Phương pháp tọa độ trong không gian cực hay

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn[r]

CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN

PHẦN I: CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN

Trong không gian xét hệ trục Oxyz, có trục Ox vng góc với trục Oy O, trục Oz vng góc với mặt phẳng (Oxy) O Các vectơ đơn vị trục Ox, Oy, Oz i, j, k  

I TỌA ĐỘ ĐIỂM

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz:

1 M x ; y ; z M M MOMx iMy j z kM M

2 Cho A x ; y ; z A A A B x ; y ; z B B B

Ta có: ABxBx ; yA By ; zA BzA AB xBxA2yByA2zBzA2

3 M trung điểm AB M xA xB;yA yB;zA zB

2 2

  

 

 

 

II TỌA ĐỘ CỦA VÉCTƠ: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz aa ; a ; a1 2 3aa i a j a k1 2 3

2 Cho aa ; a ; a1 3



b b ; b ; b1 2 3 ta có:



1

2

3

a b

a b a b

a b

  

  

 



 

 a ba1b ; a1 2b ; a2 3b3

 a.b  a b cos a, b     a b1 1a b2 2a b3 3

 2

1

a  a a a

   1 2 3

2 2 2

1 3

a b a b a b cos cos a, b

a a a b b b

 

  

   

 

(với a  0, b0)  a b vng góc a.b 0a b1 1a b2 2a b3 3 0

Tích có hướng aa ; a ; a1 2 3 bb ; b ; b1 2 3 là:

 

2 3 1

2 3 1 2

2 3 1

a a a a a a

a, b ; ; a b a b ; a b a b ; a b a b

b b b b b b

 

      

 

 

 

a b phương

1

2

3

a kb

k : a kb a kb

a kb   

     

 



  

1 Tính chất

a, b a, a, b b

   

   

     

  a, b a b sin a, b

  

 

     

a b phương a, b 0

a, b, c   đồng phẳng a, b c 0

 

  

2 Các ứng dụng tích có hướng:

Diện tích tam giác: SABC AB, AC

2  

  

Thể tích tứ diện VABCD AB, AC AD

6  



 

  

Thể tích khối hộp:

ABCD.A 'B'C 'D'

V  AB, AD AA '  

IV PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

1 Mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) bán kính R có phương trình là:

 2  2  2

x a  y b  z c R

2 Phương trình: x2y2z22ax2by 2cz d  0 với a2b2c2 d

là phương trình mặt cầu tâm I a; b; c , bán kính R A2B2C2D

3 Vị trí tương đối mặt phẳng   mặt cầu (S):

 d I,   R   không cắt mặt cầu (S)  d I,   R   tiếp xúc mặt cầu (S)

1 Nếu M chia đoạn AB theo tỉ số k MAkMB ta có:

A B A B A B

M M M

x kx y ky z kz

x ; y ; z

1 k k k

  

  

   với k1

2 G trọng tâm tam giác ABC

A B C A B C A B C

G G G

x x x y y y z z z

x ; y ; z

3 3

     

   

3 G trọng tâm tứ diện ABCD GA GB GC GD       0

VI MẶT PHẲNG

Định nghĩa: Trong không gian Oxyz phương trình dạng AxBy Cz D0 với A2B2C2 0 gọi

là phương trình tổng quát mặt phẳng

 Phương trình mặt phẳng  P : Ax By Cz D   0 với A2B2C2 0 Có vectơ pháp tuyến

 

n  A; B; C

 Mặt phẳng (P) qua điểm M0x ; y ; z0 0 0 nhận vectơ n A; B; C , n  0 làm véctơ pháp tuyến có dạng  P : A x x0B y y0C z z  00

 Nếu (P) có cặp vectơ aa ; a ; a1 2 3, bb ; b ; b1 2 3 khơng phương, có giá song song nằm (P) Thì véctơ pháp tuyến (P) xác định na, b 

1 Các trường hợp riêng mặt phẳng:

Trong không gian Oxyz cho mp  : AxBy Cz D0, với A2B2C2 0 Khi đó:

 D0   qua gốc tọa độ

 A0; B0; C0; D0   song song với trục Ox  A0; B0; C0; D0khi   song song mp(Oxy)  A, B, C, D0 Đặt a D, b D, c D

A B C

      Khi  :x y z

a b c

   

2 Vị trí tương đối hai mặt phẳng

Trong khơng gian Oxyz cho   : AxBy Cz D0  ' : A ' xB ' y C ' z D '  0    cắt  ' A : B : CA ' : B ' : C '

