Điểm bất động của ánh xạ không giãn và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH QUÁCH THỊ LỆ HẰNG ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 - MỤC LỤC Contents MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1.Định nghĩa 1.2.Định lí 1.3.Định lí 1.4.Định nghĩa 1.5.Định nghĩa 1.6.Định lí 1.7.Định nghĩa 1.8.Định nghĩa 1.9.Định nghĩa 1.10.Định lí (Nguyên lí điểm bất động ánh xạ co) 1.11.Định lí 1.12.Định lí ( bất đẳng thức Schwarz ) 10 1.13.Định lí ( Đẳng thức hình bình hành ) 10 1.14.Định lí ( Riesz ) 10 1.15.Định lí 11 1.16.Hệ quả:( suy trực tiếp từ định lí 1.1.15) 12 1.17.Định nghĩa: 13 1.18.Bổ đề: 13 Chương 2: ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT 16 2.1.Điểm bất động ánh xạ không giãn không gian Hilbert 16 2.2.Định lí egrodic phi tuyến Ballion 17 2.3 Định lí điểm bất động cho nửa nhóm ánh xạ khơng giãn khơng gian Hilbert 23 2.4.Dạng tổng quát định lí Ergodic phi tuyến 29 Chương 3: ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN BANACH 35 3.1.Điểm bất động ánh xạ không giãn không gian Banach 35 3.2 Điểm bất động họ ánh xạ không giãn 44 KẾT LUẬN 54 Tài liệu tham khảo 55 T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T - T - MỞ ĐẦU Định lí Banach điểm bất động ánh xạ co định lí điểm bất động tìm sớm định lí lí thuyết điểm bất động Định lí không cho biết tồn điểm bất động mà dãy lập đơn giản hội tụ Vì vậy, định lí Banach tìm ứng dụng đa dạng nghiên cứu định tính giải số cho nhiều lớp phương trình xuất phát từ nhiều lĩnh vực khoa học Do quan trọng ánh xạ co, lớp ánh xạ mở rộng theo nhiều hướng khác Lớp ánh xạ không giãn mở rộng tự nhiên quan trọng lớp ánh xạ co Các nghiên cứu ánh xạ không giãn năm 1965 cơng trình Browder, Gơhde, Kirk tiếp tục Nhiều định lí tồn điểm bất động lớp ánh xạ khơng giãn tìm ra, xét khơng gian Hilbert, sau khơng gian Banach có tính chất hình học tốt lồi , có chuẩn khả vi… Bên cạnh đó, dãy lặp đa dạng hội tụ điểm bất động xây dựng hồn chỉnh Nó tìm ứng dụng đa dạng sâu sắc lý thuyết phương tình vi phân, tích phân, giải tích số, lý thuyết xác suất thống kê,… Luận văn giới thiệu kết lí thuyết ban đầu tồn điểm bất động ánh xạ không giãn, điểm bất động chung họ ánh xạ không giãn, dãy lặp hội tụ điểm bất động ánh xạ không giãn… Luận văn gồm chương: Chương 1: Hệ thống lại kết quan trọng không gian Hilbert, Banach có sử dụng U U chứng minh chương 2,3; Chương 2: Trình bày kết điểm bất động ánh xạ không giãn khơng gian U U Hilbert; Chương 3: Trình bày kết điểm bất động ánh xạ không giãn không gian U U Banach lồi đều, có chuẩn khả vi - - Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1.Định nghĩa Cho không gian tôpô X , hàm f : X → ( −∞, ∞ ] gọi nửa liên tục cho a ∈ ¡ , tập hợp { x ∈ X : f ( x ) ≤ a} đóng theo tơpơ X 1.2.