Phương pháp lặp ẩn và phương pháp lặp tách giải bài toán chấp nhận tách

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN HỒNG NHÂN PHƯƠNG PHÁP LẶP ẨN VÀ PHƯƠNG PHÁP LẶP HIỆN GIẢI BÀI TOÁN CHẤP NHẬN TÁCH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN HỒNG NHÂN PHƯƠNG PHÁP LẶP ẨN VÀ PHƯƠNG PHÁP LẶP HIỆN GIẢI BÀI TỐN CHẤP NHẬN TÁCH Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2017 i Mục lục Danh sách ký hiệu ii Mở đầu 1 Một số kiến thức 1.1 Bài toán chấp nhận tách không gian Hilbert 1.1.1 Không gian Hilbert 1.1.2 Bài toán chấp nhận tách không gian Hilbert 16 Một số bổ đề cần thiết 17 1.2 Phương pháp lặp ẩn phương pháp lặp giải toán chấp nhận tách 21 2.1 Phương pháp lặp ẩn 21 2.1.1 Mô tả phương pháp 21 2.1.2 Sự hội tụ phương pháp 22 Phương pháp lặp 26 2.2.1 Mô tả phương pháp 26 2.2.2 Sự hội tụ phương pháp 26 2.2 Tài liệu tham khảo 38 ii Danh sách ký hiệu Trong toàn luận văn, ta dùng ký hiệu với ý nghĩa xác định bảng đây: R tập số thực H không gian Hilbert thực X khơng gian tuyến tính C tập đóng lồi H A tốn tử tuyến tính giới nội T tốn tử phi tuyến x, y tích vơ hướng hai vectơ x y x chuẩn vectơ x xn → x xn hội tụ mạnh đến x xn xn hội tụ yếu x x F ix(T ) tập điểm bất động T I ánh xạ đơn vị PC phép chiếu từ H lên C KM Krasnosel’skii-Mann Mở đầu Đề tài luận văn nghiên cứu toán chấp nhận tách số phương pháp giải: Cho C Q tập lồi đóng khác rỗng không gian Hilbert tương ứng H1 H2 Bài toán chấp nhận tách phát biểu: Tìm điểm x∗ với tính chất x∗ ∈ C Ax∗ ∈ Q, (1) A : H1 → H2 tốn tử tuyến tính giới nội Bài tốn chấp nhận tách không gian Hilbert hữu hạn chiều đề xuất Censor Flfving để mô hình hóa tốn ngược xuất khơi phục ảnh y học Mới đây, người ta tìm thấy tốn dùng để mơ hình hóa xạ Lưu ý tốn chấp nhận tách (1) phát biểu dạng phương trình bất động PC I − γAT (I − PQ ) A x∗ = x∗ (2) đây, AT ánh xạ đối ngẫu A, PC PQ phép chiếu mêtric tương ứng lên C Q Ta thấy, x∗ nghiệm toán chấp nhận tách (1) x∗ điểm bất động PC I − γAT (I − PQ ) A Từ suy ta sử dụng phương pháp tìm điểm bất động giải toán chấp nhận tách Một thuật toán giải toán (1) thuật toán CQ Byrne Thuật toán sử dụng phương pháp chiếu gradient (GPM) toán cực tiểu lồi Tiếp đó, Byrne áp dụng bước lặp cho thuật tốn CQ Zhao sử dụng bước lặp cho thuật toán CQ nhiễu giải toán chấp nhận tách Chúng ta