Lí thuyết đồ thị và bài toán Erdos - Szekeres.

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HỒ HUYỀN TRANG LÍ THUYẾT ĐỒ THỊ VÀ GIẢ ¨ - SZEKERES THUYẾT ERDOS LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60 46 36 Giáo viên hướng dẫn: PGS TS TẠ DUY PHƯỢNG THÁI NGUYÊN, 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Khái niệm đồ thị 1.1 Định nghĩa đồ thị 1.2 Đường chu trình 1.3 Chu số sắc số đồ thị 1.3.1 Chu số đồ thị 1.3.2 Sắc số đồ thị 1.4 Chu trình Euler chu trình Hamilton 1.4.1 Chu trình Euler 1.4.2 Chu trình Hamilton 5 9 10 17 17 20 Lý thuyết đồ thị, Định lý Ramsey Giả thuyết Erdo¨s Szekeres 2.1 Định lý Ramsey ngôn ngữ đồ thị 2.2 Chứng minh định lí Ramsey nhờ ngôn ngữ đồ thị 2.3 Định lí Ramsey chứng minh Giả thuyết Erdo¨s - Szekeres 2.3.1 Lịch sử toán Erd¨os-Szekeres 2.3.2 Định lí Ramsey ngôn ngữ tập hợp 2.3.3 Ứng dụng Định lí Ramsey 2.3.4 Đánh giá cận cận ES(n) 25 25 28 34 34 37 39 40 Mối quan hệ lý thuyết đồ thị giả thuyết Erdo¨s Szekeres 3.1 Định lý Erdo¨s -Szekeres mở rộng cho điểm vị trí lồi 3.2 Giả thuyết "Big Line or Big Clique" 3.2.1 Tổng quát hóa Định lý Erdo¨s - Szekeres 3.2.2 Một số khẳng định 43 45 46 50 55 2 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời nói đầu Năm 1935, Klein, Erdo¨s Szekeres đặt câu hỏi: Cho số tự nhiên n bất kì, tồn hay không số tự nhiên ES(n) cho từ ES(n) điểm mặt phẳng, ba điểm thẳng hàng, trích n điểm đỉnh đa giác lồi? Để chứng minh tồn số ES(n), Szekeres (1935, xem [9]) phát lại Định lí Ramsey (do nhà toán học trẻ người Anh Ramsey phát biểu chứng minh năm 1930, xem [19]) Trong [9], Erdo¨s Szekeres đưa giả thuyết: ES(n) = 2n−2 + Với cố gắng hàng trăm nhà toán học, sau 75 năm, giả thuyết Erdo¨s -Szekeres chứng minh cho trường hợp n = 3, 4, gần (2006, xem [21]) cho trường hợp n = nhờ máy tính Cả hai Định lí Ramsey Định lí Erdo¨s -Szekeres có chung chất triết học: Khi số phần tử (số điểm) tập hợp đủ nhiều, chọn tập có cấu trúc (đa giác lồi) Định lí Ramsey phát biểu ngôn ngữ đồ thị Trường hợp đơn giản Định lí Ramsey toán sau: Cho đồ thị đầy đủ với sáu đỉnh cạnh tô hai màu đỏ xanh Chứng minh có ba cạnh đồng màu (hoặc đỏ xanh) Bài toán phát biểu ngôn ngữ trò chơi sau: Có sáu người ngồi quanh bàn tiệc, chứng tỏ có ba người đôi quen đôi không quen Do chất triết học sâu sắc, Định lí Ramsey trở thành đá tảng Lí thuyết Ramsey có nhiều ứng dụng toán học thực tế (lí thuyết số, hình học tổ hợp, lí thuyết đồ thị, lí thuyết mạng, toán trò chơi, công nghệ thông tin, ) Một điều thú vị là, gần (2011), tác giả [10] sử dụng Định lí Erdo¨s -Szekeres suy rộng để trả lời câu hỏi mở