Đặc biệt:       ' n n 1 2 0A.A ' B.B ' C.C '  0 VII ĐƯỜNG THẲNG

Định nghĩa: Phương trình tham số đường thẳng  qua điểm M0x ; y ; z0 0 0 có véctơ phương  3

a a ; a ; a , a 0

 

0

0

0

x x a t y y a t t z z a t

            

Nếu a1, a2, a3 khác không Phương trình đường thẳng  viết dạng tắc sau:

0 0

1

x x y y z z

a a a

  

 

1 Vị trí tương đối hai đường thẳng:

Chương trình Chương trình nâng cao

1) Vị trí tương đối hai đường thẳng

Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng

' '

0

0

' '

0 2

' '

0 3

x x a t ' x x a t

d : y y a t d ' : y y a t '

z z a t z z a t '

                     

d có vtcp u qua M0 d' có vtcp u ' qua

M '

 u, u '  phương 

0 u ku ' d / /d '

M d '            u ku ' d d '

M d '           

 u, u '  không phương

' '

0 1

' '

0 2

' '

0 3

x a t x a t ' y a t y a t ' z a t z a t '

              (1)

 d chéo d'  Hệ phương trình (1) vơ nghiệm  d cắt d'  Hệ phương trình (1) có

1) Vị trí tương đối hai đường thẳng

Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng

' '

0

0

' '

0 2

' '

0 3

x x a t ' x x a t

d : y y a t d ' : y y a t '

z z a t z z a t '

                     

d có vtcp u qua M0 d' có vtcp u ' qua

M '

    

0

u, u ' 0 d / / d '

M d '

                

u, u ' 0 d d '

M d '

            

 (d) cắt (d')

' 0 u, u '

u, u ' M M

                  

 (d) chéo (d') u, u ' M M 0 '0 0

2 Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng

Phương pháp Phương pháp

Trong không gian Oxyz cho   : AxBy Cz D0

và

0

0

0

x x a t d : y y a t z z a t

 

 

 



   

Phương trình

       

A x a t B y a t C z a t D0 1  PT(1) vơ nghiệm d / / 

 PT(1) có nghiệm d cắt    PT(1) có vơ số nghiệm d thuộc  

Đặc biệt:    d   a, n  phương

Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d qua  0 0

M x ; y ; z có vtcp aa ; a ; a1 2 3   : Ax By Cz D   0 có vtpt

 

n  A; B; C

 (d) cắt   a.n  0

    

  a.n 0 d / /

M

 

   

  



 

 (d) nằm  

  a.n 0 mp

M

 

   

  



 

3 Khoảng cách:

 Khoảng cách từ M x ; y ; z 0 0đến mặt phẳng   : Ax By Cz D   0 cho công thức

  0

0 2 2

Ax By Cz D

d M ,

A B C

  

 

 Khoảng cách từ M đến đường thẳng (d) Phương pháp 1:

Lập phương trình mp  qua M vng góc với d

Tìm tọa độ giao điểm H mp  d

 

d M, d MH

 Khoảng cách hai đường chéo Phương pháp 1:

d qua M x ; y ; z 0 0; có vtcp aa ; a ; a1 3



d' qua M ' x ' ; y ' ; z ' 0 0 0; vtcp a 'a ' ; a ' ; a '1 2 3

Lập phương trình mp  chứa d song song với d'

    

d d, d ' d M ', 

 Khoảng cách từ M đến đường thẳng (d) Phương pháp 2:

(d qua M0 có vtcp u)

  M M, u0 d M,

u

 

 

 

  

 Khoảng cách hai đường chéo Phương pháp 2:

d qua M x ; y ; z 0 0 0; có vtcp aa ; a ; a1 2 3

d' qua M ' x ' ; y ' ; z ' 0 0 0; vtcp a 'a ' ; a ' ; a '1 2 3

  a, a ' MM ' d , '

a, a '

 

 

  

 

 

    

1 Kiến thức bổ sung

 Gọi  góc hai mặt phẳng 00   900

 P : Ax By Cz D   0  Q : A ' xB 'y C'z D'  0   P Q

P Q 2 2 2 2 2 2

P Q

n n A.A ' B.B ' C.C ' cos cos n , n

n n A B C A ' B ' C '

 

   

   

   

 

