thuật tốn thấp, làm với hệ bậc cao Do định chọn đề tài "Phương pháp không gian Krylov cho giảm bậc hệ động lực tuyến tính" để nghiên cứu Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Xây dựng phương pháp không gian Krylov cho giảm bậc hệ động lực tuyến tính; áp dụng phương pháp cho số ví dụ thực tế Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu sở lý thuyết hệ động lực tuyến tính cấp cấp hai, phương pháp không gian Krylov thuật toán Arnoldi, Lanczos Phương pháp nghiên cứu • Sử dụng phép biến đổi đại số tuyến tính, kết đại số tuyến tính giải tích • Sử dụng tài liệu liên quan đến phương pháp giảm bậc bao gồm: báo khoa học, sách chuyên khảo luận án phương pháp khơng gian Krylov, thuật tốn Arnoldi Lanczos Và sử dụng liệu cơng nhận cộng đồng -5Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ nhà khoa học nghiên cứu lý thuyết giảm bậc để làm ví dụ minh họa cho phương pháp Bố cục luận văn Ngoài phần mở đầu phần kết luận, luận văn gồm hai chương: • Chương Phương pháp khơng gian Krylov cho giảm bậc hệ động lực tuyến tính Giới thiệu sơ lược lịch sử phương pháp, lý thuyết hệ động lực, lý thuyết xấp xỉ miền tần số định lý Trình bày thuật tốn Lanzcos Arnoldi Trình bày phương pháp Krylov cho hệ cấp hai • Chương Ví dụ số Trình bày số ví dụ số thực Matlab -6Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Đặt E = I 0 I ,A = ,x = M −K −D z(t) z(t) ˙ ,b = ¯ , b c = c¯ ta có hệ động lực cấp E x(t) ˙ = Ax(t) + bu(t), y(t) = cx(t) 1.5.2 (1.29) Giảm bậc phương pháp hợp hóa mơmen khơng gian trạng thái Các mômen (1.29) mi = C T (A−1 E)i A−1 b, i = 0, 1, (1.30) Ta hồn tồn áp dụng kết trình bày mục 1.3 cho hệ động lực cấp (1.29) Tuy nhiên ta làm cấu trúc hệ động lực cấp hai Vì phương pháp mang tính lý thuyết mà thiếu ý nghĩa thực tiễn, ta cần phương pháp giảm bậc trực tiếp cho hệ động lực cấp hai 1.5.3 Phương pháp giảm bậc sử dụng phép chiếu cho hệ cấp Mômen thứ i (quanh 0) hệ (1.27) tính theo hệ (1.28) sau:  i −1 −1 I I 0 I  mi = c¯  ¯b −K −D M −K D (1.31) i −K −1 D −K −1 M −K −1¯b mi = c¯ I 0 Để tính mơmen thủ tục đệ quy, ta định nghĩa không gian gần với không gian Krylov sau: Định nghĩa 1.5.1 Không gian Krylov cấp hai định nghĩa là: Kq1 (A1 , A2 , A3 ) = span {q0 , p1 , , pq1 −1 } , - 25 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ với q0 = b1 , p1 = A1 b1 , pi = A1 pi−1 + A2 pi−2 Và A1 , A2 ∈ Rn1 ×n1 , b1 ∈ Rn1 ma trận hằng, b1 gọi véctơ bắt đầu, pi gọi véctơ sở Định nghĩa 1.5.2 Không gian Krylov cấp hai Kq1 −K −1 D, −K −1 M, −K −1 b−1 Kq1 (−K −T DT , −K −T M T , −K −T c¯T ) gọi không gian Krylov đầu vào đầu hệ cấp hai (1.27) Với không gian mômen hệ thể sau: Bổ đề 1.5.1 Với đầu vào đầu không gian Krylov cấp hai cho hệ (1.27) véctơ sở tương ứng pi li ta có: mi = c¯pi = liT ¯b, i = 0, 1, , mi mơmen thứ i hệ cấp Chứng minh bổ đề dựa vào (1.31) Sử dụng Bổ đề 1.5.1 ta tính mơmen hệ cấp hai trực tiếp từ thông số hệ (1.27) Do không gian Bổ đề 1.5.1 sử dụng để giảm bậc Nhiệm vụ tìm phép chiếu trực tiếp áp dụng cho hệ cấp hai (1.27) Xét phép chiếu sau: z = V¯ zr , V¯ ∈ Rn1 ×q1 , z ∈ Rn1 , zr ∈ Rq1 với q1 < n1 Bằng cách áp dụng phép chiếu nhân hai vế phương trình ¯ ∈ Rn1 ×q1 ta có hệ giảm bậc với trạng thái với ma trận chuyển vị W bậc q = 2q1 là: ¯ T M V¯ zăr (t) + W T DV zr (t) + W ¯ T K V¯ zr (t) = W ¯ T bu(t), W y(t) = c¯V¯ zr (t) (1.32) Vì hệ giảm bậc xác định ma trận sau: ¯ T M V¯ , Dr = W ¯ T DV¯ , Kr = W ¯ T K V¯ , br = W ¯ T ¯b, c¯Tr = c¯T V¯ Mr = W - 26 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Định lý 1.5.1 Nếu ma trận V¯ (1.32) sở không gian Krylov cấp hai đầu vào Kq1 (−K −1 D, −K −1 M, −K −1¯b) với hạng q1 ¯ lựa chọn cho W ¯ T K V¯ khơng suy biến q1 mơmen ma trận W ( từ m0 tới mq1 −1 ) hệ ban đầu hệ giảm Như vậy, việc tìm sở cho khơng gian Krylov đầu vào cấp hai, sau áp dụng phép chiếu, ta tìm hệ giảm bậc cấp với bậc q = 2q1 thỏa mãn q1 mômen hệ gốc hệ giảm Định lý (1.5.1) đơn giản sử dụng phương trình trạng thái, độc lập với đầu hệ Nó tương đương với Bổ đề 1.3.2 mục 1.3 ¯ = V¯ Đây phép Một cách khác sử dụng chọn W chiếu bên trình bày mục 1.3 Một ưu điểm lớn áp dụng phương pháp không gian Krylov cấp hai sử dụng hai không gian Krylov đầu vào đầu ra, có nhiều mơmen hợp hóa Từ ta có xấp xỉ tốt cho hệ có bậc lớn Định lý sau tổng quát hóa từ Định lý 1.5.1 ¯ (1.32) sở Định lý 1.5.2 Nếu ma trận V¯ W không gian Krylov cấp hai Kq1 (−K −1 D, −K −1 M, −K −1¯b) Kq1 (−K −T DT , −K −T M T , −K −T c¯T ), hai có hạng q1 Khi 2q1 mơmen hệ gốc hệ giảm miễn K Kr khả nghịch Không gian Krylov đầu vào đầu đối ngẫu nên ¯ sở sử dụng tính chất đối ngẫu ta chọn ma trận V¯ W không gian Krylov cấp hai đầu Điều thể hệ sau: ¯ (1.32) sở không gian Krylov đầu Hệ 1.5.1 Nếu W cấp hai với hạng q1 V¯ chọn cho Kr không suy biến q1 mơmen hệ gốc hệ giảm - 27 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 1.5.4 Một số chủ đề liên quan Thuật toán Arnoldi cho hệ cấp hai Trong thực hành tính tốn phương pháp giảm bậc trên, tìm sở cho không gian Krylov cấp hai cần thiết Ý tưởng sử dụng véctơ sở Thật khơng may, tính tốn khơng ổn định, lựa chọn tốt thuật tốn Arnoldi mở rộng Xét khơng gian Krylov cấp hai Kq1 (A1 , A2 , b1 ) Thuật tốn dùng để tìm sở V¯ khơng gian Cơ sở trực chuẩn, nghĩa là: V¯ T V¯ = I (1.33) cột V¯ sở không gian định Giả định bước véctơ trực giao tồn Thuật toán Arnoldi 2: Sử dụng biến đổi trực giao Gram-Smith (0) Start: Set l1 = and v¯1 = bb11 với b1 véctơ bắt đầu (1) For i = 2, (a): Tính véctơ tiếp theo: vˆ ¯i = Ai v¯i−1 + A2 li−1 , ˆli = v¯i−1 (b): Trực giao hóa: For j = to i − do: ˆ ˆ h = vˆ¯iT v¯j , vˆ¯i = vˆ¯i − ¯ˆv, j li = li − hlj (c): Trực chuẩn hóa: Nếu vˆ ¯i = khỏi vịng lặp, ngược lại cột ˆli vˆ¯i thứ i V¯ là: v¯i = , li = vˆ¯i vˆ¯i (d) Tăng i quay lại bước (1.a) Các véctơ v¯i va li phần phần véctơ sở không gian Krylov Kq (A−1 E, A−1 b) hệ (1.28) Do thuật tốn Arnoldi tạo sở cho không gian Krylov cấp hai Bằng cách sử dụng không gian Krylov cấp hai đầu vào Kq1 (−K −1 D, −K −1 M, −K −1¯b) áp dụng thuật toán Arnoldi ta tìm ¯ chọn tùy ý cho Kr không ma trận V¯ , ma trận W ¯ = V¯ ) Hệ giảm bậc xác định (1.32) suy biến (lựa chọn tốt W với q1 mơmen bảo tồn Trong phương pháp chiếu hai bên, thuật tốn Arnoldi hai bên - 28 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ sử dụng Trong cách thuật toán Arnoldi sử dụng hai lần, lần đầu cho không gian Krylov cấp hai đầu vào lần hai cho không ¯ xác định Hệ giảm gian Krylov cấp hai đầu ra, từ V¯ W bậc xác định hởi (1.32) với 2q1 = q mômen hợp hóa, q bậc hệ giảm Nội suy điểm s0 = Hợp hóa mơmen hệ cấp hai