Phân Tích: Trong các dữ kiện của bài toán, ta thấy điểm “có lợi” để khai thác nhất là B BBD và xB >0 Nếu tìm được NB hoặc MB thì sẽ tìm được B.. Biết đường thẳng.[r]
(1)TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC –CAO ĐẲNG CHUYÊN ĐỀ TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Giaùo Vieân: Nguyeãn Vaên Thieän vanthienbmt@gmail.com (2) MỤC LỤC Phần 1: Tổng hợp các kiến thức .01 I Hệ tọa độ 01 II Hệ thức lượng tam giác- đường tròn 02 III Phương trình đường thẳng 03 IV Phương trình đường tròn 05 V Phương trình đường Elip 05 VI Phương trình đường Hypebol 05 VII Phương trình đường Parabol 06 Phần 2: Những bài toán 07 Bài toán 1: Lập phương trình đường thẳng 07 Bài toán 2: Vị trí tương đối hai đường thẳng 07 Bài toán 3: Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng 08 Bài toán 4: Góc hai đường thẳng 09 Bài toán 5: Các bài toán dựng tam giác 09 Bài toán 6: Xác định tâm và bán kính đường tròn 10 Bài toán 7: Lập phương trình đường tròn 10 Bài toán 8: Vị trí tương đối đường thẳng d và đường tròn (C) .11 Bài toán 9: Vị trí tương đối hai đường tròn (C1) và (C2) 11 Bài toán 10: Tiếp tuyến đường tròn (C) 12 Bài toán 14: Xác định các yếu tố (H) 13 Bài toán 15: Lập phương trình chính tắc (H) 13 Bài toán 16: Tìm điểm trên (H) thoả mãn điều kiện cho trước .13 (3) Bài toán 17: Xác định các yếu tố (P) .13 Bài toán 18: Lập phương trình chính tắc (P) 14 Bài toán 19: Tìm điểm trên (P) thoả mãn điều kiện cho trước 14 Bài toán 20: Tập hợp điểm 14 Bài tập áp dụng 15 Phần 3: Các bài toán trọng điểm mặt phẳng Oxy 19 Bài toán 1: Tìm M thuộc đường thẳng d đã biết phương trình và cách điểm I khoảng cho trước (IM=R không đổi) 19 Bài toán 1.1: Cho biết M thuộc đường thẳng và điểm I Độ dài đoạn IM đề không cho Cần dựa vào các kiện bài toán để tính độ dài đoạn IM 19 Bài toán 1.2: Cho biết M cách I khoảng không đổi Cần dựa vào kiện bài toán để viết phương trình đường chứa M 24 Bài toán 1.3: Kết hợp bài toán 1.1 và bài toán 1.2 Dựa vào kiện bài toán cần: Tính độ dài MI (với I đã biết) và viết phương trình đường qua M 26 Bài toán 1.4: Tìm điểm M gián tiếp thông qua điểm khác thuộc bài toán .28 Bài tập vận dụng: 31 Bài toán 2: Tìm M thuộc đường thẳng d và cách đường thẳng d’ khoảng không đổi 39 Bài tập vận dụng: 41 (4) Bài toán 3: Tìm M thuộc đường thẳng d cho tam giác MAB là tam giác đăc biệt (vuông, cân, hai cạnh có quan hệ độ dài, ….) .42 Bài tập vận dụng: 46 Bài toán 4: Tìm M thuộc đường thẳng d và thoả điều kiện cho trước (mở rộng bài toán 1, 2, 3) .48 Bài tập vận dụng: 51 Bài toán 5: Tìm M dựa vào hệ thức vectơ .52 Bài toán 5.1 Tìm toạ độ M liên hệ với hai (ba) điểm cho trước qua hệ thức vectơ MA =kMB 52 Bài toán 5.2 Tìm toạ độ hai điềm M, N thuộc hai đường thẳng d1, d và liên hệ với điểm thứ ba cho trước qua hệ thức vectơ 54 Bài tập vận dụng: 57 Bài toán 6: Viết phương trình đường thẳng 60 Bài toán 6.1 Viết phương trình đường thẳng d qua điểm, cách điểm cho trước khoảng không đổi 60 Bài toán 6.2 Viết phương trình đường thẳng d qua điểm, tạo với đường thẳng cho trước góc không đổi 62 Bài tập vận dụng: 66 Bài toán 6.3 Viết phương trình đường thẳng d biết phương đường thẳng và d cách điểm cho trước khoảng không đổi 70 Bài toán 6.4 Viết phương trình đường thẳng d biết phương đường thẳng và thoả mãn điều kiện cho trước 71 Bài tập vận dụng: 73 (5) Bài toán 7: Tìm điểm dựa vào trung tuyến, đường cao, trung trực tam giác 74 Bài tập vận dụng: 76 Bài toán 8: Tìm điểm dựa vào phân giác (ngoài) tam giác 78 Bài tập vận dụng: 81 Bài toán 9: Tìm điểm thuộc (E) thoả điều kiện cho trước; Viết phương trình chính tắc (E) 84 Bài tập vận dụng: 86 Bài toán 10: Cho hai đường tròn C1 và C2 cắt hai điểm A, B Viết phương trình đường thẳng AB 88 Bài tập vận dụng: 90 Phần 4: Phát triển từ các bài toán hình học phẳng túy 91 Phần : Bài tập tổng hợp 98 (6) PHẦN 1: TỔNG HỢP KIẾN THỨC CƠ BẢN I HỆ TOẠ ĐỘ Hệ trục toạ độ - toạ độ vectơ – toạ độ điểm Hệ gồm hai trục toạ độ Ox, Oy vuông góc với Vectơ đơn vị trên Ox, Oy lần lượt là i , j O là gốc toạ độ, Ox là trục hoành, Oy là trục tung Toạ độ vectơ hệ trục toạ độ: u ( x; y ) u x.i y j Toạ độ điểm hệ trục toạ độ: M ( x; y ) OM x.i y j Tính chất: Cho a ( x; y ), b ( x ; y ), k R , A( x A ; y A ), B ( xB ; y B ), C ( xC ; yC ) : x x + a b ( x x; y y ) + ka ( kx; ky ) + a b y y k R: x kx vào y ky + b cùng phương với a + AB ( xB x A ; yB y A ) x y (nếu x 0, y 0) x y x A xB y yB ; yI A 2 x xB xC y y B yC + Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC: xG A ; yG A 3 x kxB y ky B + Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k 1: xM A ; yM A 1 k k ( M chia đoạn AB theo tỉ số k MA k MB ) Góc hai vectơ Cho a , b Từ điểm O bất kì vẽ OA a , OB b Khi đó a , b AOB với 00 AOB 1800 + Toạ độ trung điểm I đoạn thẳng AB: xI Chú ý: a b A + a , b = 90 a b a O + a , b = a , b cùng hướng b B + a , b = 180 a , b ngược hướng + a , b b , a Tích vô hướng hai vectơ Định nghĩa: a.b a b cos a , b 2 a.a a a Đặc biệt: Tính chất: Với a , b , c bất kì và kR, ta có: + a.b b a ; a b c a.b a.c ; ka b k a.b a kb ; a 0; a2 a + a b a 2a.b b ; a b a 2a.b b ; a b a b a b Nếu cần file đầy đủ, xin liên hệ vanthienbmt@gmail.com Trang (7) + a.b > a , b nhọn + a.b < a , b tù a.b = a , b vuông Biểu thức toạ độ củatích vô hướng a.b a1b1 a2b2 Cho a = (a1, a2), b = (b1, b2) Khi đó: a1b1 a2b2 ; a b a1b1 a2b2 a a12 a22 ; cos(a , b ) a12 a22 b12 b22 Cho A( x A ; y A ), B ( xB ; y B ) Khi đó: AB ( xB x A ) ( y B y A ) II HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC – ĐƯỜNG TRÒN A TRONG TAM GIÁC VUÔNG Cho ABC vuông A, AH là đường cao A BC AB AC (định lí Pi–ta–go) AB BC.BH , AC BC CH 1 B H C AH BH CH , 2 AH AB AC AH BC AB AC b a.sin B a.cos C c tan B c cot C ; c a.sin C a.cos B b tan C b cot C B TRONG ĐƯỜNG TRÒN T Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định B Từ M vẽ hai cát tuyến MAB, MCD A R PM/(O) = MA.MB MC.MD MO R M O Nếu M ngoài đường tròn, vẽ tiếp tuyến MT C PM/(O) = MT MO R D C TRONG TAM GIÁC BẤT KÌ Cho ABC có: – độ dài các cạnh: BC = a, CA = b, AB = c – độ dài các đường trung tuyến vẽ từ các đỉnh A, B, C: ma, mb, mc – độ dài các đường cao vẽ từ các đỉnh A, B, C: ha, hb, hc – bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác: R, r – nửa chu vi tam giác: p – diện tích tam giác: S Định lí côsin a b2 c2 2bc.cos A ; b2 c2 a2 