Điều kiện đủ cho minimax

2 PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ TRƠN CHO BÀI TOÁN MIN-

2.3 Điều kiện đủ cho minimax

Nhắc lại [13] hàm đa trị Φ : Rn → Rm được gọi là giả Lipschitz ở gần

(¯x,y¯) ∈ grΦ (đồ thị của Φ) với môđun c > 0 nếu tồn tại lân cận U của x¯

và V của y¯ sao cho

(∀x, x0 ∈ U)Φ(x0)∩V ⊂ Φ(x) +c||x−x0||B1(0),

trong đó B1(0) là hình cầu đơn vị đóng. Kí hiệu jacobian suy rộng Clarke theo x và y bởi ∂x và ∂y và N(v,Ω) là nón pháp tuyến Clarke của tập Ω

tại điểm v ∈ Ω. Định nghĩa hàm Lagrangian:

L(x, y;∧, M,Π,Ξ) := f(x, y)−∧h(y)−M φ(y−Cy) + Πg(x) + Ξψ(x−x¯). Hàm F(.) đạt cực tiểu địa phương mạnh tại x¯ theo nón H (xem [4]) nếu F(x)−F(¯x) ∈ H với mọi x chấp nhận được ở gần x.¯

Định lí 2.2

Giả sử (¯x,y¯) là điểm chấp nhận được của bài toán (WMM1), ở đây

k ≤ p ràng buộc từ −h(.) ∈ S là tích cực tại y¯, và l ≤ s ràng buộc từ

−g(.) ∈ T là tích cực tại x¯. Giả sử rằng

(a) Với các nón lồi đóng K và H nào đó, Q ⊂ K ⊂ H,

(∃∧ ∈e L(S−h(¯y), K),Mf∈ L(Rp−k+ , K),Πe ∈ L(T−g(¯x), H),Ξe ∈ L(Rs−l+ , H)) (0,0) ∈ ∂xL(¯x,y¯;∧e,M ,f Πe,Ξ)e ×∂yL(¯x,y¯;∧e,M ,f Πe,Ξ);e

(ở đây ∂xL không phụ thuộc vào (∧, M), và ∂yL không phụ thuộc vào

(Π,Ξ));

(b) Với ||x−x¯|| đủ nhỏ, hàm vectơ bao gồm−f(x, .), h(.) và φ(j)(.−y¯)(j = 1,2, ..., p−k) (như trong (2.5)) là Q×S×Rp−k+ - lồi bất biến tại mỗi điểm

y0 trong một lân cận của y¯ với hàm scale không phụ thuộc vào x, và hàm vectơ bao gồmf(.,y¯), g(.) và ψ(j)(.−x¯)(j = 1,2, ..., s−l) là Q×T ×Rs−l+ - lồi bất biến tại x¯;

(c) (ζ,0)∈ N((¯x,z¯),Ω) ⇒ ζ = 0, trong đó

Ω := ker∂yL∩(Rn ×ker[∧h(y) +MΦ(y −y¯)])∩

([Rn×Rm× {(∧, M) : ∧(S) +M(Rp−k+ ) ⊂ K}]).

Khi đó, (¯x,y¯) là minimax mạnh địa phương của (WMM1), với các ràng buộc thêm φ(j)(y−y¯) ≤ 0(j = 1,2, .., p−k) và ψ(j)(x−x¯) ≤ 0 (j = 1,2, .., s−l) theo các nón K và H.

Chứng minh

Xác định hàm đa trị Φ như sau:

Φ(x) := {z = (y,∧, M) : 0 ∈ ∂yL(x, y;∧, M,Π,Ξ),∧h(y)+M φ(y−y¯) = 0

∧(S) +M(R(+p−k)) ⊂ K}. Ở đây ∂yL(.) không chứa Π và Ξ. Từ giả thiết (a), ta có

¯

z := (¯y,∧e,Mf) ∈ Φ(¯x).

Từ định nghĩa của Φ(.) ta suy ra grΦ = Ω. Sử dụng giả thiết (c), ta có

(ζ,0)∈ N((¯x,z¯), grΦ) ⇒ ζ = 0.

Theo Aubin [3] và Rockafellar [14], điều kiện này đảm bảo Φ là giả Lipschitz. Vì thế, khi ||x−Cx¯|| là đủ nhỏ, Φ(x) 6= ∅. Vì vậy,

Từ đây và giả thiết (b), nếu −h(y) ∈ S, φ(j)(y−y¯) 5 0(j = 1,2, .., p− k), thì f(x,yb(x))−f(x, y) = L(x,yb(x);∧b(x),Mc(x),Π,Ξ)−L(x, y;∧b(x),Mc(x),Π,Ξ) +∧b(x)[−h(y) +h(yb(x))] +Mc(x)[−φ(y −y¯) +φ(yb(x)−y¯)] ∈ −A(x)ζ(y,yb(x)) +Q+K ⊂ K, trong đó A(x) ∈ ∂yL(x,yb(x);∧b(x),Mc(x),Π,Ξ), ζ(y,yb(x)) là hàm scale trong giả thiết (b), φ := (φ(1), ..., φ(p−k)) và các giá trị của Π và Ξ không đóng vai trò quan trọng trong tính toán này. Vì vậy, yb(x) là cực đại mạnh theo nón K của bài toán trong của (WMM1) với các ràng buộc thêm φ(j)(y −y¯) ≤0(j = 1,2, .., p−k). Do zb(x) ∈ Φ(x) và các giả thiết (a) và (b), nếu ||x−x¯|| đủ nhỏ, −g(x) ∈ T và ψ(j)(x−x¯) ≤ 0(j = 1,2, ..., s−l) thì f(x,yb(x))−f(¯x,y¯) = f(x,yb(x))−f(x,yb) +f(x,y¯)−f(¯x,y¯) = L(x,yb(x);∧b(x),Mc(x),Π,Ξ)−L(x,by;∧b(x),Mc(x),Π,Ξ) +L(x,y¯;∧e,M ,f Πe,Ξ)e −L(¯x,y¯;∧e,M ,f Πe,Ξ)e −∧b(x)h(¯y)−Mc(x)φ(0) +∧b(x)h(yb(x)) +Mc(x)φ(by(x)−y¯) +Π[e −g(x) +g(¯x)] +Ξ[e −ψ(x−x¯) +ψ(0)] ∈ −A(x)ζ(¯y,yb(x)) +K +Bγ(x,x¯) +H +K +H ⊂ H,