 Góc hai đường thẳng

  qua M x ; y ; z 0 0 0; có vtcp aa ; a ; a1 2 3

 ' qua M ' x ' ; y ' ; z ' 0 0 0; vtcp a 'a ' ; a ' ; a '1 2 3

  1 2 3

2 2 2

1 3

a.a ' a a ' a a ' a a ' cos cos a, a '

a a ' a a a a ' a ' a '

 

   

   

   

 

 Góc đường thẳng mặt phẳng

Gọi  góc hợp   mp  :  

2 2 2

1

Aa Ba Ca sin cos a, n

A B C a a a

 

  

   

 

PHẦN II: BÀI TẬP

Ví dụ 1: Trong khơng gian Oxyz cho mặt phẳng  P : x   y z 0 hai điểm A 1; 3; , B 5; 1; 2       Tìm tọa độ điểm M mặt phẳng (P) cho MA MB đạt giá trị lớn ?

A M 2; 3;3 B M 2; 3; 2 C M 2; 3; 6 D M 2; 3; 0 Lời giải

Kiểm tra thấy A B nằm khác phía so với mặt phẳng (P): xAyAzA1 x  ByBzB10

Gọi B ' x; y; z  điểm đối xứng với B 5; 1; 2    Suy B ' 1; 3; 4

Lại có MA MB  MA MB ' AB 'const

Vậy MA MB đạt giá trị lớn M, A, B' thẳng hàng hay M giao điểm đường thẳng AB' với mặt phẳng (P)

AB' có phương trình

x 1 t

y 3

z 2t    

      

Tọa độ M x; y; z  nghiệm hệ

x 1 t t 3

y 3 x 2

z 2t y 3

x y z 0 z 6

   

 

     

 



 

   

 

      

 

Vậy điểm M 2; 3; 6 Chọn đáp án C

Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz cho điểm A 3; 4; , B 0; 2; , C 4; 2;1       Tìm tọa độ điểm D trục Ox cho ADBC

Lời giải Tìm tọa độ điểm D trục Ox cho ADBC

Gọi D x; 0; 0  Ta có ADBCx 3 24202 420232

Vậy: D 0; 0; 0  D 6; 0; 0  Chọn đáp án B

Ví dụ 3: Trong khơng gian Oxyz cho điểm A 3; 4; , B 0; 2; , C 4; 2;1       Tính diện tích tam giác ABC? A 491

2 B

490

2 C

494

2 D

394 Lời giải

Tính diện tích tam giác ABC AB; AC     18; 7; 24 

2 2

1 494

S 18 24

2

   

Chọn đáp án C

Ví dụ 4: Trong khơng gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có A 1;1;1; ,  B 1; 2;1 , C 1;1; 2   

 

A ' 2; 2;1 Tìm tọa độ đỉnh B' ?

A B ' 2;3; 2  B B ' 2;3; 0  C B ' 2;3;1  D B ' 2;3; 1   Lời giải

Do ABC.A'B'C' hình lăng trụ nên BB ' AA 'B ' 2;3;1  Chọn đáp án C

Ví dụ 5: Trong khơng gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có A 1;1;1; ,  B 1; 2;1 , C 1;1; 2   

 

A ' 2; 2;1 Tìm tọa độ đỉnh C' ?

A C ' 2; 2; 2  B C ' 2; 2; 2   C C ' 2; 2; 2   D C '2; 2; 2 Lời giải

 

CC ' AA 'C ' 2; 2; 2 Chọn đáp án A

 

A ' 2; 2;1 Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, A'?

A x2y2z23x 3y 3z 6   0 B x2y2 z2 3x 3y 3z 6   0

C x2y2z23x 3y 3z 6   0 D x2y2z2 3x 3y 3z 6   0 Lời giải

Gọi phương trình mặt cầu (S) cần tìm dạng

2 2 2

x y z 2ax2by 2cz d  0, a b c  d 0 Do A, B, C A' thuộc mặt cầu (S) nên:

2a 2b 2c d 3

3

2a 4b 2c d 6 a b c

2 2a 2b 4c d 6

d 6 4a 4b 2c d 9

    





     

   

 



 

    

  



     



Do phương trình mặt cầu  S : x2y2z23x 3y 3z 6   0 Chọn đáp án C

Ví dụ 7: Trong không gian Oxyz, cho điểm I 2;3; 2   mặt phẳng  P : x2y 2z 9  0 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (P)?