2ca.cos B ; c a b 2ab.cos C a b c 2R Định lí sin sin A sin B sin C 2(b c ) a 2(a c ) b 2(a b ) c 2 2 Độ dài trung tuyến ma ; mb ; mc 4 1 1 1 Diện tích tam giác: S = aha bhb chc = bc sin A ca sin B ab sin C 2 2 2 abc = = pr = p ( p a)( p b)( p c) (công thức Hê–rông) 4R Giải tam giác là tính các cạnh và các góc tam giác biết số yếu tố cho trước Trang Nếu cần file đầy đủ, xin liên hệ vanthienbmt@gmail.com (8) III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Vectơ phương đường thẳng Vectơ u đgl vectơ phương đường thẳng giá nó song song trùng với Nhận xét:– Nếu u là VTCP thì ku (k 0) là VTCP – Một đường thẳng hoàn toàn xác định biết điểm và VTCP Vectơ pháp tuyến đường thẳng Vectơ n đgl vectơ pháp tuyến đường thẳng giá nó vuông góc với Nhận xét: – Nếu n là VTPT thì kn (k 0) là VTPT – Một đường thẳng hoàn toàn xác định biết điểm và VTPT – Nếu u là VTCP và n là VTPT thì u n Phương trình tham số đường thẳng Cho đường thẳng qua M ( x0 ; y0 ) và có VTCP u (u1; u2 ) x x0 tu1 Phương trình tham số : (1) ( t là tham số) y y tu x x0 tu1 Nhận xét: – M(x; y) t R: y y tu , 900 + k = tan, với = xAv – Gọi k là hệ số góc thì: u + k = , với u1 u1 Phương trình chính tắc đường thẳng Cho đường thẳng qua M ( x0 ; y0 ) và có VTCP u (u1; u2 ) x x0 y y0 Phương trình chính tắc : (2) (u1 0, u2 0) u1 u2 Chú ý: Trong trường hợp u1 = u2 = thì đường thẳng không có phương trình chính tắc Phương trình tham số đường thẳng PT ax by c với a b đgl phương trình tổng quát đường thẳng Nhận xét: – Nếu có phương trình ax by c thì có: VTPT là n (a; b) và VTCP u ( b; a) u (b; a) – Nếu qua M ( x0 ; y0 ) và có VTPT n (a; b) thì phương trình là: a( x x0 ) b( y y0 ) Các trường hợp đặc biệt: Các hệ số Phương trình đường thẳng Tính chất đường thẳng c=0 ax by qua gốc toạ độ O a=0 by c // Ox Ox // Oy Oy b=0 ax c Nếu cần file đầy đủ, xin liên hệ vanthienbmt@gmail.com Trang (9) qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b 0): Phương trình : x y a b (phương trình đường thẳng theo đoạn chắn) qua điểm M ( x0 ; y0 ) và có hệ số góc k: Phương trình : y y0 k ( x x0 ) (phương trình đường thẳng theo hệ số góc) Vị trí tương đối hai đường thẳng Cho hai đường thẳng 1: a1 x b1 y c1 và 2: a2 x b2 y c2 a x b1 y c1 Toạ độ giao điểm 1 và 2 là nghiệm hệ phương trình: (1) a x b y c 2 a b 1 cắt 2 hệ (1) có nghiệm (nếu a2 , b2 , c2 ) a2 b2 a b c 1 // 2 hệ (1) vô nghiệm (nếu a2 , b2 , c2 ) a2 b2 c2 a b c 1 2 hệ (1) có vô số nghiệm (nếu a2 , b2 , c2 ) a2 b2 c2 Góc hai đường thẳng Cho hai đường thẳng 1: a1 x b1 y c1 (có VTPT n1 (a1; b1 ) ) và 2: a2 x b2 y c2 (có VTPT n2 ( a2 ; b2 ) ) ( n1 , n2 ) ( n1, n2 ) 900 (1, ) ( n1 , n2 ) 900 180 ( n1 , n2 ) n1.n2 a1b1 a2b2 cos(1 , ) cos(n1 , n2 ) n1 n2 a b a b2 1 2 1 2 a1a2 b1b2 Cho 1: y k1x m1 , 2: y k2 x m2 thì: + 1 // 2 k1 = k2 + 1 2 k1 k2 = –1 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Cho đường thẳng : ax by c và điểm M ( x0 ; y0 ) ax by0 c d ( M , ) a2 b2 Vị trí tương đối hai điểm đường thẳng Cho đường thẳng : ax by c và hai điểm M ( xM ; yM ), N ( xN ; y N ) – M, N nằm cùng phía (axM byM c )( axN by N c ) – M, N nằm khác phía (axM byM c )( axN by N c ) Phương trình các đường phân giác các góc tạo hai đường thẳng Cho hai đường thẳng 1: a1 x b1 y c1 và 2: a2 x b2 y c2 cắt Phương trình các đường phân giác các góc tạo hai đường thẳng 1 và 2 là: a1 x b1 y c1 a x b2 y c2 a12 b12 a22 b22 Chú ý: Trang Nếu cần file đầy đủ, xin liên hệ vanthienbmt@gmail.com (10) IV PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Phương trình đường tròn Phương trình đường tròn có tâm I(a; b) và bán kính R: ( x a )2 ( y b)2 R Nhận xét: Phương trình x y 2ax 2by c , với a b c , là phương trình đường tròn tâm I(–a; –b), bán kính R = a b c Phương trình tiếp tuyến đường tròn Cho đường tròn (C) có tâm I, bán kính R và đường thẳng tiếp xúc với (C) d ( I , ) R V PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP Định nghĩa Cho F1, F2 cố định với F1F2 2c (c > 0) M ( E ) MF1 MF2 2a (a > c) F1, F2: các tiêu điểm, F1F2 2c : tiêu cự Phương trình chính tắc elip x2 y (a b 0, b a c ) a b Toạ độ các tiêu điểm: F1 (c;0), F2 (c;0) Với M(x; y) (E), MF1 , MF2 đgl các bán kính qua tiêu điểm M c c MF1 a x, MF2 a x a a Hình dạng elip (E) nhận các trục toạ độ làm các trục đối xứng và gốc toạ độ làm tâm đối xứng Toạ độ các đỉnh: A1 ( a;0), A2 ( a;0), B1 (0; b), B2 (0; b) Độ dài các trục: trục lớn: A1 A2 2a , trục nhỏ: B1B2 2b c Tâm sai (E): e (0 < e < 1) a Hình chữ nhật sở: tạo các đường thẳng x a, y b (ngoại tiếp elip) Đường chuẩn elip (chương trình nâng cao) a Phương trình các đường chuẩn i ứng với các tiêu điểm Fi là: x e MF1 MF2 Với M (E) ta có: e (e < 1) d ( M , 1 ) d ( M , ) VI PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG HYPEBOL Định nghĩa Cho F1, F2 cố định với F1F2 2c (c > 0) M ( H ) MF1 MF2 2a F1, F2: các tiêu điểm, F1F2 2c : tiêu cự Phương trình chính tắc hypebol (a < c) Nếu cần file đầy đủ, xin liên hệ vanthienbmt@gmail.com Trang (11) x2 y2 (a, b 0, b c a ) a b Toạ độ các tiêu điểm: F1 (c;0), F2 (c;0) Với M(x; y) (H), MF1 , MF2 đgl các bán kính qua tiêu điểm M MF1 a c c x , MF2 a x a a Hình dạng hypebol (H) nhận các trục toạ độ làm các trục đối xứng và gốc toạ độ làm tâm đối xứng Toạ độ các đỉnh: A1 ( a;0), A2 (a;0) Độ dài các trục: trục thực: 2a, trục ảo: 2b c e (e > 1) Tâm sai (H): a Hình chữ nhật sở: tạo các đường thẳng x a, y b b Phương trình các đường tiệm cận: y x a Đường chuẩn hypebol a Phương trình các đường chuẩn i ứng với các tiêu điểm Fi là: x e MF1 MF2 e (e < 1) Với M (H) ta có: d ( M , 1 ) d ( M , ) VII PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG PARABOL Định nghĩa Cho điểm F và đường thẳng không qua F M ( P ) MF d ( M , ) F: tiêu điểm, : đường chuẩn, p d ( F , ) : tham số tiêu y px Phương trình chính tắc parabol Toạ độ tiêu điểm: (p > 0) p F ;0 2 Phương trình đường chuẩn: : x p Với M(x; y) (P), bán kính qua tiêu điểm M là MF x p Hình dạng parabol (P) nằm phía bên phải trục tung (P) nhận trục hoành làm trục đối xứng Toạ độ đỉnh: O (0;0) Tâm sai: e = Trang Nếu cần file đầy đủ, xin liên hệ vanthienbmt@gmail.com (12) PHẦN 2: NHỮNG BÀI TOÁN CƠ BẢN BÀI TOÁN 1: Lập phương trình đường thẳng Để lập phương trình tham số và phương trình chính tắc đường thẳng ta cần xác định điểm M ( x0 ; y0 ) và VTCP u (u1; u2 ) x x0 tu1 x x0 y y0 (u1 0, u2 PTTS : ; PTCT : u1 u2 y y0 tu2 0) Để lập phương trình tổng quát đường thẳng ta cần xác định điểm M ( x0 ; y0 ) và VTPT n (a; b) PTTQ : a( x x0 ) b( y y0 ) Một số bài toán thường gặp: + qua hai điểm A( x A ; y A ) , B ( xB ; y B ) (với x A xB , y A y B ): x xA y yA PT : xB x A y B y A x y + qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b 0): PT : a b + qua điểm M ( x0 ; y0 ) và có hệ số góc k: PT : y y0 k ( x x0 ) Chú ý: Ta có thể chuyển đổi các phương trình tham số, chính tắc, tổng quát đường thẳng Để tìm điểm M đối xứng với điểm M qua đường thẳng d, ta có thể thực sau: Cách 1: – Viết phương trình đường thẳng qua M và vuông góc với d – Xác định I = d (I là hình chiếu M trên d) – Xác định M cho I là trung điểm MM Cách 2: Gọi I là trung điểm MM Khi đó: MM u d (sử dụng toạ độ) M đối xứng M qua d I d Để viết phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng , ta có thể thực sau: – Nếu d // : + Lấy A d Xác định A đối xứng với A qua + Viết phương trình đường thẳng d qua A và song song với d – Nếu d = I: + Lấy A d (A I) Xác định A đối xứng với A qua + Viết phương trình đường thẳng d qua A và I Để viết phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng d qua điểm I, ta có thể thực sau: – Lấy A d Xác định A đối xứng với A qua I – Viết phương trình đường thẳng d qua A và song song với d BÀI TOÁN 2: Vị trí tương đối hai đường thẳng Cho hai đường thẳng 1: a1 x b1 y c1 và 2: a2 x b2 y c2 Nếu cần file đầy đủ, xin liên hệ vanthienbmt@gmail.com Trang (13) Toạ độ giao điểm 1 và 2 là nghiệm hệ phương trình: a1x b1 y c1 (1) a x b y c 2 a b 1 cắt 2 hệ (1) có nghiệm (nếu a2 , b2 , c2 ) a2 b2 a b c 1 // 2 hệ (1) vô nghiệm (nếu a2 , b2 , c2 ) a2 b2 c2 a1 b1 c1 (nếu a2 , b2 , c2 ) a2 b2 c2 Để chứng minh ba đường thẳng đồng qui, ta có thể thực sau: – Tìm giao điểm hai ba đường thẳng – Chứng tỏ đường thẳng thứ ba qua giao điểm đó 1 2 hệ (1) có vô số nghiệm BÀI TOÁN 3: Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Cho đường thẳng : ax by c và điểm M ( x0 ; y0 ) d ( M , ) ax0 by0 c a2 b2 Vị trí tương đối hai điểm đường thẳng Cho đường thẳng : ax by c và hai điểm M ( xM ; yM ), N ( xN ; y N ) – M, N nằm cùng phía (axM byM c )( axN by N c ) – M, N nằm khác phía (axM byM c )( axN by N c ) Phương trình các đường phân giác các góc tạo hai đường thẳng Cho hai đường thẳng 1: a1 x b1 y c1 và 2: a2 x b2 y c2 cắt Phương trình các đường phân giác các góc tạo hai đường thẳng 1 và 2 là: a1 x b1 y c1 a x b2 y c2 a12 b12 a22 b22 Chú ý: Để lập phương trình đường phân giác ngoài góc A tam giác ABC ta có thể thực sau: Cách 1: – Tìm toạ độ chân đường phân giác ngoài (dựa vào tính chất đường phân giác góc tam giác) Cho ABC với đường phân giác AD và phân giác ngoài AE (D, E AB AB BC) ta có: DB DC , EB EC AC AC – Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm Cách 2: – Viết phương trình các đường phân giác d1, d2 các góc tạo hai đường thẳng AB, AC – Kiểm tra vị trí hai điểm B, C d1 (hoặc d2) + Nếu B, C nằm khác phía d1 thì d1 là đường phân giác + Nếu B, C nằm cùng phía d1 thì d1 là đường phân giác ngoài Trang Nếu cần file đầy đủ, xin liên hệ vanthienbmt@gmail.com (14) BÀI TOÁN 4: Góc hai đường thẳng Cho hai đường thẳng 1: a1 x b1 y c1 (có VTPT n1 (a1; b1 ) ) và 2: a2 x b2 y c2 (có VTPT n2 ( a2 ; b2 ) ) ( n1 , n2 ) ( n1, n2 ) 900 (1, ) ( n1 , n2 ) 900 180 ( n1 , n2 ) n1.n2 a1b1 a2b2 cos(1 , ) cos(n1 , n2 ) n1 n2 a12 b12 a22 b22 Chú ý: 00 , 900 1 2 a1a2 b1b2 Cho 1: y k1x m1 , 2: y k2 x m2 thì: + 1 2 k1 k2 = –1 + 1 // 2 k1 = k2 Cho ABC Để tính góc A ABC, ta có thể sử dụng công thức: AB AC cos A cos AB, AC AB AC BÀI TOÁN 5: Các bài toán dựng tam giác Đó là các bài toán xác định toạ độ các đỉnh phương trình các cạnh tam giác biết số yếu tố tam giác đó Để giải loại bài toán này ta thường sử dụng đến các cách dựng tam giác Sau đây là số dạng: Dạng 1: Dựng tam giác ABC, biết các đường thẳng chứa cạnh BC và hai đường cao BB, CC Cách dựng: – Xác định B = BC BB, C = BC CC – Dựng AB qua B và vuông góc với CC – Dựng AC qua C và vuông góc với BB – Xác định A = AB AC Dạng 2: Dựng tam giác ABC, biết đỉnh A và hai đường thẳng chứa hai đường cao BB, CC Cách dựng: – Dựng AB qua A và vuông góc với CC – Dựng AC qua A và vuông góc với BB – Xác định B = AB BB, C = AC CC Dạng 3: Dựng tam giác ABC, biết đỉnh A và hai đường thẳng chứa hai đường trung tuyến BM, CN Cách dựng: – Xác định trọng tâm G = BM CN – Xác định A đối xứng với A qua G (suy BA // CN, CA // BM) – Dựng dB qua A và song song với CN – Dựng dC qua A và song song với BM – Xác định B = BM dB, C = CN dC Dạng 4: Dựng tam giác ABC, biết hai đường thẳng chứa hai cạnh AB, AC và trung điểm M cạnh BC Cách dựng: – Xác định A = AB AC – Dựng d1 qua M và song song với AB Nếu cần file đầy đủ, xin liên hệ vanthienbmt@gmail.com Trang (15) – Dựng d2 qua M và song song với AC – Xác định trung điểm I AC: I = AC d1 – Xác định trung điểm J = AB d2 AB: J – Xác định B, C cho JB AJ , IC AI Cách khác: Trên AB lấy điểm B, trên AC lấy điểm C cho MB MC BÀI TOÁN 6: Xác định tâm và bán kính đường tròn Nếu phương trình đường tròn (C) có dạng: ( x a )2 ( y b)2 R thì (C) có tâm I(a; b) và bán kính R Nếu phương trình đường tròn (C) có dạng: x y 2ax 2by c a b2 c thì – Biến đổi đưa dạng ( x a )2 ( y b)2 R – Tâm I(–a; –b), bán kính R = a b2 c BÀI TOÁN 7: Lập phương trình đường tròn Để lập phương trình đường tròn (C) ta thường cần phải xác định tâm I (a; b) và bán kính R (C) Khi đó phương trình đường tròn (C) là: ( x a )2 ( y b)2 R Dạng 1: (C) có tâm I và qua điểm A – Bán kính R = IA Dạng 2: (C) có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng – Bán kính R = d ( I , ) Dạng 3: (C) có đường kính AB – Tâm I là trung điểm AB AB – Bán kính R = Dạng 4: (C) qua hai điểm A, B và có tâm I nằm trên đường thẳng – Viết phương trình đường trung trực d đoạn AB – Xác định tâm I là giao điểm d và – Bán kính R = IA Dạng 5: (C) qua hai điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng – Viết phương trình đường trung trực d đoạn AB I d – Tâm I (C) thoả mãn: d ( I , ) IA – Bán kính R = IA Dạng 6: (C) qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng điểm B – Viết phương trình đường trung trực d đoạn AB – Viết phương trình đường thẳng qua B và vuông góc với – Xác định tâm I là giao điểm d và – Bán kính R = IA Dạng 7: (C) qua điểm A và tiếp xúc với