biết thuật toán CQ thuật toán KM cho tốn chấp nhận tách khơng thiết hội tụ mạnh không gian Hilbert vô hạn chiều Mới đây, Wang Xu đề xuất thuật toán CQ cải biên với hội tụ mạnh cách đưa vào đường cong xấp xỉ cho toán chấp nhận tách không gian Hilbert vô hạn chiều nhận nghiệm có chuẩn cực tiểu tốn chấp nhận tách giới hạn mạnh đường cong xấp xỉ Luận văn thực Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn GS TS Nguyễn Bường Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả học tập nhiều kiến thức chun ngành bổ ích cho cơng tác nghiên cứu thân Tác giả xin bày tỏ lịng cảm ơn sâu sắc tới Thầy giáo, Cơ giáo tham gia giảng dạy lớp Cao học Toán K9Y (khóa 2015–2017); Nhà trường phịng chức Trường; Khoa Toán – Tin, trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, lãnh đạo đơn vị công tác quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Tốn K9Y (khóa 2015–2017), đồng nghiệp ln động viên giúp đỡ tác giả nhiều trình học tập, nghiên cứu Cuối cùng, tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho học tập nghiên cứu Thái Nguyên, ngày 10 tháng 11 năm 2017 Tác giả luận văn Trần Hồng Nhân Chương Một số kiến thức Chương gồm mục: Mục 1.1 giới thiệu không gian Hilbert thực số tính chất khơng gian Hilbert; trình bày định nghĩa toán tử đơn điệu toán chấp nhận tách khơng gian Hilbert thực Mục 1.2 trình bày số bổ đề bổ trợ cho chương Các kiến thức chương viết sở tổng hợp tài liệu [1], [2] 1.1 Bài tốn chấp nhận tách khơng gian Hilbert 1.1.1 Khơng gian Hilbert a) Định nghĩa tính chất Định nghĩa 1.1.1 Một tập X gọi không gian tuyến tính R với cặp (x, y) ∈ X × X, phần tử X, ta gọi tổng x y, ký hiệu x + y; với α ∈ R x ∈ X, phần tử X, gọi tích α x, ký hiệu αx thỏa mãn điều kiện sau: (1) x + y = y + x với x, y ∈ X (tính chất giao hoán); (2) (x + y) + z = x + (y + z), ∀x, y, z ∈ X (tính chất kết hợp); (3) tồn phần tử không X, ký hiệu 0, cho: x + = + x với x ∈ X; (4) với x ∈ X, tồn phần tử đối x, ký hiệu −x, cho x + (−x) = với x ∈ X; (5) · x = x · = x, với x ∈ X (1 phần tử đơn vị); (6) α(βx) = (αβ)x, với α, β ∈ R, với x ∈ X; (7) (α + β)x = αx + βx, với α, β ∈ R, với x ∈ X; (8) α(x + y) = αx + αy, với α ∈ R, với x, y ∈ X Định nghĩa 1.1.2 Cho H không gian tuyến tính trường số thực R Tích vơ hướng không gian H ánh xạ từ tích Descartes H × H vào R, ký hiệu , , thỏa mãn điều kiện sau: (1) x, y = y, x với x, y ∈ H (2) x + y, z = x, z + y, z với x, y, z ∈ H (3) αx, y = α x, y với x, y ∈ H α ∈ R (4) x, x > x = x, x = x = Nhận xét 1.1.3 Từ Định nghĩa 1.1.2 ta suy (1) x, αy = α y, x với x, y ∈ H α ∈ R; (2) x, y + z = x, y + x, z với x, y, z ∈ H Định nghĩa 1.1.4 Khơng gian tuyến tính H với tích vơ hướng gọi khơng gian tiền Hilbert Định lí 1.1.5 (bất đẳng thức Schwarz) Trong không gian tiền Hilbert H, với x, y ∈ H ta ln có bất đẳng thức sau: | x, y |2 ≤ x, x y, y (1.1) Chứng minh Với số thực α với x, y ∈ H ta có ≤ x − αy, x − αy = x, x − 2α x, y + α2 y, y Từ suy ∆ = | x, y |2 − x, x y, y ≤ với x, y ∈ H Hay | x, y |2 ≤ x, x y, y với x, y ∈ H Định lý chứng minh Dấu đẳng thức bất đẳng thức (1.1) xảy x y phụ thuộc tuyến tính Định lí 1.1.6 Khơng gian tiền Hilbert H khơng gian tuyến tính định chuẩn với chuẩn xác định x, x x = với (1.2) x ∈ H Chuẩn gọi chuẩn cảm sinh từ tích vơ hướng Hàm số x = x, x với x ∈ H chuẩn H Chứng minh Thật vậy, từ điều kiện (4) Định nghĩa 1.1.2 ta có x > x = x = x = với x ∈ H Từ điều kiện (1) (3) Định nghĩa 1.1.2 ta suy αx = |α| x với α ∈ R x ∈ H Từ bất đẳng thức Schwarz cách định nghĩa chuẩn ta có | x, y | ≤ x y với x, y ∈ H (1.3) Từ với x, y ∈ H ta có: x + y, x + y = x, x + x, y + y, y ≤ x +2 x y + y Suy x + y ≤ x + y với x, y ∈ H = x + y 24 Bằng cách sử dụng tính chất (1.11) phép chiếu mêtric, ta có: xt − yt , xt − x˜ ≤ (2.6) Kết hợp (2.5) (2.6), ta ||xt − x˜|| = xt − yt , xt − x˜ + tσ f (xt ) − f (˜ x), xt − x˜ + (I − tB) (U xt − x˜) , xt − x˜ ≤ tσ||f (xt ) − f (˜ x)|| ||xt − x˜|| + ||I − tB|| ||U xt − x˜|| ||xt − x˜|| + t σf (˜ x) − B x˜, xt − x˜ ≤ tσκ||xt − x˜||2 + (1 − αt)||xt − x˜||2 + t σf (˜ x) − B x˜, xt − x˜ = [1 − (α − σκ) t] ||xt − x˜||2 + t σf (˜ x) − B x˜, xt − x˜ Vì vậy: ||xt − x˜||2 ≤ σf (˜ x) − B x˜, xt − x˜ α − σκ Đặc biệt: ||xn − x˜||2 ≤ σf (˜ x) − B x˜, xn − x˜ , x˜ ∈ C ∩ A−1 (Q) (2.7) α − σκ Vì {xn } giới nội nên tồn dãy {xni } {xn } hội tụ yếu đến điểm {x∗ } Khơng làm tính tổng qt ta giả sử {xn } hội tụ yếu đến {x∗ } Chú ý (2.4) sử dụng Bổ đề 1.2.1 để nhận x∗ ∈ C ∩ A−1 (Q) Khi đó, ta thay x∗ cho x˜ (2.7) để nhận ||xn − x∗ ||2 ≤ Sau đó, từ xn σf (x∗ ) − Bx∗ , xn − x∗ α − σκ x∗ kéo theo xn → x∗ Điều chứng minh tính compắc tương đối lưới {xt } với t → + Khi n → ∞ (2.7), ta 