Nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính tại điểm thường

Lài cám ơn Em xin chân thành cám ơn sn giúp đõ cna thay giáo, cô giáo to Giái tích ban sinh viên khoa Tốn trưòng Đai hoc S pham H Nđi ắc biắt, em xin bày tó lòng biet ơn sâu sac cna tói TS Nguyen Văn Hào t¾n tình giúp đõ em q trình hồn thành khóa lu¾n tot nghi¾p Lan đau đưoc thnc hi¾n cơng tác nghiên cúu khoa hoc nên đe tài khơng tránh khói nhung han che thieu sót Em xin chân thành cám ơn nhung ý kien đóng góp cna thay giáo, giáo ban sinh viên Hà N®i, tháng năm 2011 Sinh viên Lê Th% Thu Thúy Lài cam đoan Tôi xin cam đoan, dưói sn hưóng dan cna TS Nguyen Văn Hào, đe tài nghiên cúu khoa hoc "Nghi¾m chuoi cúa phương trình vi phân tuyen tính tai điem thưàng" đưoc hồn thành theo sn nh¾n thúc, hieu biet đưoc trình bày theo quan điem riêng cna cá nhân tơi Trong q trình làm đe tài, tơi ke thùa nhung thành tnu cna nhà khoa hoc vói sn trân biet ơn Hà N®i, tháng năm 2011 Sinh viên Lê Th% Thu Thúy Mnc lnc Má đau Chương M®t so kien thNc chuan b% 1.1 Tong quan ve phương trình vi phân 1.1.1 Các khái ni¾m bán 1.1.2 Bài toán Cauchy 1.1.3 Van đe ton tai nhat nghi¾m cna phương trình vi phân 1.2 M®t so van đe bán ve phương trình vi phân tuyen tính 11 1.2.1 M®t so khái ni¾m bán 11 1.2.2 Sn phu thuđc tuyen tớnh v đc lắp tuyen tớnh cna hàm 11 1.2.3 Cau trúc nghi¾m cna phương trình vi phân tuyen tính 13 1.2.4 Phương trình vi phân tuyen tính h¾ so hang so 14 1.3 Chuoi hàm 22 1.3.1 Các khái ni¾m 23 1.3.2 Chuoi hàm h®i tu đeu 24 1.3.3 Chuoi hm hđi tu tuyắt đoi 25 1.4 Chuoi luy thùa 26 1.4.1 Đ%nh nghĩa 26 1.4.2 Cách tìm bán kính h®i tu cna chuoi lũy thùa 27 1.4.3 Tính chat cna tong chuoi lũy thùa 29 1.4.4 Khai trien hàm so thành chuoi lũy thùa 30 Chương Nghi¾m chuoi cúa phương trình vi phân tuyen tính tai điem thưàng 33 2.1 Nghi¾m chuoi tai m®t điem thưòng 33 2.1.1 Phương pháp tìm nghi¾m chuoi lũy thùa lân c¾n cna điem thưòng 34 2.1.2 M®t so ví du 35 2.2 Mó r®ng khái ni¾m ve điem thưòng 42 2.3 Bỏn kớnh hđi tu cna nghiắm chuoi 44 Ket lu¾n 48 Tài li¾u tham kháo 49 Má đau Lí chon đe tài Phương trình vi phõn l mđt chuyờn ngnh cna Toỏn hoc hiắn đai, vai trò quan cna đưoc the hi¾n qua sn ánh hưóng tói vi¾c giái quyet nhieu tốn khoa hoc ky thu¾t, kinh te nhieu lĩnh vnc khác Sn đòi cna phương trình vi phân đưoc xuat phát tù vi¾c xác đ %nh moi quan hắ xỏc %nh giua mđt long bien thiờn liên tuc (đưoc bieu dien bang hàm f (x)) vói đ® bien thiên cna đai lưong (bieu dien bang đao hàm b¾c nhat ho¾c đao hàm cap cao hơn) Đoi vói phương trình thơng thưòng, nghi¾m mđt giỏ tr% so thnc hoắc phỳc Tuy nhiờn, vúi phương trình vi phân, nghi¾m hàm chưa đưoc biet cna