hai đường thẳng 1 và 2 d ( I , 1) d ( I , ) (1) – Tâm I (C) thoả mãn: (2) d ( I , 1) IA – Bán kính R = IA Trang 10 Nếu cần file đầy đủ, xin liên hệ vanthienbmt@gmail.com (16) – Muốn bỏ dấu GTTĐ (1), ta xét dấu miền mặt phẳng định hay xét dấu khoảng cách đại số từ A đến 1 và 2 – Nếu 1 // 2, ta tính R = d ( 1, ) , và (2) thay bới IA = R Dạng 8: (C) tiếp xúc với hai đường thẳng 1, 2 và có tâm nằm trên đường thẳng d d ( I , 1) d ( I , ) – Tâm I (C) thoả mãn: I d – Bán kính R = d ( I , 1 ) Dạng 9: (C) qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C (đường tròn ngoại tiếp tam giác) Cách 1: – Phương trình (C) có dạng: x y 2ax 2by c (*) – Lần lượt thay toạ độ A, B, C vào (*) ta hệ phương trình – Giải hệ phương trình này ta tìm a, b, c phương trình (C) IA IB Cách 2: – Tâm I (C) thoả mãn: IA IC – Bán kính R = IA = IB = IC Dạng 10: (C) nội tiếp tam giác ABC – Viết phương trình hai đường phân giác hai góc tam giác – Xác định tâm I là giao điểm hai đường phân giác trên – Bán kính R = d ( I , AB ) Chú ý: 1 và 2 BÀI TOÁN 8: Vị trí tương đối đường thẳng d và đường tròn (C) Để biện luận số giao điểm đường thẳng d: Ax By C và đường tròn (C): x y 2ax 2by c , ta có thể thực sau: Cách 1: So sánh khoảng cách từ tâm I đến d với bán kính R – Xác định tâm I và bán kính R (C) – Tính khoảng cách từ I đến d + d ( I , d ) R d cắt (C) hai điểm phân biệt + d ( I , d ) R d tiếp xúc với (C) + d ( I , d ) R d và (C) không có điểm chung Cách 2: Toạ độ giao điểm (nếu có) d và (C) là nghiệm hệ phương trình: Ax By C (*) 2 x y 2ax 2by c + Hệ (*) có nghiệm d cắt (C) hai điểm phân biệt + Hệ (*) có nghiệm d tiếp xúc với (C) + Hệ (*) vô nghiệm d và (C) không có điểm chung BÀI TOÁN 9: Vị trí tương đối hai đường tròn (C1) và (C2) Để biện luận số giao điểm hai đường tròn (C1): x y 2a1x 2b1 y c1 , (C2): x y 2a2 x 2b2 y c2 ta có thể thực sau: Cách 1: So sánh độ dài đoạn nối tâm I1I2 với các bán kính R1, R2 Nếu cần file đầy đủ, xin liên hệ vanthienbmt@gmail.com Trang 11 (17) + R1 R2 I1I R1 R2 (C1) cắt (C2) điểm + + I1I R1 R2 I1I R1 R2 (C1) tiếp xúc ngoài với (C2) (C1) tiếp xúc với (C2) (C1) và (C2) ngoài (C1) và (C2) Cách 2: Toạ độ các giao điểm (nếu có) (C1) và (C2) là nghiệm hệ phương trình: x y 2a1x 2b1 y c1 (*) 2 x y 2a2 x 2b2 y c2 + Hệ (*) có hai nghiệm (C1) cắt (C2) điểm + Hệ (*) có nghiệm (C1) tiếp xúc với (C2) + Hệ (*) vô nghiệm (C1) và (C2) không có điểm chung + + I1I R1 R2 I1I R1 R2 BÀI TOÁN 10: Tiếp tuyến đường tròn (C) Cho đường tròn (C) có tâm I, bán kính R và đường thẳng tiếp xúc với (C) d ( I , ) R Dạng 1: Tiếp tuyến điểm M ( x0 ; y0 ) (C) – qua M ( x0 ; y0 ) và có VTPT IM Dạng 2: Tiếp tuyến có phương cho trước – Viết phương trình có phương cho trước (phương trình chứa tham số t) – Dựa vào điều kiện: d ( I , ) R , ta tìm t Từ đó suy phương trình Dạng 3: Tiếp tuyến vẽ từ điểm A( x A ; y A ) ngoài đường tròn (C) – Viết phương trình qua A (chứa tham số) – Dựa vào điều kiện: d ( I , ) R ,ta tìm các tham số.Từ đó suy pt BÀI TOÁN 11: Xác định các yếu tố (E) x2 y Đưa phương trình (E) dạng chính tắc: Xác định a, b, c a b Các yếu tố: – Độ dài trục lớn 2a, trục nhỏ 2b – Tiêu cự 2c – Toạ độ các tiêu điểm F1 (c;0), F2 (c;0) – Toạ độ các đỉnh A1 ( a;0), A2 ( a;0), B1 (0; b), B2 (0; b) c – Tâm sai e a a – Phương trình các đường chuẩn x e BÀI TOÁN 12: Lập phương trình chính tắc (E) Để lập phương trình chính tắc (E) ta cần xác định độ dài các nửa trục a, b (E) Chú ý: Công thức xác định các yếu tố (E): c + b2 a c + Các tiêu điểm F1 (c;0), F2 (c;0) + e a Trang 12 Nếu cần file đầy đủ, xin liên hệ vanthienbmt@gmail.com (18) + Các đỉnh: A1 ( a;0), A2 ( a;0), B1 (0; b), B2 (0; b) BÀI TOÁN 13: Tìm điểm trên (E) thoả mãn điều kiện cho trước Chú ý các công thức xác định độ dài bán kính qua tiêu điểm điểm M(x; y) (E): c c MF1 a x, MF2 a x a a BÀI TOÁN 14: Xác định các yếu tố (H) x2 y Đưa phương trình (H) dạng chính tắc: Xác định a, b, c a b Các yếu tố: – Độ dài trục thực 2a, trục ảo 2b – Tiêu cự 2c – Toạ độ các tiêu điểm F1 (c;0), F2 (c;0) – Toạ độ các đỉnh A1 ( a;0), A2 (a;0) c – Tâm sai e a b – Phương trình các đường tiệm cận: y x a a – Phương trình các đường chuẩn x e BÀI TOÁN 15: Lập phương trình chính tắc (H) Để lập phương trình chính tắc (H) ta cần xác định độ dài các nửa trục a, b (H) Chú ý: Công thức xác định các yếu tố (H): c + e + b2 c2 a + Các tiêu điểm F1 (c;0), F2 (c;0) a + Các đỉnh: A1 ( a;0), A2 (a;0) BÀI TOÁN 16: Tìm điểm trên (H) thoả mãn điều kiện cho trước Chú ý: Các công thức xác định độ dài bán kính qua tiêu điểm điểm M(x; y) (H): c c MF1 a x , MF2 a x a a Nếu M thuộc nhánh phải thì x a c c MF1 x a , MF2 x a (MF1 > MF2) a a Nếu M thuộc nhánh trái thì x – a c c MF1 x a , MF2 x a (MF1 < MF2) a a BÀI TOÁN 17: Xác định các yếu tố (P) Đưa phương trình (P) dạng chính tắc: y px Xác định tham số tiêu p Nếu cần file đầy đủ, xin liên hệ vanthienbmt@gmail.com Trang 13 (19) p – Toạ độ tiêu điểm F ;0 2 Các yếu tố: – Phương trình đường chuẩn : x p BÀI TOÁN 18: Lập phương trình chính tắc (P) Để lập phương trình chính tắc (P) ta cần xác định tham số tiêu p (P) Chú ý: Công thức xác định các yếu tố (P): p p – Phương trình đường chuẩn : x – Toạ độ tiêu điểm F ;0 2 BÀI TOÁN 19: Tìm điểm trên (P) thoả mãn điều kiện cho trước Chú ý: Công thức xác định độ dài bán kính qua tiêu điểm điểm M(x; y) (P): p MF x BÀI TOÁN 20: Tập hợp điểm Tập hợp các tâm đường tròn Để tìm tập hợp các tâm I đường tròn (C), ta có thể thực sau: a) Tìm giá trị m để tồn tâm I x f (m) b) Tìm toạ độ tâm I Giả sử: I y g ( m ) c) Khử m x và y ta phương trình F(x; y) = d) Giới hạn: Dựa vào điều kiện m a) để giới hạn miền x y e) Kết luận: Phương trình tập hợp điểm là F(x; y) = cùng với phần giới hạn d) Tập hợp điểm là đường tròn Thực tương tự trên Tập hợp điểm là Elip Để tìm tập hợp các điểm M(x; y) thoả điều kiện cho trước, ta đưa các dạng: Dạng 1: MF1 MF2 2a Tập hợp là elip (E) có hai tiêu điểm F1, F2, trục lớn 2a x2 y2 (a > b) Tập hợp là elip (E) có độ dài trục lớn 2a, trục nhỏ 2b a b2 Tập hợp điểm là Hypebol Dạng 2: MF1 MF2 2a Tập hợp là hypebol (H) có hai tiêu điểm F1, F2, trục 2a x2 y Dạng 2: Tập hợp là hypebol (H) có độ dài trục thực 2a, trục ảo 2b a b Tập hợp điểm là Parabol Dạng 1: thực Dạng 1: MF d ( M , ) Tập hợp là (P) có tiêu điểm F p Dạng 2: y px Tập hợp là (P) có tiêu điểm F ;0 2 Trang 14 Nếu cần file đầy