3 Ví dụ số
3.2 Hệ Eady
Đây là các dữ liệu được lấy từ mô hình theo dõi bão ở khoảng giữa của Thái Bình Dương. Quá trình mô hình hóa được miêu tả cụ thể trong [2]. Nó là một mô hình SISO với bậc ban đầu là 598. Tương tự như hệ FOM, chúng tôi tiến hành giảm bậc hai lần với các bậc của hệ giảm tương ứng là 20 và 40. Sai số tuyệt đối và sai số tương đối được thể hiện qua hai hình 3.3 và 3.4.
100 105 1010 1015 10−8 10−6 10−4 10−2 100 102
sai so tuong doi
a) 10 0 105 1010 1015 10−15 10−10 10−5 100
sai so tuong doi
b)
Hình 3.2: Sai số tương đối của mô hình FOM: bậc giảm r = 20 (a) và bậc giảmr = 30 (b) 100 105 1010 1015 10−25 10−20 10−15 10−10 10−5
sai so tuyet doi
a) 10 0 105 1010 1015 10−50 10−40 10−30 10−20 10−10 100
sai so tuyet doi
b)
Hình 3.3: Sai số tuyệt đối của mô hình Eady: bậc giảm r = 20 (a) và bậc giảmr = 40 (b)
Qua hai ví dụ trên ta nhận thấy rằng phương pháp POD không hữu hiệu như phương pháp Chặt cân bằng, đặc biệt là ở ví dụ FOM. Trong một nghiên cứu khác, chúng tôi tiến hành giảm bậc của hệ FOM đến bậc 15 nhưng sai số tuyệt đối có thể đạt tới dưới10−3 và như vậy rõ ràng xấp xỉ đó tốt hơn xấp xỉ trình bày trong thí nghiệm này. Tuy nhiên, cũng phải nhận thấy rằng các dữ liệu để thực hiện POD có được từ đó đạc hoặc mô phỏng nên chắc chắn có sai số. Ngoài ra, phương pháp POD cũng có thể áp dụng cho hệ phi tuyến, điều mà phương pháp Chặt cân bằng tiêu chuẩn không thực hiện được.
100 105 1010 1015 10−10 10−9 10−8 10−7 10−6
sai so tuong doi
a) 10 0 105 1010 1015 10−30 10−25 10−20 10−15 10−10 10−5
sai so tuong doi
b)
Hình 3.4: Sai số tương đối của mô hình Eady: bậc giảm r = 20 (a) và bậc giảmr = 40 (b)
Kết luận
Luận văn đã sắp xếp lại và nghiên cứu về cơ sở lý thuyết của hệ điều khiển tuyến tính, phương pháp phân tích trực giao dùng để giảm bậc hệ điều khiển tuyến tính. Đồng thời luận văn cũng nêu thuật toán và đưa ra ví dụ thực tế về việc giảm bậc hệ điều khiển tuyến tính không phụ thuộc thời gian của phương pháp phân tích trực giao, phân tích một số ưu nhược điểm của phương pháp.
Tài liệu tham khảo
Tiếng Anh
[1] A.C. Antoulas. Approximation of Large-scale Dynamical Systems. SIAM, (2006).
[2] Y. Chahlaoui, P. Van Dooren (2005), "A collection of Benchmark examples for model reduction of linear time invariant dynamical systems", Lecture Notes in Computational Science and Engineering, 45, pp. 379-392,
[3] C.W. Rowley.Model reduction for fluids using balanced proper orthogonal de- composition. Int. J. Bifurcat. Chaos. 15(3), (2005).
[4] Nguyen Thanh Son, Interpolation Based Parametric Model Order Reduction, PhD dissertation Universit¨at Bremen, (2012).
[5] S. Volkwein.Model reduction using proper orthogonal decomposition. Lecture notes at Graz University, (2008).
Tôi cam đoan đã sửa chữa luận văn theo tất cả các yêu cầu của Hội đồng chấm luận văn thạc sĩ.
Thái Nguyên, ngày 12 tháng 06 năm 2015 Xác nhận của người hướng dẫn Học viên
TS. Nguyễn Thanh Sơn Nguyễn Văn Lộc