Định lí Cho không gian tôpô X , với số thực không âm α , hàm f , g , fi : X → ( −∞, ∞ ] , ( i ∈ I ) hàm nửa liên tục X, hàm f + g ; α f ; sup fi ( x ) hàm nửa liên tục X i∈I Chứng minh (i) Chứng minh hàm f + g hàm nửa liên tục X Với a, c ∈ ¡ , ta có { x ∈ X : f ( x ) > c} tập mở X { x ∈ X : g ( x ) > a − c} tập mở X Mà G= { x ∈ X : ( f + g )( x ) > a} = U { x ∈ X : f ( x ) > c} I { x ∈ X : g ( x ) > a − c} c∈¡ Suy G tập mở X hay f + g hàm nửa liên tục X (ii) Chứng minh hàm α f hàm nửa liên tục X Nếu α = ta α f hàm nửa liên tục X Nếu α > , với a ∈ ¡ , ta có a   x ∈ X : f ( x ) ≤  tập đóng X c  Mà a  G ={ x ∈ X : (α f )( x ) ≤ a} =  x ∈ X : f ( x ) ≤  c  Suy G tập đóng X hay α f hàm nửa liên tục X - - (iii) Chứng minh hàm sup fi ( x ) hàm nửa liên tục X i∈I Với a ∈ ¡ , i ∈ I ta có Mà { x ∈ X : f ( x ) ≤ a} tập đóng X G ={ x ∈ X : g ( x ) ≤ a} = x ∈ X : sup f ( x ) ≤ a = I { x ∈ X : f ( x ) ≤ a} { i } i∈I i i∈I Suy G tập đóng X hay sup f i ( x ) hàm nửa liên tục X ▄ i∈I 1.3.Định lí Cho X khơng gian compact, ánh xạ f : X → ( −∞, ∞ ] hàm nửa liên tục X Khi đó, tồn xo ∈ X cho = f ( xo ) inf { f ( x ) : x ∈ X } Chứng minh { } x ∈ X : f ( x ) > a , ta Ga tập mở Với a ∈ ¡ , đặt Ga = X = ∪ Ga a∈¡ { X compact nên tồn Ga1 ; Ga2 ; ; Gan } {G a :a∈¡ } cho n X = ∪ Gai i =1 đặt ao = {a1; a2 ; ; an } ta có f ( x ) > ao với x ∈ X { = vậy, tồn b inf f ( x ) : x ∈ X } Giả sử, f ( x ) > b với x ∈ X , ∞ 1  X =∪  x ∈ X : f ( x ) > b +  n =1 n  X compact nên tồn {n1; n2 ; ; nm } ⊂ ¥ * cho  1 X =∪  x ∈ X : f ( x ) > b +  i =1 ni    1 1 đặt b '= b + ; b + ; ; b +  , ta có n n n m  m - - f ( x ) > b ' với x ∈ X = suy b inf { f ( x ) : x ∈ X } ≥ b ' > b (mâu thuẩn) { } vậy, tồn xo ∈ X sao= cho f ( xo ) inf f ( x ) : x ∈ X ▄ 1.4.Định nghĩa Tập C tập lồi không gian tuyến tính H C khơng rỗng x, y ∈ C phần tử tx + (1 − t ) y = t ( x − y ) + y ∈ C cho t thỏa ≤ t ≤ 1.5.Định nghĩa Cho khơng gian tuyến tính thực (phức) H X tập lồi H Hàm f : X → ( −∞, ∞ ] gọi lồi ngặt X cho x, y ∈ X , ta có f ( tx + (1 − t ) y ) < t f ( x ) + (1 − t ) f ( y ) với t ∈ ( 0,1) 1.6.Định lí Cho X tập lồi khơng gian tuyến tính E, { fα : α ∈ I } họ hàm lồi ngặt xác định từ X vào ( −∞, ∞ ] Khi đó, hàm g cho g ( x ) = sup fα ( x ) với x ∈ X α ∈I hàm lồi ngặt X Chứng minh Cho α ∈ I ; x1 , x2 ∈ X ; t ∈ ( 0,1) ta có fα ( tx1 + (1 − t ) x2 ) < tfα ( x1 ) + (1 − t ) fα ( x2 ) Do - - g ( tx1 + (1 −= t ) x2 ) sup fα ( tx1 + (1 − t ) x2 ) α ∈I < sup ( tfα ( x1 ) + (1 − t ) fα ( x2= ) ) tg ( x1 ) + (1 − t ) g ( x2 ) α ∈I Điều chứng tỏ g hàm lồi ngặt X ▄ 1.7.Định nghĩa Không gian tuyến tính định chuẩn thực (phức) H gọi không gian Banach H không gian đầy đủ 1.8.Định nghĩa Không gian Banach thực (phức) H gọi không gian Hilbert chuẩn không gian sinh từ tích vơ hướng, nghĩa x = ( x, x ) cho x ∈ H Nhận xét: Không gian Hilbert H không gian phản xạ U U 1.9.Định nghĩa Cho C tập không gian Banach E; ánh xạ T : C → E thỏa mãn Tx − Ty ≤ r x − y với x, y ∈ C Nếu ≤ r < ánh xạ T : C → E gọi ánh xạ co Nếu r = ánh xạ T : C → E gọi ánh xạ khơng giãn 1.10.