đủ, xin liên hệ vanthienbmt@gmail.com (20) Bài tập áp dụng: Bài Lập PTTS, PTTQ các đường thẳng qua điểm M và có VTCP u : a) M(–2; 3) , u (5; 1) b) M(–1; 2), u ( 2;3) c) M(3; –1), u ( 2; 5) Bài Lập PTTS, PTTQ các đường thẳng qua điểm M và có VTPT n : a) M(–2; 3) , n (5; 1) b) M(–1; 2), n ( 2;3) c) M(3; –1), n ( 2; 5) Bài Lập PTTS, PTTQ các đường thẳng qua điểm M và có hsg k: a) M(–3; 1), k = –2 b) M(–3; 4), k = c) M(5; 2), k = Bài Lập PTTS, PTTQ các đường thẳng qua hai điểm A, B: a) A(–2; 4), B(1; 0) b) A(5; 3), B(–2; –7) c) A(3; 5), B(3; 8) Bài Viết PTTS, PTTQ các đường thẳng qua điểm M và song song với đường thẳng d: a) M(2; 3), d: x 10 y b) M(–1; 2), d Ox c) M(4; 3), d Oy x 2t x 1 y d) M(2; –3), d: e) M(0; 3), d: 2 y 4t Bài Viết PTTS, PTTQ các đường thẳng qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d: a) M(2; 3), d: x 10 y b) M(–1; 2), d Ox c) M(4; 3), d Oy x 2t x 1 y e) M(0; 3), d: d) M(2; –3), d: 2 y 4t Bài Cho tam giác ABC Viết phương trình các cạnh, các đường trung tuyến, các đường cao tam giác với: a) A(2; 0), B(2; –3), C(0; –1) b) A(1; 4), B(3; –1), C(6; 2) c) A(–1; –1), B(1; 9), C(9; 1) d) A(4; –1), B(–3; 2), C(1; 6) Bài Cho tam giác ABC, biết phương trình ba cạnh tam giác Viết phương trình các đường cao tam giác, với: AB : x y 0, BC : x y 0, CA : x y Bài Viết phương trình các cạnh và các trung trực tam giác ABC biết trung điểm các cạnh BC, CA, AB là các điểm M, N, P, với: 3 5 5 7 a) M(–1; –1), N(1; 9), P(9; 1) b) M ; , N ; , P (2; 4) 2 2 2 2 Bài 10 Tìm hình chiếu điểm M lên đường thẳng d và điểm M đối xứng với M qua đường thẳng d với: a) M(2; 1), d : x y b) M(3; – 1), d : x y 30 Bài 11 Lập phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng , với: a) d : x y 0, : x y b) d : x y 0, : x y Bài 12 Lập phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng d qua điểm I, với: a) d : x y 0, I (2;1) b) d : x y 0, I (3;0) Bài 13 Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d, với: a) M (4; 5), d : x y b) M (3;5), d : x y x 2t x y 1 c) M (4; 5), d : d) M (3;5), d : y 3t Nếu cần file đầy đủ, xin liên hệ vanthienbmt@gmail.com Trang 15 (21) Bài 14 a) Cho đường thẳng : x y Tính bán kính đường tròn tâm I(–5; 3) và tiếp xúc với b) Cho hình chữ nhật ABCD có phương trình cạnh là: x y 0, 3x y và đỉnh A(2; –3) Tính diện tích hình chữ nhật đó c) Tính diện tích hình vuông có đỉnh nằm trên đường thẳng song song: d1 : x y và d : x y 13 Bài 15 Cho tam giác ABC Tính diện tích tam giác ABC, với: a) A(–1; –1), B(2; –4), C(4; 3) b) A(–2; 14), B(4; –2), C(5; –4) Bài 16 Viết phương trình đường thẳng d song song và cách đường thẳng khoảng k, với: x 3t b) : ,k 3 a) : x y 0, k y t c) : y 0, k d) : x 0, k Bài 17 Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng và cách điểm A khoảng k, với: a) : 3x y 12 0, A(2;3), k b) : x y 0, A(2;3), k c) : y 0, A(3; 5), k d) : x 0, A(3;1), k Bài 18 Viết phương trình đường thẳng qua A và cách B khoảng d, với: a) A(–1; 2), B(3; 5), d = b) A(–1; 3), B(4; 2), d = c) A(5; 1), B(2; –3), d = d) A(3; 0), B(0; 4), d = Bài 19 Tính góc hai đường thẳng: a) x y 0, x y 11 b) x y 0, x y c) x y 26 0, x y 13 d) x y 0, x y 11 Bài 20 Tính số đo các góc tam giác ABC, với: a) A(–3; –5), B(4; –6), C(3; 1) b) A(1; 2), B(5; 2), C(1; –3) c) AB : x y 21 0, BC : x y 0, CA : 3x y d) AB : x y 12 0, BC : x y 24 0, CA : 3x y Bài 21 Cho hai đường thẳng d và Tìm m để góc hai đường thẳng đó , với: a) d : 2mx (m 3) y 4m 0, : (m 1) x (m 2) y m 0, 450 b) d : (m 3) x (m 1) y m 0, : ( m 2) x ( m 1) y m 0, 900 Bài 22 Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A và tạo với đường thẳng góc , với: a) A(6;2), : x y 0, 450 b) A(2;0), : x y 0, 450 c) A(2;5), : x y 0, 600 d) A(1;3), : x y 0, 300 Bài 23 Cho hình vuông ABCD có tâm I(4; –1) và phương trình cạnh là x y a) Viết phương trình hai đường chéo hình vuông b) Tìm toạ độ đỉnh hình vuông Bài 24 Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình đường tròn Tìm tâm và bán kính đường tròn đó: Trang 16 Nếu cần file đầy đủ, xin liên hệ vanthienbmt@gmail.com (22) a) x y x y b) x y x y 12 c) x y x y d) x y x e) 16 x 16 y 16 x y 11 f) x y x y g) x y x 12 y 11 h) x y x y 10 Bài 25 Tìm m để các phương trình sau là phương trình đường tròn: a) x y 4mx 2my 2m b) x y 2(m 1) x 2my 3m Bài 26 Viết phương trình đường tròn có tâm I và qua điểm A, với: a) I(2; 4), A(–1; 3) b) I(–3; 2), A(1; –1) c) I(–1; 0), A(3; –11) d) I(1; 2), A(5; 2) Bài 27 Viết phương trình đường tròn có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng , với: a) I (3; 4), : x y 15 b) I (2;3), : x 12 y c) I (3;2), Ox d) I (3; 5), Oy Bài 28 Viết phương trình đường tròn có đường kính AB, với: a) A(–2; 3), B(6; 5) b) A(0; 1), C(5; 1) c) A(–3; 4), B(7; 2) d) A(5; 2), B(3; 6) Bài 29 Viết phương trình đường tròn qua hai điểm A, B và có tâm I nằm trên đường thẳng , với: a) A(2;3), B (1;1), : x y 11 b) A(0;4), B(2;6), : x y Bài 30 Viết phương trình đường tròn qua hai điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng , với: a) A(1;2), B (3;4), : x y b) A(6;3), B (3;2), : x y c) A(1; 2), B(2;1), : x y d) A(2;0), B (4;2), Oy Bài 31 Viết phương trình đường tròn qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng điểm B, với: a) A(2;6), : x y 15 0, B (1; 3) b) A(2;1), : 3x y 0, B(4;3) c) A(6; 2), Ox, B (6;0) d) A(4; 3), : x y 0, B(3;0) Bài 32 Viết phương trình đường tròn qua điểm A và tiếp xúc với hai đường thẳng 1 và 2, với: a) A(2;3), 1 : x y 0, : x y b) A(1;3), 1 : x y 0, : x y c) A O (0;0), 1 : x y 0, : x y d) A(3; 6), 1 Ox, Oy Bài 33 Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng 1, 2 và có tâm nằm trên đường thẳng d, với: a) 1 : x y 0, : x y 15 0, d : x y b) 1 : x y 0, : x y 0, d : x y Bài 34 Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, với: a) A(2; 0), B(0; –3), C(5; –3) b) A(5; 3), B(6; 2), C(3; –1) c) A(1; 2), B(3; 1), C(–3; –1) d) A(–1; –7), B(–4; –3), C O(0; 0) Bài 35 Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC, với: a) A(2; 6), B(–3; –4), C(5; 0) b) A(2; 0), B(0; –3), C(5; –3) c) AB : x y 21 0, BC : x y 0, CA : x y Nếu cần file đầy đủ, xin liên hệ vanthienbmt@gmail.com Trang 17 (23) Bài 36 Cho đường tròn (C) và đường thẳng d i) Viết phương trình các tiếp tuyến (C) các giao điểm (C) với các trục toạ độ ii) Viết phương trình tiếp tuyến (C) vuông góc với d iii) Viết phương