bien đc lắp thúa nhung moi quan h¾ đe Thơng thưòng, nghi¾m cna phương trình dang ny nú se l mđt ho cỏc hm, sai lắch bang m®t hang so C Nó đưoc xác đ%nh tưòng minh có thêm đieu ki¾n đau ho¾c ieu kiắn biờn Tuy nhiờn, mđt so trũng hop vi¾c tìm cơng thúc hi¾n cna nghi¾m g¾p phái nhung khó khăn nhat đ%nh Lý thuyet ve phương trình vi phân đưoc nghiên cúu tù sóm, nhieu dang phương trình đưoc đưa phương pháp giái cu the Đ¾c bi¾t phương trình vi phân tuyen tính vói h¾ so hang so, ngưòi ta xây dnng đưoc phương pháp tong quát giái phương trình Tuy nhiên, có rat nhieu phương trình vi phân rat khó tìm nghi¾m (neu nói khơng tìm đưoc), ke cá nhieu phương trình xem rat đơn gián M®t nhung phương pháp khac phuc đưoc phan van đe trên, ngưòi ta dùng phương pháp tìm nghi¾m chuoi Đưoc sn đ%nh hưóng cna ngưòi hưóng dan, em chon đe tài "Nghi¾m chuoi cúa phương trình vi phân tuyen tính tai điem thưàng" đe hồn thành khóa lu¾n tot nghi¾p chun ngành Tốn Giái tích Khóa lu¾n đưoc bo cuc thành hai chương Chương Em trỡnh by mđt so khỏi niắm c bỏn ve phng trình vi phân, phương trình vi phân tuyen tính; phương pháp xây dnng nghi¾m tong qt cna phương trình vi phân tuyen tính Cũng ó đây, liên quan vi¾c tìm nghi¾m chuoi cna phương trình vi phân tuyen tính, nên chúng tơi trình bày m®t so kien thúc bán nhat ve chuoi hàm; chuoi hàm lũy thùa; mien h®i tu, tính chat bán ve tong cna chuoi lũy thùa Chương Như ta biet vi¾c tìm cna phương trình vi phân khơng phái đưoc tien hành de dàng Phương pháp tìm nghi¾m chuoi cna phương trình vi phân tuyen tính m®t nhung phương pháp khac phuc phan van đe Muc đích cna khóa lu¾n đưoc chúng tơi trình bày chương này, phương pháp tìm nghi¾m chuoi cna phương trình vi phân tuyen tính Mnc đích nhi¾m nghiên cNu Trình bày phương pháp tìm nghi¾m chuoi cna phương trình vi phân tuyen tính Bói nghi¾m cna phương trình đưoc cho dưói dang chuoi lũy thùa, nên đieu can thiet liên quan đen van đe phái ke đen van đe h®i tu cna nghiắm oi tang nghiờn cNu Nghiờn cỳu mđt phương pháp tìm nghi¾m cna phương trình vi phân tuyen tính Tuy nhiên, khn kho u cau đoi vói mđt khúa luắn tot nghiắp bắc cỳ nhõn Toỏn hoc, nên chúng tơi chí trình bày van đe pham vi tìm nghi¾m chuoi lân c¾n cna điem thưòng Phương pháp nghiên cNu Tìm kiem tài li¾u, phân tích, tong hop xin ý kien đ%nh hưóng cna ngưòi hưóng dan Chương M®t so kien thNc chuan b% 1.1 Tong quan ve phương trình vi phân 1.1.1 Các khái ni¾m bán Phương trình vi phân m®t phương trình chúa hàm can tìm đao hàm cna Neu hàm can tìm chí phu thuđc mđt bien đc lắp, thỡ phng trỡnh ú đưoc goi phương trình vi phân thưòng Neu hàm can tỡm phu thuđc hai hoắc nhieu bien đc lắp phương trình đưoc