Định lí (Nguyên lí điểm bất động ánh xạ co) Cho không gian Banach H , ánh xạ f : H → H ánh xạ co ánh xạ f : H → H có điểm bất động xo ∈ H , nghĩa f ( xo ) = xo Chứng minh δ Với ε > , tồn δ > thỏa= ε r ( r ≠ ) , giả thuyết nên - - x − y < δ ⇒ f ( x ) − f ( y ) ≤ r x − y < ε với x, y ∈ X suy ra, f : H → H hàm liên tục Với x ∈ X , đặt x1 = f ( x ) = x2 f= ( x1 ) f ( x ) = xn f= ( xn−1 ) f n ( x ) Khi f ( xn ) − f ( xn−1 ) xn+1 − x= n ≤ r xn − x= r f ( xn−1 ) − f ( xn−2 ) n −1 ≤ r xn−1 − xn−2 ≤ r n x1 − x Với m, n ∈ ¥ ; m > n ta có xm − xn ≤ xm − xm−1 + xm−1 − xm−2 + + xn+1 − xn ≤ r m−1 x1 − x + r m−2 x1 − x + + r n x1 − x = (r m −1 + r m−2 + + r n ) x1 − x rn ≤ x1 − x 1− r Theo giả thuyết, ≤ r < , nên { xn } dãy Cauchy khơng gian Banach X , vậy, có xo ∈ X cho xo = lim xn n→∞ Vì f : H → H hàm liên tục nên ( ) = f ( xo ) f= lim xn lim = f ( xn ) = lim xn+1 xo n→∞ n→∞ n→∞ điều chứng tỏ f : H → H có điểm bất động xo ∈ H Giả sử, f : H → H có điểm bất động yo ∈ H , ta có xo − y= o f ( xo ) − f ( yo ) ≤ r xo − yo ≤ r < nên xo − yo = hay xo = yo hay f có điểm bất động xo ∈ H ▄ - - 1.11.Định lí Cho khơng gian Banach phản xạ H , tập X tập lồi, đóng H Với hàm f : X → ( −∞, ∞ ] lồi, nửa liên tục X , giả sử f ( xn ) → ∞ xn → ∞ Khi đó, tồn x0 ∈ D ( f ) cho = f ( x0 ) inf { f ( x ) : x ∈ X } Chứng minh { } x ∈ X : f ( x) ≤ a Với a ∈ ¡ , xét tập Ca = f : X → ( −∞, ∞ ] lồi, nửa liên tục X nên Ca tập lồi, đóng mạnh với xo ∈ X \ Ca { xo } Ca thỏa định lí tách nên tồn ϕ ∈ X * ,α ∈ ¡ cho reϕ ( xo ) < α < reϕ ( x ) với x ∈ Ca { } đó, xo thuộc tập mở yếu x ∈ X : reϕ ( x ) < α ⊂ X \ Ca hay tập X \ Ca mở yếu Điều tương đương với Ca tập lồi, đóng yếu nghĩa hàm f : X → ( −∞, ∞ ] lồi, nửa liên tục yếu X (1.1.11a) { } theo chứng minh trên, tập C = { x ∈ X : f ( x ) ≤ b} đóng yếu mặt khác, tập C = { x ∈ X : f ( x ) ≤ b} bị chặn, khơng tồn dãy khơng x ∈ X : f ( x) ≤ b Cố định c ∈ X cho f ( c ) = b < ∞ , xét tập C = { } bị chặn { xn } ⊂ C , kéo đó, có dãy xni ⊂ { xn } cho lim xni = ∞ ( ) i →∞ ( ) mà theo giả thuyết lim f xni = ∞ , mâu thuẩn với lim f xni ≤ b < ∞ i →∞ i →∞ Do H khơng gian phản xạ, nên theo Kakutani C tập compact yếu (1.1.11b) Kết hợp (1.1.11a) (1.1.11b) định lí (1.1.3), tồn xo ∈ C cho = f ( x0 ) inf { f ( x ) : x ∈ X } Với x ∈ X \ C f ( x ) > b ≥ f ( xo ) , - - 10 = f ( x0 ) inf { f ( x ) : x ∈ X } ▄ 1.12.Định lí ( bất đẳng thức Schwarz ) Cho không gian Hilbert H, với x, y ∈ H ta có ( x, y ) ≤ x y Chứng minh Đặt A = = x ; B ( x, y= );C y Với số thực r ∈ ¡ , số thực (phức) α= thỏa α 1= ; α ( y, x ) B ta có ( x − rα y ; x − rα y ) =x − rα ( y, x ) − rα ( x, y ) + r y (1.1.12a) Vế trái (1.1.12a) số không âm nên ta x − rα ( y, x ) − rα ( x, y ) + r y = A − Br + Cr ≥ r ∈ ¡ 2 (1.1.12b) Nếu C = B = nên ta có điều phải chứng minh Nếu C > thay r = B / C vào (1.1.12b) , ta ( x, y ) ≤ x y ▄ 1.13.Định lí ( Đẳng thức hình bình hành ) Cho khơng gian Hilbert H, với x, y ∈ H ta có x+ y + x− y= x +2 y Với x, y ∈ H , ta có 2 Chứng minh x + y =+ x + ( x, y ) + ( y , x ) + y ( x y, x + y ) = x − y =− x − ( x, y ) − ( y , x ) + y ( x y, x − y ) = 2 2 Cộng hai đẳng thức ta đẳng thức hình bình hành ▄ 1.14.