Nếu {fn} là một dãy hàm đo được của tập Borel trên một tập mở Ω ⊂ CN. Ta nói nó hội tụ theo dung lượng tới một hàm đo được Borel f trên Ω nếu fn hội tụ tới f theo dung lượng trên mọi tập con compact của Ω.
Từ (2.11) thấy rằng hội tụ theo dung lượng là hội tụ theo độ đo. Như vậy, ta có:
(2.18) lim
n→∞λ({z ∈ K| |fn(z)−f(z)| > a}) = 0.
Hội tụ theo độ đo không bao gồm hội tụ theo dung lượng. Ví dụ, các tập hợp có độ đo Lebesgue 0 nhưng có dung lượng dương.
Một hàm hữu tỷ trên CN được định nghĩa là phép chia của những đa thức. Chúng ta nói hàm hữu tỷ có bậc ≤n và kí hiệu là rn(z) nếu nó biểu thị dưới dạng rn(z) = pn(z)
qn(z).
Với pn và qn là các đa thức có bậc ≤ n( ta giả thiết qn 6= 0).
Giả sử f(z) giải tích trên một tập mở Ω ⊂ CN. Theo Goncar [G3], chúng ta có dãy các hàm hữu tỷ {rn} hội tụ nhanh theo dung lượng tới f trên Ω. Khi đó, rn hội tụ nhanh theo dung lượng tới f trên tập compact K ⊂ Ω nếu với mọi a > 0 và với mọi tập siêu lồi mở Ω1 ⊃ K:
(2.19) lim
n→∞Cap(
n
z ∈ K||f(z)−rn(z)|1/n > a o
,Ω1) = 0 Ta nói dãy {rn} hội tụ nhanh tới f trên Ω nếu dãy
n|fn−rn(z)|1/no hội tụ tới 0 trên Ω (resp.,hội tụ tới 0 trên K). Khi đó {rn} hội tụ nhanh tới f trên tập compact K ⊂ Ω nếu, mọi a > 0, ta có:
(2.20) lim
n→∞λ n
z ∈ K||f(z)−rn(z)|1/n > a o
= 0.
Chương 2
Hội tụ nhanh theo dung lượng của dãy hàm hữu tỷ
Trong mục này trước hết chúng ta sẽ đưa ra các đánh giá về xấp xỉ của hàm chỉnh hình bằng các hàm hữu tỷ. Những đánh giá này sẽ chứng minh các định lý chính của luận văn.
Giả sử K là một tập compact, không đa cực của B(0, R) và u(z) :=
u∗K,B(0,10R)(z)theo quy tắc là hàm cực trị tương đối của K trongB(0,10R). Bổ đề 2.1 đánh giá u(z) trên mặt cầu |z| = 2R. Đánh giá chỉ phụ thuộc vào Cap(K, B(0,10R))
Bổ đề 2.1.
Tồn tại một hằng số c > 0 sao cho nếu |z|= 2R thì:
u(z) ≤ −cCap(K, B(0,10R)). Chứng minh
Gọi z0 là điểm cố định trên mặt cầu |z| = 2R. Xét các tập mở:
ω = z ∈ CN| |z −z0| < 4R và Ω = z ∈ CN| |z −z0| < 5R . Do 4R <
1 nên B(z0,4R) nằm trong B(z0,1) và như vậy ta có thể áp dụng Bổ đề
3.3 của [A-T], có hằng số c0 > 0 bất kỳ sao cho:
(3.1) R
ω
(ddcu)N ≤ c0(−u(z0))Sup
z∈Ω
|u(z)|N−1 Khi đó, từ (2.5) ta có:
(3.2) R
ω
(ddcu)N = Cap(K, B(0,10R)). Hơn nữa theo định nghĩa về hàm cực trị tương đối (xem 2.3):
supz∈Ω|u(z)| ≤ 1. Từ đây ta có:
(3.3) Cap(K, B(0,10R)) ≤ −c0u(z0)
đúng với Bổ đề 3.3 của [A-T], theo (3.1) đúng với v ∈ P SH(Ω) thỏa mãn v < 0 và hằng số c0 được chọn độc lập với v. Ta xét (3.1) cho các hàm uT(z) := u(T z) với T là một không gian unita của CN. Khi đó (ddcuT)N = (ddcu)N . Khi đó vế trái của (3.1) không đổi.
Ta có Cap(K, B(0,10R)) ≤ −c0u(T z0) với mọi không gian unita T. Với c = 1
c0 trong nội dung của Bổ đề 2.1(đpcm).
Bổ đề tiếp theo cho thấy nếu một hàm hữu tỷ là một xấp xỉ đồng nhất đến một hàm giải tích trên một tập có dung lượng dương trong một hình cầu, khi đó nó có mẫu không quá nhỏ. Đặc biệt, giả sử K là một tập con compact của B(0, R) với K không đa cực. Giả sử f chỉnh hình trên một lân cận củaB(0,10R) và với M > 0 là một hằng số thỏa mãn |f(z)| ≤M với z ∈ B(0,10R). Đặt rn(z) = pn(z)
qn(z) là một hàm hữu tỷ có bậc ≤ nđược chuẩn hóa:
(3.4) kqn(z)kK = 1.
Bổ đề 2.2. Cho a thỏa mãn điều kiện 0 < a < 1:
|f(z)−rn(z)|
1
n ≤ a với z ∈ K.
Khi đó với |z| ≤ 2R ta có, với c ở Bổ đề 2.1:
|f(z)−rn(z)| ≤ (2M + 1)ancCap(K,B(0,10R))
(T10R(K))n|qn(z)| . Chứng minh
Từ (3.4) và giả thiết của Bổ đề 2.2 ta có:
(3.5) |qn(z)f(z)−pn(z)| ≤ an với z ∈ K Từ a < 1, với điều kiện:
(3.6) kpnkK ≤M + 1
Từ đó, sử dụng (2.15) ta có:
(3.7) kqnkB(0,10R) ≤ (T 1
10R(K))n và kpnkB(0,10R) ≤ (TM+1
10R(K))n. Khi đó, ta có, cho |z| ≤10R:
(3.8) |qn(z)f(z)−pn(z)| ≤ 2M + 1 (T10R(K))n.
Bây giờ ta áp dụng hai định lý không đổi [K,Prop 4.5.6] cho hàm đa điều hòa dưới log|qn(z)f(z)−pn(z)| sử dụng kết quả (3.5) và (3.8) ta được, với |z|< 10R:
(3.9) |qn(z)f(z)−pn(z)| ≤[−nlogT10R(K) + log(2M + 1)] (1 + u(z)) - n(loga)(u(z)). Ở đây u(z) := u∗K,B(0,10R)(z) như Bổ đề 2.1. Từ M > 0 vàlogT10R(K) < 0(xem (2.12)) số hạng bên phải của (3.9) sẽ không giảm đi nếu ta thay (1 + u(z)) bởi 1. Hơn nữa, số hạng thứ hai ở vế phải của (3.9) ta sử dụng đánh giá của Bổ đề 2.1 (đúng với |z| = 2R).
Khi đó, từ loga < 0 ta có, với |z|= 2R:
(3.10) log|qn(z)f(z)−pn(z)| ≤ −nlogT10R(K) + log(2M + 1) + n(loga)cCap(K, B(0,10R)). Theo luật số mũ và sử dụng nguyên lý mô
đun cực đại ta có, với |z| ≤ 2R :
(3.11) |qn(z)f(z)−pn(z)| ≤ 2M + 1
(T10R(K))nancCap(K,B(0,10R))
sinh ra kết quả trên. Từ sự đạt được kết quả trên sự hội tụ theo dung lượng, từ kết quả của Bổ đề 2.2 ta đánh giá dung lượng được xác lập bởi |qn(z)|
là nhỏ, ngoài ra xem [C-D-L].
Ta đặt, với 0 < α < 1
(3.12) Wn(α) := nz ∈ B(0,2R)||qn(z)| < αno với qn(z) là đa thức có bậc ≤ n và được chuẩn hóa bởi (3.4).
Bổ đề tiếp theo sẽ thấy dung lượng củaWn(α) phụ thuộc vào nvàqn chỉ phụ thuộc vào α và dung lượng của K. Hơn nữa, dung lượng của Wn(α) tiến tới 0. Đặc biệt, ta có (với 4R <1):
Bổ đề 2.3. Có một hằng số β > 0 sao cho:
Cap(Wn(α), B(0,1 +R)) ≤ β
1 + logα/logT1+R(K). Chứng minh
Lưu ý rằng T1+R(K) < 1 và biểu thức logα/log(T1+R(K)) > 0. Khi đó, từ (2.5) và (3.4) ta có:
(3.13) |qn(z)| ≤ 1
(T1+R(K))n với |z| ≤ 1 +R. Cho z0 là một điểm thuộc K sao cho:
(3.14) |qn(z0)| = 1.
Đặt
(3.15) u1(z) := (1/n) log|qn(z)|+ logT1+R(K)
−logT1+R(K) . Khi đó u1 ∈ P SH(B(0,1 +R), u1 < 0 và u1(z0) =−1.
Từ z0 ∈ K,|z0| ≤ R và
(3.16) B(z0,1) ⊂ B(0,1 +R).
Ta đặt:
(3.17) A:= 1 + logα
logT1+R(K).