goi phương trình vi phân đao hàm riêng Trong khóa lu¾n này, chúng tơi chí xét phương trình vi phân thưòng Như v¾y phương trình vi phân thưòng phương trình có dang tong qt F x, y, yt, ytt, y(n) = 0, (1.1) F hàm xác đ%nh m®t mien G no ú cna khụng gian Rn+2 gom bien đc lắp x v y l hm cna bien đc lắp cựng đao hàm cap m®t đen cap n cna Cap cna m®t phương trình vi phân thưòng đưoc xác đ%nh bói cap cao nhat cna đao hàm xuat hi¾n phương trình Nghi¾m cna phương trình (1.1) hàm y = y(x) vi n lan khoáng (a, b) thóa mãn phương trình (1.1), túc F x, y(x), yt(x), , y(n−1)(x) = vói moi x thu®c khống (a, b) Đưòng cong y = y(x), x ∈ (a, b) goi đưòng cong tích phân cna phương trình (1.1) Đe giái phương trình vi phân ta dùng thu¾t ngu “tích phân phương trình vi phân” lý Neu tù phương trình (1.1) ta tìm đưoc bieu dien cna đao hàm cap cao nhat y(n) qua bien lai, ta nói phương trình giái đưoc đoi vói y(n) ho¾c goi phương trình dang tac, túc phương trình (1.1) có dang dưói 1.1.2 y(n) = f x, y, yt, , y(n−1) (1.2) Bài tốn Cauchy Bài tốn tìm nghi¾m y = y(x) cna phương trình (1.2) xác đ%nh khống (a, b) thố mãn đieu ki¾n y0 = y (x0) , = yt (x ) , , y(n−1) = y(n−1) (x ) , 0 yt (1.3) đưoc goi toán Cauchy Đieu ki¾n (1.3) đưoc goi đieu ki¾n đau 1.1.3 Van đe ton tai nhat nghi¾m cúa phương trình vi phân Đoi vói phương trình vi phân, vi¾c nghiên cúu ve van đe ton tai nhat nghi¾m phúc tap Dưói đây, chúng tơi chí phát bieu ket cho trưòng hop tong quát đưa phép chúng minh đoi vói phương trình vi phân cap mđt Viắc chỳng minh %nh lý oi vúi phng trình cap n, có the tham kháo cuon sách [1] đưoc trích dan ó phan tài li¾u tham kháo Đ%nh lý 1.1 (Ton tai nhat nghi¾m) Cho phương trình vi phân cap n dang tac y(n) = f x, y, yt , , y(n−1) vúi ieu kiắn au (1.3) Giỏ sỳ hỡnh hđp chu nh¾t (n−1) D : |x − x0| ≤ a, |y − y0| ≤ b, |yt − yt 0| ≤ b, ., y(n−1) − y.0≤ b ( a, b nhung so dương), hàm f thóa mãn hai đieu ki¾n 1) f x, y, yt, , y(n−1) ≤ M vói moi x, y, yt, , y(n−1) ∈ D; t (n−1) hàm so f x, y, y , , y thóa mãn đieu ki¾n Lipchitz đoi vói y, yt, , y(n−1) nghĩa là, ton tai hàng so dương L cho f t x, y2 , y , , (n−1) y2 t − f x, y1 , y , , (n−1) y1 (n−1) (n−1) ≤ L |y2 − y1| + |yt2 − yt 1| + + y2 − y1 , Đong nhat h¾ so cna lũy thùa giong cna x − 1, thu đưoc 2.1a2 = a0 , (3.2)a3 = a1 + a0 , (4.3)a4 = a2 + a1 , (5.4)a5 = a3 + a2 , Moi quan h¾ l¾p tong quát (n + 2)(n + 1)an+2 = an + an−1, vúi moi n (2.19) Giỏi mđt so hắ so an đau tiên cna chuoi bieu dien qua a0 a1 thay rang a0 a2 = a1 a0 a1 , a3 = =+ 6 , a4 a5 = (x − a3 a2 (x − 1) + + a1 + , 24 12 (x − 1) 120 1) y = a0 + + a0 = 12 12 a0 a1 + 30 = 20 20 Do a2 (x − 1)4 + 24 + 30 (x − 1)3 (x − 1)4 (x − 1)5 + + +a1 (x − 1) 120 + + 12 + (2.20) Nhìn chung, moi quan h¾ l¾p có nhieu hai so hang, phương trỡnh (2.19) viắc xỏc %nh mđt cụng thỳc oi vúi an theo a0 a1 phúc tap neu khơng nói khơng the Trong ví du m®t cơng thúc v¾y khơng phái rõ ràng Vi¾c thieu mđt cụng thỳc nh vắy chỳng ta cng khụng the kiem tra hai chuoi phương trình (2.20) ve tính h®i tu bang phương pháp trnc tiep vi¾c kiem tra tý so Tuy nhiên, th¾m chí cá không biet công thúc đoi cna an, se thay phan sau cna muc này, ta van có the kiem tra chuoi phương trình (2.20) h®i tu vói moi x thêm nua xác đ%nh đưoc cỏc hm y3 v y4 l cỏc nghiắm đc lắp tuyen tính cna phương trình Airy (2.12) Do y = a0y3(x) + a1y4(x), nghi¾m tong quát cna phương trình Airy vói −∞ < x < ∞ Phái nhan manh rang, thay ví du 2.3, neu ta tìm ∞ nghi¾m cna phương trình (2.1) dưói dang y n= an(x − x0)n, = h¾ so P (x), Q(x) R(x) phương trình (2.1) phái đưoc bieu dien qua lũy thùa cna x − x0 Thay cho đieu đó, có the dùng phép đoi bien x − x0 = t, đe thu đưoc phương trình vi phân mói đoi vói y hàm cna bien t Khi đó, ta tìm đưoc nghi¾m cna phương trình dưói dang antn Đe hồn thành q trình tính tốn ta chí vi¾c thay tró lai t y= ∞ n= bang x − x0 Trong ví du 2.2 2.3 tìm đưoc hai t¾p nghi¾m cna phương trình Airy Các hàm y1 y2 xác đ%nh phng trỡnh (2.17) l cỏc nghiắm đc lắp tuyen tính cna phương trình (2.12) vói moi x, đieu đoi vói hàm y3 y4 xác đ%nh bói chuoi phương trình (2.20) Theo lý thuyet tong quát ve phương trình vi phân tuyen tính cap hai moi m®t hai hàm đau có the bieu dien m®t to hop tuyen tính qua hai hm sau 2.2 Mỏ rđng khỏi niắm ve điem thưàng Trong phan trưóc xét van đe tìm nghi¾m chuoi cna phương trình dy P (x) d2 + Q(x) + R(x)y = 0, y dx (2.21) dx vói P (x), Q(x) R(x) đa thúc, lân c¾n cna điem thưòng x0 Giá sú rang phương trình (2.21) có nghi¾m y = φ(x) hàm φ có khai trien chuoi Taylor ∞ y = φ(x) = n an(x − x0) , (2.22) n=0 h®i tu mien |x − x0| < ρ vói so ρ > Khi đó, ta thay rang h¾ so an có the đưoc xác đ%nh bang vi¾c the trnc tiep y đao hàm cna đưoc xác đ%nh tù chuoi (2.22) vào phương trình (2.21) Trong phan se xét đen đieu ki¾n đe neu x0 điem thưòng cna phương trình (2.21) ton tai nghi¾m cna phương trình dưói dang (2.22) Đe giái quyet van đe này, trưóc het can tong quát hóa đ%nh nghĩa ve m®t điem thưòng Giá sú rang ton tai nghi¾m cna phương trình (2.21) dưói dang (2.22) Bang vi¾c lay đao hàm m lan phương trình (2.22) the x bói x0, nh¾n m!am = φ(m)(x0) đưoc Do đó, đe tính đưoc so hang an chuoi (2.22) ta phái chúng tó rang có the xác đ%nh đưoc φ(n)(x0) vói moi n = 0, 1, 2, tù phương trình vi phân (2.21) Giá sú rang φ(x) nghi¾m cna phương trình (2.21) thóa mãn