trình tiếp tuyến (C) song song với d a) (C ) : x y x y 0, d : x y b) (C ) : x y x y 0, d : x y Bài 37 Cho đường tròn (C), điểm A và đường thẳng d i) Chứng tỏ điểm A ngoài (C) ii) Viết phương trình tiếp tuyến (C) kẻ từ A iii) Viết phương trình tiếp tuyến (C) vuông góc với d iv) Viết phương trình tiếp tuyến (C) song song với d a) (C ) : x y x y 12 0, A(7;7), d : 3x y b) (C ) : x y x y 10 0, A(2; 2), d : x y Trang 18 Nếu cần file đầy đủ, xin liên hệ vanthienbmt@gmail.com (24) PHẦN 3: CÁC BÀI TOÁN TRỌNG ĐIỂM TRONG MẶT PHẲNG Oxy BÀI TOÁN Tìm M thuộc đường thẳng d đã biết phương trình và cách điểm I khoảng cho trước (IM=R không đổi) VÍ DỤ GỐC: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm I 5; và đường thẳng Δ : x y Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng Δ cho MI 17 Cách 1: M d M t ; IM t M ĐS: M 1;5 M ; 5 Cách 2: MI → M thuộc đường tròn tâm I bán kính R=5 M là giao điểm đường thẳng và đường tròn → M BÀI TOÁN 1.1: Cho biết M thuộc đường thẳng và điểm I Độ dài đoạn IM đề không cho Cần dựa vào các kiện bài toán để tính độ dài đoạn IM Ví dụ (D – 2006): Trong mặt phẳng tọa độ C : x y x y và đường thẳng Oxy , cho đường tròn d : x y Tìm tọa độ điểm M nằm trên d cho đường tròn tâm M , có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn C , tiếp xúc ngoài với đường tròn C HD: Điểm M thuộc đường thẳng d M t Từ (C) tâm I và bán kính R ta có IM=3R M ĐS: M 1; M 2;1 Ví dụ (A – 2011): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng Δ : x y và đường tròn C : x y x y Gọi I là tâm C , M là điểm thuộc Δ Qua M kẻ các tiếp tuyến MA và MB đến C ( A, B là các tiếp điểm) Tìm tọa độ điểm M , biết tứ giác MAIB có diện tích 10 Hướng dẫn: Từ (C) tâm I và bán kính R Từ tứ giác MAIB có diện tích 10 diện tích tam giác MBI Có BI MB, mà M t M ĐS: M 2; 4 M 3;1 Nếu cần file đầy đủ, xin liên hệ vanthienbmt@gmail.com Trang 19 (25) 1 2 Ví dụ (B – 2002): Cho hình chữ nhật BC có tâm I ; , phương trình đường thẳng AB là x y và AB AD Tìm tọa độ các điểm A, B, C , D biết A có hoành độ âm Hướng dẫn: B thuộc đường thẳng AB B t và I là trung điểm BD D t Ta có AD=2d(I,AB) t Cách 2: AD=2d(I,AB)=2IH Tính IA=IB, từ đó A, B là giao điểm đường thẳng AB và đường tròn tâm I, bán kính R=IA ĐS: A 2; , B 2; , C 3; , D 1; 2 Ví dụ (B – 2009 – NC): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân A có đỉnh A 1; và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng Δ : x y Xác định tọa độ các đỉnh B và C , biết diện tích tam giác ABC 18 Hướng dẫn: Từ diện tích tam giác ABC BC AB AC Ta có B, C là giao điểm 3 5 11 đường thẳng với đường tròn tâm A bán kính AB ĐS: B ; , C ; 2 2 2 11 C ; , B ; 2 2 2 Ví dụ 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD , có BD nằm trên đường thẳng có phương trình x y , điểm M 1; thuộc đường thẳng AB , điểm N 2; 2 thuộc đường thẳng AD Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD biết điểm B có hoành độ dương Phân Tích: Trong các kiện bài toán, ta thấy điểm “có lợi” để khai thác là B (BBD và xB >0) Nếu tìm NB MB thì tìm B Ta tính MH=d(M,BD) để tìm B (vì MHB vuông cân H) Từ đó A(2;2); B(1;2); C(1;1), D(2;1) Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD vuông A và D , có AB AD CD , điểm B 1; , đường thẳng BD có phương trình y Biết đường thẳng Δ : x y 25 cắt các đoạn thẳng AD, CD hai điểm M , N cho BM vuông Trang 20 Nếu cần file đầy đủ, xin liên hệ vanthienbmt@gmail.com (26) góc với BC và tia BN là tia phân giác MBC Tìm tọa độ điểm D biết D có hoành độ dương Phân Tích: Với kiện bài toán, ta thấy DBD nên tính DB thì ta tìm B Vì đã biết pt nên ta nghĩ đến tính d(B,) và tìm mối liên kết đại lượng này với BD Với giả thiết còn lại và phương pháp hình học túy ta có thể chứng minh BH=d(B,CD)=d(B,) Từ đó ta tính độ dài BD Ví dụ (A, A1 – 2012 – CB): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD Gọi M là trung điểm cạnh BC , N là điểm trên cạnh CD cho CN ND Giả sử 11 M ; và AN có phương trình x y Tìm tọa độ điểm A 2 Phân Tích: A AN Điểm M biết tọa độ nên tính AM thì tìm A.Ta gắn AM vào AMH vuông H với AH=d(M,AN) Ta cần tìm thêm yếu tố cạnh góc AMH là tính AM Vì các cạnh và góc A AMH có liên quan đến cạnh và góc hình vuông nên ta tính cot A tan DAN BAM cosA(bằng đlí côsin) Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng Δ1 : 3x y , Δ2 : x y và đường tròn C : x y x 10 y Gọi M là điểm thuộc đường tròn C và N là điểm thuộc đường thẳng Δ1 cho M và N đối xứng với qua Δ2 Tìm tọa độ điểm N Phân Tích: Điểm N1 đã biết pt, ta cần tìm thêm yếu tố liên quan đến N Để ý đến các điểm đã biết giả thiết, đường tròn (C) có tâm I(3;-5), biết NI thì tìm N Song đây tìm NI phức tạp, vì ta tìm điểm khác mà việc tính khoảng cách từ đó đến N đơn giản Trong bài toán có chứa yếu tố đối xứng (M,N đối xứng qua 2 ), điều đó gợi cho ta nghĩ đến điểm I’ đối xứng với I qua 2 và điểm này hoàn toàn xác định, từ đó ta có NI’=MI=R=5 Nếu cần file đầy đủ, xin liên hệ vanthienbmt@gmail.com Trang 21 (27) Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông A 1; có góc ABC 300 , đường thẳng Δ : x y là tiếp tuyến B đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tìm tọa độ các điểm B và x y , biết B có hoành độ là số hữu tỉ Phân Tích: Ở đây, B thuộc và A đã biết tọa độ Do đó, tính độ dài AB ta tìm B Khi đã tìm B ta viết phương trình BC và AC C Ví dụ 10 Cho hình thoi ABCD , ngoại tiếp đường tròn C : x y x y 18 Biết AC BD , điểm B có hoành độ dương và thuộc đường thẳng Δ : x y Viết phương trình cạnh A, B Phân Tích: Ở đây, B thuộc và I là tâm đường tròn (C)đã biết tọa độ,do đó tính độ dài BI ta tìm B Khi đã tìm B, ta chuyển bài toán viết phương trình đường thẳng AB qua điểm B và cách I khoảng R Ví dụ 11 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có E , F thuộc các đoạn AB, AD cho EB EA, FA 3FD, F 2;1 và tam giác CEF vuông F Biết đường thẳng x y qua hai điểm C , E Tìm tọa độ điểm C biết C có hoành độ dương Phân Tích: C CE đã biết phương trình và F đã biết tọa độ.