Xấp xỉ nghiệm cho bất đẳng thức biến phân

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM INTHAVICHIT PADAPHET XẤP XỈ NGHIỆM CHO BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM INTHAVICHIT PADAPHET XẤP XỈ NGHIỆM CHO BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Lâm Thùy Dương THÁI NGUYÊN - 2017 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực, không trùng lặp với đề tài khác Các tài liệu trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Tác giả Padaphet Inthavichit i LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm thuộc Đại học Thái Nguyên hướng dẫn TS Lâm Thùy Dương Tác giả xin chân thành cảm ơn tới Ban Giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa Toán trường Đại học Sư phạm tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt thời gian học tập trường Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Lâm Thùy Dương tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em suốt thời gian thực khóa luận Tác giả xin chân thành cảm ơn tới thầy giáo, cô giáo Bộ môn Giải tích cho em ý kiến đóng góp quý báu tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành khóa luận Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình bạn bè tạo điều kiện thuận lợi cho em trình học tập Thái Nguyên, tháng năm 2017 Tác giả Padaphet Inthavichit ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu Chương Bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert 1.1 Không gian Hilbert 1.1.1 Định nghĩa ví dụ 1.1.2 Một số khái niệm liên quan 1.2 Bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert 1.2.1 Phát biểu toán 1.2.2 Sự tồn nghiệm bất đẳng thức biến phân 10 1.2.3 Một số phương pháp tìm nghiệm cho bất đẳng thức biến phân 12 Chương Xấp xỉ nghiệm cho bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ ánh xạ không giãn 21 2.1 Mô tả phương pháp 21 2.1.1 Phương pháp lặp Krasnoselskij-Mann 21 2.1.2 Phương pháp lặp tập điểm bất động chung họ ánh xạ không giãn iii 23 2.2 Sự hội tụ phương pháp 27 2.2.1 Một số bổ đề bổ trợ 27 2.2.2 Sự hội tụ phương pháp 28 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 iv MỞ ĐẦU Bài toán bất đẳng thức biến phân không gian vô hạn chiều giới thiệu lần vào năm 1966 nhà toán học Italia Stampacchia Hartman Những nghiên cứu toán liên quan đến việc giải toán điều khiển tối ưu toán biên có dạng phương trình đạo hàm riêng Từ toán bất đẳng thức biến phân có bước phát triển mạnh thu hút quan tâm nhiều nhà nghiên cứu Một hướng nghiên cứu quan trọng bất đẳng thức biến phân việc xây dựng phương pháp giải Dựa tính chất kiểu đơn điệu, Cohen G [8] nghiên cứu phương pháp toán phụ, B Martinet [14] nghiên cứu phương pháp điểm gần kề, Những phương pháp cho kết hội tụ sở đưa giả thiết khác tính đơn điệu Lions J L Stampacchia G [13] sử dụng phép chiếu PC : H → C đề xuất phương pháp điểm bất động để xấp xỉ nghiệm Tuy nhiên, ứng dụng, toán tử chiếu PC làm cho việc tính toán dãy lặp gặp nhiều khó khăn tính phức tạp tập lồi đóng C Do để tránh phải sử dụng phép chiếu Yamada I [27] đề xuất phương pháp đường dốc lai ghép (Hybrid Steepest Descent method), cách thay phép chiếu PC ánh xạ không giãn T : H → H , để giải bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ không giãn Các thuật toán Yamada đề xuất hiệu nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu, mở rộng cho họ hữu hạn ánh xạ không giãn, Xu H K, Kim T H, Zeng L C, Yao J C , Bên cạnh đó, ta biết bất đẳng thức biến phân loại đơn điệu, nói chung, thuộc lớp toán đặt không chỉnh Một phương pháp sử dụng rộng rãi phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov Phương pháp Tikhonov A N đề xuất vào năm 1963 Trên ý tưởng hiệu chỉnh đó, có nhiều hướng mở rộng cho lớp toán bất đẳng thức biến phân loại đơn điệu từ không gian Hilbert sang không gian Banach Trong nước có số nhóm nghiên cứu phương pháp giải bất đẳng thức biến phân số toán liên quan là: nhóm nghiên cứu thuộc Viện Công nghệ Thông tin GS TS Nguyễn Bường [3], [4], nhóm nghiên cứu thuộc Viện Toán học GS TSKH Lê Dũng Mưu, nhóm nghiên cứu thuộc Đại học Thái Nguyên PGS TS Nguyễn Thị Thu Thủy [23] Trong phạm vi luận văn nghiên cứu phương pháp để xấp xỉ nghiệm cho bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn không gian Hilbert Phương pháp đề xuất GS TS Nguyễn Bường TS Lâm Thùy Dương [3] Chương Bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert 1.1 Không gian Hilbert 1.1.1 Định nghĩa ví dụ Định nghĩa 1.1 Cho X không gian tuyến tính trường số thực R Một tích vô hướng X ánh xạ ·, · : X × X → R thỏa mãn điều kiện sau: (i) x, y = y, x , ∀ x, y ∈ X; (ii) x + y, z = x, z + y, z , ∀ x, y, z ∈ X; (iii) λx, y = λ x, y , ∀ x, y ∈ X; λ ∈ R; (iv) x, x > 0, ∀ x = 0; x, x = ⇔ x = Không gian tuyến tính X với tích vô hướng ·, · gọi không gian tiền Hilbert Chuẩn phần tử x ∈ X, kí hiệu x xác định: x, x x = (1.1) Không gian tiền Hilbert đầy đủ với metric sinh chuẩn xác định (1.1) gọi không gian Hilbert Ví dụ 1.1 Không gian n chiều Rn với tích vô hướng xác định bởi: n x, y = ξk ηk , k=1 x = (ξ1 , ξ2 , , ξn ) ∈ Rn y = (η1 , η2 , , ηn ) ∈ Rn , không gian Hilbert ∞ Ví dụ 1.2 Không gian l = x = (x1 , x2 , ) : |xi |2 < ∞ tất i=1 dãy số thực, với tích vô hướng xác định bởi: ∞ x, y = xi yi , i=1 x = (x1 , x2 , ), y = (y1 , y2 , ) thuộc l2 , không gian Hilbert L gồm tất hàm liên tục [a, b] với Ví dụ 1.3 Không gian C[a,b] phép toán tuyến tính thông thường với tích vô hướng: b f (x) · g(x)dx f, g = a L f, g ∈ C[a,b] , không gian Hilbert 1.1.2 Một số khái niệm liên quan • Cho C tập khác rỗng không gian định chuẩn X (i) C gọi bị chặn, ∃M > cho x ≤ M, ∀x ∈ C (1.2) (ii) C gọi lồi, ∀x, y ∈ C, ≤ λ ≤ 1, ta có: λx + (1 − λ)y ∈ C (1.3) (iii) C gọi compact, dãy {xn } ⊂ C chứa dãy {xnk } hội tụ tới điểm thuộc C Nhận xét 1.1 Mỗi tập đóng, bị chặn C không gian Hilbert compact yếu, tức dãy bị chặn C trích dãy hội tụ yếu tới phần tử không gian (C4 ) giả sử N C= F ix(Ti ) = F ix(T1 T2 TN ) i=1 = F ix(TN T1 T2 TN −1 ) (2.9) = = F ix(T2 T3 TN T1 ) Khi đó, dãy lặp {xn } xác định (2.8) hội tụ mạnh tới nghiệm x∗ toán (2.5) Sau có số tác giả khác cải tiến mở rộng kết Yamada nhóm nghiên cứu Zeng L C (xem [28], [31], [29]), Ceng L C (xem [6], [7]), Wang F (xem [24]), Buong Ng (xem [4]) Năm 2011, Buong Ng Duong L T (xem [3]) đề xuất phương pháp lặp hiện, kết hợp