quanh điểm s0 = áp dụng phương pháp chiếu hệ (1.27) Hàm chuyển hệ (1.27) tính qua phép biến đổi Laplace trực tiếp g(s) = c¯T (s2 M + sD + K)−1¯b Mômen g(s) quanh s0 mômen hệ quanh sau: g(s + s0 ) = c¯((s + s0 )2 M + (s + s0 )D + K)−1¯b = c¯(s2 M + s(D + 2s0 M ) + (K + s0 D + s20 M ))−1¯b Sử dụng (1.31) ta có mơmen g(s + s0 ) là: mi = c¯T −(K + s0 D + s20 M )−1 )(D + 2s0 M ) −(K + s0 D + s20 M )−1 M × I × i −(K + s0 D + s20 M )−1¯b Điều có nghĩa thay ma trận K (K + s0 D + s20 M ) thay D (D + s0 M ) định nghĩa mơmen quanh điểm ta có mơmen quanh điểm s0 Vì để hợp hóa mơmen quanh s0 ta thay tương tự định nghĩa khơng gian Krylov đầu vào đầu Có nghĩa không gian Krylov cấp hai Kq1 (−(K + s0 D + s20 M )−1 (D + 2s0 M ), (−K + s0 D + s20 M )−1 M, −(K + s0 D + s20 M )−1¯b) Kq1 (−(K + s0 D + s20 M )−T (D+2s0 M )T , −(K +s0 D+s20 M )−T M T , −(K +s0 D+s20 M )−T c¯) xét sử dụng ma trận chiếu để tính hệ giảm bậc (1.32) - 29 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương Ví dụ số 2.1 Một số ví dụ 2.1.1 Mơ hình Eady mơ khí trái đất Ta xét mơ hình Eady mơ bão khí [3] Để có mơ hình này, người ta phải đo đạc để thu thập thông tin vận tốc gió, áp suất khí điểm theo thời gian vùng khí rộng lớn hình hộp có chiều rộng 1000km, chiều dài 1000km chiều cao 10km Từ thơng tin đó, áp dụng lý thuyết vật lý toán học (cụ thể xin xem thêm [3]) dẫn đến hệ động lực tuyến tính sau x(t) ˙ = Ax(t) + Bu(t), y(t) = Cx(t) (2.1) Các ma trận A, B, C hệ (2.1) lưu tệp eady.mat Ta thực giảm bậc hệ (2.1) Matlab sau: + Bước 1: Tạo thủ tục Arnoldirevised để xây dựng không gian Krylov bậc k sau: function V = Arnoldirevised(E,A,b,s0,k,dtol) n = size(A,1); V = zeros(n,k); if norm(b) < dtol disp(’starting vector close to zero’) return else - 30 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ [L,U] = lu(A-s0*E); V(:,1) = b/norm(b); i = 1; while i < k phu = U/(L/V(:,i)); v = (eye(n)-V(:,1:i)*V(:,1:i)’)*phu; v = (eye(n)-V(:,1:i)*V(:,1:i)’)*v; if norm(v) < dtol disp(’deflation here, stop the iteration’) i+1 return else V(:,i+1) = v/norm(v); end i = i+1; end end + Bước 2: Thực giảm bậc hệ động lực (2.1) từ bậc N = 598 xuống bậc k = với điểm nội suy s0 = sau: s0 = 1; k = 5; dtol = 1e-10; load eady N = size(A,2); V = Arnoldirevised(eye(N,N),A,B,s0,k,dtol); Z = Arnoldirevised(eye(N,N),A’,C’,s0,k,dtol); Xây dựng hệ giảm bậc phương pháp Arnoldi bên lệnh sau: E1 = V’*V; A1 = V’*A*V; B1 = V’*B; C1 = C*V; Xây dựng hệ giảm bậc phương pháp Arnoldi hai bên - 31 Số hóa Trung tâm Học lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ lệnh sau: E2 = Z’*V; A2 = Z’*A*V; B2 = Z’*B; C2 = C*V; Tính tốn liệu để minh họa: wmin = 0;wmax = 14;num = 200; w = logspace(wmin,wmax,num); im = sqrt(-1); nrmH = zeros(num,1); nrmH1 = zeros(num,1); nrmH2 = zeros(num,1); Err1 = zeros(num,1); Err2 = zeros(num,1); for l = 1:num wl = w(l)*im; H = C/(wl*eye(N,N) - A)*B; H1 = C1/(wl*E1 - A1)*B1; H2 =C2/(wl*E2 - A2)*B2; nrmH(l) = norm(H); nrmH1(l) = norm(H1); nrmH2(l) = norm(H2); Err1(l) = norm(H-H1); Err2(l) = norm(H-H2); end Minh họa kết đồ thị: semilogx(w,nrmH,’-k’,w,nrmH1,’–r’,w,nrmH2,’-.b’,’LineWidth’,2); xlabel(’frequency’,’FontSize’,12); ylabel(’frequency response’,’FontSize’,12); Trong ví dụ hệ ban đầu với bậc 598, giảm bậc xuống bậc phương pháp