A x22y 3 2z22 9 B x22y 3 2z22 9

C x22y 3 2z 2 2 9 D x22y 3 2z22 9 Lời giải

Ta có bán kính       2  2

2 2.3 2. 2 9

r d I, P 3

1 2 2

   

  

   

Phương trình mặt cầu (S) x22y 3 2z22 9 Chọn đáp án B

Ví dụ 8: Trong không gian Oxyz, cho điểm I 2;3; 2   mặt phẳng  P : x2y 2z 9  0 Phương trình mặt cầu (S) x22y 3 2z22 9 Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) ?

Lời giải

Phương trình mặt phẳng (Q) có dạng: x2y 2z D0 D  9 Mặt phẳng (Q) tiếp xúc với  S d I, Q  r

 

 2  2  

2

2 2.3 2 2 D

3 D 9 D 9 D 9

1 2 2

   

       

   

Phương trình mp(Q) x2y 2z 9  0 Chọn đáp án A

Ví dụ 9: Trong khơng gian Oxyz cho đường thẳng (D) có phương trình là:

x 2 t y 1 2t

z 3

   

      

điểm A2; 0;1 Viết

phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A vng góc với đường thẳng (D) ?

A  x 2y 2 0 B  x 2y 0  C  x 2y 2 0 D  x 2y 3 0 Lời giải

Do (P) vuông góc với (D) nên (P) có vtpt n1; 2; 0, (P) qua A2; 0;1 (P) có phương trình:  x 2y 2 0

Chọn đáp án A

Ví dụ 10: Trong khơng gian Oxyz cho đường thẳng (D) có phương trình là:

x 2 t y 1 2t

z 3

   

      

điểm A2; 0;1 (P)

có phương trình:  x 2y 2 0 Tìm tọa độ giao điểm mặt phẳng (P) đường thẳng (d) A N 4;3;3  B N 4;3; 0  C N 4; 3; 3    D N 4;3; 3  

Lời giải

Tọa độ giao điểm mặt phẳng (P) đường thẳng (d) nghiệm hệ phương trình:

x 5 t x 5 t

x 4

y 1 2t y 1 2t

y 3

z 3 z 3

z 3

x 2y 2 0 t 1

   

 

 

 

   

  

  

  

   

    



     

 

Ví dụ 11: Trong khơng gian Oxyz cho đường thẳng d :x y z

1

 

  điểm A1; 2; 7 Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vng góc A d?

A H 3; 3;1   B H3;3;1 C H 3;3;1  D H 3;3; 1   Lời giải

d có vectơ phương u 1; 2;1; gọi H t;1 2t; t   

 

AH 3 t; 2t; t 7   



Ta có: AH.u  01 t  2 1 2t1 t 706t 6 0 t 1 Vậy H 3;3;1 

Chọn đáp án C

Ví dụ 12: Trong khơng gian Oxyz cho đường thẳng d :x y z

1

 

  điểm A1; 2; 7 Viết phương trình đường thẳng d' ảnh d qua phép đối xứng tâm A

A

x 5 t

y 1 2t z 13 t    

   

   

B

x 5 t

y 1 2t z 13 t

   

   

    

C

x 5 t

y 1 2t z 13 t

   



   

   

D

x 5 t

y 1 2t z 13 t    

   

   

Lời giải Gọi H hình chiếu vng góc A d H t;1 2t; t   

 

AH 3 t; 2t; t 7   



Ta có: AH.u  01 t  2 1 2t1 t 706t 6 0 t 1 Vậy H 3;3;1 

Gọi H' điểm đối xứng với H qua A H '5;1;13

Phương trình d' qua H' có vectơ phương  

x 5 t

u 1; 2;1 : y 1 2t z 13 t    



   

   



Chọn đáp án A

Ví dụ 13: Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình

x 2 t y 3 t

z t

   

   

   

phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A vng góc với đường thẳng d?

A x   y z B x   y z C x  y z 70 D x   y z

Lời giải

 

u  1; 1; 1  vectơ phương đường thẳng d Vì  P d nên n 1; 1; 1   vectơ pháp tuyến (P)

Phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A có vectơ pháp tuyến n 1; 1; 1   có dạng

   

x 1  y 3  z 5 0x  y z 70

Chọn đáp án C

Ví dụ 14: Trong khơng gian Oxyz cho điểm A 2; 0;1  mặt phẳng  P : 2x2y z 0   đường thẳng

x y z

d :

1

 

  Lập phương trình mặt cầu (S) tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P) ?