đieu ki¾n đau t y (x0) = y0, yt (x0) = y The a0 = y0, a1 = 0yt Neu ta chí quan tâm đen vi¾c tìm nghi¾m cna phương trình (2.21) mà khơng can quan tâm đen đieu ki¾n đau, a0 a1 có the xác đ%nh tùy ý Đe xác đ%nh φ(n)(x0) tương úng an vói n = 2, 3, , quay tró lai xét phương trình (2.21) Vì φ nghi¾m cna phương trình (2.21) nên ta có P (x)φtt(x) + Q(x)φt(x) + R(x)φ(x) = Bói vì, lân c¾n cna điem x0 đa thúc P (x) khơng tri¾t tiêu nên ta có the viet phương trình dưói dang φtt(x) = −p(x)φt(x) − q(x)φ(x), vói p(x) = ta nh¾n đưoc Q(x) P (x) q(x) = (2.23) R(x) The x bang x0 vào phương trình (2.23) P (x) φtt(x0) = −p(x0)φt(x0) − q(x0)φ(x0) Tù đó, h¾ so a2 đưoc cho bói 2!a2 = φtt (x0) = −p (x0) a1 − q (x0) a0 (2.24) Đe xác đ%nh a3, lay vi phân phương trình (2.23) thay x bang x0, nh¾n đưoc 3!a3 = φttt (x0) = − [pφtt + (pt + q)φt + qtφ] |x=x0 = −2!p (x0) a2 − [pt (x0) + q (x0)] a1 − qt (x0) a0 (2.25) Thay a2 tù phương trình (2.24) vào phương trình (2.25) ta nh¾n đưoc h¾ so a3 bieu dien qua h¾ so a0 a1 Bói P (x), Q(x), R(x) đa thúc P (x0) ƒ= nên tat cá đao hàm cna p(x) q(x) tai x0 đeu đưoc xác đ%nh Do đó, lay vi phân phương trình (2.23) liên tiep thay the giá tr% cna x bói x0 ta lan lưot nh¾n đưoc h¾ so a4, a5, Đieu quan tính tốn h¾ so an thnc hi¾n vi¾c lay vi phân liên tiep hàm p q Đieu đó, cho thay phái giám nhe giá thiet hàm p q chí đa thúc, chí đòi hói đơn gián rang chúng vi vơ han lan lân c¾n cna điem x0 Tiec thay, đieu ki¾n ch¾t đe đám báo sn hđi tu cna chuoi khai trien nhắn oc oi vúi hm y = (x) ieu kiắn rđng hn l chí can giá thiet hàm p q giái tích tai x0; nghĩa có khai trien Taylor h®i tu khống chúa điem x0 n p(x) = p0 + p1 (x − x0) + + pn(x − x0) + (2.26) n q(x) = q0 + q1 (x − x0) + + qn(x − x0) + (2.27) Vói ý tưóng ta có the tong qt hóa khái ni¾m ve điem thưòng điem kỳ d% cna phương trình (2.21) sau Đ%nh nghĩa 2.1 Neu hàm p (x) = Q(x q(x) ) = R(x giái tích ) P P (x) (x) tai x0 điem x0 đưoc goi điem thưàng cna phương trình vi phân (2.21); trưòng hop khác, đưoc goi điem kỳ d% 2.3 Bán kớnh hđi tn cỳa nghiắm chuoi Bõy giũ chỳng ta xột van e ve khoỏng hđi tu cna nghiắm chuoi Đieu thnc te rang tìm đưoc nghi¾m chuoi cna moi tốn, ta có the áp dung m®t tiêu chuan h®i tu cna chuoi vơ han đe xác đ%nh bán kính h®i tu cna chúng Tuy nhiên, van đe có the đưoc giái quyet m®t cách đơn gián cho m®t lóp lón tốn nhò đ%nh lý dưói Đ%nh lý 2.1 Neu x0 điem thưòng cúa phương trình vi phân dy + R(x)y = 0, d2 + P (x) Q(x) y R(x) d dx x Q(x) nghĩa là, neu hàm p(x) = q(x) = P P (x) (x) nghi¾m tong quát cúa phương trình (2.21) y= ∞ giái tích tai x0 n an(x − x0) = a0y1(x) + a1y2(x), n=0 ó a0, a1 hang so tùy ý y1, y2 nghiắm