Arnoldi bên ta có sai số tương đối theo chuẩn H∞ 0,1313 Còn phương pháp Arnoldi hai bên ta có sai số tương đối theo chuẩn H∞ 0,1196 - 32 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Minh họa hàm chuyển hệ gốc hệ giảm bậc qua đồ thị sau 500 450 frequency response 400 350 300 250 200 150 100 50 0 10 10 10 10 15 10 frequency Hình 2.1: Hàm chuyển hệ gốc hệ giảm bậc 2.1.2 Mơ hình Fom Ta xét mơ hình Fom [3], hệ động lực tuyến tính dạng (2.1) bậc 1006 với ma trận  sau: A1   A2 −1 100   A= ,  , A1 =   A3 −100 −1 A4   −1 −1 200 −1 400   A2 = , A3 = , A4 =   −200 −1 −400 −1 −1000 B T = C = 10 10 1 1000 Tiến hành giảm bậc tương tự làm với mơ hình Eady Khi nội suy số điểm với bậc hệ giảm thay đổi ta thu kết thể đồ thị - 33 Soá hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ system Fom, r = 50 100 original model reduced model side reduced model sides 90 frequency response 80 70 60 50 40 30 20 10 0 10 10 10 10 10 frequency Hình 2.2: Nội suy điểm s0 = 1000, bậc giảm r = 10 system Fom, r = 50 100 original model reduced model side reduced model sides 90 80 frequency response 70 60 50 40 30 20 10 0 10 10 10 10 frequency Hình 2.3: Nội suy điểm s0 = 100, bậc giảm r = 10 - 34 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 10 system Fom, r = 50 100 original model reduced model side reduced model sides 90 frequency response 80 70 60 50 40 30 20 10 0 10 10 10 10 10 frequency Hình 2.4: Nội suy điểm s0 = 1, bậc giảm r = 50 system Fom, r = 50 100 original model reduced model side reduced model sides 90 frequency response 80 70 60 50 40 30 20 10 0 10 10 10 10 Hình 2.5: Nội suy điểm s0 = 1, bậc giảm r = 20 - 35 Số hóa Trung tâm Học liệu 10 frequency http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 100 original model reduced model side reduced model sides 90 frequency response 80 70 60 50 40 30 20 10 0 10 10 10 10 10 frequency Hình 2.6: Nội suy điểm s0 = 1, bậc giảm r = 10 Nhận xét Thực giảm bậc mơ hình Fom số điểm với bậc giảm khác ta rút số nhận xét sau: • Tại điểm nội suy hệ giảm bậc với bậc cao có xấp xỉ với hệ gốc tốt • Tại điểm nội suy bậc giảm phương pháp Arnoldi hai bên cho kết tốt phương pháp Arnoldi bên • Hàm chuyển hệ giảm bậc điểm nội suy có xấp xỉ tốt điểm khác xa điểm nội suy • Việc chọn điểm nội suy khác cho kết khác thực với bậc giảm - 36 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Kết luận Luận văn xây dựng lại nghiên cứu sở lý thuyết hệ động lực tuyến tính, phương pháp khơng gian Krylov dùng để giảm bậc hệ động lực tuyến tính Đồng thời luận văn nêu thuật toán Arnoldi Lanczos ứng dụng vào việc giảm bậc hệ động lực đưa ví dụ thực tế giảm bậc hệ động lực tuyến tính - 37 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Tài liệu tham khảo [1] A.C Antoulas Approximation of Large-Scale Dynamical Systems Advances in Design and Control DC-06 SIAM, Philadelphia, 2005 [2] W E Arnoldi The principle of minimized iterations in the solution of the matrix eigenvalue problem Q Appl Math., 9:17–29, 1951 [3] Y Chahlaoui and P.V Dooren A collection of Benchmark examples for model reduction of linear time invariant dynamical systems SLICOT Working note 2002-2, 2002 [4] E Chiprout and M S Nakhla Asymptotic Waveform Evaluation and Moment Matching for Interconnect