25 có ||x∗ − x˜||2 ≤ σf (˜ x) − B x˜, x∗ − x˜ , x˜ ∈ C ∩ A−1 (Q) α − σκ Điều kéo theo x∗ ∈ Ω xác định bất đẳng thức biến phân σf (˜ x) − B x˜, x˜ − x∗ ≤ 0, x˜ ∈ C ∩ A−1 (Q) (2.8) Nhờ Bổ đề 1.2.2, (2.8) tương đương với bất đẳng thức biến phân đối ngẫu σf (x∗ ) − Bx∗ , x˜ − x∗ ≤ 0, ∀˜ x ∈ C ∩ A−1 (Q) Đây (2.2) Theo tính nghiệm bất đẳng thức biến phân (2.2) ta suy điểm hội tụ tập {xt } (t → 0+) x∗ Do xt → x∗ Điều kết thúc chứng minh Lấy B = I (2.1) ta có hệ sau Hệ 2.1.2 Với t → 0+, lưới {xt } xác định xt = PC [tσf (xt ) + (1 − t) (I − γA∗ (I − PQ ) A) xt ] , (2.9) t ∈ 0, 1−σκ hội tụ đến điểm x∗ nghiệm bất đẳng thức biến phân sau x∗ ∈ C ∩ A−1 (Q) σf (x∗ ) − x∗ , x˜ − x∗ ≤ 0, (2.10) ∀˜ x ∈ C ∩ A−1 (Q) Lấy f = (2.9) ta có hệ sau Hệ 2.1.3 Với t → 0+ lưới {xt } định nghĩa xt = PC [(1 − t) (I − γA∗ (I − PQ ) A) xt ] , t ∈ (0, 1) (2.11) hội tụ đến điểm x∗ nghiệm có chuẩn nhỏ tốn chấp nhận tách (1.8) 26 Chứng minh Nếu lấy f = 0, (2.9) rút gọn thành (2.11) Vì vậy, xt → x∗ ∈ C ∩ A−1 (Q) mà thỏa mãn −x∗ , x˜ − x∗ ≤ 0, ∀˜ x ∈ C ∩ A−1 (Q) Vì thế, ||x∗ ||2 ≤ −x∗ , x˜ ≤ ||x∗ || ||˜ x|| ∀˜ x ∈ C ∩ A−1 (Q) Do mà kéo theo ||x∗ || ≤ ||˜ x|| với x˜ ∈ C ∩ A−1 (Q) Điều nghĩa x∗ nghiệm chuẩn cực tiểu toán chấp nhận tách (1.8) Điều kết thúc chứng minh 2.2 2.2.1 Phương pháp lặp Mô tả phương pháp Thuật toán 2.2.1 Cho điểm tùy ý x0 , ta định nghĩa xk k≥0 dãy lặp xk+1 = (1 − βk )xk + βk PC αk σf (xk ) +βk PC (I − αk B) [I − γA∗ (I − PQ )A]xk , với k ≥ 0, {αk } {βk } hai dãy thực [0,1] Với dãy lặp xk 2.2.2 k≥0 ta xác định xk+1 dựa vào xk biết Sự hội tụ phương pháp Định lý 2.2.2 Giả sử dãy {αk } {βk } thỏa mãn điều kiện sau: (C1) lim αk = k→∞ ∞ k=0 αk = ∞, (2.12) 27 (C2) < lim inf βk k→∞ Thì dãy x k → x∗ ∈ C ∩ A−1 (Q) , xk xác định (2.12) x∗ nghiệm bất đẳng thức biến phân (2.2) Chứng minh Lấy điểm x˜ ∈ C ∩ A−1 (Q) Từ (2.12), ta có ||xk+1 − x˜|| = || (1 − βk ) xk + βk PC αk σf (xk ) + (I − αk B) U xk − x˜|| ≤ (1 − βk ) ||xk − x˜|| + βk ||PC αk σf (xk ) + (I − αk B) U xk − x˜|| ≤ (1 − βk ) ||xk − x˜|| + βk ||αk σf (xk ) + (I − αk B) U xk − x˜|| ≤ (1 − βk ) ||xk − x˜|| + βk αk σ||f (xk ) − f (˜ x)|| + βk ||I − αk B|| ||U xk − x˜|| + αk ||σf (˜ x) − B x˜|| ≤ (1 − βk ) ||xk − x˜|| + βk αk σκ||xk − x˜|| + βk − αk α||xk − x˜|| + αk ||σf (˜ x) − B x˜|| = [1 − (α − σκ) αk βk ] ||xk − x˜|| + (α − σκ) αk βk ||σf (˜ x) − B x˜||/ (α − σκ) Bằng phép quy nạp ta có điều sau ||xk+1 − x˜|| ≤ max ||xk − x˜||, ||σf (˜ x) − B x˜||/ (α − σκ) ≤ max ||x0 − x˜||, ||σf (˜ x) − B x˜||/ (α − σκ) Điều chứng tỏ xk bị chặn Từ dễ dàng thấy f (xk ) , U xk BU xk bị chặn Đặt S = 2PC −I Ta biết S không giãn Đồng thời, ta biết U trung bình Vì vậy, có số dương τ ∈ (0, 1) cho U = (1 − τ )I + τ V, V ánh xạ khơng giãn Ta viết lại (2.12) sau I +S αk σf (xk ) + (I − αk B) U xk − αk βk k αk βk = (1 − βk ) xk + Ux + σf (xk ) − BU xk + U xk 2 xk+1 = (1 − βk ) xk + βk 28 βk S αk σf (xk ) + (I − αk B) U xk − αk βk [(1 − τ ) I + τ V ] xk = (1 − βk ) xk + αk βk + σf (xk ) − BU xk + U xk βk + S αk σf (xk ) + (I − αk B) U xk (1 − τ ) (1 − αk ) β k k τ (1 − αk ) β k k k x + Vx = (1 − βk ) x + 2 αk βk + σf (xk ) − BU xk + U xk βk + S αk σf (xk ) + (I − αk B) U xk 1+τ 1−τ τ (1 − αk ) β k k = 1− βk + αk βk xk + Vx 2 αk βk σf (xk ) − BU xk + U xk + βk + S αk σf (xk ) + (I − αk B) U xk (2.13) + Bằng giả thiết (C1), (C2) τ ∈ (0, 1), ta kết luận < lim inf k→∞ 1+τ βk + 1−τ αk β k với ≤ lim sup k→∞ 1+τ βk + 1−τ αk βk < 1, τ (1 − αk ) βk βk 1+τ τ + = βk − αk βk 2 2 Từ (2.13), ta có xk+1 = − × + 1+τ 1−τ βk + αk β k 2 τ (1−αk )βk V 1− = 1− xk + 1+τ 1−τ βk + αk βk 2 αk βk k k k (σf (x ) − BU x + U x ) 1+τ 1−τ βk + αk βk βk k k τ S αk σf (x ) + (I − αk B)U x αk βk 1+τ 1−τ βk + αk βk xk + 1+τ 1−τ + αk βk xk + 2 1+τ 1−τ + αk βk y k , 2 (2.14) 29 k y = τ (1−αk )βk V + = βk 2S τ (1 − αk βk k k k (σf (x ) − BU x + U x ) 1+τ 1−τ βk + αk βk αk σf (xk ) + (I − αk B)U xk 1−τ 1+τ βk + αk βk αk ) V xk + αk (σf (xk ) − BU xk + U xk ) xk + + τ + (1 − τ )αk S αk σf (x ) + (I − αk B)U xk + + τ + (1 − τ )αk k Tập z k = σf (xk ) − BU xk + U xk z˜k = αk σf (xk ) + (I − αk B)U xk với k Theo τ (1 − αk )V xk + αk z k + S z˜k y = , + τ + (1 − τ )αk k ∀k ≥ Từ suy τ (1 − αk+1 ) V xk+1 + αk+1 z k+1 + S z˜k+1 k+1 k y −y = + τ + (1 − τ )αk+1 τ (1 − αk )V xk + αk z k + S z˜k − + τ + (1 − τ )αk τ (1 − αk+1 ) = V xk+1 − V xk + τ + (1 − τ )αk+1 τ (1 − αk+1 ) τ (1 − αk ) + − + τ + (1 − τ )αk+1 + τ + (1 − τ )αk αk+1 z k+1 αk z k + − + τ + (1 − τ )αk+1 + τ + (1 − τ )αk S z˜k+1 − S z˜k + + τ + (1 − τ )αk+1 1 + − + τ + (1 − τ )αk+1 + τ + (1 − τ )αk Vì vậy, ||y k+1 − y k || ≤ τ (1 − αk+1 ) ||V xk+1 − V xk || + τ + (1 − τ )αk+1 