Định lí ( Riesz ) Cho khơng gian Hilbert H, với hàm f : H → ¡ ( £ ) tuyến tính liên tục ln tồn vectơ y ∈ H cho - - 41 Do E lồi nên ∀ε > 0, ∀r > 0, ∃δ > cho ∀x, y ∈ E , x , y ≤ r , x − y ≥ ε ⇒ x + y ≤ ( r − δ ) (3.1.7a) ( xo + x1 ) Khi đó, với x ∈ F ta có = y Cố định xo , x1 ∈ F đặt 1 ( x − xo ) + ( x − x1 ) 2 x − y= Nên F ⊂ B ( y, s ) , s ≤ r − δ , δ chọn cho (3.1.7a) với = r δ (F ) ,= ε xo − x1 Do đó, ta r ( F ) ≤ s ≤ δ ( F ) − δ ▄ (b) Tập lồi, compact khơng gian Banach E có cấu trúc chuẩn tắc Chứng minh Tương tự chứng minh (a) 3.1.9 Định lí (tính chất tập c(K)) U U Cho K tập lồi, compact yếu không gian Banach E Khi đó, tập c ( K ) tập khơng rỗng, lồi, đóng K Chứng minh Cho x ∈ C , n > ta xác định 1  F ( x, n ) =  y ∈ K : x − y ≤ r ( K ) +  n  Do F ( x, n ) tập tập khơng rỗng, lồi, đóng K nên 1  Cn =∩ F ( x, n ) = y ∈ K : sup x − y ≤ r ( K ) +   x∈K n x∈K  tập khơng rỗng, lồi, đóng K ∞ Hơn nữa, Cn+1 ⊂ Cn cho n > nên I Cn ≠ ∅ Mặt khác n =1 1  I Cn= I  y ∈ K : sup x − y ≤ r ( K ) + = c ( K ) n 1= n 1 = n x∈K ∞ ∞ Suy ra, c ( K ) tập khơng rỗng, lồi, đóng K ▄ - - 42 3.1.10 Bổ đề U Cho K tập lồi, compact yếu không gian Banach E, K có cấu trúc chuẩn tắc chứa hai điểm Khi đó, δ ( c ( K ) ) < δ ( K ) Chứng minh Do K tập có cấu trúc chuẩn tắc nên cho w, z ∈ c ( K ) ta có z − w ≤ rz ( K = ) r(K ) < δ (K ) Khi đó, ta δ ( c ( K ) ) = sup { z − w : w, z ∈ c ( K )} ≤ r ( K ) < δ ( K ) ▄ 3.1.11 Định lí (định lí điểm bất động Kirk) U U Cho C tập lồi, compact yếu khơng gian Banach E, C có cấu trúc chuẩn tắc, ánh xạ T : C → C không giãn Khi đó, tồn xo ∈ C để Txo = xo Chứng minh Đặt X = { Kα } với Kα tập khơng rỗng, lồi, đóng C thỏa T ( Kα ) ⊂ Kα Theo bổ đề Zorn, X có phần tử tối tiểu K Ta chứng minh K có điểm Giả sử K chứa hai điểm K lồi, compact yếu nên theo định lí 3.1.9 c ( K ) ≠ ∅ chọn x ∈ c ( K ) , với y ∈ K , ta có Tx − Ty ≤ x − y ≤ rx ( K ) = r(K ) { } đặt M = y ∈ E : Tx − Ty ≤ r ( K ) ta T ( K ) ⊂ M kéo theo T ( K ∩ M ) ⊂ K ∩ M hay K ∩ M ∈ X K nhỏ X , nên K = K ∩ M ⊂ M hay rTx ( K ) ≤ r ( K ) kết hợp với rTx ( K ) ≥ r ( K ) ta rTx ( K ) = r ( K ) hay Tx ∈ c ( K ) hay T ( c ( K ) ) ⊂ c ( K ) hay c ( K ) ∈ X từ K chứa hai điểm, theo bổ đề 3.1.10, ta có δ ( c ( K ) ) < δ ( K ) hay c ( K ) ⊂ K - - 43 Điều mâu thuẩn với K phần tử tối tiểu X Do đó, K có điểm xo hay tồn xo ∈ K ⊂ C để Txo = xo ▄ 3.1.12 Định nghĩa U Cho C tập lồi, đóng khơng gian Banach E, C gọi bị chặn theo đường giao đường thẳng E với C tập bị chặn C 3.1.13 Định lí Reich ( điều kiện cần đủ để C có tính chất điểm bất động) U U Cho E không gian Banach phản xạ, C tập lồi, đóng E Khi đó, C có tính chất điểm bất động ánh xạ không giãn C bị chặn theo đường Chứng minh Cho C tập lồi, đóng khơng gian Banach phản xạ E , E * đối ngẫu E Điều kiện cần: U U Giả sử, với a ≠ { y + ta : ≤ t ≤ ∞} ⊂ C Do đó, x ∈ C ta y + ta  1 ∈ C cho t ≥ 1 −  x + t  t Bởi vậy, ánh xạ S : C → C cho Sx= x + a ánh xạ không giãn thỏa x − Sx = a cho x ∈ C Suy tập C khơng có tính chất điểm bất động Điều kiện đủ: U U Với ánh xạ khơng giãn T : C → C , đặt d = inf { x − Tx : x ∈ C} theo chứng minh 3.1.4, có hàm j ∈ E * thỏa j = d cho  x − T nx  j  ≥ d cho n = 1,2,  n  theo định lí 3.1.4, ta có lim n→∞ T nx =d n - - 44 T n x  chọn dãy dãy   để dãy hội tụ yếu đến w Rỏ ràng, w ≤ d  n  mặt khác, w= d w j ≥ j ( − w ) ≥ d hay w ≥ d Vì vậy, w = d   với y ∈ C , cho n = 1,2, 1 − 1 n  y + T x ∈ C , ta n n y + w ∈ C Kết bao gồm: y + mw ∈ C cho m = 1,2, Nếu C tập bị chặn tuyến tính w = , theo định lí 3.1.4 T nx = inf { x − Tx : x ∈ C} = d = w = lim n→∞ n hay C có tính chất điểm bất động ánh xạ không giãn ▄ 3.2 Điểm bất động họ ánh xạ không giãn 3.2.1 Định lí (điểm bất họ hữu hạn ánh xạ không giãn) U U Cho C tập lồi, compact yếu, có cấu trúc chuẩn tắc không gian Banach E, S = {T1 , T2 , T3 , , Tn } họ hữu hạn ánh xạ khơng giãn giao hốn với từ C vào C Khi đó, tồn xo ∈ C cho Ti xo = xo với i = 1,2,3, , n Chứng minh Đặt X = { Kα } với Kα tập không rỗng, lồi, đóng C thỏa Ti ( Kα ) ⊂ Kα cho i = 1,2,3, , n theo bổ đề Zorn, tồn K * ∈ X K * phần tử tối tiểu X Đặt W tập điểm bất động ánh xạ T1 , T2 , T3 , , Tn K* theo định lí (3.1.11), ta W ≠ ∅ , nữa, Ti (W ) = W cho i = 1,2,3, , n với w ∈W = Ti w T= i ( TT 2T3 Tn w ) (TT 2T3 Tn )(Ti w ) nên Ti w ∈ W hay TW ⊂W i = w TT = Ti (TT Ti w ' nên w ∈ TW hay TW ⊃W 2T3 Tn w Ti −= 1Ti +1 Tn w ) i i - - 45 Đặt H = co W giả sử δ ( H ) > Do C có cấu trúc chuẩn tắc nên tồn xo ∈ H = cho r rxo ( H ) < δ ( H ) { } x ∈ K *: rx ( H ) ≤ r , ta A tập không rỗng, lồi, đóng nên Đặt A = A= { x ∈ K *: rx (W ) ≤ r} Cho x ∈ A , i = 1,2,3, , n w ∈W , ta có Ti x − w = Ti x − Ti w ' ≤ x − w ' ≤ r suy Ti x ∈ A hay Ti ( A ) ⊂ A cho i = 1,2,3, , n hay A ∈ X Mà A ⊂ K * , K * phần tử tối tiểu X nên K * = A , δ ( H= ) δ ( K * ∩ H=) δ ( A ∩ H ) ≤ r > δ ( H ) Điều mâu thuẫn, δ ( H ) = hay H gồm phần tử, điểm điểm bất động họ T1 , T2 , T3 , , Tn ▄ 3.2.2 Bổ đề U Cho E không gian Banach lồi ngặt, C tập lồi E, ánh xạ không giãn T : C → C Khi đó, tập điểm bất động F(T) T tập lồi Chứng minh Với x, y ∈ F (T ) ≤ λ ≤ , đặt z = λ x + (1 − λ ) y , ta có x − Tz = Tx − Tz ≤ x − z y − Tz = Ty − Tz ≤ y − z Do x − y ≤ x − Tz + y − Tz ≤ x − z + y − z = x − y Điều dẫn đến x − Tz = x − z y − Tz = y − z Mà E không gian lồi ngặt nên ta z = Tz hay z ∈ F (T ) hay F (T ) tập lồi ▄ 3.2.3 Định lí (Điểm bất động họ giao hoán ánh xạ không giãn) U U Cho E không gian Banach lồi ngặt, C tập E lồi, compact yếu, có cấu trúc chuẩn tắc,= S {Ti : i ∈ I } họ giao hoán ánh xạ không giãn Ti : C → C , i ∈ I Khi đó, tồn xo ∈ C cho Ti xo = xo cho i ∈ I - - 46 Chứng minh Theo bổ đề (3.2.2), với F (Ti ) tập điểm bất động Ti : C → C cho i ∈ I { } họ F (Ti ) : i ∈ I họ tập lồi, compact yếu C { } Theo định lí (3.2.1), họ hữu hạn F (Ti ) : i ∈ I ln có giao khác rỗng Kết hợp với C compact yếu, ta I F (Ti ) ≠ ∅ Hay tồn xo ∈ C cho i∈I Ti xo = xo cho i ∈ I ▄ 3.2.4 Định lí U Nếu chuẩn không gian Banach E khả vi Gateaux ánh xạ đối ngẫu J : E → E * liên tục tập bị chặn E E trang bị tôpô mạnh E * trang bị tôpô * yếu Chứng minh Chứng minh J : E → E * hàm đơn trị { } Từ J ( x ) = ta f ∈ E*: f ( x ) = x = f 2 { } J ( 0) = f ∈ E*: f ( ) = = f = = {0} 2 đó, ta giả sử x ≠ 0, x = với f ∈ J ( x ) , y ∈ S ( E ) λ > ta có x x + λy − x f ( y) f ( x + λ y) − x = ≤ x λ x λ x 2 = x + λy − x λ tương tự, λ < ta có x x + λy − x f ( y) f ( x + λ y) − x = ≥ x λ x λ x 2 = x + λy − x λ chuẩn E khả vi Gateaux nên tồn giới hạn lim λ →0 x +λy − x λ = ϕ ( x, y ) cho y ∈ E - - 47 f ( y) = ϕ ( x, y ) hay f ( y ) = x ϕ ( x, y ) x hay J : S ( E ) → E * hàm đơn trị  x  x tổng quát, giả sử x ≠ , J ( x ) = x J     nên J : E → E * hàm