A x22y2z 1 2 4 B x22y2z22 4

C x22y2z 1 2 4 D x22y2z 1 2 4 Lời giải

Lập phương trình mặt cầu (S) tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P)

Vì (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P) nên bán kính R (S) khoảng cách từ tâm A (S) đến mp(P)

 2

2

4 1

R 2

2 2 1

  

 

  

Phương trình mặt cầu   S : x22 y2z 1 2 4 Chọn đáp án A

Ví dụ 15: Trong không gian Oxyz cho điểm A 2; 0;1  mặt phẳng  P : 2x2y z 0   đường thẳng

x y z

d :

1

 

  Viết phương trình đường thẳng qua điểm A, vng góc cắt đường thẳng (d)

A

x 2 t y 0 , t z 2 t

   

 

    

 B

x 2 t y 1 , t z 1 t

  



 

    

 C

x 2 t y 0 , t z 1 t

  



 

    

 D

x 1 t y 0 , t z 1 t

   

 

    



Lời giải

 

M d nên M m; 2m; m , m     u vectơ phương (d) Vì d  nên u.AM 04m0m0

Do vectơ phương  AM  1; 0;1 Phương trình đường thẳng  cần tìm là: x 2 t

y 0 , t z 1 t

   

 

    



Chọn đáp án C

Ví dụ 16: Trong không gian Oxyz, cho điểm I 7; 4; 6  mặt phẳng  P : x2y 2z 3  0 Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (P)

A x 7 2y 4 2z 6 2 4 B x 7 2y42z 6 2 4

C x 7 2y 4 2z 6 2 4 D x72y 4 2z 6 2 4 Lời giải

Có   

 2

2

1.7 2.4 2.6 3

R d I, P 2

1 2 2

  

  

  

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: x 7 2y 4 2z 6 2 4 Chọn đáp án C

Ví dụ 17: Trong khơng gian Oxyz, cho điểm I 7; 4; 6  mặt phẳng  P : x2y 2z 3  0

  S : x 7 2y 4 2z 6 2 4, d đường thẳng qua I  P Tìm tọa độ tiếp điểm (d) (S) ?

A H 19 22; ; 3

 

 

  B

19 23

H ; ;

3 3

 

 

  C

19 25

H ; ;

3 3

 

 

  D

19 17 22

H ; ;

3 3

 

 

 

Lời giải Gọi d đường thẳng qua I vuông góc với mặt phẳng (P) Khi vectơ phương đường thẳng d ud np 1; 2; 2 

 

Vậy phương trình đường thẳng d

x 7 t y 4 2t , t z 6 2t

   

  

    



Do H 7 t; 2t; 2t  d

Mặt khác H P nên 7 t 2t  2t  t

         

Vậy H 19 22; ; 3

 

 

  điểm cần tìm Chọn đáp án A

Ví dụ 18: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng  P : 2x y 2z+1=0 hai điểm A 1; 2;3 , B 3; 2; 1      Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A, B vng góc với (P)

A 2x2y 3z 7  0 B 2x+2y 3z 7  0 C 2x+2y 3z  7 D 2x2y 3z 7  0

Lời giải Ta có: AB2; 4; 4 , mp(P) có VTPT np 2;1; 2 

Mp(Q) có vtpt nQ AB; n p    4; 4; 6 Q : 2x2y 3z 7  0

Chọn đáp án B

Ví dụ 19: Trong khơng gian Oxyz cho mặt phẳng  P : 2x y 2z+1=0 hai điểm A 1; 2;3 , B 3; 2; 1     ,  Q : 2x+2y 3z 7  0 Tìm điểm M trục hồnh cho khoảng cách từ M đến (Q) 17?

A M 12; 0; 0  M5; 0; 0 B M12; 0; 0 M5; 0; 0 C M12; 0; 0 M 5; 0; 0  D M 12; 0; 0  M 5; 0; 0 

Lời giải

     2m 7  

M Ox M m; 0; , d M; Q 17 17 *

17 

    

Giải (*) tìm m12; m 5 Vậy M 12; 0; 0  M5; 0; 0 Chọn đáp án A

Ví dụ 20: Trong không gian Oxyz cho điểm A 1; 7;3  đường thẳng  d :x y z

3

  

 

  Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A vng góc với đường thẳng (d) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng (d) cho AM2 30?

