xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian hilbert

đại học tháI nguyên TRNG I HC KHOA HC Lý minh thùy Xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian hilbert luận văn thạc sĩ toán học TháI nguyên, 2014 Mục lục Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Danh mục ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1 Bài toán điểm bất động của ánh xạ không giãn 6 1.1 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Bài toán điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.1 Bài toán điểm bất động . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.2 Một số phương pháp xấp xỉ điểm bất động . . . 15 1.4 Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 Xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãn 19 2.1 Phương pháp lặp Mann-Halpern cải biên . . . . . . . . 19 2.2 Điểm bất động chung của hai ánh xạ không giãn . . . . 26 2.3 Phương pháp lai ghép thu hẹp . . . . . . . . . . . . . . 33 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1 LỜI CẢM ƠN Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS. TS Đỗ Văn Lưu. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn về sự tận tâm và nhiệt tình của Thầy trong suốt quá trình tác giả thực hiện luận văn. Trong quá trình học tập và làm luận văn, từ bài giảng của các Giáo sư, Phó Giáo sư công tác tại Viện Toán học, Viện Công nghệ Thông tin - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, các Thầy Cô trong Đại học Thái Nguyên, tác giả đã trau dồi thêm rất nhiều kiến thức phục vụ cho việc nghiên cứu và công tác của bản thân. Từ đáy lòng mình, tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các Thầy Cô. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo, Khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tại Trường. Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, lãnh đạo đơn vị công tác và đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi khi học tập và nghiên cứu. Tác giả Lý Minh Thùy 2 DANH MỤC KÝ HIỆU X Không gian Banach thực H Không gian Hilbert thực ∅ Tập rỗng ∀x Với mọi x ∃x Tồn tại x D(T ) Miền xác định của toán tử T Fix(T ) Tập các điểm bất động của toán tử T x n → x Dãy {x n } hội tụ mạnh tới x x n  x Dãy {x n } hội tụ yếu tới x 3 MỞ ĐẦU Lý thuyết điểm bất động có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học như giải tích số, phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, tối ưu hóa, bất đẳng thức biến phân, bài toán chấp nhận lồi, bài toán cân bằng . . . . Cho H là một không gian Hilbert thực;C là một tập con lồi,đóng,khác rỗng của H; T : C → H là một ánh xạ phi tuyến. Điểm x ∗ ∈ C thỏa mãn T x ∗ = x ∗ gọi là điểm bất động của ánh xạ T . Trong nhiều trường hợp, việc giải một phương trình được đưa về bài toán tìm điểm bất động của một ánh xạ thích hợp. Chẳng hạn nghiệm của phương trình toán tử Ax = f, ở đây A : H → H là một ánh xạ phi tuyến, f là phần tử thuộc H, là điểm bất động của ánh xạ S xác định bởi Sx = Ax + x − f với x ∈ H. Lý thuyết điểm bất động và vấn đề xấp xỉ điểm bất động là vấn đề thời sự, được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu. Mục đích của đề tài luận văn này nhằm trình bày một số kết quả mới đây của Giáo sư Nguyễn Bường về xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert. Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương. Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản về không gian Hilbert, bài toán điểm bất động và một số phương pháp xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ. Trong chương 2, chúng tôi trình bày phương pháp xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert. 4 Đóng góp chính của chúng tôi trong luận văn là đọc, dịch, tổng hợp kiến thức trong các tài liệu [2] và [3]. Toàn bộ phần chứng minh các định lý trong chương 2 được chúng tôi làm rõ từ các kết quả nghiên cứu đã công bố trong [2] và [3]. 5 Chương 1 Bài toán điểm bất động của ánh xạ không giãn Trong chương này, trước hết chúng tôi giới thiệu về không gian Hilbert thực, ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert nhằm trang bị những kiến thức cần thiết cho việc trình bày phương pháp xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãn. Tiếp đó, chúng tôi trình bày về bài toán điểm bất động của ánh xạ không giãn và một số phương pháp lặp cổ điển giải bài toán này như phương pháp lặp Mann, phương pháp lặp Ishikawa và phương pháp lặp Halpern. Các kiến thức của chương này được tham khảo trong các tài liệu [1]-[7]. 1.1 Không gian Hilbert Trong mục này, chúng tôi trình bày khái niệm và một số kết quả về không gian Hilbert thực H. Định nghĩa 1.1. Cho H là một không gian tuyến tính trên R. Một tích vô hướng trong H là một ánh xạ, ký hiệu ·, · : H × H → R thỏa mãn các điều kiện sau: 6 i) x, x > 0, ∀x = 0, x, x = 0 ⇔ x = 0; ii) x, y = y, x, ∀x, y ∈ H; iii) αx, y = αx, y, ∀x, y ∈ H, ∀α ∈ R; iv) x + y, z = x, z + y, z, ∀x, y, z ∈ H. Không gian tuyến tính H cùng với tích vô hướng ·, · được gọi là không gian tiền Hilbert. Nhận xét 1.1. i) Không gian tiền Hilbert là một không gian định chuẩn với chuẩn: ||x|| = x, x 1 2 , ∀x ∈ H. ii) Đẳng thức hình bình hành luôn thỏa mãn trong không gian tiền Hilbert H: ||x + y|| 2 + ||x − y|| 2 = 2(||x|| 2 + ||y|| 2 ), ∀x, y ∈ H. Ngược lại, nếu không gian định chuẩn X có chuẩn thỏa mãn đẳng thức hình bình hành thì trên đó ta có thể xây dựng một tích vô hướng x, y = 1 4 (||x + y|| 2 − ||x − y|| 2 ), ∀x, y ∈ X. Khi đó X trở thành không gian tiền Hilbert. iii) Trong không gian tiền Hilbert H bất đẳng thức Schwarz luôn thỏa mãn: |x, y| ≤ ||x||.||y||, ∀x, y ∈ H. Định nghĩa 1.2. Không gian tiền Hilbert đầy đủ được gọi là không gian Hilbert. Ví dụ 1.1. Các không gian R n , L 2 [a, b] là các không gian Hilbert với 7 tích vô hướng được xác định tương ứng là: x, y = n  i=1 x i y i , x = (x 1 , x 2 , , x n ), y = (y 1 , y 2 , , y n ) ∈ R n ; x, y = b  a x(t)y(t)dt, x(t), y(t) ∈ L 2 [a, b]. Định nghĩa 1.3. Dãy {x n } ∞ n=1 trong không gian Hilbert H được gọi là hội tụ yếu đến phần tử x ∈ H nếu lim n→∞ x n , y = x, y, với mọi y ∈ H. Định nghĩa 1.4. Tập hợp C ⊂ H được gọi là lồi nếu ∀x 1 , x 2 ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1) ⇒ λx 1 + (1 − λ)x 2 ∈ C. Ví dụ 1.2. Trong không gian hữu hạn chiều, mặt phẳng, đoạn thẳng, đường thẳng, tam giác, hình cầu là các tập lồi. Định nghĩa 