Khi đó A > 1 và u1(z) < −A nếu và chỉ nếu (1/n) log|qn(z)| < logα. Như vậy:
(3.18) Wn(α) ⊂z ∈ CN||z−z0| < 4R, u1 < −A .
Từ 4R < 1, hình cầu B(z0,4R) chứa trong hình cầu B(z0,1) và như vậy ta có thể áp dụng đẳng thức (4.1) của [A-T] cho trường hợp này, ta được, với mọi β > 0:
(3.19) Cap(Wn(α), B(z0,1)) ≤ β
1 + logα/logT1+R(K).
Theo kết quả của Bổ đề 3.3 sinh ra từ (3.16) và tính đơn điệu của Cap (xem(2.9)).
Bổ đề 2.4. Cho f giải tích trên một tập mở Ω ⊃ B(0,10R) (với 4R < 1) và cho {rn}n=1,2,3,... là một dãy các hàm hữu tỷ có bậc ≤ n hội tụ nhanh đến f theo dung lượng trên một tập compact, không đa cực K ⊂ B(0, R). Khi đó {rn} hội tụ nhanh theo dung lượng đến f trên B(0,2R) .
Chứng minh
Cho athỏa mãn0 < a <1vàKn(a) := z ∈ K||f(z)−rn(z)|1/n ≤ a . Khi đó Kn(a) là compact và theo giả thiết:
n→∞lim Cap(K\Kn(a), B(0,10R)) = 0.
Theo Bổ đề 2.1 có một hằng số δ > 0 sao cho T1+R(Kn(a)) ≥ δ và T10R(Kn(a)) ≥ δ,Cap(Kn(a), B(0,1 +R)) ≥ δ với n đủ lớn, lấy n ≥ Na.
Hơn nữa, δ được chọn không phụ thuộc vào a. Đặt:
(3.20) α := a
cδ
2 với c là hằng số trong Bổ đề 2.1.
Giả sử rn(z) = pn(z)/qn(z) và qn được chuẩn hóa như (3.4) và Wn(α) được định nghĩa bởi (3.12) với α cho bởi (3.20). Khi đó với z /∈ Wn(α) ta có:
(3.21) 1
|qn(z)| ≤ 1
αn = a−ncδ/2. Kết hợp (3.21) với kết quả của Bổ đề 2.2, với n ≥Na: (3.22) |f(z)−rn(z)|1/n ≤ (2M + 1)1/nacδ/2
δ , z ∈ B(0,2R)\Wn(α). Cho b, ε >0 ta chọn a đủ nhỏ. Khi đó:
(3.23) (2M + 1)acδ/2
δ < b và β
1 + (loga)cδ/2 logδ < ε. Từ đó, suy ra với n ≥ Na:
Cap(
z ∈ B(0,2R)||f(z)−rn(z)|
1 n > b
, B(0,1 +R)) < ε, nhờ sử dụng đánh giá củaCap(Wn(α), B(0,1 +R)) của Bổ đề 2.3 và chú ý rằng:
n
z ∈ B(0,2R)||f(z)−rn(z)|1/n > b
o ⊂Wn(α).
Định lý 2.1. Giả sử f là giải tích trên một tập mở liên thông Ω ⊂ CN. Cho {rn} là một dãy hàm hữu tỷ có bậc ≤ n hội tụ nhanh theo dung lượng đến f trên một tập compact không đa cực K ⊂ CN. Khi đó {rn} hội tụ nhanh tới f theo dung lượng trên Ω.
Chứng minh
Ta có thể giả sử 0 ∈ Ω, K ⊂ B(0, R) với 4R < 1 và B(0,10R) ⊂ Ω. Áp dụng Bổ đề 3.4 ta kết luận rằng {rn} hội tụ nhanh theo dung lượng đến f trên B(0,2R).
Lấy tùy ý điểm ω ∈ Ω, luôn tồn tại một hình cầu B tâm tại ω với {rn} hội tụ nhanh theo dung lượng tới f trên B, sự hội tụ nhanh theo dung lượng của {rn} tới f trên một tập con compact của Ω theo (2.7). Khi đó, có một tập hợp những hình cầu B1, B2, ..., Bm với B1 = B(0, R), ..., Bm = B(ω, Rm) thỏa mãn Bs ∩Bs+1 6= φ với s=1,...,m-1 và Bj = B(ωj, Rj),4Rj < 1 và B(ωj,10Rj) ⊂ Ω Từ B1 ∩ B2 6= φ và {rn} hội tụ nhanh theo dung lượng tới f trên B1, dãy hội tụ nhanh theo dung lượng tới f trên một tập con compact không đa cực của B2. Lặp lại quá trình trên ta kết luận {rn} hội tụ nhanh theo dung lượng tới f trên Bm
và ta có kết quả sau:
Hệ quả 2.1
Cho f giải tích trên hình cầu B và giả sử tồn tại một dãy hàm hữu tỷ {rn} hội tụ nhanh theo dung lượng tới f trên một tập compact không đa cực của B. Khi đó, hiển nhiên tồn tại một lân cận của f, ký hiệu Wf là tập con của CN và {rn} hội tụ nhanh theo dung lượng tới f trên Wf. Chứng minh
Lấy bất kì điểm ω ∈ Wf, tồn tại một dãy hình cầu B = B1, ..., Bm với Bm có tâm tại ω được chứng minh ở Định lý 2.1 và {rn} hội tụ nhanh theo dung lượng tới f trên Bm. Vậy f là đơn trị trên Wf.