C 3x2y z  4 D 3x2y z 8  0 Lời giải

VTPT mặt phẳng (P) n   3; 2;1ud n   3; 2;1

  

Phương trình mặt phẳng  P : 3x2y z 14  0 Chọn đáp án A

Ví dụ 21: Trong khơng gian Oxyz cho điểm A 1; 7;3  đường thẳng  d :x y z

3

  

 

  Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng (d) cho AM2 30

A M 51; 1; 17 ; M 3; 3; 0 

7 7

 

  

 

  B  

51 17

M ; ; ; M 3; 3;1

7 7

 

 

 

 

C M 51; 1; 17 ; M 3; 3;1 

7 7

 

  

 

  D  

51 17

M ; ; ; M 3;3;1

7 7

 

 

 

 

Lời giải

 

M d M 3t; 2t; t    

2

AM2 30AM 12014t 8t 6 0

 

M 3; 3;1 t 1

3 51 1 17

t M ; ;

7 7 7 7

 

 

 

   

      



   

Chọn đáp án C

Ví dụ 22: Trong khơng gian Oxyz cho điểm A 1;1; 2 , đường thẳng  d :x y z

2

 

  Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A vng góc với đường thẳng (d)

A 2x y 2z 5 0 B 2x y 2z 3 0 C 2x y 2z 7 0 D 2x y 2z 1 0

Lời giải VTPT mp(P) : n 2;1; 2

Phương trình  P : 2x y 2z 7 0 Chọn đáp án C

tâm A qua trọng tâm G tam giác ABC ?

A x 3 2y 1 2z 3 2 6 B x22y 1 2z 3 2 6

C x22y 1 2z 3 2 6 D x22 y 1 2z 3 2 6 Lời giải

Vì G trọng tâm tam giác ABC nên G 4; 0; 2  Ta có: AG 6

Mặt cầu cần tìm có tâm A bán kính AG 6 nên có phương trình: x22y 1 2z 3 2 6

Chọn đáp án B

Ví dụ 24: Trong khơng gian Oxyz cho điểm A 2;1; , B 1;3;1 , C 1; 2; 0       Viết phương trình mặt phẳng qua A vng góc vsơi đường thẳng BC H tính diện tích tam giác ABH?

A x   y z B x  y z 20 C x   y z D x   y z

Lời giải

Gọi (P) qua A vng góc vsơi đường thẳng BC suy (P) nhận BC 1; 1; 1    làm VTPT Vậy  P : x   y z 2 0

Chọn đáp án D

Ví dụ 25: Trong không gian Oxyz cho điểm A 2;1; , B 1;3;1 , C 1; 2; 0       Phương trình mặt phẳng  P : x   y z 2 0 qua A vng góc với đường thẳng BC H Tính diện tích tam giác ABH ?

A S ABH

  B ABH

5 S

2

  C ABH

3 S

2

  D ABH

5 S

2

 

Lời giải

Với BH d B, P   3

 

Mà AB3, suy ra: ABH S

2

 

Chọn đáp án D

A

x 1 t

d : y 3 2t z 2 8t

             B

x 1 t d : y 3 2t z 2 8t

             C

x 1 t d : y 3 2t

z 2 8t             D

x 1 t d : y 3 2t z 2 8t             Lời giải    

AB 2; 4; 16 2 1; 2; 8



Phương trình tham số đường thẳng d qua điểm A có vectơ phương u   1; 2; 8  Phương trình

x 1 t

d : y 3 2t z 2 8t

            

Chọn đáp án B

Ví dụ 27: Trong khơng gian Oxyz cho hai điểm A1;3; ; B  3; 7; 18  mặt phẳng (P) có phương trình 2x   y z 0, phương trình

x 1 t

d : y 3 2t z 2 8t

            

Tìm giao điểm đường thẳng d với mặt phẳng (P)?

A M 1; 2;1

 



 

  B

1 M ; 2;

2

 



 

  C

1 M ; 2;

2

 



 

  D

1 M ;1;

2        Lời giải

Gọi M x; y; z  giao điểm đường thẳng d với mp(P) Tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình:

x 1 t

y 3 2t z 2 8t 2x y z 1 0

                  

     

2 t 2t 8t t

2

            

Vậy M 1; 2; 2

 



 

 

Chọn đáp án C

Ví dụ 28: Trong khơng gian Oxyz, cho điểm A 1; 2;3  đường thẳng d :x y z

2

 

 

 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A vng góc với đường thẳng d?