1.5. Tập C ⊂ H được gọi là tập đóng nếu mọi dãy hội tụ {x n } ⊂ C đều có giới hạn thuộc C, tức là ∀{x n } ⊂ C : x n → x ⇒ x ∈ C. Ví dụ 1.3. Hình cầu đóng B(x, r) tâm x, bán kính r là tập đóng. Bổ đề 1.1. Giả sử H là không gian Hilbert thực, C là một tập con lồi, đóng trong H và các điểm x, y, z ∈ H. Với một số thực a bất kỳ, tập hợp v ∈ C : y − v 2 ≤ x − v 2 + z, v + a là tập lồi đóng trong H. 8 1.2 Ánh xạ không giãn Cho H là không gian Hilbert thực, T : H → H là một ánh xạ với miền xác định là D(T ), miền giá trị là R(T ). Định nghĩa 1.6. Ánh xạ T : H → H được gọi là liên tục Lipschitz nếu tồn tại một hằng số L > 0 thỏa mãn T x − T y ≤ Lx − y, ∀x, y ∈ D(T ). (1.1) Số L được gọi là hằng số Lipschitz của T . Nếu L < 1 thì T là ánh xạ co và nếu L = 1 thì T là ánh xạ không giãn, nghĩa là: T x − T y ≤ x − y, ∀x, y ∈ D(T ). (1.2) Sau đây là khái niệm và một số tính chất của phép chiếu mêtric. Định nghĩa 1.7. Cho C là một tập con lồi ,đóng của không gian Hilbert thực H, phép chiếu mêtric P C từ H lên C cho tương ứng mỗi x ∈ H với phần tử P C (x) ∈ C thỏa mãn x − P C (x) ≤ x − y với mọi y ∈ C. Bổ đề 1.2. Cho C là tập con lồi, đóng trong không gian Hilbert thực H, với bất kì x ∈ H, tồn tại duy nhất z ∈ C sao cho ||z−x|| ≤ ||y−x||, với mọi y ∈ C và z = P C (x) nếu và chỉ nếu z − x, y − z ≥ 0, với mọi y ∈ C Định lý 1.1. Nếu C là một tập con lồi ,đóng , khác rỗng trong không gian Hilbert H thì tồn tại một phần tử duy nhất x 0 của C sao cho x 0  ≤ x với mọi x ∈ C. 9 [...]... 0 18 x Chương 2 Xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãn Trong chương này chúng tôi trình bày hai kết quả nghiên cứu mới đây của Giáo sư Nguyễn Bường và các học trò của ông về phương pháp lặp Mann-Halpern cải biên và phương pháp lai ghép thu hẹp tìm điểm bất động của một ánh xạ không giãn, điểm bất động chung của hai ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert Các kết quả trình bày trong chương này... R của ánh xạ T 2 Nếu C là một tập con lồi của X và T : C → C là một ánh xạ không không hội tụ tới điểm bất động duy nhất giãn thì với mọi λ ∈ (0; 1) ánh xạ Tλ : C → C được xác định bởi: Tλ x = λx + (1 − λ)T x, ∀x ∈ C cũng là ánh xạ không giãn đồng thời T và Tλ có cùng điểm bất động trong C 14 1.3.2 Một số phương pháp xấp xỉ điểm bất động Trong mục này chúng ta nhắc lại một số phương pháp xấp xỉ điểm. .. xạ T là Fix(T ) Chú ý rằng tập điểm bất động của ánh xạ không giãn T : D(T ) ⊆ H → H trong không gian Hilbert H, nếu khác rỗng, là một tập con lồi và đóng của H Bài toán điểm bất động được phát biểu như sau: Cho C là một tập con lồi của không gian Hilbert H, T : C → H là một ánh xạ Hãy tìm phần tử x∗ ∈ C sao cho T x∗ = x∗ (1.5) Việc tìm nghiệm của bài toán điểm bất động (1.5) tương đương với việc... được Halpern đề xuất năm 1967 trong [4] dạng: xn+1 = αn u + (1 − αn )T (xn ), n ≥ 0, (1.11) trong đó u, x0 ∈ C, {αn } ⊂ (0, 1) và T là một ánh xạ không giãn từ tập con lồi đóng C của không gian Hilbert H vào C Halpern đã chứng minh rằng nếu αn = n−α , α ∈ (0, 1) thì dãy {xn } xác định bởi (1.11) hội tụ về một điểm bất động của ánh xạ T Để tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn T trên C, Alber đã đề... và [3] 2.1 Phương pháp lặp Mann-Halpern cải biên Trong mục này trình bày một cải biên của phương pháp lặp MannHalpern xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãn T trong không gian Hilbert H Kết quả này được lấy từ bài báo [2] công bố năm 2011 Cho H là một không gian Hilbert thực, C là một tập con lồi đóng, khác rỗng của H, T : C → H là một ánh xạ không giãn Ta xét 19 phương pháp lặp sau đây:    ... tiếp của (ii) (iv) được suy ra từ (ii) (v) Từ Bổ đề 1.2 ta có: xn − PC (xn ), PC (xn ) − z ≥ 0 với mọi z ∈ C Vì xn x0 và PC (xn ) → y0 , nên x0 − y0 , y0 − z ≥ 0 với mọi z ∈ C 11 1.3 1.3.1 Bài toán điểm bất động Bài toán điểm bất động Định nghĩa 1.8 Phần tử x ∈ D(T ) trong không gian Hilbert H được gọi là một điểm bất động của ánh xạ T : D(T ) ⊆ H → H nếu x = T x Ký hiệu tập các điểm bất động của ánh xạ. .. lý điểm bất động Banach được đưa ra trong luận án của Banach vào năm 1922 Nó được sử dụng để thiết lập sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân Kể từ đó, vì sự đơn giản và hữu dụng, Định lý điểm bất động Banach đã trở thành một công cụ rất phổ biến trong việc giải quyết các vấn đề tồn tại trong nhiều ngành của toán học giải tích Định lý 1.2 (Định lý điểm bất động Banach) Cho (X, d) là không gian. .. ˜ ˜ d(¯, x) = d(T x, T x) ≤ λd(¯, x) x ˜ ¯ ˜ x ˜ Vì λ ∈ [0, 1) nên từ bất đẳng thức trên suy ra d(¯, x) = 0 do đó x ˜ x = x ¯ ˜ Chú ý rằng, nếu một ánh xạ không giãn T : X → X có điểm bất động thì nó có thể không duy nhất và dãy {xn } được xác định bởi xn+1 = T xn với n = 0, 1, 2, có thể không hội tụ tới điểm bất động của ánh xạ T Ví dụ, cho T : R → R xác định bởi T x = 1 − x Khi đó, cho x0 = 1,... n≥0 hội tụ mạnh tới điểm bất động của T , trong đó {αn } và {βn } là dãy thực trong [0, 1] thỏa mãn: (C4 ) 0 ≤ αn ≤ βn ≤ 1, n ≥ 1, (C5 ) n→∞ βn = 0, lim 16 (C6 ) ∞ n=1 αn βn = ∞ Chú ý rằng, ánh xạ T : K → K được gọi là giả co nếu Tx − Ty 2 ≤ x−y 2 + (I − T )x − (I − T )y 2 , ∀x, y ∈ D(T ) trong đó I là toán tử đồng nhất Từ định nghĩa này ta thấy mọi ánh xạ giả co đều là ánh xạ không giãn • Phương pháp... H, bất kỳ; yn = PC T (αn PC (xn ) + (1 − αn )PC T PC (xn )); Hn = {z ∈ H : ||yn − z|| ≤ ||xn − z||}; Wn = {z ∈ H : xn − z, x0 − xn ≥ 0}; xn+1 = PHn ∩Wn (x0 ), n ≥ 0, hội tụ mạnh tới một điểm u0 = PFix(T ) (x0 ) khi n → ∞ Chứng minh Trong Định lý 2.1 đặt βn = 0, ta thu được điều cần chứng minh 2.2 Điểm bất động chung của hai ánh xạ không giãn Cho C1 và C2 là hai tập con lồi ,đóng của không gian Hilbert . bài toán điểm bất động và một số phương pháp xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ. Trong chương 2, chúng tôi trình bày phương pháp xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert. 4 Đóng. bố trong [2] và [3]. 5 Chương 1 Bài toán điểm bất động của ánh xạ không giãn Trong chương này, trước hết chúng tôi giới thiệu về không gian Hilbert thực, ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert. phương pháp lai ghép thu hẹp tìm điểm bất động của một ánh xạ không giãn, điểm bất động chung của hai ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert. Các kết quả trình bày trong chương này được lấy từ