Định lý 2.2
Cho f giải tích trên một tập mở liên thông Ω ⊂ CN. Giả sử{rn}n=1,2,3,...
là một dãy hàm hữu tỷ hội tụ nhanh đo được tới f trên một hình cầu đóng B ⊂ Ω. Khi đó {rn} hội tụ nhanh theo dung lượng tới f trên Ω.
Chứng minh
Sử dụng định lý 2.1, dễ thấy rằng {rn} hội tụ nhanh theo dung lượng tới f trên B . Cho a > 0, từ giả thiết có:
(3.24) limλz ∈ B||f(z)−rn(z)|1/n > a = 0 Đặt
(3.25) Bn(a) := z ∈ B||f(z)−rn(z)|1/n ≤ a . Khi đó lim
n→∞λ(Bn(a)) = λ(B) > 0. Sử dụng Bổ đề 2.2 có một hằng số δ>0 sao cho với mọi n đủ lớn Cap(Bn(a), B0) ≥ δ với B0 là một hình cầu chứa B. Theo kết quả của Bổ đề 2.4 có thể áp dụng trong trường hợp này và ta có kết quả sau:
Hệ quả 2.2. (Xem [G, Định lý 5]) Cho f giải tích trên một hình cầu B và giả sử có một dãy hàm hữu tỷ {rn} hội tụ nhanh theo dung lượng tới f trên hình cầu B. Khi đó hiển nhiên tồn tại lân cận Wf của f là một tập con của CN và {rn} hội tụ nhanh theo dung lượng tới f trên Wf.
Hệ quả 2.3. Cho f giải tích trên một lân cận của 0 ∈ CN . Giả sử f ∈ <. Khi đó, tồn tại một dãy hàm hữu tỷ {rn} hội tụ nhanh theo dung lượng tới f trên hình cầu tâm O. Khi đó, bất kỳ dãy xấp xỉ Taylor-Pade’
{πn(z, f, λ)} nào cũng hội tụ nhanh theo dung lượng tới f trên Wf. Chứng minh: Đó là một kết quả của Goncar[G, Định lý 6] cho dãy {πn(z, f, λ)} hội tụ nhanh theo dung lượng tới trên Wf. Hệ quả 2.3 suy ra từ Hệ quả 2.2.
Hệ quả 2.4. Cho f phân hình trên CN và giải tích trên một lân cận của 0 ∈ CN. Với bất kỳ dãy xấp xỉ Taylor-Pade’{πn(z, f, λ)} nào cũng hội tụ
nhanh theo dung lượng tới f trên CN.
Kết luận
Luận văn đã trình bày vấn đề sau đây:
Goncar[G3] nói rằng nếu f ∈ < thì tồn tại Wf của f là đơn trị và dãy {rn} sẽ hội tụ nhanh về f theo độ đo trên Wf . Bloom nói rằng khẳng định trên của Goncar vẫn còn đúng nếu dãy {rn} chỉ hội tụ nhanh theo dung lượng trên một tập con không đa cực.
Tài liệu tham khảo
TIẾNG VIỆT
[DIEU-HAI] Nguyễn Quang Diệu -Lê Mậu Hải , Cơ sở lý thuyết Đa thế vị, Nhà xuất bản Trường Đại học Sư phạm, 2009.
TIẾNG ANH
[A-T] H. J. ALEXANDER, B.A.TAYLOR(1984): Comparison of two ca- pacities in CN. Math.Z.,186:407-417.
[C-D-L] A. CUYT, K. DRIVER, D. S. LUBINSKY (1996): On the size of lemiscates in one and several variables. Proc.Amer.Math.Soc.,124:2123- 2136.
[G] A.A.GONCAR (1974): A local condition of single-valuedness of ana- lytic functions of several variables.Math.USSR-Sb.,22:305-322.
[K] M. KLIMEK (1991): Pluripotential Theory. Oxford: Oxford University Press.
[Ko] S.KOLODZIEJ (1998): The complex Monge-Ampere equation. Acta Math.,180:69-117.
[Si] N. Sibony:Quelques problemes de prolongement de courants en analyse complexe, Duke Math .,52(1985), 157 - 197.