phép lặp dạng Krasnoselskij-Mann phương pháp đường dốc lai ghép để xấp xỉ nghiệm cho bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn mở rộng cho họ hữu hạn ánh xạ giả co chặt Sau mô tả cụ thể sau: Thuật toán 2.1 Giả sử {λk } {βki }, với i = 0, 1, , N , dãy số thực thỏa mãn λk ∈ (0, 1), βki ∈ (α, β) với α, β ∈ (0, 1), k ≥ ∞ i λk = ∞; lim βk+1 − βki = lim λk = 0; k→∞ k→∞ k=0 (2.10) Chọn xấp xỉ ban đầu tùy ý x0 ∈ H, sau xác định dãy lặp {xn } sau: x0 ∈ H, y00 = x0 yki = (1 − βki )yki−1 + βki Ti (yki−1 ), i = 1, 2, · · · , N (2.11) xk+1 = (1 − βk0 )xk + βk0 (I − λk µF )ykN , k ≥ 0, Dãy lặp (2.11) viết lại dạng sau: xk+1 = (1 − βk0 )xk + βk0 T0k · TNk · · · T1k xk 26 (2.12) đó, Tik = (1 − βki )I + βki Ti , với i = 1, 2, , N ánh xạ dạng Krasnoselskij-Mann T0k = I − λk µF ánh xạ dạng đường dốc lai ghép Mục sau trình bày kết chứng minh hội tụ mạnh Thuật toán 2.1 tới nghiệm toán VIP(F, C) 2.2 Sự hội tụ phương pháp 2.2.1 Một số bổ đề bổ trợ Để trình bày kết mục Buong Ng Duong L T (xem [3]) sử dụng số kết bổ trợ sau đây: Bổ đề 2.1 (xem [17]) Cho H không gian Hilbert Khi đó, với x, y ∈ H ta có: (i) x+y ≤ x (ii) (1 − t)x + ty + y, x + y ; = (1 − t) x +t y − t(1 − t) x − y , với t ∈ [0, 1] Bổ đề 2.2 (xem [27]) T λ x − T λ y ≤ (1 − λτ ) x − y , vớiλ ∈ (0, 1) µ ∈ (0, L2η2 ), τ = 1− − µ(2η − µL2 ) ∈ (0, 1) T λ x = (I −λµF )x, ∀x ∈ H Bổ đề 2.3 (xem [22]) Cho {xn }k∈N {zn }k∈N dãy bị chặn không gian Banach E cho xk+1 = (1−βk )xk +βk zk , với βk ∈ [0, 1], k ≥ thỏa mãn điều kiện < lim inf βk < lim sup βk < k→∞ k→∞ Giả sử lim sup zk+1 − zk − xk+1 − xk ≤ k→∞ Khi đó, 27 lim xk − zk = k→∞ Bổ đề 2.4 (xem [25]) Cho {ak }k∈N dãy số thực không âm cho ak+1 ≤ (1 − bk )ak + bk ck , đó, {bk }k∈N {ck }k∈N dãy số thực thỏa mãn: ∞ bk ∈ [0, 1] bk = ∞ lim sup ck < k→∞ k=0 Khi đó, lim ak = k→∞ Bổ đề 2.5 (xem [10]) Cho T ánh xạ không giãn tập lồi đóng C không gian Hilbert H Nếu T có điểm bất động I − T demi-đóng, tức {xn } dãy C hội tụ yếu tới x ∈ C dãy {(I − T )(xn )} hội tụ mạnh tới y ∈ C (I − T )(x) = y 2.2.2 Sự hội tụ phương pháp Định lý 2.5 (xem [3]) Cho H không gian Hilbert, F : H → H ánh xạ L-liên tục Lipschitz η-đơn điệu mạnh H Giả sử {Ti }N i=1 họ hữu hạn ánh xạ không giãn H cho C = N i=1 F ix(Ti ) = ∅ Khi đó, dãy {xk }k∈N xác định (2.11) thỏa mãn điều kiện (2.10) hội tụ mạnh tới nghiệm p∗ bất đẳng thức biến phân F (p∗ ), p − p∗ ≥ 0, ∀p ∈ C Chứng minh: Bước 1: Chứng minh dãy {xk }k∈N bị chặn Thật vậy, theo (2.11), với p ∈ C k ≥ ta có: yk1 − p = (1 − βk1 )yk0 + βk1 T1 yk0 − p = (1 − βk1 )(yk0 − p) + βk1 (T1 yk0 − T1 p) = (1 − βk1 )(yk0 − p) + βk1 (yk0 − p) = yk0 − p = xk − p 28 Do yki − p = (1 − βki )(yki−1 − p) + βki (Ti yki−1 − Ti p) ≤ (1 − βki ) yki−1 − p + βki yki−1 − p = yki−1 − p ≤ ≤ yk0 − p = xk − p , i = 1, 2, , N Theo Bổ đề 2.2 ta có: xk+1 − p = (1 − βk0 )xk + βk0 (I − λk µF )ykN − p = (1 − βk0 )(xk − p) + βk0 [(I − λk µF )ykN − p] = (1 − βk0 )(xk − p) + βk0 [Tλk ykN −Tλk p + λk µF(p)] ≤ (1 − βk0 ) xk − p + βk0 [(1 − λk τ ) ykN − p + λk µ F (p) ] ≤ (1 − βk0 ) xk − p + βk0 [(1 − λk τ ) xk − p + λk µ F (p) ] µ = (1 − βk0 λk τ ) xk − p + βk0 λk τ F (p) τ Đặt Mp = max x0 − p , µτ F (p) ta có x0 − p ≤ Mp Do đó, xk − p ≤ Mp yki − p ≤ Mp với i = 1, 2, , N Vì vậy, xk+1 − p ≤ (1 − βk0 λk τ )Mp + βk0 λk τ Mp = Mp Điều chứng tỏ dãy {xk }k∈N bị chặn Bước 2: Chứng minh xk − ykN → k → ∞ Vì dãy {xk }k∈N bị chặn nên dãy F (ykN ) k∈N , yki k∈N Ti yki−1 k∈N bị chặn Khi đó, tồn số dương M1 cho xk ≤ M1 ; F (ykN ) ≤ M1 ; yki ≤ M1 Ti yki−1 ≤ M1 với k ≥ i = 1, 2, , N Đặt zk = (I − λk µF )(ykN ) Khi đó, từ (2.11) ta có 29 xk+1 = (1 − βk0 )xk + βk0 zk N zk+1 − zk = (I − λk+1 µF )yk+1 − (I − λk µF )ykN N N = (yk+1 − ykN ) + λk µF ykN − λk+1 µF yk+1 N ≤ yk+1 − ykN + M1 (λk + λk+1 )µ N N −1 N N −1 = [(1 − βk+1 )yk+1 + βk+1 TN yk+1 ] − [(1 − βkN )ykN −1 + βkN TN ykN −1 ] + M1 (λk + λk+1 )µ N N −1 N N −1 ≤ (1 − βk+1 ) yk+1 − ykN −1 + βk+1 TN yk+1 − TN ykN −1 N + βk+1 − βkN M1 + M1 (λk + λk+1 )µ N −1 N ≤ yk+1 − ykN −1 + 2M1 βk+1 − βkN + M1 (λk + λk+1 )µ N ≤ ≤ yk+1 − yk0 i βk+1 − βki + M1 (λk + λk+1 )µ + 2M1 i=1 N i βk+1 − βki + M1 (λk + λk+1 )µ = xk+1 − xk + 2M1 i=1 Vì N zk+1 − zk − xk+1 − xk ≤ 2M1 i=1 i − βki + M1 (λk + λk+1 )µ βk+1 i Theo điều kiện (2.10), lim λk = lim βk+1 − βki k→∞ k→∞ 1, 2, , N, nên ta có: lim sup zk+1 − zk − xk+1 − xk ≤ k→∞ Theo Bổ đề 2.3 suy lim xk − zk = 0, k→∞ hay lim xk − (I − λk µF )ykN = k→∞ 30 = với i = Mặt khác, ta lại có xk − ykN = xk − ykN + λk µF ykN − λk µF ykN = xk − (I − λk µF )ykN − λk µF ykN ≤ xk − (I − λk µF )ykN + λk µ F ykN ≤ xk − (I − λk µF )ykN + λk µM1 → k → ∞ Do xk − ykN → k → ∞ Bước 3: Chứng minh yki−1 − Ti yki−1 → Gọi {xl }l∈N dãy dãy {xk }k∈N cho lim sup yki−1 − Ti yki−1 = lim yli−1 − Ti yli−1 k→∞ gọi xkj j∈N l→∞ dãy dãy {xl }l∈N cho lim sup xl − p = lim xkj − p j→∞ l→∞ Ta có xkj − p = xkj − zkj + (I − λkj µF )ykNj − p ≤ xkj − zkj + (I − λkj µF )ykNj − p ≤ xkj − zkj + (1 − λkj τ ) ykNj − p + λkj µ F (p) ≤ xkj − zkj + ykNj − p + λkj µ F (p) ≤ xkj − zkj + ykNj −1 − p + λkj µ F (p) ≤ ≤ xkj − zkj + xkj − p + λkj µ F (p) Do lim xkj − p = lim yki j − p , i = 1, 2, , N j→∞ j→∞ 31 (2.13) Theo Bổ đề 2.1 ta có: yki j − p = (1 − βki j )yki−1 + βki j Ti yki−1 −p j j = (1 − βki j )(yki−1 − p) + βki j (Ti yki−1 − p) j j = (1 − βki j ) yki−1 −p j + βki j Ti yki−1 −p j 2 − βki j (1 − βki j ) yki−1 − Ti yki−1 j j ≤ yki−1 −p j 2 − βki j (1 − βki j ) yki−1 − Ti yki−1 j j ≤ ≤ xkj − p 2 − βki j (1 − βki j ) yki−1 − Ti yki−1 j j Do α(1 − β) yki−1 − Ti yki−1 j j ≤ xkj − p 2 − yki j − p Theo (2.13) ta có yki−1 − Ti yki−1 → j → ∞ j j Vì vậy, yki−1 − Ti yki−1 → k → ∞, với i = 1, 2, , N Bước 4: Chứng minh xk − Ti xk → k → ∞, với i = 1, 2, , N Thật vậy, hiển nhiên trường hợp i = ta có: xk − T1 xk = yk0 − T1 yk0 → Khi i = ta có: yk1 − T2 yk1 → yk1 − xk = βk1 yk0 − T1 yk0 → nên suy xk − T2 xk → Như vậy, quy nạp ta có 32 xk − Ti xk → 0, với i = 1, 2, , N Bước 5: Chứng minh lim sup F (p∗ ), xk − p∗ ≥ (2.14) k→∞ Gọi xkj j∈N dãy dãy {xk }k∈N hội tụ yếu tới p˜ cho lim sup F (p∗ ), xk − p∗ = lim F (p∗ ), xkj − p∗ j→∞ k→∞ Vì xkj − Ti xkj → 0, với i = 1, 2, , N nên theo Bổ đề 2.5 ta có p˜ ∈ F Từ suy lim sup F (p∗ ), xk − p∗ ≥ k→∞ Bước 6: Cuối ta chứng minh xk − p∗ → Ta có: xk+1 − p∗ = (1 − βk0 )xk + βk0 (I − λk µF )ykN − p∗ ≤ (1 − βk0 ) xk − p∗ + βk0 (I − λk µF )(ykN − p∗ ) − λk µF (p∗ ) ≤ (1 − βk0 ) xk − p∗ + βk0 (I − λk τ ) xk − p∗ − 2βk0 λk µ[ F (p∗ ), ykN − p∗ − λk µ F (p∗ ), F (ykN ) ] = (1 − βk0 λk τ ) xk − p∗ − 2βk0 λk µ[ F (p∗ ), ykN − p∗ − λk µ F (p∗ ), F (ykN ) ] ≤ (1 − βk0 λk τ ) xk − p∗ 2µ2 2µ F (p∗ ), ykN − p∗ − λk F (p∗ ) M1 ] − βk0 λk τ [ τ τ 2µ ≤ (1 − βk0 λk τ ) xk − p∗ + βk0 λk τ [ F (p∗ ), p∗ − xk τ 2µ 2µ F (p∗ ) ykN − xk + λk F (p∗ ) M1 ] + τ τ Theo Bổ đề 2.4, với ak = xk − p∗ , bk = βk0 λk τ, ck = 2µ τ F (p∗ ), p∗ − xk + 2µ τ ykN − xk + λk 2µτ F (p∗ ) xk − ykN → λk → ta có 33 F (p∗ ) M1 xk − p∗ → Từ suy điều phải chứng minh Nhận xét 2.1 Nếu cho S : H → H ánh xạ γ -giả co chặt H, đặt T˜(x) = αx + (1 − α)S(x), ∀x ∈ H, với α ∈ (γ, 1) , ta có T˜ ánh xạ không giãn H F ix(T˜) = F ix(S) Do vậy, ta có mở rộng từ kết cho họ hữu hạn ánh xạ giả co chặt {Si }N i=1 Cho {Si }N i=1 họ hữu hạn ánh xạ γi -giả co chặt αi ∈ (γi , 1) Ta đặt N F ix(T˜i ), F = i=1 với T˜i = αi x + (1 − αi )Si , (2.15) ánh xạ không giãn, i = 1, 2, , N Ta có kết sau Định lý 2.6 (xem [3]) Cho H không gian Hilbert, F : H → H ánh xạ L-liên tục Lipschitz η-đơn điệu mạnh Giả sử {Si }N i=1 N họ hữu hạn ánh xạ γi -giả co chặt H cho F = F ix(T˜i ) = ∅ i=1 Cho αi ∈ (γi , 1), với i = 1, 2, , N µ ∈ (0, L2η2 ) Giả sử {λk }k∈N ⊂ (0, 1) βki k∈N ⊂ (α, β) với α, β ∈ (0, 1) i = 1, 2, , N , dãy số thực thỏa mãn điều kiện (2.10) Khi đó, dãy {xk }k∈N xác định (2.11), với Ti thay T˜i , hội tụ mạnh tới nghiệm p∗ bất đẳng thức biến phân 34 F (p∗ ), p − p∗ ≥ 0, ∀p ∈ F KẾT LUẬN CHƯƠNG Trong Chương 2, trình bày phương pháp lặp dạng Krasnoselskij-Mann để xấp xỉ điểm bất động tập lồi đóng không gian Hilbert phương pháp đường dốc lai ghép đề giải bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung cho họ hữu hạn ánh xạ không giãn Nội dung chương trình bày chi tiết phương pháp lặp kết hợp phép lặp dạng Krasnoselskij-Mann với phương pháp đường dốc lai phép tác giả Nguyễn Bường Lâm Thùy Dương để xấp xỉ nghiệm cho bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung cho họ hữu hạn ánh xạ không giãn mở rộng họ hữu hạn ánh xạ giả co chặt không gian Hilbert 35 KẾT LUẬN CHUNG Mục đích luận văn nghiên cứu phương pháp để xấp xỉ nghiệm cho bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn không gian Hilbert Luận văn trình bày vấn đề sau: Trình bày lại số kiến thức giải tích hàm: Định nghĩa không gian Hilbert, ví dụ không gian Hilbert số khái niệm liên quan Trình bày khái niệm bất đẳng thức biến phân cổ điển, mối quan hệ mật thiết bất đẳng thức biến phân cổ điển với số toán khác giải tích; Trình bày tồn nghiệm bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert Trình bày số phương pháp để tìm nghiệm cho bất đẳng thức biến phân: phương pháp điểm bất động, phương pháp đạo hàm tăng cường, phương pháp nguyên lý toán phụ Trình bày phương pháp lặp dạng Krasnoselskij-Mann để xấp xỉ điểm bất động tập lồi đóng không gian Hilbert lớp ánh xạ không giãn phương pháp đường dốc lai ghép đề giải bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung cho họ hữu hạn ánh xạ không giãn mở rộng họ hữu hạn ánh xạ giả co chặt không gian Hilbert Mô tả chứng