điều đó gợi ý cho ta tính độ dài CF Với kiện EB=2EA, FA=3FD và CEF vuông F ta tìm mối liên hệ hai cạnh hình chữ nhật Song ta thiếu kiện định lượng Ta tính d(F,CE) là yếu tố ẩn đề Thông số này giúp ta tính độ dài CF Ví dụ 12 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD vuông A và D có đáy lớn CD và BCD 450 Đường thẳng AD và BD có phương trình x y và x y Viết phương trình đường thẳng BC biết diện tích hình thang 15 và điểm B có tung độ dương Phân Tích:B BD và yB>0 giúp ta nghĩ đến tìm B trước D coi đã biết, ta tính độ dài BD Ở đây cho SABCD=15(*), Trang 22 Nếu cần file đầy đủ, xin liên hệ vanthienbmt@gmail.com (28) mà SABCD phụ thuộc và AB, AD và CD nên (*) chứa tới ẩn Ta cần giảm số ẩn (*), muốn phải tìm mối liên hệ AB, AD và CD Vậy ta phải khai thác kiện số liệu cụ thể bài toán Dữ kiện cho BCD 450 và AD, BD đã biết phương trình nên ta nghĩ đến tính góc AD và BD từ đó các tam giác ABD và BCD vuông cân biểu diễn AD,BD theo AB BD Khi tìm B pt BC BC BD Ví dụ 13: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thang cân ABCD có hai đường chéo vuông góc với và AD 3BC Đường thẳng BD có phương trình x y và tam giác ABD có trực tâm là H 3; Tìm tọa độ các đỉnh C và D Phân Tích: Với yêu cầu bài toán, ban đầu ta tự hỏi “ C và D ta tìm điểm nào trước? DBD, CAC có thể viết phương trình! Khi đó I=BD∩AC xác định Ta cần tìm thêm kiên “có lợi” cho C và D” Do ABCD là hình thang cân nên IB=IC BCI 450 BCH là tam giác cân B I là trung điểm HC Nghĩa là ta tìm C trước Lúc này các kiện chưa khai thác là BC//AD và AD=3BC, từ đây ta nghĩ đến định lí talet và suy DI=3BI=3IH Khi đó ta tìm D Ví dụ 14: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông A , điểm B 1;1 Trên tia BC lấy điểm M cho BM BC 75 Phương trình đường thẳng AC : x y 32 Tìm tọa độ điểm x y biết bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABCD 5 Phân Tích:Ta có A là hình chiếu B lên AC nên coi đã biết Dữ kiện BM.BC=75gợi cho ta nghĩ đến tam giác đồng dạng và tứ giác nội tiếp Trong bài toán lại có yếu tố bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MAC, để khai thác kiện này ta dựng thêm điểm D cho ACMD nội tiếp, việc này giúp ta khai thác tất các thông số trên Sau dựng D ta phân tích các số liệu bài toán để tính độ dài AC từ đó tìm C 2 Ví dụ 15: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn T : x 1 y và đường thẳng Δ : x y Từ điểm A thuộc Δ kẻ hai đường thẳng tiếp xúc với T B và C Tìm tọa độ điểm A biết diện tích tam giác ABC Nếu cần file đầy đủ, xin liên hệ vanthienbmt@gmail.com Trang 23 (29) Phân Tích: Biết I(1;2) cố định và A ta tính độ dài AI Dữ kiện SABC=8 cho phép ta làm điều này Vấn đề là làm biểu diễn SABC qua IA BÀI TOÁN 1.2: Cho biết M cách I khoảng không đổi Cần dựa vào kiện bài toán để viết phương trình đường chứa M Ví dụ (B – 2005): Cho hai điểm A 2; và B 6; Viết phương trình đường tròn C tiếp xúc với trục hoành điểm A và khoảng cách từ tâm C đến điểm B Phân Tích: Muốn viết phương trình (C) cần tìm tọa độ tâm I và bán kính R=IA I cách B khoảng không đổi Đường tròn (C) tiếp xúc với Ox A I thuộc đường thẳng qua A và vuông góc với Ox Ví dụ (B – 2009 – CB): Cho đường tròn C : x y và hai đường thẳng J 2;1 và ABC Xác định tọa độ tâm K và bán kính đường tròn C1 ; biết đường tròn C1 tiếp xúc với các đường thẳng AC và tâm K thuộc đường tròn C Phân Tích: (C1) tiếp xúc với 1, K thuộc đường phân giác góc tạo và K C KI=R Ví dụ (B – 2012 – CB): Cho đường tròn C1 : x y 4, C2 : x y 12 x 18 và đường thẳng d : x y Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc C2 , tiếp xúc với ABC và cắt C1 hai điểm phân biệt A và B cho AB vuông góc với d Phân Tích: Ta cần:Xác định I và tính bán kính R Xác định I:AB d II1//d phương trình II1 I (C2) II2=R2 R=d(I,d) Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn T có tâm I 0;5 Đường thẳng AI cắt đường tròn T điểm Trang 24 M 5; với M khác A Đường cao kẻ từ đỉnh C cắt đường tròn T Nếu cần file đầy đủ, xin liên hệ vanthienbmt@gmail.com (30) 17 N ; với N khác C Tìm tọa độ các đỉnh tam giác ABC , biết B có hoành độ 5 dương Phân Tích: Vẫn câu hỏi “Thứ tự tìm các điểm?” Do I là trung điểm AM tìm A đầu tiên Tiếp đến là B (vì xB>0) IB=IM nên ta cần thêm kiện cho B tạo mối liên hệ điểm B với các số liệu đã biết bài toán M, N đã biết và việc vẽ hình chính xác cho ta dự đoán IB MN Nếu có điều này ta viết phương trình IB và tìm B Ta chứng minh IB MN C đối xứng với B qua AM Ví dụ 5: Cho đường tròn C : x y Viết phương trình chính tắc elip E có độ dài trục lớn và E cắt C bốn điểm phân biệt tạo thành bốn đỉnh hình vuông Phân Tích: Cần tìm a, b (E) có độ dài trục lớn a=4 (E) cắt (C) điểm phân biệt là đỉnh hình vuông đỉnh nằm trên hai đường phân giác góc phần tư thứ và thứ hai Ta giả sử A nằm trên đường thẳng y=x Ta tìm A vì AO=R (A (C)) Mà A(E) b phương trình (E) 2 Ví dụ (D – 2013 – NC): Cho đường tròn C : x 1 y 1 và đường thẳng Δ : y Tam giác MNP có trực tâm trùng với tâm C , các đỉnh N và P thuộc Δ , đỉnh M và trung điểm cạnh MN thuộc C Tìm tọa độ điểm P Phân Tích: M thuộc đường thẳng qua I và vuông góc với và MI=R=2 M N(t) K(t) KI=R=2 t N MP NI và qua M P=MP ∩ Ví dụ Cho đường tròn C : x 2 y 2 Cho C : x y 12 và AB là đường kính thay đổi đường tròn C ' và M là điểm di động trên đường tròn C Tìm tọa độ các điểm M , A, B cho diện tích tam giác MAB lớn Nếu cần file đầy đủ, xin liên hệ vanthienbmt@gmail.com Trang 25 (31) Phân Tích: M (C) MI=R nên ta cần M thuộc đường thẳng nào thì tìm M Với điều kiện để SMAB lớn ta tìm điều này BÀI TOÁN 1.3: Kết hợp bài toán 1.1 và bài toán 1.2 Dựa vào kiện bài toán cần: Tính độ dài MI (với I đã biết) và viết phương trình đường qua M Ví dụ 1: Cho đường tròn C : x y x y 20 và điểm A 4; Gọi d là tiếp tuyến A C Viết phương trình đường thẳng Δ qua tâm I C và Δ cắt d M cho tam giác AIM có diện tích 25 và M có hoành độ dương Phân Tích: Cần tìm tọa độ M d qua A và vuông góc với IA M d SAIM=25 MA Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có diện tích 2, đường thẳng qua A và B có phương trình x y Tìm tọa độ trung điểm M AC biết I 2;1 là trung điểm BC Phân Tích: SABC = 2SABI =AB.d(I,AB) AB IM//AB và qua I phương trình IM AB=2IM từ đó M BAC 900 Biết M 1; 1 là trung điểm Ví dụ (B-2003): Cho tam giác ABC có AB AC , 2 cạnh BC và G ; là trọng tâm tam giác ABC Tìm tọa độ các đỉnh 3 A, B, C Phân tích: Do G là trọng tâm nên AM 3GM A Khi đó B, C thuộc đường thẳng qua M và vuông góc với AM và MB=MC=MA 3 Ví dụ (D-2013-CB): Cho tam giác ABC có điểm M ; là trung điểm cạnh 2 AB , điểm H 2; và điểm I 1;1 là chân đường cao kẻ từ B và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tìm tọa độ điểm C Phân tích: Nếu ta biết tọa độ điểm A thì ta tìm tọa độ điểm C (CAH, CI=AI) Vậy