Mặt phẳng (P) qua điểm A nhận vectơ phương ud 2;1; 2  làm vectơ pháp tuyến Phương trình mặt phẳng  P : 2x y 2z20

Chọn đáp án B

Ví dụ 29: Trong khơng gian Oxyz, cho điểm A 1; 2;3  đường thẳng d :x y z

2

 

 

 Viết phương trình đường thẳng  qua A, vng góc với đường thẳng d cắt trục Ox

A  

x 1 2t : y 2 2t

z 3 3t    

   

   

B  

x 2t : y 2 2t

z 3 3t    

   

   

C  

x 1 2t : y 2 2t z 3 3t

   

   

   

D  

x 1 2t : y 2 2t

z 3 3t    

   

    Lời giải

Gọi B x; 0; 0  giao điểm đường thẳng  với trục Ox Khi đó, đường thẳng  nhận vectơ

 

AB x 1; 2; 3  



làm vectơ pháp tuyến Vì đường thẳng  vng góc với đường thẳng d nên

 

d

AB.u 0 x 2 6   0x 1

 

đường thẳng  nhận vectơ AB    2; 2; 3 làm vectơ pháp

tuyến có phương trình:  

x 1 2t : y 2 2t

z 3 3t    

   

   

Chọn đáp án C

Ví dụ 30: Trong khơng gian Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có đỉnh A trùng với gốc tọa độ O, đỉnh

   

B 1;1; , D 1; 1; 0 Tìm tọa độ A', biết đỉnh A' có cao độ dương

A A ' 0; 0; 3  B A ' 0; 0; 5  C A ' 0; 0; 6  D A ' 0; 0; 2  Lời giải

Gọi A ' a; b; c  Ta có:

AA '.AB AA '.AD

AA ' AB

 

 

 



 

 

   

  A ' 0; 0; 2 

Chọn đáp án D

Ví dụ 31: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng  P : x y 2z 0    , đường thẳng d :x y z

2

 

 



A

 

M 1; 5; 7 5 M ; 6;9

7             B  

M 3; 0; 2 7 66 10

M ; ;

17 17 17             C  

M 1;5; 7 5 M ; 6;9

7            D  

M 1; 5; 7 5 M ; 6; 4

7             Lời giải

Khoảng cách từ I tới (P) là:       2

2

2 2.1 2. 1 1 3

d I, P 1

3

1 2 2

   

  

  

Mặt cầu tâm I tiếp xúc với (P) có bán kính Rd I, P  1 có phương trình x22y 1 2z 1 2 1

Từ giả thiết ta có:   x 1 2t

d : y 3 3t , t z 2t              

IM 2t 1; 3t; 2t 1

   

Từ giả thiết IM 11

2t 12 2 3t2 2t 12 11

      

   2  

4t 4t 12t 9t 4t 4t 11

         

2

17t 12t

    t t 17        

Với t1  1 M 3; 0; 2 

Với t M 66; ; 10

17 17 17 17

 

     

 

Vậy có hai điểm thỏa mãn yêu cầu toán là: M 3; 0; 2  M 66; ; 10 17 17 17

 



 

 

Chọn đáp án B

Ví dụ 32: Trong không gian Oxyz cho điểm A 4; 0;1  đường thẳng  d :x y z

1

  

 

A M 1; 2; 4  M 17; ; 7



 

 

  B  

M 1; 2; 4 M 17 30; ;

7 7

 

 

 

C M 1; 2; 4  M 17 3; ; 7

 

 

  D  

M 1; 2; 4 M 17 1; ; 7

 

 

 

Lời giải

Vì M  M t; 3t; 2t     

Ta có: AM     2 t; t;1 t 

AM 2AM 22

 t2  3t2 1 2t2 22

        

2

14t 2t 16

   

 

t 1 M 1; 2; 4

8 6 17 30

t M ; ;

7 7 7 7

  



  

    

  



Chọn đáp án B

Ví dụ 33: Trong khơng gian Oxyz cho hai điểm A 3; 2;1 , B  7; 10 11;

3 3

 

 

 

  mặt cầu

  S : x 1 2y 2 2z 3 2 4 Viết phương trình mặt phẳng   mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB?

A   : 2x2y z 0 B   : 2x2y z 0   C   : 2x2y z 20 D   : 2x2y z 3  0

Lời giải

Do   mặt phẳng trung trực đoạn AB nên   qua trung điểm I 1; 7; 3

 



 

  AB nhận véctơ

 

16 16 8

AB ; ; 2; 2;

3 3

 

     

 



làm VTPT

Suy phương trình   : 2x2y z 3  0 Chọn đáp án D

Ví dụ 34: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng  P : x y z 0    mặt cầu

(S)

A H 1; ; 7

 

 

  B

3

H ; ;

7 7

 

 

  C

3

H ; ;

7 7

 

 

  D

3 13

H ; ;