chuoi đc lắp tuyen tớnh giỏi tớch tai x0 Thờm nua, bỏn kớnh hđi tn cỳa moi nghiắm chuoi y1 y2 nhat lón toi thieu bang bán kính h®i tn cúa chuoi cúa p q Đieu lưu ý rang nghi¾m chuoi có dang y1(x) = + b2(x − + x0 ) y2(x) = (x − x0) + c2(x + Do y1 nghi¾m thóa mãn đieu − x0 ) ki¾n đau y1 (x0) = 1,1 yt (x0) = y2 nghi¾m thóa mãn đieu ki¾n đau y2 (x0) = 0, 2yt (x0) = Cũng lưu ý rang q trình tính tốn h¾ so bang vi¾c đao hàm liên tiep phương trình vi phân đieu mau mnc ve m¾t lý thuyet, khơng phái quy trình tính tốn thơng dung Thay vào đó, nên thay the chuoi (2.22) đoi vói y vào phương trình vi phân (2.21) xác đ%nh h¾ so cho phương trình vi phân đưoc thóa mãn, ví du ó phan trưóc Chúng ta khơng trình bày chúng minh cna đ%nh lý Phép chúng minh cna đ%nh lý có the tìm thay cuon sách [1,5] M®t dang tong qt chút cna ket thu®c ve I L Fuchs Đieu quan đoi vói muc đích cna ton tai m®t nghiắm chuoi cna phng trỡnh (2.22); v bỏn kớnh hđi tu cna nghi¾m chuoi khơng the nhó bán kính h®i tu cna chuoi đoi vói p q Chúng ta chí can xác đ%nh van đe Vi¾c có the đưoc tien hành theo hai cách M®t cách có the đơn gián tính tốn chuoi đoi vói p q xác đ%nh bỏn kớnh hđi tu bang viắc sỳ dung mđt tiêu chuan h®i tu cna chuoi vơ han Tuy nhiên, có m®t cách đơn gián P (x), Q(x) R(x) đa thúc Nó đưoc chúng tó lý thuyet hàm m®t bien phúc, thương cna hai đa thúc Q(x)/P (x) có m®t khai trien chuoi lũy thùa tai điem x = x0 neu P (x0) ƒ= Thêm nua, neu giá thiet rang nhân tú chung cna P (x) Q(x) tri¾t tiêu het, bán kính h®i tu cna chuoi lũy thùa Q(x)/P (x) lân c¾n cna điem x = x0 bang khống cách tù x0 tói khơng điem gan nhat cna P Ví dn 2.4 Tìm bán kính h®i tu cna chuoi Taylor đoi vói hàm + x −1 lân c¾n cna điem x = M®t cách tien hành tìm chuoi Taylor theo cna nó, chuoi + + + − x + x2 n (−1) n x = 1 + x2 −x Khi đó, ta có the kiem tra đưoc bán kính h®i tu cna chuoi bang ρ = Phương pháp khác lưu ý rang không điem cna + x2 x = ±i Bói khống cách tù đen i ho¾c −i đeu bang mắt phang phỳc, nờn bỏn kớnh hđi tu cna chuoi tai điem x = bang Ví dn 2.5 Tìm bán kính h®i tu cna chuoi Taylor đoi vói hàm x2 − 2x + −1 lân c¾n cna điem x = x = Trưóc het ta lưu ý rang phương trình x2 − 2x + có nghi¾m x=1± i Khoáng cách phang phúc bang √2.tù x = đen − i ho¾c + i m¾t Khoáng cách tù x = đen + i ho¾c − i m¾t phang phúc ∞ bang 1; bán kính h®i tu cna khai trien chuoi Taylor n= bn(x − 1)n tai x = l Mđt nghiắm chuoi cú the hđi tu mien r®ng cna x đ%nh lý nói Thnc ra, đ%nh lý chí đưa biên dúi bỏn kớnh hđi tu cna nghiắm chuoi ieu ny đưoc minh hoa bói nghi¾m đa thúc Legendre cna phương trình Legendre đưoc cho bói ví du tiep theo dưói Ví dn 2.6 Xác đ%nh biên dưói cna bán