ta phải tìm tọa độ A A AB và AM=MH A C Trang 26 Nếu cần file đầy đủ, xin liên hệ vanthienbmt@gmail.com (32) Ví dụ 5: Cho các điểm A 10;5 , B 15; 5 và D 20; là các đỉnh hình thang cân ABCD đó AB song song với CD Tìm tọa độ đỉnh C Phân tích: Ở ví dụ này ta có thể tìm C theo hai cách: Cách 1: C thuộc đường thẳng qua D và song song với AM ABCD là hình thang cân nên CB=AB Kiểm tra điều kiện BC khồn song song với AD và kết luận Cách 2: Gọi I, J là trung điểm AB và CD phương trình IJ và tọa độ J J là trung điểm CD C Ví dụ 6.: Cho hình thoi ABCD có tâm I 3;3 và AC BD 4 13 Điểm M 2; thuộc đường thẳng AB , điểm N 3; thuộc 3 3 đường thẳng CD Viết phương trình đường chéo BD biết đỉnh B có tung độ nguyên Phân tích: Nếu tìm B ta viết phương trình BD Ta khai thác tính chất đối xứng hình thoi để tìm điểm N’ thuộc AB đối xứng với N qua I Khi đó AB qua M,N’ phương trình AB Ta khai thác kiện AC=2BD để tính IB Từ đóB Ví dụ (D-2010-CB): Cho tam giác ABC có đỉnh A 3; 7 , trực tâm là H 3; 1 , tâm đường tròn ngoại tiếp là I 2; Xác định tọa độ đỉnh C biết C có hoành độ dương Phân tích: Ta cần tìm tọa độ C CI=IA Nếu viết phương trình BC ta tìm C Lúc này việc viết phương trình BC cần biết thêm kiện Ở đây ta có thể tìm hình chiếu D I trên CB chân đường cao kẻ từ A lên BC Ví dụ 8: Cho hai điểm A 1; , B 4;3 Tìm tọa độ điểm M cho 10 MAB 1350 và khoảng cách từ M đến đường thẳng AB Nếu cần file đầy đủ, xin liên hệ vanthienbmt@gmail.com Trang 27 (33) Phân tích: Vì MA qua A và hợp với đường thẳng AB góc 450 nên ta viết phương trình MA Do d(M,AB) đã biết nên ta tính MA Từ đó tìm M Ví dụ 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có các cạnh AB và AD 2 tiếp xúc với đường tròn T có phương trình x y 3 Đường chéo AC cắt 16 23 đường tròn T hai điểm M , N Biết M ; , trục tung chứa điểm N và không 5 song song với AD ; diện tích tam giác ADI 10 và điểm A có hoành độ âm và nhỏ hoành độ D Tìm tọa độ các đỉnh hình chữ nhật ABCD Phân tích: Với kiện A có hoành độ âm gợi ý cho ta tìm tọa độ A trước Nghĩa là ta tìm và khai thác các kiện “có lợi” cho A Ta nhận thấy Oy ∩(T)=N phương trình AC Vì AB,AD tiếp xúc với (T) AI Từ đó ta có A Dữ kiện SADI=10 và AD không vuông góc với trục tung gợi ý cho ta tìmđiểm là D AD qua A và cách I khoảng R phương trình AD SADI=AD.d(I,AD)=10 Từ đó D Ví dụ 10 (Khối A, A1-2014): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có điểm M là trung điểm AB và N là điểm thuộc AC cho AN=3NC Viết phương trình đường thẳng CD , biết M(1;2) và N(2;-1) Phân tích: Yêu cầu bài toán viết phương trình CD giúp ta hướng tới việc gắn kết các kiện các yếu tố liên quan tới đường thẳng CD Việc bài toán cho M, N và AN=3NC hướng ta nghĩ đến việc ta tìm điểm E (E=MN ∩ CD) Lúc này tìm thêm điểm trên CD thì bài toán giải Nhờ bài toán ta nghĩ đến tìm điểm D cách chứng minh tam giác MND vuông cân N từ đó suy D BÀI TOÁN 1.4: Tìm điểm M gián tiếp thông qua điểm khác thuộc bài toán Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ, cho đường tròn C : x y x y 20 và hai đường thẳng d1 : x y 0, d : x y Lập phương trình đường thẳng Δ tiếp xúc với đường tròn C A cắt Oxy d1 , d B và C cho B là trung điểm đoạn thẳng AC Trang 28 Nếu cần file đầy đủ, xin liên hệ vanthienbmt@gmail.com (34) Phân tích: Như cách tư thông thường đẻ viết phương trình đường thẳng , ta nghĩ đến việc tìm điểm mà di qua cùng với vecto pháp tuyến phương nó Lúc này có lựa chọn là điểm A, B C Song điểm trên chưa biêt tọa độ Vậy câu hỏi là “Tìm tọa độ điểm nào?” Ta nhận thấy hai điểm B, C có lợi là thuộc đường thẳng đã biết phương trình, lại không có thêm kiện nào liên quan Nghĩa là việc tìm B, C gặp “khó khăn” Chỉ còn lựa chọn là điểm A Có vẻ hợp lí vì tìm A ta tìm vector pháp tuyến là IA và suy phương trình Thế tìm điểm A cách nào? Với kiện bài toán ta có IA=R=5 Vậy việc tìm điểm A trực tiếp gặp trở ngại Khi đứng trước tình này, kinh nghiệm là hãy chú ý tới các thông số, kiện đề bài, có thể đó chứa ẩn yếu tố đặc biệt giúp ta tháo gỡ “nút thắt” Nhận thấy có hai yếu tố khá đặc biệt là tâm I thuộc d2 và d2//d1 Nghĩa là JB là đường trung bình tam giác AIC với J=d1 ∩ IA J là trung điểm IA nên tìm J thì có A Ta có J d1 và IJ=R/2 Đến đây ta đã có lời giải Ví dụ (A – 2010 – CB): Cho hai đường thẳng d1 : x y và d : 3x y Gọi T là đường tròn tiếp xúc với d1 A , cắt d hai điểm B và C cho tam giác ABC vuông B Viết phương trình đường tròn (T) biết tam giác ABC có diện tích và điểm A có hoành độ dương Phân tích:Như ta đã biết, để viết phương trình đường tròn ta cần biết tâm I và bán kính R Với bài toán này xác định I thì tính R Vậy tìm I cách nào? I AC chưa biết phương trình Như việc tìm trực tiếp không khả thi Lúc này ta nghĩ đến tìm gián tiếp thông qua các điểm có mối liên hệ với nó Với kiện tam giác ABC vuông B I là trung điểm AC nên tìm A ta tìm C (C=AC ∩d2) và từ đó suy I Nếu cần file đầy đủ, xin liên hệ vanthienbmt@gmail.com Trang 29 (35) 1 2 Ví dụ (B – 2011 – NC): Cho tam giác ABC có đỉnh B ;1 Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC , CA, AB tương ứng các điểm D, E , F Cho D 3;1 và đường thẳng EF có phương trình y Tìm tọa độ đỉnh A , biết A có tung độ dương Phân tích: Ta nhận thấy A nằm trên AB, AC, AD Như lúc này việc tìm điểm A có thể theo hướng: Hướng 1: Nếu viết phương trình đường trên và tính độ dài AB AD Hướng 2: Nếu biết phương trình đường trên Để chọn hướng thích hợp ta cần phân tích các kiện bài toán Với các số liệu bài toán ta thấy hướng không khả thi, vì việc tính độ dài AB, AD gặp khó khăn Lúc này ta nghĩ đến giải pháp thứ Điểm B và D đã biết tọa độ nên ta nghĩ đến việc viết phương trình AB và AD Phân tích chi tiết số liệu bài toán ta thấy BD//EF từ đó ta chứng minh ABC cân A AD AB nên viết phương trình AD Để viết AB ta cần đến điểm F Ta có F EF và FB=BD Đến đây ta đã có lời giải Bình luận: Qua bài toán chúng ta phần nào tầm quan trọng và tính hiệu nó việc giải các bài toán tìm điểm và các bài toán khác Nó giúp ta biết đặt câu hỏi vào các đối tượng và các kiện đề bài mà ta cần định hướng để giải bài toán Nếu biết cách khai thác, “làm chủ” bài toán này, là ta đã có tay công cụ đơn giản khá hiệu việc giải các bài toán tọa độ mặt phẳng Tuy nhiên chúng ta còn nhiều công cụ khác nữa, Ta tiếp tục tìm hiểu thông qua bài toán Trang 30 Nếu cần file đầy đủ, xin liên hệ vanthienbmt@gmail.com (36)