minh chi tiết lại phương pháp lặp kết hợp phép lặp dạng Krasnoselskij-Mann với phương pháp đường dốc lai ghép để xấp xỉ nghiệm cho bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung cho họ hữu hạn ánh xạ không giãn mở rộng họ hữu hạn ánh xạ giả co chặt không gian Hilbert 36 Tài liệu tham khảo [1] Alber Ya I (1975), On solving nonlinear equation involving monotone operators in Banach spaces, Sibiriaan Mathematics Journal, 26, pp 3-11 [2] Bnouhachem A., Noor M A., Al-Said E., Khalfaoui M., Zhaohan S (2011), Extragradient method for variational inequalities, Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics, 40, pp 839-854 [3] Buong Ng., Duong L T (2011), An explicit iterative algorithm for a class of variational inequalities in Hilbert spaces, Journal of Optimization Theory and Applications,3, 151, 513-524 [4] Buong Ng., Anh N T Q (2011), An implicit iteration method for variational inequalities over the set of common fixed point for a finite family of nonexpansive mappings in Hilbert spaces, Fixed Point Theory and Applications, 3, pp 535-547 [5] Browder F E., Petryshyn W V (1967), Construction of fixed points of nonlinear mappings in Hilbert spaces,Journal of Mathematical Analysis and Applications,20, pp 197-228 [6] Ceng L C., Yao J C (2008), Hybrid viscosity approximation schemes for equilibrium problems and fixed point problems of infinitely many nonexpansive mappings,Applied Mathematics and Computation, 198, pp 729-741 37 [7] Ceng L C., Yao J C., Ansari Q H (2010), Hybrid pseudoviscosity approximation schemes for equilibrium problems and fixed point problems of infinitely many nonexpansive mappings,Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications, 4, pp 743-754 [8] Cohen G (1980), Auxiliary problem principle and decomposition of optimization problems, Journal of Optimization Theory and Applications, 32, pp 277-305 [9] Cohen G (1988), Auxiliary problem principle extended to variational inequalities, Journal of Optimization Theory and Applications, 59 , pp 305-325 [10] Goebel K., Kirk W A (1990),Topics in Metric Fixed Point Theory, Cambridge University Press, Cambridge [11] Kinderlehrer D., Stampacchia G (1980), An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications, Academic Press, New York [12] Korpelevich G M (1976), The extragradient method for finding saddle points and other problems, Ekonomika i Matematcheskie Metody, 12, pp 747-756 [13] Lions J L., Stampacchia G (1967), Variational inequalities, Communications on Pure and Applied Mathematics, 20, pp 493-512 [14] Martinet B (1970), Regularization d’inequations variationnelles par approximations successives, Revue d’Automatique Informatique et Recherche Operationnelle, Serie Rouge, 3, 154-159 [15] Mann W R (1953), Mean value methods in iteration, Proceedings of the American Mathematical Society, 4, pp 506-510 38 [16] Marino G., Xu H K (2006), A general iterative method for nonexpansive mappings in Hilbert spaces, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 318, pp 43-52 [17] Marino G., Xu H K (2007), Weak and strong convergence theorems for strict pseudo-contractions