2 PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ TRƠN CHO BÀI TOÁN MIN-
2.1.1 Bài toán minimax đã làm trơn
Với các tham số dương đủ nhỏ α và β, ta định nghĩa (xem [8])
f(x, y : α, β) := Z Rm Z Rn f(x−s, y−t)φ(s|α)ψ(t|β)dsdt; (2.1) h(y : β) := Z Rm h(y −t)ψ(t|β)dt; g(x : α) := Z Rn g(x−s)φ(s|α)ds,
trong đó ds và dt là các độ đo Lebesgue trên Rn và Rm (tương ứng); φ(s|α) := α−1Φ(α−1||s||), ψ(t|β) :=β−1Ψ(β−1||t||), ở đây Φ và Ψ là hàm lớp C∞ với giá trị trong (-1,1) sao cho R
Rφ(z)dz = 1 = R
Rψ(z)dz. Nếu f = (f1, f2, ...) thì f φ là vectơ(f1φ, f2φ, ...). Chú ý rằng f(., . : α, β), h(. :
khi α, β → 0. Nếu f, g, h có hằng số Lipschitz Kf, Kg, Kh trong lân cận N0 của điểm (¯x,y¯) thì với (x, y) ∈ N0,
||g(x :α)−g(x)|| ≤ Z Rn ||g(x−s)−g(x)||φ(s|α)ds ≤Kg Z Rn ||s||φ(s|α)ds 5 Kg, (2.2)
chú ý rằng φ(.) ≥ 0 và có giá compact. Một cách tương tự ta có ||h(y :β)−h(y)|| ≤ Khβ,
||f(x, y : α, β)−f(x, y)|| ≤ Kf(α+β).
(2.3)
Theo định lý Redemacher, hàm Lipschitz g là khả vi Fréchet trừ ra một tập N1 có độ đo không. Khi đó (xem [5]),
g0(x : α) =
Z
Rn
g0(x−s)φ(s|α)ds ∈ Cg(α) := co{g0(s) : s 6∈ N1,||s−x|| < α, trong đó co kí hiệu bao lồi đóng, bởi vì lấy tích phân trên N1 không ảnh hưởng đến tích phân. Với α đủ nhỏ Cg(α) là compact và
\
α>0
Cg(α) = ∂g(x)
là Jacobian suy rộng Clarke.
Giả sử với (WMM1) đạt được minimax địa phương yếu tại (x, y) = (¯x,y¯). Đặt eh(y : β) := h(y : β)−h(¯y : β) + h(¯y), e g(x : β) := g(x : β)−g(¯x : β) +g(¯x). Khi đó, e h(¯y :β) =h(¯y), e g(¯x : β) = g(¯x).
Khi đó, bài toán (WMM1) được xấp xỉ bởi bài toán minimax trơn: (WMM2) W M INx{W M AXyf(x, y : α, β) : −eh(y : β) ∈ S},
−ge(x : α) ∈ T.
Theo cách xây dựng của eg và eh, điểm (¯x,y¯) là chấp nhận được của (WMM2). Kí hiệu (IP(α, β)) là bài toán trong của (WMM2).
Mệnh đề 2.1
Giả sử f và g là các hàm Lipschitz địa phương, thỏa mãn điều kiện ổn định:
(∀ξ ∈ ∂h(¯y)) 0 ∈ int[h(¯y) +ξ(Rm) +S],
và điều kiện tăng trưởng tuyến tính, với 0 6= τ nào đó ∈ Q∗ và r > 0 nào đó,
(∀χ > 0)(∀y,||y−y¯|| ≤ r,−h(y) ∈ S) τ f(¯x, y) ≤ τ f(¯x, Cy¯)−χ||y−y¯||. Khi đó, với ||x−x¯||, α và β đủ nhỏ, bài toán (IP (α, β)) đạt cực đại địa phương yếu tại điểm y = yb(x;α, β) và với 0< ρ < ∞ nào đó,
||yb(x;α, β)−yb(¯x; 0,0)|| ≤ρ||(x, α, β)−(¯x,0,0)||. Chứng minh
Bởi vì h là hàm Lipschitz địa phương trên không gian hữu hạn chiều, ánh xạ y 7→ ∂h(y) là nửa liên tục trên tại y¯ (do [4, Mệnh đề 2.1.5]). Chú ý rằng tất cả giả thiết của [6, Bổ đề 4] thỏa mãn cho cực tiểu hóa τ f(x, .;α, β) với ràng buộc −he(.;β) ∈ S . Bài toán này đạt được cực đại địa phương tại điểm yb(x;α, β) thỏa mãn điều kiện Lipschitz. Khi đó,
b
y(x;α, β) là điểm cực đại địa phương yếu của (IP (α, β)). Đặt m(x;α, β) := f(x,yb(x;α, β) : α, β), và với σ ∈ intQ, đặt
b
Nếu 06= τ ∈ Q∗ thế thì τ σ > 0. Bây giờ xét các bài toán sau: (OP(α, β)) W M INxmb(x;α, β), −eg(x :α) ∈ T; (OP(α, β)τ) M INxτme(x;α, β), −eg(x : α) ∈ T. Mệnh đề 2.2
Giả sử g là Lipschitz địa phương; x¯là cực tiểu địa phương của bài toán (OP (0,0):τ), và các giả thiết của Mệnh đề 2.1 đúng. Khi đó, mb(x;α, β)
đạt cực tiểu địa phương yếu, với ràng buộc −eg(x : α) ∈ T, tại điểm
x = xb(α, β), trong đó xb(α, β) →x¯ khi α, β → 0.
Chứng minh
Theo Mệnh đề (2.1), bài toán (IP (α, β)) đạt cực đại địa phương yếu
b
y(x;α, β) trong đó yb(.;., .) là Lipschitz tại (¯x; 0,0). Từ (2.2) và tất cả giả thiết của [6, Bổ đề 3] thỏa mãn cho bài toán (OP (α, β);τ). Vì vậy, τxb(.: α, β) đạt cực đại địa phương với ràng buộc −ge(x : α) ∈ T, tại điểm
b
x(α, β), trong đó bx(α, β) → x¯ khi α, β → 0. Khi đó, bx(α, β) là cực tiểu địa phương yếu của bài toán (OP (α, β)).