xấp xỉ cấp hai của tập chấp nhận được và điều kiện cần tối ưu cấp hai

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ––––––––––––––––––––– ĐỒNG THÁI LÂM XẤ P XỈ CẤ P HAI CỦA TP CHẤP NHN ĐƯC V ĐIU KIN CẦN TI ƯU CẤP HAI Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01 LUN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đỗ Văn Lưu THÁI NGUYÊN - 2012 MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 1. Lý do chọn đề tài 1 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 1 3. Phương pháp nghiên cứu 2 4. Bố cục của luận văn 2 Chương 1: ĐIU KIN CẦN TI ƯU CẤP HAI CỦA H. KAWASAKI 3 1.1. Xấp xỉ cấp 2 của tập chấp nhận được 3 1.1.1. Các ràng buộc tích cực 3 1.1.2. Xấp xỉ cấp hai của miền chấp nhận được 4 1.2. Điều kiện cần tối ưu cấp hai dạng gốc 11 1.3. Điều kiện cần tối ưu cấp 2 dạng đối ngẫu 14 1.4. Áp dụng cho bài toán cực tiểu hàm sup 25 Chương 2: TÍNH CHÍNH QUY MÊTRIC V ĐIU KIN CẦN TI ƯU CẤP HAI CỦA R. COMINETTI 32 2.1. Tính chính quy metric 32 2.2. Các xấp xỉ tip tuyn cấp một, cấ p hai của tập chấp nhận được 39 2.3. Điều kiện cần tối ưu cấp hai 44 KẾT LUN 58 TI LIU THAM KHẢO 59 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Lý thuyt các điều kiện tối ưu là một bộ phận quan trọng của lý thuyt các bài toán cực trị. Cho đn nay người ta đã nhận được nhiều kt quả phong phú và đẹp đẽ về các điều kiện tối ưu cấp 1, cấp 2 và các cấp cao cho các bài toán tối ưu trơn và không trơn (xem chẳng hạn [2] - [8], [10]). Theo hướng nghiên cứu trên chúng tôi chọn đề tài: "Xấp xỉ cấp hai của tập chấp nhận được và điều kiện cần tối ưu cấp hai". Cụ thể là các điều kiện tối ưu cấp 2 thường được biểu diễn dưới ngôn ngữ các đạo hàm cấp 1, cấp 2 hoặc các đạo hàm suy rộng và các tập tip tuyn cấp 1, cấp 2. Khác với các điều kiện cần cấp 2 thông thường, các điều kiện cần tối ưu cấp hai của Kawasaki[7] và Cominetti[5] có thêm một số hạng được xem như đạo hàm cấp 2 của một tập hợp. Các điều kiện cần tối ưu cấp 2 được nghiên cứu dưới hai dạng: gốc và đối ngẫu dưới ngôn ngữ các xâp xỉ cấp 2 của tập chấp nhận được. Trong điều kiện cần cấp 2 đối ngẫu có thêm một số hạng ngoài đạo hàm cấp hai của hàm Lagrange. Đề tài này có tính thời sự, đã và đang được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu. 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2.1. Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu của luận văn này là trình bày các điều kiện cần tối ưu cấp 2 của Kawasaki[7] và Cominetti[5] cho bài toán tối ưu khả vi có ràng buộc bao hàm thức và ràng buộc tập. Các điều kiện cần tối ưu cấp 2 được trình bày dưới hai đạng gốc và đối ngẫu. Khác với các điều kiện cần cấp 2 thông thường, các điều kiện cần tối ưu cấp 2 dạng đối ngẫu ở đây có thêm một số hạng ngoài đạo hàm cấp 2 của hàm Lagrange. 