mappings in Hilbert spaces, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 329, pp 336-346 [18] Nadezhkina N., Takahashi W (2006), Weak convergence theorem by an extragradient method for nonexpansive mappings and monotone mappings, Journal of Optimization Theory and Applications, 128, pp 191-201 [19] Noor M A (2003), Extragradient methods for pseudomonotone variational inequalities, Journal of Optimization Theory and Applications, 117, pp 475-488 [20] Noor M A (2003), New extragradient-type methods for general variational inequalities, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 277, pp 379-394 [21] Rhoades B E (1974), Comments on two fixed point iteration methods, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 196, pp 161176 [22] Suzuki T (2007), Strong convergence of approximated sequences for nonexpansive mappings in Banach spaces, Proc Am Math Soc., 135, pp 99-106 [23] Thuy N T T (2013), A new hybrid method for variational inequality and fixed point problems, Vietnam J Math, 41, 353-366 [24] Wang F (2011), Implicit and explicit iterative schemes for variational inequalities and fixed point problems of a countable family of strict pseudo-contractions, mathematica Aeterna, 1, pp 563-576 39 [25] Xu H.K (2003),An iterative approach to quadratic optimization, Journal of Optimization Theory and Applications, 116, pp 659-678 [26] Xu H.K., Kim T.H (2003), Convergence of hybrid steepest-descent methods for variational inequalities,J Optim Theory Appl,119, 185201 [27] Yamada Y (2001),The hybrid steepest-descent method for Variational Inequalities problems over the intersection of the fixed point sets of nonexpansive mappings, Inhently Parallel Algorithms in Feasibility and Optimization and Their Applications, 473-504 [28] Zeng L.C., Ansari Q.H., Wu S.Y (2006), Strong convergence theorems of relaxed hybrid steepest-descent methods for variational inequalities, Taiwan J Math, 10(1), 13-29 [29] Zeng L C., Yao J C (2006), Implicit iteration scheme with perturbed mapping for common fixed points of a finite family of nonexpansive mappings, Nonlinear Analysis Theory, Methods and Applications, 64, pp 2507-2515 [30] Zeng L C., Yao J C (2006), Strong convergence theorem by an extragradient method for fixed point problems and variational inequality problems, Taiwanese Journal of Mathematics, 10, pp 1293-1303 [31] Zeng L.C., Wong N.C., Yao, J.C (2007), Convergence analysis of modified hybrid steepest-descent methods with variable parameters for variational inequalities,J Optim Theory Appl, 132, 51-69 40 ... ∀x ∈ C toán điểm bất động (1.13) tương đương với toán bất đẳng thức biến phân cổ điển (1.10) 1.2.2 Sự tồn nghiệm bất đẳng thức biến phân Sự tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân (1.10) phụ thuộc... số phương pháp tìm nghiệm cho bất đẳng thức biến phân 12 Chương Xấp xỉ nghiệm cho bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ... tìm nghiệm cho bất đẳng thức biến phân cổ điển là: phương pháp điểm bất động, phương pháp đạo hàm tăng cường phương pháp nguyên lý toán phụ 20 Chương Xấp xỉ nghiệm cho bất đẳng thức biến phân