Analysis The Springer International Series in Engineering and Computer Science 252 Springer, Berlin, 1994 [5] C R Cockrell and F B Beck Asymptotic waveform evaluation technique for frequency domain electromagnetic analysis NASA Technical Memorandum, pages 1-13, 1996 [6] J Cullum and T Zhang Two-sided Arnoldi and nonsymmetric Lanczos algorithms SIAM J Matrix Anal A., 24(2):303–319, 2002 [7] P Feldman and R W Freund- “Efficient linear circuit analyis by Padé approximation via a Lanczos method,” IEEE Trans Computer-Aided Design, 14(5):639-649,1995 [8] K Gallivan, E Grimme, and P Van Dooren Asymptotic waveform evaluation via a Lanczos method Appl Math Lett., 7(5):75–80, 1994 [9] K Gallivan, E Grimme, and P Van Dooren A rational Lanczos algorithm for model reduction Numer Algorithms, 12:33–63, 1996 - 38 Soá hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ [10] E Gallopoulos and Y Saad Efficient solution of parabolic equations by Krylov approximation methods SIAM J Sci Stat Comp., 13(5):1236–1264, 1992 [11] W.B Gragg and A Lindquist On the partial realization problem Linear Algebra Appl, 50:277–319, 1983 [12] E J Grimme Krylov Projection Methods For Model Reduction PhD thesis, University of Illinois at Urbana-Champaign, 1997 [13] S Gugercin An iterative SVD-Krylov based method for model reduction of large-scale dynamical systems Linear Algebra Appl., 428(8-9):1964–1986, 2008 [14] R C Gunning and H Rossi Analytic Functions of Several Complex Variables Prentice-Hall Series in Modern Analysis Prentice-Hall, Englewood Clis, N.J., 1965 [15] K J Kerns, I L Wemple, and A T Yang - “Stable and efficient reduction of substrate model networks using conguence transforms," in Proc IEEE/ACM Int.Conf Computer-Aided Design, San Jose, CA- 1995 [16] L T Pillage and R A Rohrer Asymptotic waveform evaluation for timing analysis IEEE T Comput Aid D., 9(4):352–366, 1990 [17] Y Saad Analysis of some Krylov subspace approximations to the matrix exponential operator SIAM J Numer Anal., 29(1):209–228, 1992 [18] B Salimbahrami, B Lohmann, T Bechtold, and J.G Korvink A two-sided Arnoldi algorithm with stopping criterion and MIMO selection procedure Math Comp Model Dyn., 11(1):79–93, 2005 [19] B Salimbahrami, B Lohmann Order reduction of large scale second-order systems using Krylov subspace methods, 2005 [20] N.T Son Interpolation Based Parametric Model Order Reduction PhD thesis, University of Bremen, 2012 [21] C D Villemagne and R E Skelton Model reduction using a projection formulation Int J Control, 46(6):2141–2169, 1987 - 39 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ... http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương Phương pháp không gian Krylov cho giảm bậc hệ động lực tuyến tính 1.1 Sơ lược lí thuyết hệ động lực tuyến tính Hệ động lực tuyến tính khơng phụ thuộc thời gian có dạng x(t)... Xây dựng phương pháp không gian Krylov cho giảm bậc hệ động lực tuyến tính; áp dụng phương pháp cho số ví dụ thực tế Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu sở lý thuyết hệ động lực tuyến tính cấp... Phương pháp không gian Krylov cho giảm bậc hệ động lực tuyến tính 1.1 Sơ lược lí thuyết hệ động lực tuyến tính 1.1.1 Cơng thức nghiệm phương trình trạng thái 1.1.2 Quan hệ đầu vào