2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau: - Đọc, dịch tài liệu từ hai bài báo ting anh của Kawasaki và Cominetti. - Sử dụng các kt quả của hai bài báo để xây dựng nội dung luận văn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 3. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng công cụ giải tích hàm, giải tích lồi và các kin thức của lý thuyt tối ưu. 4. Bố cục của luận văn Luận văn này bao gồm 60 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương, kt luận và danh mục các tài liệu tham khảo. Chương 1 trình bày các điều kiện cần tối ưu cấp 2 của Kawasaki[7] cho bài toán khả vi có ràng buộc đẳng thức và ràng buộc nón có phần trong khác rỗng dưới ngôn ngữ các đạo hàm cấp 1, cấp 2 và các tập tip tuyn cấp 2 dạng gốc và dạng đối ngẫu. Các áp dụng cho bài toán cực tiểu hàm sup cũng được trình bày trong chương này. Chương 2 trình bày các điều kiện cần tối ưu cấp 2 của Cominetti[5] bằng phương pháp chính quy mêtric cho bài toán khả vi có ràng buộc bao hàm thức và ràng buộc tập. Kt quả về tính chính quy mêtric được sử dụng để tính tập tip tuyn cấp 2 của tập chấp nhận được. Bản luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của PGS.TS Đỗ Văn Lưu - Viện toán học Việt Nam. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng bit ơn Thầy về sự hướng dẫn tận tình đó cùng với những kinh nghiệm truyền đạt cho tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành bản luận văn. Cuối cùng tôi xin cảm ơn Sở GD&ĐT Thái Nguyên, Trung tâm GDTX tỉnh Thái Nguyên đã tạo điều kiện cho tôi được đi học, cảm ơn trường Đại học sư phạm Thái Nguyên đã tạo điều kiện để các thầy giáo, cô giáo giảng dạy, cung cấp kin thức cho khóa học của chúng tôi. Do thời gian và kin thức có hạn nên bản luận văn của tôi chắc chắn không tránh khỏi những thiu sót. Do đó, tôi rất mong có được sự đóng góp của thầy cô và các bạn để bản luận văn của tôi được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn! Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 Chương 1 ĐIU KIN CẦN TI ƯU CẤP HAI CỦA H. KAWASAKI Chương 1 trình bày các điều kiện cần tối ưu cấp hai của Kawasaki [7] cho bài toán có ràng buộc đẳng thức và ràng buộc nón có phần trong khác rỗng với các hàm thuộc lớp 2 C . Các điều kiện cấp hai được trình bày dưới ngôn ngữ các đạo hàm cấp 1, cấp 2 và các tập tip tuyn cấp hai dưới hai dạng gốc và đối ngẫu. Trong các điều kiện cấp hai dạng đối ngẫu có thêm một số hạng ngoài đạo hàm cấp hai của hàm Lagrange. Các kt quả được áp dụng cho bài toán cực tiểu hàm sup. 1.1. Xấp xỉ cấp 2 của tập chấp nhận được Xét bài toán tối ưu ( ), ( ) ( ) , ( ) 0, Min f x P g x K hx   trong đó: X, V và W là các không gian Banach, :fX  , : à :g X V v h X W thuộc lớp 2 C , K là nón lồi đóng trong V với phần trong