Đang tải... (xem toàn văn)
VỀ TÍNH DUY NHẤT NGHIỆM NHỚT CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP HAI LOẠI PARABOLIC ON THE UNIQUENESS OF VISCOSITY SOLUTIONS TO SECOND ORDER PARABOLIC PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS NGUYỄ[r]
(1)VỀ TÍNH DUY NHẤT NGHIỆM NHỚT CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP HAI LOẠI PARABOLIC ON THE UNIQUENESS OF VISCOSITY SOLUTIONS TO SECOND ORDER PARABOLIC PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS NGUYỄN CHÁNH ĐỊNH Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng TÓM TẮT Lý thuyết nghiệm nhớt phương trình đạo hàm riêng cấp hai phi tuyến toàn cục đã khảo sát M G Crandall, H Ishii, P L Lions [1], R Jensen [3] khuôn khổ các nguyên lý so sánh, các định lý nghiệm và các định lý tồn nghiệm Bài báo này trình bày nguyên lý so sánh và đưa tính nghiệm nhớt cho các phương trình đạo hàm riêng cấp hai loại parabolic suy biến tổng quát ABSTRACT The theory of viscosity solutions of scalar fully nonlinear partial differential equations of second order has been considered by M G Crandall, H Ishii, P L Lions [1], R Jensen [3] which provides a framework in comparison principles, uniqueness theorems and existence theorems This paper deals with a comparison principle and provides a uniqueness property of a viscosity solution to general degenerate parabolic partial differential equations of second order ĐẶT VẤN ĐỀ Khái niệm nghiệm nhớt áp dụng cho các phương trình đạo hàm riêng có dạng: F(x, u, Du, D u) = 0, đó, F: R n R R n S(n) R với S(n) là ký hiệu tập hợp tất các ma trận vuông đối xứng cấp n Trong thực tế ta thường xem xét hàm số F(x, u, Du, D u) = với u là hàm số giá trị thực xác định tập R n , Du là ký hiệu gradient u và D u ký hiệu cho ma trận Hessian các đạo hàm cấp hai u Tuy nhiên, khuôn khổ bài toán sau đây, Du và D u không còn theo nghĩa cổ điển, tức là u không đòi hỏi phải khả vi liên tục đến cấp hai Ta áp dụng lý thuyết nghiệm nhớt cho phương trình F = 0, đó F phải thỏa mãn điều kiện đơn điệu (monotonicity condition): F(x,r,p,X) F(x,s,p,Y) với r s và Y X (1.1) đó r, s R, x, p R n , X, Y S(n) và trên S(n) đã trang bị thứ tự thông thường nó Lưu ý rằng, điều kiện trên cho ta hai điều kiện: F(x,r,p,X) F(x,s,p,X) với r s (1.2) F(x,r,p,X) F(x,r,p,Y) với Y X (1.3) Khi đó ta nói F là suy biến (degenerate) (1.3) là đúng Lop12.net (2) KHÁI NIỆM NGHIỆM NHỚT Bây ta xét u là hàm (t, x), tức là u = u(t,x), và xét phương trình đạo hàm riêng cấp hai phi tuyến loại parabolic: u t + F(t, x, u, Du, D u) = 0, (2.1) đó Du và D u có nghĩa là D x u (t , x) và D x2 u (t , x) và F thỏa mãn điều kiện (1.1) (với x thay (t,x)) Cho là tập compact địa phương R n , T > 0, và ký hiệu T = (0,T) Ta ký hiệu P2, và P2, hàm số u: T R sau: P2, u(s,z) = {(a,p, X) R R n S(n) | (s,z) T và u(x,t) u(s,z) + a(t-s) + p, x z + X ( x z ), x z + o(|t-s|+ | x z | ) (t,x) (s,z) T } và P2, u = - P2, (-u) Ta định nghĩa: P2, u(t,x) ={(a,p, X) R R n S(n) | ( t n , x n , a n , p n , X n ) T R R n S(n), ( a n , p n , X n ) P2, u( t n , x n ) và ( t n , x n , u( t n , x n ), a n , p n , X n ) (t, x, u(t,x), a, p, X)} P2, u(t,x) ={(a,p, X) R R n S(n) | ( t n , x n , a n , p n , X n ) T R R n S(n), ( a n , p n , X n ) P2, u( t n , x n ) và ( t n , x n , u( t n , x n ), a n , p n , X n ) (t, x, u(t,x), a, p, X)} ĐỊNH NGHĨA: a Một nghiệm nhớt phương trình (2.1) là hàm u C( T ) cho: a + F(t, x, u(t,x), p, X) với (t,x) T và (a, p, X) P2, u(t,x) ; b Một nghiệm nhớt trên phương trình (2.1) là hàm v C( T ) cho: a + F(t, x, v(t,x), p, X) với (t,x) T và (a, p, X) P2, v(t,x) ; c Một nghiệm nhớt phương trình (2.1) là hàm u C( T ) cho u vừa là nghiệm nhớt vừa là nghiệm nhớt trên phương trình (2.1) TÍNH DUY NHẤT NGHIỆM Xét bài toán Dirichlet cho phương trình (2.1) u t F(t, x, u, Du, D u) (0, T) t T, x u (t , x) 0, x u (0, x) ( x), (3.1) Trong đó R n là tập mở, T > và