giả thuyết "big Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn line and big clique" lí thuyết đồ thị (xem [10]) Như vậy, lí thuyết đồ thị, Định lí Ramsey giả thuyết Erdo¨s -Szekeres có mối quan hệ chặt chẽ thú vị Cơ dựa báo [10], luận văn Lí thuyết Đồ thị Giả thuyết Erdo¨s -Szekeres cố gắng phác thảo mối quan hệ thú vị ba đối tượng toán học Luận văn gồm chương: Chương : Trình bày khái niệm lí thuyết đồ thị Các định nghĩa định lí Chương sử dụng hai chương sau Chương : Trình bày giả thuyết Erdo¨s -Szekeres chứng minh Định lí Ramsey Chương :Dựa tài liệu [10], trình bày chứng minh Định lí Erdo¨s Szekeres suy rộng áp dụng để trả lời câu hỏi mở giả thuyết "big line or big clique" lí thuyết đồ thị Luận văn hoàn thành hướng dẫn PGS TS Tạ Duy Phượng Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn thầy hướng dẫn tận tình giúp đỡ, giảng giải suốt trình tác giả học tập nghiên cứu đề tài Tác giả xin trân trọng cảm ơn thầy cô giáo trường Đại học Khoa học thuôc Đại học Thái Nguyên thầy cô giáo Viện Toán học Việt Nam tận tâm giảng dạy giúp đỡ tác giả hoàn thành khóa học Đồng thời tác giả xin chân thành cảm ơn bạn bè đồng nghiệp gia đình động viên, giúp đỡ tạo điều kiện mặt trình học tập Song, hạn chế thời gian, trình độ hiểu biết nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận bảo thầy cô giáo góp ý bạn đọc để luận văn hoàn thiện Thái Nguyên, ngày 30 tháng 10 năm 2011 Tác giả Hồ Huyền Trang Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Khái niệm đồ thị Chương trình bày khái niệm lí thuyết đố thị dựa theo [1] [2] nhằm sử dụng chương 1.1 Định nghĩa đồ thị Chúng ta coi đồ tuyến đường giao thông thành phố, sơ đồ tổ chức quan, sơ đồ khối tính toán thuật toán, sơ đồ mạng máy tính ví dụ cụ thể đồ thị Định nghĩa 1.1.1 Đồ thị G = (V, E) gồm hai tập hợp V E , đó: V = ∅, phần tử V gọi đỉnh (vertices) E ⊆ V × V tập hợp cặp không thứ tự đỉnh gọi cạnh (edges) Ví dụ 1.1 Đồ thị G cho hình vẽ với tập đỉnh V = {a, b, c, d, e} tập cạnh E = {(a, b), (a, c), (b, c), (d, b), (d, c), (e, a), (e, b), (e, d)} Nếu (a, b) cạnh đồ thị ta nói đỉnh b kề với đỉnh a hai đỉnh a b kề với cạnh (a, b) Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn Cặp đỉnh (x, y) ∈ E không thứ tự gọi cạnh vô hướng, có thứ tự gọi cạnh có hướng Vì thế, ta thường phân đồ thị thành hai lớp: Đồ thị vô hướng đồ thị có hướng Định nghĩa 1.1.2 Đồ thị chứa cạnh vô hướng gọi đồ thị vô hướng, đồ thị chứa cạnh có hướng gọi đồ thị có hướng Định nghĩa 1.1.3 Đồ thị G = (V, E) gọi đối xứng nếu: ∀x, y ∈ V : (x, y) ∈ E ⇔ (y, x) ∈ E Nhận xét:Các đồ thị vô hướng đối xứng Định nghĩa 