khác rỗng. 1.1.1. Các ràng buộc tích cực Cho hữu hạn bất đẳng thức ràng buộc 12 ( ) 0, ( ) 0, , ( ) 0. m g x g x g x   (1.1.1) Ta chỉ cần xét các ràng buộc tích cực tại nghiệm tối ưu x , tức là ( ) 0 ( ): { {1,2, , }, ( ) 0} ij g x i I x j m g x      . (1.1.2) Với ràng buộc bất đẳng thức tổng quát : ( ) ,g x K (1.1.3) trong đó K là nón lồi đóng với phần trong khác rỗng, khái niệm "tích cực" là không hiện rõ. Ta chú ý‎ rằng có sự khác biệt giữa ràng buộc đẳng thức và Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 ràng buộc bất đẳng thức tổng quát. Gọi I là khoảng đóng, bị chặn trong  ; ()CI là tập các hàm liên tục trên I và ( ) { ( ): ( ) 0, }C I u C I u t t I       . Ta hãy xét trường hợp ( ).K C I   Khi đó (1.1.3) có dạng: ( )( ) 0,g x t t I   (1.1.4) Ta định nghĩa tập tham số của các ràng buộc tích cực: ( ): { ; ( )( ) 0}I x t I g x t   (1.1.5) Trong trường hợp này, khó khăn khác lại nảy sinh. Giả sử x được nhiễu thành .xy Khi đó bao hàm thức ( ) ( )I x y I x (1.1.6) đúng cho (1.1.2), nu y đủ nhỏ. Nhưng (1.1.6) không đúng cho (1.1.5), thậm trí nu y đủ nhỏ. Điều này cho thấy rằng không thể xử lí vô hạn ràng buộc bất đẳng thức theo từng điểm. Trong phần sau ta sẽ đưa vào khái niệm "tích cực" phù hợp với ràng buộc bất đẳng thức tổng quát. 1.1.2. Xấp xỉ cấp hai của miền chấp nhận được Cho X và V là các không gian Banach. Cặp chính tắc giữa V và không gian tô pô đối ngẫu * V của nó được ký hiệu là , . Cho ánh xạ :g X V . Khi đó, '( ) à ''( )g x v g x ký hiệu là đạo hàm Fréchet cấp một và cấp hai tương ứng của g tại x. Hơn nữa, ''( )( , )g x y z là ánh xạ song tuyn tính từ 2 X vào V. Toán tử liên hợp của '( )gx được ký hiệu là * '( )gx được xác định bởi: ** '( ) *, , '( )g x v y v g x y với mọi ** à.v V v y X Với mỗi tập A của một không gian Banach, bao nón của A được ký hiệu bởi coneA , bao đóng của nó được ký hiệu là cone A . Ta quy ước A   . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 Định nghĩa 1.1.1 Cho M là tập chấp chận được, nghĩa là { ; ( ) , ( ) 0}.M x X g x K h x    (1.1.7) Cho x là điểm bất kỳ của M. Khi đó các tập tiếp tuyến cấp một và cấp hai của M tại điểm x được định nghĩa như sau: 1 : { : ( ) , ( ) ( ), 0},T y X x s M x s x sy o s s         (1.1.8) 2 2 2 2 : {( , ) : ( ) , ( ) / 2 ( ), 0},T y z X x s M x s x sy s z o s s          (1.1.9) trong đó o(s) và o(s 2 ) thỏa mãn 2 () () 0 à 0 os os v ss  khi 0s   . Lát cắt y của 2 T được xác định như sau: 22 ( ): { :( , ) }T y z X y z T   . Bổ đề 1.1.1 sau đây trả lời cho câu hỏi ta có thể xét tính "tích cực" của ràng buộc bất đẳng thức tổng quát ra sao. Bổ đê 1.1.1 (i) Nếu 1 yT thì '( ) cone( ( )),g x y K g x (1.1.10) '( ) 0h x y  . (1.1.11) (ii) Nếu 2 ( , )y z T , thì 2 ( ) 0 '( ) ''( )( , ) { ( ) / '( ) / ( ) }, s g x z g x