đơn trị  Với x ∈ S ( E ) , xét dãy { xn } ⊂ S ( E ) thỏa xn → x n → ∞ (3.2.4a) { } J ( x) = x = f = 1} = {f} { f ∈ E*: f ( x ) = đặt J ( xn ) = f ∈ E*: f ( xn ) = xn = f = = { fn} , 2 2 ta f n ( xn ) − f n ( x ) = f n ( xn − x ) ≤ f n xn − x =xn − x ≤ − f n ( x ) =xn − f n ( x ) = hay f n ( x ) → n → ∞ (3.2.4b) (3.2.4c) Mặt khác, chuẩn E khả vi Gateaux nên tồn giới hạn lim x +λy − x λ →0 λ = f ( y ) y ∈ S ( E ) nghĩa là: ∀ε > 0, ∃δ > cho 0≤ λ ≤δ ⇒ x +λy − x − f ( y ) < ε cho y ∈ S ( E ) λ ( λ = δ x + δ y − x =x + δ y − < δ ε + f ( y ) λ = −δ x + δ y − x = ) x − δ y − < δ (ε − f ( y ) ) (3.2.4c) tồn no cho f n ( x ) + δε ≥ cho n ≥ no hay ( f + fn ) ( x ) − 1= f ( x + δ y ) + f ( x − δ y ) − − δ ( f − fn ) ( y ) ≤ x + δ y + x − δ y − − δ ( f − fn ) ( y ) < δε + δ f ( y ) + + δε − δ f ( y ) + − − δ ( f − f n ) ( y=) 2δε + − δ ( f − f n ) ( y ) − δε ≤ f n ( x )= - - 48 suy ( f − f n ) ( y ) ≤ 3ε cho y ∈ S ( E ) tương tự, ta chứng minh ( f n − f ) ( y ) ≤ 3ε cho y ∈ S ( E ) vậy, cho n ≥ no tađđược ( f n − f ) ( y ) ≤ 3ε cho y ∈ S ( E ) hay f n − f ≤ 3ε ▄ 3.2.5 Bổ đề U U Cho C tập khơng rỗng, lồi, đóng khơng gian Banach E với chuẩn khả vi Gateaux đều, S tập số, tập { xt : t ∈ S } tập bị chặn E Kí hiệu: B ( S ) tập hợp hàm f : S → ¡ xác định, bị chặn S Xét X không gian B(S) cho X chứa hàm cho xt − z , g ( t ) = z ∈ C , u ∈ E t ∈ S , hàm h ( t ) = (u, J ( xt − z )) thuộc X Khi đó, với µ hàm trung bình xác định X zo ∈ C , ta có µt xt − z= µt xt − y o 2 y∈C µt ( z − zo , J ( xt − zo ) ) ≤ cho z ∈ C Chứng minh µt xt − y Điều kiện cần: Giả sử µt xt − z= o U U y∈C Với z ∈ C ≤ λ ≤ , ta có xt − zo = xt − λ zo − (1 − λ ) z + (1 − λ ) ( z − zo ) ( ≥ xt − λ zo − (1 − λ ) z + (1 − λ ) ( z − zo ) , J ( xt − λ zo − (1 − λ ) z ) ) Cho trước ε > , chuẩn E khả vi Gateaux đều, theo định lí (3.2.4) ta có (z − z , J (x − λz o t o ) − (1 − λ ) z ) − J ( xt − zo ) < ε cho ≤ λ ≤ ( z − z , J ( x − z ) ) < ε + ( z − z , J ( x − λ z − (1 − λ ) z ) ) o t o o ≤ε + t ( o xt − zo − xt − λ zo − (1 − λ ) z (1 − λ ) ) - - 49 Và µt ( z − zo , J ( xt − zo ) ) ≤ ε + ( ( µt xt − zo − µt xt − λ zo − (1 − λ ) z (1 − λ ) )≤ε ) Suy µt z − zo , J ( xt − zo ) ≤ cho z ∈ C Điều kiện đủ: U ( ) Giả sử µt z − zo , J ( xt − zo ) ≤ cho z ∈ C µt ( zo − z , J ( xt − zo ) ) ≥ cho z ∈ C kết hợp với bất đẳng thức xt − z − xt − zo 2 ≥ ( zo − z , J ( xt − zo ) ) với z ∈ C , t ∈ S Ta µt xt − z= µt xt − y o y∈C với t ∈ S ▄ 3.2.6 Định lí U Cho khơng gian Banach E lồi Khi đó, với r > tồn k > cho x, y ∈ B ( 0, r ) , f ∈ J ( x ) , g ∈ J ( y ) ⇒ ( f − g )( x − y ) ≥ k x − y Chứng minh Khi x = y ta có điều phải chứng minh Khi x ≠ y , đặt  ( f − g )( x − y )  = k inf  : x, y ∈ B ( 0, r ) , x ≠ y, f ∈ J ( x ) , g ∈ J ( y )  x− y   (f − g )( x − y ) = f ( x ) − g ( x ) − f ( y ) + g ( y ) ≥ x − g x − f y + y = x −2 y x + y ≥0 2 nên k ≥ giả sử k = , tồn { xn } ,{ yn } ⊂ B ( 0, r ) , f n ∈ J ( xn ) , g n ∈ J ( yn ) xn − yn ≠ 0, ( f n − g n )( xn − yn ) → ( f n − g n )( xn − yn ) ≥ ( x − y (3.2.6a) ) , kết hợp với (3.2.6a) ta - - 50 lim xn = lim yn = a > n→∞ n→∞ mặt khác, từ ( f n + g n )( xn + yn=) ( x + y 2 )−( f n − g n )( xn − yn ) suy lim ( f n + g n )( xn + yn ) = 4a n→∞ ( fn + gn )( xn + yn ) ≤ f n + g n xn + yn ≤ ( f n + g n ) xn + yn = (x n + yn ) xn + yn 4a ≤ liminf ( xn + yn n→∞ x +y )= n 2a liminf xn + yn n n→∞ hay liminf xn + yn ≥ 2a , giả thuyết E lồi kéo theo lim xn − yn = n→∞ n→∞ Điều mâu thuẩn với (3.2.6a) ▄ 3.2.7 Bổ đề U Cho C tập lồi, đóng khơng gian Banach E lồi trơn đều, S tập số, tập { xt : t ∈ S } tập bị chặn E Xét X không gian B(S) cho X chứa hàm cho z ∈ C , u ∈ E t ∈ S , hàm h (t ) = xt − z , g ( t ) = (u, J ( xt − z )) thuộc X Khi đó, với µ hàm trung bình xác { định X, tập M = u ∈ C : µt xt − u =min µt xt − y y∈C } có phần tử Chứng minh Đặt g= ( z ) µt xt − z cho z ∈ C , = r inf { g ( z ) : z ∈ C} Ta được, g hàm lồi xác định, liên tục C lim g ( zn ) = ∞ zn →∞ Theo định lí (1.1.11) , tồn u ∈ C thỏa g ( u ) = r nên u ∈ M Do M ≠ ∅ ( ) Theo (3.2.5), u ∈ M µt z − u , J ( xt − u ) ≤ cho z ∈ C (3.2.7a) - - 51 Giả sử có u , v ∈ M u ≠ v Theo (3.2.6) , tồn số dương k cho ( x − u − ( x − v ) , J ( x − u ) − J ( x − v ) ) ≥ k > cho t ∈ S t t t t ta bất đẳng thức µt ( v − u, J ( xt − u ) − J ( xt − v ) ) ≥ k > (3.2.7b) (3.2.7a) nên từ u , v ∈ M suy µt ( u − v, J ( xt − u ) ) ≥ µt ( v − u, J ( xt − v ) ) ≥ ( ) kéo theo µt v − u , J ( xt − u ) − J ( xt − v ) ≤ Điều mâu thuẩn (3.2.7b) Vậy M chứa phần tử ▄ 3.2.8 Định lí (điểm bất họ khơng giao hốn ánh xạ khơng giãn) U U Cho C tập lồi, đóng khơng gian Banach E lồi trơn đều, S thỏa định nghĩa (2.3.1) cho RUC(S) có trung bình bất biến trái = S {Ts : s ∈ S} biểu diển liên tục S ánh xạ không giãn từ C vào C giả sử = S {Ts : s ∈ S} bị chặn x ∈ C Khi đó, tồn u ∈ C cho Tsu = u cho s ∈ S Kí hiệu: RUC ( S ) tập hợp hàm f ∈ C ( S ) cho ánh xạ s a rs f liên tục Chứng minh Do E lồi trơn nên ánh xạ đối ngẫu J : E → E * hàm đơn trị Vì cho ( ) z ∈ C , y ∈ E , t ∈ S hàm h ( t ) = xt − z , g ( t ) = u, J (Tt x − z ) thuộc RUC ( S ) Đặt M 2supt∈S Tt x − z = Với s, u ∈ S ta có h ∈ RUC ( S ) supt∈S h(ts ) − h(tu ) rs h = − ru h supt∈S rs h(t ) − r= u h(t ) = supt∈S Tts x − z − Ttu x − z = supt∈S ( T x−z ts − Ttu x − z )( T x − z ts + Ttu x − z ) ≤ M supt∈S Tts x − Ttu x ≤ M Ts x − Tu x - - 52 Với s, u ∈ S ta có g ∈ RUC ( S ) E trơn nên ánh xạ đối ngẫu J liên tục tập bị chặn E E trang bị tôpô mạnh E * trang bị tôpô *yếu, suy Tts x − Ttu x ≤ Ts x − Tu x kéo theo rs g = − ru g supt∈S rs g (t ) − r= supt∈S g (ts ) − g (tu ) u g (t ) = supt∈S ( y, J (Tts x − z ) ) − ( y, J (Ttu x − z ) ) = supt∈S ( y, J (Tts x − z ) − J (Ttu x − z ) ) ≤ (Tts x − z ) − (Ttu x − z ) ≤ Tts x − Ttu x ≤ Ts x − Tu x Cho µ trung bình bất biến trái xác định RUC ( S ) , xét tập hợp { K = u ∈ C : µt Tt x − u =min y∈C µt Tt x − y 2 } với u ∈ K , s ∈ S ta có µt Tt x − Tsu = µt Tst x − Tsu = µt TsTt x − Tsu ≤ µt Tt x − u 2 2 nên Tsu ∈ K hay K bất biến qua Ts , s ∈ S Theo bổ đề (3.2.7), K có phần tử, phần tử điểm bất động chung họ Ts , s ∈ S ▄ 3.2.9 Định lí (điểm bất động nửa nhóm khả nghịch trái ánh xạ không giãn) U U Cho C tập lồi, đóng khơng gian Banach E lồi đều, S thỏa định nghĩa 2.3.1 S khả nghịch trái = S {Ts : s ∈ S} biểu diễn