1.1.4 Đồ thị G = (V, E) mà cặp đỉnh nối với không cạnh gọi đơn đồ thị (thường gọi tắt đồ thị) Còn cặp đỉnh nối với nhiều cạnh gọi đa đồ thị 1.2 Đường chu trình Giả sử G = (V, E) đồ thị Định nghĩa 1.2.1 Đường đồ thị dãy đỉnh: x1 , x2 , , xi , xi+1 , , cho đỉnh dãy (không kề đỉnh đầu tiên) kề với đỉnh trước cạnh đó, nghĩa là: ∀ i = 2, 3, , k − 1, k : (xi−1 , xi ) ∈ E Ta nói đường từ đỉnh đầu x1 đến đỉnh cuối xk Số cạnh đường gọi độ dài đường Đường đơn đường mà đỉnh khác đôi Định nghĩa 1.2.2 Chu trình đường khép kín (tức đỉnh cuối đường trùng với đỉnh đầu đường đi) Ta thường kí hiệu chu trình là: [x1 , x2 , , xi , xi+1 , , xk−1 , xk ] Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn x1 = xk Để cho gọn, ta kí hiệu chu trình [x1 , x2 , , xi , xi+1 , , xk−1 ] Khi nói đến chu trình, nhiều ta không cần xác định điểm đầu điểm cuối Chu trình gọi chu trình đơn đỉnh khác đôi Trong đồ thị, đỉnh nút đỉnh kề với Đỉnh cô lập đỉnh mà đỉnh khác kề với Tập m - độc lập đồ thị m - đỉnh cô lập Định nghĩa 1.2.3 i) Đồ thị G = (V , E ) gọi đồ thị đồ thị G nếu: V ⊆ V ; E = E ∩ (V × V ) ii) Đồ thị G” = (V, E”) với E” ⊆ E gọi đồ thị riêng đồ thị G Ví dụ 1.2 Hình 1.2 Đồ thị thứ hai đồ thị đồ thị đầu Định nghĩa 1.2.4 i) Hai đỉnh đồ thị G gọi liên thông đồ thị có đường nối chúng với ii) Đồ thị G đươc gọi liên thông cặp đỉnh đồ thị liên thông với Quan hệ liên thông tập đỉnh quan hệ tương đương Nó tạo lên phân hoạch tập đỉnh Mỗi lớp tương đương quan hệ đươc gọi mảng liên thông (hay thành phần liên thông) Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn Kí hiệu: p số mảng liên thông đồ thị Một đồ thị G gọi p− liên thông G liên thông đồ thị liên thông ta bỏ p đỉnh tùy ý với cạnh kề với đỉnh Định nghĩa 1.2.5 Bậc đỉnh số cạnh kề với đỉnh thường kí hiệu d(a) bậc đỉnh a đồ thị G Bậc đồ thị số đỉnh, thường kí hiệu n Định lý 1.2.1 Tổng tất bậc đỉnh đồ thị hai lần số cạnh đồ thị Chứng minh Ta tính bậc đỉnh Mỗi đỉnh thuộc cạnh bậc tăng thêm Mà cạnh có hai đỉnh Do tổng tất bậc đỉnh gấp đôi số cạnh đồ thị Hệ 1.2.1 Số đỉnh có bậc lẻ đồ thị phải số chẵn Định lý 1.2.2 Đồ thị G có n đỉnh Nếu bậc đỉnh G không nhỏ n2 đồ thị G liên thông Chứng minh Ta chứng minh phản chứng Giả sử đồ thị G liên thông Khi có hai đỉnh a b nằm hai mảng liên thông khác Vậy thì, n ≤ d(a) + d(b) ≤ n − Suy điều mâu thuẫn Một số tính chất bậc đỉnh Đỉnh có bậc gọi đỉnh cô lập (isolated vertex) Đỉnh có bậc gọi đỉnh treo, cạnh tới đỉnh treo gọi cạnh treo Đồ thị mà đỉnh đỉnh cô lập gọi đồ thị rỗng Đồ thị gọi đồ thị phẳng biểu diễn mặt phẳng cho hai đường biểu diễn cắt Đồ thị gọi đồ thị đầy đủ hai đỉnh có cạnh nối, tức đỉnh đồ thị kề với đỉnh khác Ta kí hiệu Kn đồ thị vô hướng đầy đủ n đỉnh Trong đồ thị Kn , đỉnh có bậc n − đồ thị liên thông Hai đỉnh nối với đường ngắn có độ dài 1, cạnh nối hai đỉnh Ví dụ 1.4: Ví dụ đồ thị Kn Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.3 1.3.1 Chu số sắc số đồ thị Chu số đồ thị Định nghĩa 1.3.1 Cho đồ thị G = (V, E) có n đỉnh, m cạnh p thành phần liên thông Đại lượng c = m − n + p gọi chu số đồ thị G Ví dụ 1.5 Xét đồ thị sau: Hình 1.5 Đồ thị định hướng không liên thông Đồ thị có n = 7, m = 8, p = 2.Vậy chu số c = − + = Định lý 1.3.1 Nếu thêm cạnh vào đồ thị G chu số tăng thêm không thay đổi Chứng minh Giả sử thêm cạnh (a, b) vào đồ thị G Khi m tăng thêm i) Nếu hai đỉnh a, b thuộc mảng liên thông n, p không đổi, chu số tăng thêm ii) Nếu hai đỉnh a, b thuộc hai mảng liên thông khác G p giảm 1, chu số không đổi Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn Hệ 1.3.1 Chu số đồ thị số nguyên không âm Chứng minh Thật vậy, đồ thị G xây dựng từ đồ thị G0 gồm n đỉnh cạnh Sau thêm cạnh vào đồ thị G0 để đồ thị G Chu số G0 c = − n + n = Quá trình thêm cạnh không làm giảm chu số Vậy chu số G lớn chu số G0 = 1.3.2 Sắc số đồ thị Khái niệm sắc số liên quan đến toán tô màu đồ thị sau: Hãy tô màu đỉnh đồ thị cho, cho hai đỉnh kề phải tô hai màu khác Ta nói rằng, đồ thị G tô k màu tồn hàm m : V → {0, 1, 2, , k − 1} cho, hai đỉnh x y kề m(x) = m(y) Dễ thấy rằng, đồ thị G tô màu đỉnh nút Định nghĩa 1.3.2 Sắc số đồ thị số màu dùng để tô màu đỉnh đồ thị Ta kí hiệu χ (G) sắc số đồ thị G Hiển nhiên χ (G) ≤ n Nghĩa sắc số (số màu) không vượt số đỉnh đồ thị Tập B ⊆ V gọi tập ổn định đồ thị G nếu: ∀x ∈ B : B ∩ F (x) = ∅ Nhận xét Mỗi cách tô màu m cho đồ thị G ứng với cách phân hoạch tập đỉnh V thành tập ổn định không giao nhau, tập ứng với màu Ngươc lại, cách phân hoạch tập đỉnh V thành tập ổn định không giao cho ta cách tô màu Ví dụ 1.6 Tìm sắc số đồ thị G sau: 10 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... (V × V ) ii) Đồ thị G” = (V, E”) với E” ⊆ E gọi đồ thị riêng đồ thị G Ví dụ 1.2 Hình 1.2 Đồ thị thứ hai đồ thị đồ thị đầu Định nghĩa 1.2.4 i) Hai đỉnh đồ thị G gọi liên thông đồ thị có đường... cạnh treo Đồ thị mà đỉnh đỉnh cô lập gọi đồ thị rỗng Đồ thị gọi đồ thị phẳng biểu diễn mặt phẳng cho hai đường biểu diễn cắt Đồ thị gọi đồ thị đầy đủ hai đỉnh có cạnh nối, tức đỉnh đồ thị kề với... triết học sâu sắc, Định lí Ramsey trở thành đá tảng Lí thuyết Ramsey có nhiều ứng dụng toán học thực tế (lí thuyết số, hình học tổ hợp, lí thuyết đồ thị, lí thuyết mạng, toán trò chơi, công nghệ