y y K g x s g x y s s B          (1.1.12) '( ) ''( )( , ) 0,h x z h x y y (1.1.13) trong đó B là hình cầu đơn vị trong V và phép hợp trong vế phải của (1.1.12) lấy theo tất cả các giá trị ()   sao cho: ( ) 0 0 à ( ) 0 0 .s s v s khis        (1.1.14) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 Chứng minh Lấy 2 ( , )y z T . Khi đó, tồn tại ()x s M sao cho 22 ( ) / 2 ( ).x s x sy s z o s    Bằng khai triển Taylor ta có 22 ( ( )) ( ) '( ) { '( ) ''( )( , )}/ 2 ( )g x s g x sg x y s g x z g x y y o s     . Gọi 2 2 () () os s s   ta có (1.1.12). Các kt quả khác được chứng minh tương tự.  Định nghĩa 1.1.2 Với mỗi ,u v V , ta xác định tập ( , )K u v như sau: 2 ( ) 0 ( , ): 2 { / / ( ) } s K u v K u s v s s B         , (1.1.15) trong đó phép hợp được lấy trên tất cả các giá trị ()   thỏa mãn (1.1.14). Để đơn giản ta ký hiệu ( ( ), '( ) )K g x g x y là K(y). Nhận xét 1.1.1 Kurcyusz [6] đã thit lập điều kiện cần cấp một mà không sử dụng quan hệ '( ) cone( ( ))g x y K g x , (1.1.16) nhưng sử dụng '( ) cone( ( ))g x y K g x . (1.1.17) Trong trường hợp đặc biệt 12 à : { ( , , , ); 0 }, mm mi V v K u u u u u i        ta có 1 cone( ( )) cone( ( )) { ( , , ); 0 ( )}, mi K g x K g x v v v v i I x         trong đó ( ) { ; ( ) 0} i I x i g x . Vì vậy, (1.1.16) và (1.1.17) trùng với điều kiện: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 ' ( ) 0 ( ). i g x y i I x   (1.1.18) Mặt khác, trong trường hợp ()K C I   , cone( ( ))K g x không đóng (xem bổ đề 1.4.1). Do đó, nói chung (1.1.16) và (1.1.17) khác nhau. Nhận xét 1.1.2 Điều kiện (1.1.16) được đưa ra lần đầu tiên bởi Ben-Tal và Zowe [4]. Nhận xét 1.1.3 Trong trường hợp ()K C I   , điều kiện (1.1.10) trở thành ( '( ) )( ) 0g x y t t thỏa mãn ( )( ) 0g x t  . Sử dụng kt quả của bổ đề 1.1.1 ta đi đn định nghĩa sau: Định nghĩa 1.1.3. 1 : { : '( ) cone( ( )), '( ) 0L y X g x y K g x h x y     , (1.1.19) 2 2 22 : {( , ) : '( ) ''( )( , ) 2 ( ), '( ) ''( )( , ) 0}, ( ): { :( , ) }. L y z X g x z g x y y K y h x z h x y y L y z X y z L          (1.1.20) Khi đó, bổ đề 1.1.1 được phát biểu lại như sau: 1 1 2 2 àT L v T L . (1.1.21) Định nghĩa 1.1.4 (Robinson ). Hệ ( ) , ( ) 0g x K h x (1.1.22) được gọi là ổn định tại điểm xM nếu 0 int{( ( ) '( ) , '( ) ): , }.g x g x x k h x x x X k K     (1.1.23) Bổ đề 1.1.2 Nếu (1.1.23) đúng thì 1 1 2 2 àT L v T L . Chứng minh Lấy 2 ( , )y z L . Khi đó tồn tại ( ) à ( ) 0u s B v s   sao cho 2 2 ( '( ) ''( )( , )) ( ) '( ) ( ) ( ) 2 s g x z g x y y g x sg x y s s u s K       với mọi s > 0. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 Từ kt quả định lý trong [9] suy ra tồn tại một lân cận N của x và R > 0 sao cho ( , ) max{ ( ( )), ), ( ) };d x M R d g x K h x xN , trong đó d(a , A) là khoảng cách từ a đn A. Với mọi s > 0 đủ nhỏ, 2 /2x sy s z N   . Hơn nữa, 2 22 2 2 2 ( ( / 2), ) '( ) ''( )( , ) ( ) '( ) ( ), 2 ( ( ) ( ) ( ), ) ( ). d g x sy s z K g x z g x y y d g x sg x y s o s K d o s s s u s K o s              Tương tự, ta có 22 ( / 2) ( )h x sy s z o s   . Như vậy, 22 ( / 2, ) ( )d x sy s z M Ro s   . Điều này kéo theo 2 ( , )y z T Vì vậy 22 LT . Đặc biệt, 1 2 2 1 (0) (0)T T L L   .  Không dễ dàng kiểm tra điều kiện ổn định của Robinson. Do đó ta đưa vào một dạng tương đương của (1.1.23) để có thể kiểm tra dễ hơn. Định nghĩa 1.1.5 Hệ (1.1.22) được gọi là thỏa mãn điều kiện Mangasarian-Fromovitz tại x nếu (i) '( )hx là ánh xạ lên, (1.1.24) (ii) 00 : ( ) '( ) int ,x X g x g x x K    (1.1.25) 0 '( ) 0.h x x  (1.1.26) Nhận xét 1.1.4 Trong [8] các điều kiện trên được gọi là điều kiện Slater, nhưng ta gọi là điều kiện Mangasarian-Fromovitz, bởi vì trong trường hợp đặc biệt ;à n m l X K v W     , các điều kiện (1.1.24)-(1.1.26) có dạng Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... bày các điều kiện tối ưu cấp 2 của Cominetti[5] cho bài toán có ràng buộc bao hàm thức và ràng buộc tập bằng phương pháp chính quy mêtric Sử dụng kết quả về tính chính quy mêtric để tính các tập tiếp tuyến cấp 1 và cấp 2 của tập chấp nhận được Các điều kiện cần tối ưu cấp 2 được trình bày dưới hai dạng: gốc và đối ngẫu Dạng đối ngẫu có thêm một số hạng ngoài đạo hàm cấp 2 của hàm Lagrange 2.1 Tính... x, t )  a(t ) x  b(t ) , (1.4.2) trong đó a, b  C ( I ) và x Bởi vì S ( x ) là lồi, nghiệm tối ưu được đặc trưng bởi điều kiện tối ưu cấp một 0  co{a(t ) : f ( x , t )  S ( x )}, (1.4.3) trong đó x là điểm ta đang xét Tuy nhiên điều kiện tối ưu cấp hai trình bày trong phần này đã gợi ý cho đạo hàm cấp hai của S ( x ) Bài toán cực tiểu của S ( x ) tương đương với Min F ( x, r ) : r ,  G(... cone(C ( I )  u ) Bổ đề 1.4.2 Cho x là cực tiểu của (1.4.1) Giả sử rằng tập I ( x ) được xác định bởi (1.4.5) là tập một điểm Khi đó, điều kiện cần và đủ để ( y, q) 2 là phương tới hạn của (1.4.4) là q  0 Chứng minh: Lấy  là một phần tử của I ( x ) Theo bổ đề 1.4.1 thì ( y, q) là tới hạn nếu và chỉ nếu q  0 và (qe  f '( x ) y )( )  0 , tức là q  0 và a( ) y  0 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu... u / s 2  v / s   ( s) B , s  s1 Với bất kỳ s  s1 , đặt  ( s)  w  u / s 2  v / s và k ( s)  0 Khi đó, w  k (s)  u / s 2  v / s   (s) B  s  s1 Như vậy ta có w  K (u, v)  1.2 Điều kiện cần tối ưu cấp hai dạng gốc Định lý 1.2.1 Cho x là cực tiểu địa phương của bài toán (P) và giả sử rằng điều kiện Mangasarian-Fromovitz thỏa mãn tại x Khi đó hệ sau không có nghiệm (y , z): Số hóa bởi... là tập tất cả các véc tơ z thỏa mãn (1.2.7) Khi đó P(y) là tập lồi mở Theo bổ đề 1.1.4, L2 ( y ) là tập lồi đóng Do đó, khẳng định của định lý 1.2.2 có