Một số nguyên lý tổng quát về tập có thứ tự và ứng dụng vào bài toán điểm bất động

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH W X PHẠM THỊ BÉ HIỀN MỘT SỐ NGUYÊN LÝ TỔNG QUÁT VỀ TẬP CÓ THỨ TỰ VÀ ỨNG DỤNG VÀO BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUYÊN NGÀNH : TOÁN GIẢI TÍCH MÃ SỐ : 1.01.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : PGS.TS.NGUYỄN BÍCH HUY THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH -2004- MỤC LỤC W X Trang Lời mở đầu Chương : Nguyên lý Đệ Qui Ứng dụng I II III IV V Nguyên lý Đệ Qui Ứng dụng cho phương trình toán tử dạng Lu = Nu Ứng dụng vào toán điểm bất động 15 Ứng dụng cho phương trình tán xạ 18 Điểm bất động ánh xạ đa trị tăng 21 Chương hai : Nguyên lý Entropy ứng dụng I II III Nguyên lý Entropy 27 Định lý điểm bất động Caristi 29 Điểm bất động ánh xạ đơn điệu tới hạn 30 Tài liệu tham khaûo 36 YZWXYZWXYZ LỜI CẢM ƠN W X Lời đầu tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Thầy PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY khoa Toán-Tin Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh, thầy tận tình hướng dẫn giúp đỡ hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến quý Thầy Cô hội đồng chấm luận văn dành thời gian quý báu để đọc cho lời nhận xét luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Ban Giám Hiệu , quý Thầy Cô Phòng Sau Đại Học , quý thầy cô khoa Toán-Tin Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy giúp đỡ suốt thời gian học tập hoàn thành luận văn Cuối cùng, xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Ban Giám Hiệu, Tổ Toán Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ suốt thời gian học tập hoàn thành luận văn YZWXYZWXYZ Đại Học Sư Phạm TP.HCM NHD:PGS.TS.NGUYỄN BÍCH HUY LỜI MỞ ĐẦU W X Các nguyên lý tập có thứ tự (như bổ đề Zorn dạng tương đương nó, …) có nhiều ứng dụng lý thuyết tập hợp, Đại số, Giải tích Ngay vấn đề nghiên cứu không liên quan đến thứ tự việc đưa vào thứ tự thích hợp làm cho trình bày vấn đề trở nên rõ ràng ngắn gọn (ví dụ chứng minh định lí Caristi trình bày luận văn) Trong giải tích ta thường gặp phương trình với toán tử không liên tục không compăc việc chứng minh tồn nghiệm chúng nhờ phương pháp tôpô (như phương pháp điểm bất động , phương pháp biến phân,…) gặp khó khăn Để khắc phục ta buộc phải khai thác tính chất khác toán tính chất đại số tính chất liên quan đến thứ tự,… Các định lí điểm bất động ánh xạ tăng không gian có thứ tự nghiên cứu nhiều chục năm qua tìm ứng dụng đa dạng vật lí, hoá học, y-sinh học,… Chúng cho phép chứng minh tồn nghiệm, xấp xỉ nghiệm phương trình chứa hàm không liên tục Trong định lí Krasnoselskii điểm bất động ánh xạ tăng, phải đòi hỏi tính liên tục compắc ánh xạ Sử dụng bổ đề Zorn, Bakhtin bỏ giả thiết tính liên tục giảm nhẹ tính chất compắc ánh xạ Trong năm gần tác giả Carl, Heikkila [2], Nguyễn Bích Huy [5] ứng dụng nguyên lý đệ qui tổng quát nguyên lý Entropy để nghiên cứu định lí điểm bất động ánh xạ tăng Hướng nghiên cứu cho phép bỏ số giả thiết đặt sử dụng bổ đề Zorn Luận văn trình bày việc nghiên cứu điểm bất động ánh xạ tăng nhờ nguyên lý đệ qui nguyên lý Entropy từ bái báo chuyên nghành [2,3,5] Ngoài số toán trước nghiên cứu theo phương pháp khác luận văn trình bày theo hướng ứng dụng hai nguyên lý (Ví dụ : toán điểm bất động ánh xạ tán xạ, điểm bất động ánh xạ đơn điệu tới hạn…) Bên cạnh luận văn đưa chứng minh đầy đủ nguyên lý đệ qui số kết khác mà báo [2] không nêu trình bày vắn tắt NTH: Phạm Thị Bé Hiền -1- Đại Học Sư Phạm TP.HCM NHD:PGS.TS.NGUYỄN BÍCH HUY Chương NGUYÊN LÝ ĐỆ QUI VÀ ỨNG DỤNG I NGUYÊN LÝ ĐỆ QUI ĐỊNH LÍ 1.1.1 Cho (P,≤ ) tập xếp thứ tự phần , D họ tập P, chứa tập ∅ ,và ánh xạ F : D → P Khi tồn tập xếp tốt C P thoả điều kiện sau: 1) x∈ C ⇔ x = F({ y∈C / y < x }) 2) Nếu C ∈ D F(C) không cận chặt C • Với C⊂ P , x∈P , ta ký hiệu C