V xk S z˜k 30 τ (1 − αk+1 ) τ (1 − αk ) ||V xk || − + τ + (1 − τ )αk+1 + τ + (1 − τ )αk αk+1 αk + ||˜ z k+1 || + ||˜ z k || + τ + (1 − τ )αk+1 + τ + (1 − τ )αk + ||S z˜k+1 − S z˜k || + τ + (1 − τ )αk+1 1 ||S z˜k || − + + τ + (1 − τ )αk+1 + τ + (1 − τ )αk + Từ S U , ta có ||S z˜k+1 − S z˜k || ≤ ||˜ z k+1 − z˜k || = ||αk+1 σf (xk+1 ) + (I − αk+1 B) U xk+1 − (αk σf (xk ) + (I − αk B) U xk )|| ≤ αk+1 ||σf (xk+1 ) − BU xk+1 || + αk ||σf (xk ) − BU xk || + ||U xk+1 − U xk || ≤ αk+1 ||σf (xk+1 ) − BU xk+1 || + αk ||σf (xk ) − BU xk || + ||xk+1 − xk || Khi đó, ||y k+1 − y k || ≤ τ (1 − αk+1 ) ||xk+1 − xk || + τ + (1 − τ )αk+1 τ (1 − αk+1 ) τ (1 − αk ) + − ||V xk || + τ + (1 − τ )αk+1 + τ + (1 − τ )αk αk αk+1 + ||z k+1 || + ||z k || + τ + (1 − τ )αk+1 + τ + (1 − τ )αk + (αk+1 ||σf (xk+1 ) − BU xk+1 || + τ + (1 − τ )αk+1 + αk ||σf (xk ) − BU xk || + ||xk+1 − xk ||) 1 − ||S z˜k || + τ + (1 − τ )αk+1 + τ + (1 − τ )αk + τ − τ αk+1 = ||xk+1 − xk || + τ + (1 − τ )αk+1 τ (1 − αk+1 ) τ (1 − αk ) + − ||V xk || + τ + (1 − τ )αk+1 + τ + (1 − τ )αk + 31 αk αk+1 ||z k+1 || + ||z k || + τ + (1 − τ )αk+1 + τ + (1 − τ )αk + (αk+1 ||σf (xk+1 ) − BU xk+1 || + τ + (1 − τ )αk+1 + + αk ||σf (xk ) − BU xk ||) + 1 − ||S z˜k || + τ + (1 − τ )αk+1 + τ + (1 − τ )αk Khi αk → 0, ta có τ (1 − αk+1 ) τ (1 − αk ) − →0 + τ + (1 − τ )αk+1 + τ + (1 − τ )αk 1 − → + τ + (1 − τ )αk+1 + τ + (1 − τ )αk Vì vậy, lim sup(||y k+1 − y k || − ||xk+1 − xk ||) ≤ k→∞ Từ Bổ đề 1.2.3, ta có lim ||y k − xk || = k→∞ Do đó, từ (2.14) suy lim ||xk+1 − xk || = lim k→∞ k→∞ 1+τ 1−τ + αk βk ||y k − xk || = 2 Vì vậy, lim ||PC αk σf (xk ) + (I − αk B) U xk − xk || k→∞ k+1 ||x − xk || k→∞ βk = lim = Chú ý ||PC αk σf (xk ) + (I − αk B) U xk − PC U xk || (2.15) 32 ≤ αk ||σf (xk ) − BU xk || → (2.16) Từ (2.15) (2.16), ta rút kết luận lim ||PC U xk − xk || = k→∞ (2.17) Tiếp theo xin trình bày việc chứng minh: lim sup σf (x∗ ) − Bx∗ , xk − x∗ ≤ k→∞ Ở x∗ = lim xt xt xác định (2.1) t→0 Thật vậy, ta chọn dãy xki xk cho lim sup σf (x∗ ) − Bx∗ , xk − x∗ = lim σf (x∗ ) − Bx∗ , xki − x∗ i→∞ k→∞ Vì xki bị chặn nên tồn dãy xki hội tụ yếu đến điểm x˜ Khơng làm tính tổng qt, ta giả sử xki hội tụ yếu đến x˜ Từ (2.17) Bổ đề 1.2.1, ta có xki x˜ ∈ F ix(PC U ) lim sup σf (x∗ ) − Bx∗ , xk − x∗ = lim σf (x∗ ) − Bx∗ , xki − x∗ i→∞ k→∞ = σf (x∗ ) − Bx∗ , x˜ − x∗ ≤ Điều với (2.15) suy z k ] − x∗ ≤ lim sup σf (x∗ ) − Bx∗ , PC [˜ k→∞ Cuối cùng, xk → x∗ Cần ý ||PC αk σf (xk ) + (I − αk B) U xk − x∗ ||2 = ||PC [˜ z k ] − x∗ ||2 = PC [˜ z k ] − z˜k , PC [˜ z k ] − x∗ + z˜k − x∗ , PC [˜ z k ] − x∗ Từ PC [˜ z k ] − z˜k , PC [˜ z k ] − x∗ ≤ 0, ta có ||PC [˜ z k ] − x∗ ||2 33 ≤ z˜k − x∗ , PC [˜ z k ] − x∗ = αk σ(f (xk ) − f (x∗ )) + (I − αk B) (U xk − x∗ ), PC [˜ z k ] − x∗ + αk σf (x∗ ) − Bx∗ , PC [˜ z k ] − x∗ ≤ (αk σ||f (xk ) − f (x∗ )|| + ||I − αk B|| ||U xk − x∗ ||)||PC [˜ z k ] − x∗ || + αk σf (x∗ ) − Bx∗ , PC [˜ z k ] − x∗ ≤ (1 − αk (α − σk))||xk − x∗ || ||PC [˜ z k ] − x∗ || + αk σf (x∗ ) − Bx∗ , PC [˜ z k ] − x∗ ≤ 1 − αk (α − σk) k ||x − x∗ ||2 + ||PC [˜ z k ] − x∗ ||2 2 z k ] − x∗ + αk σf (x∗ ) − Bx∗ , PC [˜ Từ ta suy ||PC [˜ z k ] − x∗ ||2 ≤ [1 − αk (α − σk)]||xk − x∗ ||2 z k ] − x∗ + 2αk σf (x∗ ) − Bx∗ , PC [˜ (2.18) Từ (2.12) (2.18), ta có ||xk+1 − x∗ ||2 = || (1 − βk ) (xk − x∗ ) + βk (PC αk σf (xk ) + (I − αk B) U xk − x∗ ||2 ≤ (1 − βk ) ||xk − x∗ ||2 + [1 − αk (α − σk)]βk ||xk − x∗ ||2 + 2αk βk σf (x∗ ) − Bx∗ , PC [˜ z k ] − x∗ = [1 − (α − σk)αk βk ] ||xk − x∗ ||2 + (α − σk)αk βk σf (x∗ ) − Bx∗ , PC [˜ z k ] − x∗ α − σk Từ đó, điều kiện Bổ đề 1.2.4 thỏa mãn Vì vậy, chúng tơi kết luận xk → x∗ Điều kết thúc chứng minh Từ (2.12) 2.2.2 ta kết sau 34 Thuật toán 2.2.3 Cho điểm tùy ý x0 , ta định nghĩa xk k≥0 dãy lặp xk+1 = (1 − βk ) xk + βk PC αk σf (xk ) + (1 − αk ) (I − γA∗ (I − PQ )A)xk , (2.19) với k ≥ 0, {αk } {βk } hai dãy thực [0,1] Hệ 2.2.4 Giả sử dãy {αk } {βk } thỏa mãn điều kiện sau: (C1) limk→∞ αk = (C2) < lim inf k→∞ βk ∞ k=0 αk = ∞, Thì dãy xk → x∗ ∈ C ∩ A−1 (Q), xk xác định (2.19) x∗ nghiệm bất đẳng thức biến phân (2.10) Thuật toán 2.2.5 Cho điểm tùy ý x0 , ta định nghĩa xk k≥0 dãy lặp xk+1 = (1 − βk ) xk + βk PC (1 − αk ) (I − γA∗ (I − PQ )A)xk , (2.20) với k ≥ 0, {αk } {βk } hai dãy thực [0,1] Hệ 2.2.6 Giả sử dãy {αk } {βk } thỏa mãn điều kiện sau: (C1) limk→∞ αk = (C2) < lim inf k→∞ βk ∞ k=0 αk = ∞, Thì dãy xk → x∗ ∈ C ∩ A−1 (Q), xk xác định (2.20) x∗ nghiệm có chuẩn nhỏ toán chấp nhận tách (1.8) 35 Thuật toán 2.2.7 Cho điểm tùy ý x0 , ta định nghĩa xk k≥0 dãy lặp xk+1 = PC αk σf (xk ) + (I − αk B) (I − γA∗ (I − PQ )A)xk , (2.21) với k ≥ 0, {αk } dãy thực [0,1] Hệ 2.2.8 