thể diễn đạt như tách các tập lồi, nghĩa là P( y )  L2 ( y )   với mọi phương tới hạn y Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (1.2.10) http://www.lrc-tnu.edu.vn 14 1.3 Điều kiện cần tối ưu cấp 2 dạng đối ngẫu Định nghĩa 1.3.1 Với tập. .. inf{w( ); w  K ( )}    y Các điều kiện (1.4.17) và (1.4.18) cũng là điều kiện đủ tối ưu bởi vì ( S ) là bài toán quy hoạch lồi Vế trái của (1.4.17) có ý nghĩa quan trọng Nó trùng với đạo hàm theo phương cấp hai trên của S ( x ) tại x theo phương y , tức là lim sup  s 0 S ( x  sy)  S ( x )  sS '( x , y) s2 Ví dụ 1.4.1 Lấy a(t )  2t , b(t )  t 2 và I  (1,1) Khi đó S ( x)  x2 với... (1.3.11) Điều kiện cần và đủ để v * thuộc vế phải của (1.3.11) là v* , k  u  v  0, k  K và   0 Điều này tương đương với v*  K 0 , v* , u  0 và v* , v  0 Vì u  K và v*  K 0 ta có v* , u  0 Do đó v* , u  0 Do v  cone( K  u ) nên tồn tại kn  K và n  0 thỏa mãn v  lim n (kn  nu ) Vậy v* , v  lim v* , kn  nu  lim v* , kn  0 Do đó v* , v  0 n n  Bổ đề 1.3.5 Giả sử điều kiện. .. đó r : S ( x ) Điều kiện (1.4.8) trở thành v* , e  1 , (1.4.13) v* , a()  0 (1.4.14) Các phần tử của C ( I ) được biểu diễn như sau v* , u    ud  , u  C ( I ), (1.4.15) trong đó  là độ đo dương nào đó (xem Girsanov[4]) Từ (1.4.11), (1.4.12) và (1.4.15) ta suy ra v* , u  u ( ) u  C ( I ) (1.4.16) Do đó điều kiện (1.4.14) có dạng a( )  0 Đó là điều kiện cần cấp một Sử dụng tính... trong đó e(t )  1 và f ( x)(t ) : f ( x, t ) Dễ thấy x là cực tiểu của S ( x ) nếu và chỉ nếu ( x, r )  ( x , S ( x )) là cực tiểu của (1.4.4) Điều kiện cần và đủ để S ( x ) khả vi tại x là tập I ( x ) : {t  I ; S ( x )  f ( x , t )} Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (1.4.5) http://www.lrc-tnu.edu.vn 26 là tập một điểm Để đơn giản ta giả sử I ( x ) là tập một điểm Tiếp theo... 0 và t  I s s t 3 3ty Từ đó ta có w(t )   2    ( s) s s Lấy t  3 s 2 , ta có w( 3 s 2 )  1  3y   ( s) , với mọi s : 0  s  1 3 s  Vậy w(0)   : mâu thuẫn Chứng tỏ K ( y ) là rỗng Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên  http://www.lrc-tnu.edu.vn 32 Chương 2 TÍNH CHÍNH QUY MÊTRIC VÀ ĐIỀU KIỆN CẦN TỐI ƯU CẤP HAI CỦA R COMINETTI Chương 2 trình bày các điều kiện tối ưu . CẦN TI ƯU CẤP HAI CỦA H. KAWASAKI 3 1.1. Xấp xỉ cấp 2 của tập chấp nhận được 3 1.1.1. Các ràng buộc tích cực 3 1.1.2. Xấp xỉ cấp hai của miền chấp nhận được 4 1.2. Điều kiện cần tối ưu cấp. điều kiện cần cấp 2 thông thường, các điều kiện cần tối ưu cấp hai của Kawasaki[7] và Cominetti[5] có thêm một số hạng được xem như đạo hàm cấp 2 của một tập hợp. Các điều kiện cần tối ưu cấp. các điều kiện cần tối ưu cấp 2 của Kawasaki[7] và Cominetti[5] cho bài toán tối ưu khả vi có ràng buộc bao hàm thức và ràng buộc tập. Các điều kiện cần tối ưu cấp 2 được trình bày dưới hai