kớnh hđi tu cna cỏc nghiắm chuoi tai x = cna phương trình Legendre 1−x ytt − 2xyt + α(α + 1)y = 0, vói α m®t hang so Lưu ý rang P (x) = (1 − x)2, Q(x) = −2x R(x) = α(α + 1) đa thúc không điem cna P (x) x = ±1 Khoáng cách tù chỳng en bang Do ú, mđt nghiắm chuoi dưói dang ∞ n= anxn h®i tu nhat vói |x| < có the lón Thnc v¾y, có the chúng minh đưoc neu α l so nguyờn dng , mđt cỏc nghiắm chuoi ngat sau m®t so huu han so hang h®i tu khơng chí vói |x| < mà vói moi x Ví du neu α = 1, nghi¾m đa thúc y = x Ket lu¾n Trờn õy l ton bđ nđi dung cna khoỏ luắn tot nghi¾p "Nghi¾m chuoi cúa phương trình vi phân tuyen tớnh tai iem thng" Nđi dung chớnh cna luắn giái quyet van đe sau Trưóc het chỳng tụi hắ thong húa mđt so kien thỳc c bán ve lý thuyet phương trình vi phân; Tong quan ve phương trình vi phân tuyen tính vi¾c tìm nghi¾m cna phương trình vi phân tuyen tính vói h¾ so hang so; Chuoi lũy thùa van đe h®i tu cna chuoi lũy thùa Ket nghiên cúu bán cna khóa lu¾n vi¾c trình bày phương pháp tìm nghi¾m chuoi cna phương trình vi phân tuyen tính tai điem thưòng Đe thnc hi¾n đưoc muc đích trưóc het chúng tơi trình bày khái ni¾m ve điem thưòng cna phương trình vi phân van e mú rđng khỏi niắm ve e thũng Ngoi ra, nghi¾m cna phương trình vi phân đưoc tìm ó dưói dang chuoi lũy thùa nên m®t đieu can quan tâm đen van đe tìm bán kính h®i tu cna nghi¾m chuoi Ngồi phương pháp thơng thưòng đe tìm bán kính h®i tu cna m®t chuoi lũy thùa, chúng tơi chí m®t so phương pháp riêng ngan gon hn e tỡm bỏn kớnh hđi tu cna nghiắm chuoi Tài li¾u tham kháo [1] W E Boyce and R C Diprima (2000), Elementary Differential Equa- tions and Boundary Value Problems, John Wiley & Sons, Inc, Seventh edition [2] E A Coddington (1989), An Introduction to Ordinary Differential Equations, Dover Publications, Inc, New York [3] Mohan C Joshi (1979), Ordinary Differential Equations, IIT Bombay [4] W Hundsdorfer (2009), Ordinary Differential Equations, Radboud Universiteit Nijmegen [5] E D Rainville (1964),Intermediate Differential Equations, (2nd ed), New York, Macmilan ... ve phương trình vi phân, phương trình vi phân tuyen tính; phương pháp xây dnng nghi¾m tong qt cna phương trình vi phân tuyen tính Cũng ó đây, liên quan vi c tìm nghi¾m chuoi cna phương trình vi. .. Q Phương trình vi phân tuyen tính h¾ so hang so a) Nghi¾m riêng cúa phương trình vi phân tuyen tính thuan nhat h¾ so hang so Phương trình vi phân tuyen tính thuan nhat h¾ so hang so phương trình. .. y(x), x ∈ (a, b) goi đưòng cong tích phân cna phương trình (1.1) Đe giái phương trình vi phân ta dùng thu¾t ngu “tích phân phương trình vi phân lý Neu tù phương trình (1.1) ta tìm đưoc bieu dien