Giả sử dãy {αk } thỏa mãn điều kiện sau: ∞ αk = ∞, lim αk = k→∞ k=0 dãy xk → x∗ ∈ C ∩ A−1 (Q), xk xác định (2.21) x∗ nghiệm bất đẳng thức biến phân (2.2) Thuật toán 2.2.9 Cho điểm tùy ý x0 , ta định nghĩa xk k≥0 dãy lặp xk+1 = PC αk σf (xk ) + (1 − αk ) (I − γA∗ (I − PQ )A)xk , (2.22) với k ≥ 0, {αk } dãy thực [0,1] Hệ 2.2.10 Giả sử dãy {αk } thỏa mãn điều kiện sau: ∞ αk = ∞, lim αk = k→∞ k=0 Thì dãy xk → x∗ ∈ C ∩ A−1 (Q), xk xác định (2.22) x∗ nghiệm bất đẳng thức biến phân (2.10) 36 Thuật toán 2.2.11 Cho điểm tùy ý x0 , ta định nghĩa xk k≥0 dãy lặp xk+1 = PC (1 − αk ) (I − γA∗ (I − PQ )A)xk , (2.23) với k ≥ 0, {αk } dãy thực [0,1] Hệ 2.2.12 Giả sử dãy {αk } thỏa mãn điều kiện sau: ∞ αk = ∞, lim αk = k→∞ k=0 Thì dãy xk → x∗ ∈ C ∩ A−1 (Q), xk xác định (2.23) x∗ nghiệm có chuẩn nhỏ toán chấp nhận tách (1.8) Kết luận chương Chương trình bày phương pháp lặp ẩn phương pháp lặp giải toán chấp nhận tách với thuật toán, định lý, hệ nhằm tạo dãy hội tụ đến điểm 37 Kết luận chung Luận văn trình bày kết phương pháp lặp ẩn phương pháp lặp giải tốn chấp nhận tách, bao gồm: • Sơ lược không gian Hilbert số kiến thức giải tích lồi • Phát biểu tốn chấp nhận tách số bổ đề bổ trợ • Phương pháp lặp ẩn giải toán chấp nhận tách • Phương pháp lặp giải toán chấp nhận tách 38 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Xuân Liêm (1997), Giải tích hàm, Nhà xuất giáo dục [2] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [3] X Yu, N Shahzad, and Y Yao (2012), "Implicit and explicit algorithms for solving the split feasibility problem", Optim Lett., 6, pp 1447–1462 [4] Y Dang, Y Gao(2011), "The strong convergence of a KM–CQlike algorithm for a split feasibility problem", Inverse Probl., doi:10.1088/0266-5611/27/1/015007 ... 17 1.2 Phương pháp lặp ẩn phương pháp lặp giải toán chấp nhận tách 21 2.1 Phương pháp lặp ẩn 21 2.1.1 Mô tả phương pháp 21 2.1.2 Sự hội tụ phương pháp ... kết phương pháp lặp ẩn phương pháp lặp giải toán chấp nhận tách, bao gồm: • Sơ lược khơng gian Hilbert số kiến thức giải tích lồi • Phát biểu toán chấp nhận tách số bổ đề bổ trợ • Phương pháp lặp. .. pháp lặp giải toán chấp nhận tách Chương gồm mục Trong mục 2.1, chúng tơi trình bày phương pháp lặp ẩn giải toán chấp nhận tách Mục 2.2 dành cho việc giới thiệu phương pháp lặp cho toán Các tài