liên tục S ánh xạ không giãn từ C vào C Giả sử = S {Ts : s ∈ S} bị chặn x ∈ C Khi đó, tồn u ∈ C cho Tsu = u cho s ∈ S Chứng minh = S {Ts : s ∈ S} bị chặn x ∈ C nên tồn hàm g : C → ¡ cho = g ( z ) limsupt Tt x − z cho z ∈ C liên tục lồi C Do lim g ( zn ) = ∞ , đặt r = z∈C g ( z ) , theo định lí (1.1.11) tập zn →∞ - - 53 M= r} không rỗng {u ∈ C : g ( u ) = Nếu r = , cho u , v ∈ M , ta có u − v ≤ limsupt Tt x − u + limsupt Tt x − v = nên ta u = v hay M chứa phần tử Nếu r > , với u , v ∈ M , giả sử u − v =ε > , chọn a ∈ ¡  ( r + a ) 1 − δ   * + cho ε   < r  r + a  u , v ∈ M nên tồn s1 , s2 ∈ S cho sup s1 ≤t Tt x − u < r + a , sup s2 ≤t Tt x − v < r + a S khả nghịch trái nên có so ∈ S , so ≥ max {s1 , s2 } , ta sup so ≤t Tt x − u < r + a , sup so ≤t Tt x − v < r + a tính lồi E, theo định lí (3.1.2), cho t ≥ so ta có u+v   ε  Tt x − u + Tt x − v = Tt x − ≤ ( r + a ) 1 − δ   < r 2  r + a   u+v   u+v điều có nghĩa g= < r z∈C g ( z ) (!)   limsupt Tt x − = ta u = v hay M chứa phần tử Vậy tập M chứa phần tử, phần tử điểm bất động chung họ {Ts , s ∈ S } ▄ - - 54 KẾT LUẬN Luận văn trình bày kết tồn điểm bất động lớp ánh xạ khơng giãn khơng gian Hilbert, khơng gian Banach có tính chất hình học tốt lồi đều, có chuẩn khả vi… Bên cạnh đó, luận văn xây dựng số dãy lặp hội tụ điểm bất động Tuy nhiên, tác giả gặp nhiều khó khăn giới hạn thời gian cho phép, hạn hẹp tài liệu tham khảo, kiến thức thân, khó khăn xếp cơng việc quan, gia đình để dành thời gian cho nghiên cứu…nên tác giả khơng thể trình bày thêm kết định lí egodic phi tuyến không gian Banach, hay mở rộng không gian vecto topo lồi địa phương tìm hiểu ứng dụng đa dạng sâu sắc lý thuyết phương tình vi phân, tích phân, giải tích số, lý thuyết xác suất thống kê,… Tác giả biết ơn gia đình, quan, phịng sau đại học tạo điều kiện thuận lợi thầy Nguyễn Bích Huy nhiệt tình hướng dẫn, giúp đỡ kiến thức tinh thần để tác giả hoàn thành luận văn Đồng thời tác giả xin tri ơn đến tác giả giáo trình, báo tham khảo trình thực luận văn Đây lần nghiên cứu khoa học, dù cố gắng tránh sai lầm, mong nhận góp ý chân thành từ phía thầy bạn bè - - 55 Tài liệu tham khảo [1] W.Takahashi Nonlinear functional analysis Yokohama Publisher, 2000 [2] J.Dugundji, A.Granas Fixed point theory,V.1 Polish Scientipic Publisher, 1982 [3] Nguyễn Bích Huy Giáo trình giải tích thực Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, 2008 [4] Nguyễn Xuân Liêm Giải tích hàm Nhà xuất giáo dục Việt Nam, 1997 [5] Các báo internet giúp làm rỏ khái niệm sử dụng luận văn - ... chất điểm bất động ánh xạ không giãn ▄ 3.2 Điểm bất động họ ánh xạ không giãn 3.2.1 Định lí (điểm bất họ hữu hạn ánh xạ không giãn) U U Cho C tập lồi, compact yếu, có cấu trúc chuẩn tắc không. .. Chương 2: ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT 2.1 .Điểm bất động ánh xạ không giãn không gian Hilbert 2.1.1 Định lí (Điểm bất động ánh xạ khơng giãn không gian Hilbert) U U... r < ánh xạ T : C → E gọi ánh xạ co Nếu r = ánh xạ T : C → E gọi ánh xạ khơng giãn 1.10.Định lí (Ngun lí điểm bất động ánh xạ co) Cho khơng gian Banach H , ánh xạ f : H → H ánh xạ co ánh xạ f