C () là hàm số cho trước Lop12.net (3) Định lý: Cho R n là tập mở bị chặn Cho F C ([0, T ] R R n S (n)) thỏa mãn (1.1) với t cố định và thỏa mãn các điều kiện sau đây cho t: F(t, y, r, ( x y ) , Y) - F(t, x, r, ( x y ) , X) ( | x y | | x y |) với x, y , r R , và X, Y S (n) thỏa điều kiện sau: I -3 0 0 X 0 3 I Y I I -I I đó : [0,) [0,) là hàm liên tục thỏa mãn (0) Khi đó, u là nghiệm nhới (3.1) và v là nghiệm nhớt trên (3.1) thì u v trên [0,T) Để chứng minh định lý trên ta xét các bổ đề sau đây: Bổ đề 1: Cho là tập R n , u , v UC () và M sup{u ( x) v( y ) | x y |2 } với Cho M với lớn và ( x , y ) là điểm cho lim[ M (u ( x ) v( y ) | x y | )] Khi đó, ta có: (i) lim | x y | và (ii) lim M u ( x) v( x) sup(u ( x) v( x)) miễn là x là điểm giới hạn x x Bổ đề 2: Cho u i UC ((0, T ) i ) với i=1,…,k, đó i là tập compact địa phương R N i Cho là hàm số xác định lân cận (0, T ) 1 k cho (t, x1 ,…, x k ) (t, x1 ,…, x k ) khả vi cấp theo t và khả vi cấp hai theo ( x1 ,…, _ _ x k ) 1 k Giả sử t (0, T ), xi i với i=1,…,k và _ _ _ w(t, x1 ,…, x k ) u1 (t , x1 ) u k (t , x k ) (t, x1 ,…, x k ) w(t , x1 , , x k ) với < t < T và xi i Ngoài giả sử tồn r > cho với M > tồn số C cho với i=1,…,k ta có: bi C ( bi , qi , X i ) P2, u i ( t , xi ) _ _ | xi xi | + | t t | r và | u i (t , xi ) | + | qi | + X i M Lop12.net (4) Khi đó, với , tồn X i S ( N i ) cho: _ _ _ _ _ (i) (bi , D xi (t , x1 , , x k ), X i ) P2, u i (t , xi ) với i=1,…,k, X1 1 (ii) - A I 0 _ A+ A , X k _ _ (iii) b1 bk t (t , x1 , , x k ), _ _ _ đó A ( D x2 ) (t , x1 , , x k ) và chuẩn ma trận đối xứng A là: A sup{| |: là giá trị riêng A}= sup{| A , |:| | 1} Chứng minh các bổ đề này hoàn toàn tương tự chứng minh cho trường hợp ellitic[1] Chứng minh định lý: _ Trước hết ta lưu ý với , u u /(T t ) là nghiệm nhớt (3.1) và thỏa mãn phương trình đạo hàm riêng với bất đẳng thức ngặt; thật vậy, _ _ _ _ u t F (t , x, u , D u , D u ) (T t ) _ Vì u v kéo theo u v giới hạn , nên ta chứng minh nguyên lý so sánh với giả thiết phụ: (i) u t F (t , x, u , Du, D u ) / T , (ii) lim u (t , x) trên t T Ta chứng minh phản chứng Giả sử tồn ( s, z ) (0, T ) và u ( s, z ) v( s, z ) (3.2) Ta có thể giả thiết u, -v là bị chặn trên Cho (t , x, y ) là điểm cực đại u (t , x) v(t , y ) ( / 2) | x y | trên [0, T ) đó Điểm cực đại này tồn vì tính bị chặn trên u, -v, tính compact và giả thiết phụ (ii) Đặt: M u (t , x) v(t , y ) | x y |2 Theo (3.2), M Nếu t , ta có: 0< M sup( ( x) ( y ) Lop12.net | x y | ); (5) ta thấy vế phải dần không theo Bổ đề Vì t với lớn Hơn nữa, x, y với lớn vì u v trên [0, T ) Do đó ta có thể áp dụng Bổ đề điểm (t , x, y ) và nhận các số thực a, b và X , Y S(n) cho: _ _ (a, ( x y ), X ) P2, u (t , x) , _ _ (b, ( x y ), Y ) P2, v(t , y ) cho a-b=0 và I -3 0 0 X 0 3 I Y I I -I I (3.3) Các quan hệ: a + F( t , x, u (t , x), ( x y ), X ) c, b + F( t , y, v(t , y ), ( x y ), Y ) 0, và (3.3) kéo theo c F( t , y, v(t , y ), ( x y ), Y ) - F( t , x, u (t , x), ( x y ), X ) ( | x y | | x y |) Cho , ta điều mâu thuẫn và định lý chứng minh KẾT LUẬN Từ nguyên lý so sánh ta thấy nghiệm nhớt bài toán Dirichlet (3.1) phải trùng và từ đó ta thu tính nghiệm bài toán Mặt dù khái niệm và các tính chất nghiệm nhớt đã nghiên cứu nhiều tác giả, bài báo này khảo sát cho loại phương trình parabolic và có thể áp dụng cho các phương trình xuất hình học vi phân phương trình chuyển động mặt, phương trình mặt cực tiểu,… TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] M G Crandall, H Ishii, P L Lions, User’s guide to viscosity solutions of second order partial differential equations, Bull Amer Math Soc 1[27], 1992 [2] M G Crandall, P L Lions, The maximum principle for semicontinuous functions, Diff Int Equ [3], 1990 [3] R Jensen, The maximum principle for viscosity solutions of fully nonlinear second order partial differential equations, Arch Rat Mech Anal [101], 1988 Lop12.net (6)