trong đó, A(x) và ζ(.) như ở trên, B ∈ ∂xL(¯x,y¯;∧e,M ,f Πe,Ξ)e , γ(.) là hàm scale trong giả thiết (b), ψ := (ψ(1), ..., ψ(s−l)). Vì vậy, x¯ là cực tiểu mạnh theo nón H của bài toán ngoài (WMM1) với các ràng buộc thêm ψ(j)(x−

¯

x) ≤ 0 (j = 1,2, ..., s−l). Nhận xét 2.4

Giả sử hàm vectơ Θ(x) đạt cực tiểu địa phương yếu tại z = p với ràng buộc −γ(x) ∈ Γ, trong đó nón lồi Γ có điểm trong. Khi đó, không có nghiệm x thỏa mãn

Θ(x)−Θ(p) ∈ −intQ, −γ(x) ∈ intΓ.

Nếu hàm vectơ (Θ, γ) là convexlike thì tồn tại các nhân tử (τ, λ) ∈ Q∗ ×Γ∗, không đồng thời bằng 0, sao cho

τT[Θ(x)−Θ(p)] +λTγ(x) ≥ 0

với mọi x gần p. Chú ý rằng tính convexlike (khả vi) kéo theo tính lồi bất biến. Nếu điều kiện Slater đúng: −γ(c) ∈ intΓ với c nào đó, thì nhân tử τ 6= 0. Khi đó, tồn tại ma trận Y với Y thuộc nón các ma trận S := {y : y(Γ) ⊂ Q}, sao cho Θ(x) +Y γ(x) đạt cực tiểu yếu tại

Kết luận

Luận văn đã trình bày phương pháp xấp xỉ trơn cho bài toán tối ưu với các hàm Lipschitz địa phương dựa trên kĩ thuật của lí thuyết hàm suy rộng của B.D.Craven [5] và các điều kiện tối ưu cho các bài toán với các hàm Lipschitz địa phương được thiết lập bằng phương pháp xấp xỉ trơn. Các bài toán không trơn được trình bày trong luận văn bao gồm: bài toán quy hoạch với ràng buộc đẳng thức và ràng buộc nón, bài toán quy hoạch liên tục không trơn, bài toán điều khiển tối ưu không trơn và bài toán minimax vectơ không trơn với các ràng buộc nón. Phương pháp xấp xỉ trơn của Craven tỏ ra rất hiệu quả để xử lí các bài toán với các hàm Lipschitz địa phương trong không gian hữu hạn chiều. Với các bài toán trong không gian vô hạn chiều phải tiếp cận bằng cách khác.

Điều kiện tối ưu không trơn là đề tài đã và đang được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu.

Tài liệu tham khảo

Tài liệu tiếng Việt

[1] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải, (2000),Giải tích lồi, NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội.

[2] Đỗ Văn Lưu (1999) Giải tích Lipschitz, NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội.

Tài liệu tiếng Anh

[3] J.P.Aubin (1984), ’Lipschitz behaviour of solutions to convex mini- mization problems’, Math. Oper. Res, 9, 87-111.

[4] F. H. Clarke (1983), Optimization and nonsmooth analysis, Wiley- Interscience, New York.

[5] B. D. Craven (1986), ’Nondifferentiable optimization by smooth ap- proximation’ , Optimization 17, 3-17.

[6] B. D. Craven (1994), ’ Convergence of discrete approximations for constrained minimization’ , J. Austral. Math. Soc. (Series B)35 ,50- 59.

[7] B. D. Craven (1978) Mathematical Programming and Control Theory. Chapman and Hall, London.

[8] B. D. Craven (1981) Invex functions and constrained local minima, Bull. Austral.Math. Soc 24, 357- 366.

[9] B. D. Craven and D. V. Luu (1998), Lagrangian conditions for a non- smooth vector- valued minimax, J. Austral. Math. Soc. (Series A) 65, 163 - 175.

[10] B. D. Craven and D. V. Luu (1994), ’Constrained minimax for a vector-valued function’, Optimization 31, 199 - 208.

[11] I. Ekeland (1979), Nonconvex minimization problems Bull. Amer. Math. Soc. (new series) 1, 443 - 474.

[12] M.A. Hanson (1981), On sufficiency of the Kuhn- Tucker conditions., J. Math.Anal. Appl, 80, 545 - 550.

[13] B. Mordukhovich (1994), ’Stability theory for parametric generalized equation and variational inequalities via nonsmooth analysis’, Trans. Amer. Math. Soc. 343, 609 - 657.

[14] R. T. Rockafellar, (1985), ’ Lipschitzian properties of multifunctions’, Nonlinear Anal. 9, 867 - 885.