7 7

 

 

 

Lời giải

Tâm đường trịn giao tuyến H hình chiếu vng góc I lên (P) Đường thẳng d qua I vng góc với (P)

có phương trình

x 3 6t y 2 3t z 1 2t

   

  

   

Do Hd nên H 6t; 3t;1 2t    

Ta có H P nên t

  Vậy H 13; ; 7

 

 

 

Chọn đáp án D

Ví dụ 35: Trong khơng gian Oxyz, cho ba điểm A 2;1; , B 0;3; 4    C 5; 6; 7  Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB

A

2 B

5

3 C

5

3 D

5 Lời giải

Gọi M trung điểm AB, ta có M 1; 2; 2 

Mặt phẳng (P) vuống góc với AB M mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB Do AB P nên

 

AB 2; 2; 4



VTPT (P)

Suy phương trình  P : x 1   2 y 2  4 z 2  0x y 2z 5 0

Vậy   

 2  2

5 2.7 5

d C, P

3

1

  

 

   

Chọn đáp án D

Ví dụ 36: Trong không gian Oxyz, cho A4;1;3 đường thẳng  d :x y z

2

  

 

 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A vng góc với d?

A 2x y 3z 0  B 2x y 3z 8 0 C 2x y 3z 11 0  D 2x y 3z 18 0

VTCP d u   2;1;3

Mp(P) qua A nhận u   2;1;3 làm vtpt Khi phương trình (P)

 0  0  0

A xx B yy C z z 0

     

2 x 4 1 y 1 3 z 3 0 2x y 3z 18 0

             

Chọn đáp án D

Ví dụ 37: Trong khơng gian Oxyz, cho A4;1;3 đường thẳng  d :x y z

2

  

 

 Tìm điểm B thuộc d cho AB 27

A B7; 4;5 B 13 10; ; 12

7 7

 

 

 

  B B7; 4; 2

13 10 12

B ; ;

7 7

 

 

 

 

C B7; 4;1 B 13 10; ; 12

7 7

 

 

 

  D B7; 4; 6

13 10 12

B ; ;

7 7

 

 

 

 

Lời giải Vì Bd nên B 1 2t;1 t; 3t   

Ta có: AB 27 3 2t 2t23t62 27

2

t

14t 48t 18 3

t   

    

  

Vậy B7; 4; 6 B 13 10; ; 12

7 7

 

 

 

 

Chọn đáp án D

Ví dụ 38: Trong khơng gian Oxyz cho mặt phẳng  P : 3x 5y z 2   0 đường thẳng

x 12 y z

d :

4

  

  Tìm tọa độ giao điểm d (P) ?

A M 0; 0; 1   B M 0; 0; 3   C M 0; 0; 4   D M 0; 0; 2   Lời giải

* Suy t 3 Do M 0; 0; 2   Chọn đáp án D

Ví dụ 39: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng  P : 3x 5y z 2   0 đường thẳng

x 12 y z

d :

4

  

  Viết phương trình đường thẳng nằm mặt phẳng (P), qua giao điểm d (P), đồng thời vng góc với d ?

A :x y z

8 11



   B :x y z

8 11



  



C : x y z

8 11



  

  D

x y z

:

8 11



  

 

Lời giải * Gọi M giao điểm d (P) M 12 4t;9 3t;1 t     * M P 3 12 4t  5 3t    1 t  2 0

* Suy t 3 Do M 0; 0; 2  

* d có VTCP u 4;3;1, (P) có VTPT n3;5; 1  đường thẳng  cần tìm có VTCP

 

vn, u 8; 7; 11 

 

  

x y z

:

8 11



  

 

Chọn đáp án D

Ví dụ 40: Trong khơng gian Oxyz, cho hai điểm A 1; 0; , B  1; 2; 2  đường thẳng

x 1 t d : y 1 2t

z 2 t

   

  

    

Tìm

tạo độ điểm H hình chiếu vng góc A d?

A H 0; 2; 1    B H 1; 1; 1    C H 0; 1; 2    D H 0; 1; 1    Lời giải

* d có VTCP ud 1; 2; 1 

* H d H t;1 2t; t     

 

AH t;1 2t; t  

Do H hình chiếu A d nên AHud AH.u d 0

 

t 2 4t 4 t 0 t 1 H 0; 1; 1

           

Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng

I. Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường

PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác

cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn

II Khoá Học Nâng Cao HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chuyên dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần

Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt

thành tích cao HSG Quốc Gia

III. Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia